Sejam $M$ e $N$ superfícies fechadas e $\\tau: M \\to M$ uma involução livre de pontos fixos. Dizemos que uma classe de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua $g: M \\to N$ que representa $\\beta$, existe $x \\in M$ tal que $g(\\tau(x)) = g(x)$. No caso em que $N$ é diferente de $S^2$ e $RP^2$, mostramos que $\\beta$ não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau)$, $P_2(N)$ e $B_2(N)$, sendo $M_\\tau$ o espaço de órbitas de $\\tau$ e sendo $P_2 (N)$ e $B_2(N)$, respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de $N$. Para cada caso listado abaixo, nós classificamos todas as classes de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ e $N = T^2$; $M = K^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = K^2$. No caso em que $N = S^2$, para cada superfície $M$ e involução $\\tau: M \\to M$, nós classificamos os elementos $\\beta \\in [M,S^2]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classificação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia $\\beta \\in [M,RP^2]$, classificamos aquelas que se levantam para $S^2$. No final, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de $Z_p$, com $p$ um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se $M$ e $N$ são superfícies fechadas e $Z_p$ age livremente em M, com $p$ ímpar, então sempre existe uma função $f: M \\to N$ homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora. / Let $M$ and $N$ be compact surfaces without boundary, and let $\\tau: M \\to M$ be a fixed-point free involution. We say that a homotopy class $\\beta \\in [M,N]$ has the Borsuk-Ulam property if for every continuous fuction $g: M \\to N$ that represents $\\beta$, there exists $x \\in M$ such that $g(\\tau(x)) = g(x)$. In the case where $N$ is different of $S^2$ and $RP^2$, we show that the fact that $\\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau), $P_2(N)$ and $B_2(N)$, where $M_\\tau$ is the orbit space of $\\tau$ and $P_2(N)$ and $B_2(N) $ are the pure and the full braid groups of the surface $N$ respectively. We then go on to consider the cases of the torus $T^2$ and the Klein bottle $K^2$. Let $M$ and $N$ satisfy one of the following: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ and $N = T^2$; $M = K^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = K^2$. In these cases we classify the homotopy classes $\\beta \\in [M,N]$ that possess the Borsuk-Ulam property. If $N= S^2$, for every surface $M$ and an involution $\\tau: M \\to M$, we classify the elements $\\beta \\in [M, S^2] $ that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classification, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes $\\beta \\in [M,RP^2]$, we classify the classes that admit a lifting to $S^2$. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions of $Z_p$, where $p$ is a prime number. If $M$ and $N$ are compact surfaces without boundary such that $Z_p$ acts freely on $M$, with $p$ odd, we show that there is always a function $f: M \\to N$ homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of $\\tau$ is injective.

Sejam $M$ e $N$ superfícies fechadas e $\\tau: M \\to M$ uma involução livre de pontos fixos. Dizemos que uma classe de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua $g: M \\to N$ que representa $\\beta$, existe $x \\in M$ tal que $g(\\tau(x)) = g(x)$. No caso em que $N$ é diferente de $S^2$ e $RP^2$, mostramos que $\\beta$ não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau)$, $P_2(N)$ e $B_2(N)$, sendo $M_\\tau$ o espaço de órbitas de $\\tau$ e sendo $P_2 (N)$ e $B_2(N)$, respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de $N$. Para cada caso listado abaixo, nós classificamos todas as classes de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ e $N = T^2$; $M = K^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = K^2$. No caso em que $N = S^2$, para cada superfície $M$ e involução $\\tau: M \\to M$, nós classificamos os elementos $\\beta \\in [M,S^2]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classificação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia $\\beta \\in [M,RP^2]$, classificamos aquelas que se levantam para $S^2$. No final, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de $Z_p$, com $p$ um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se $M$ e $N$ são superfícies fechadas e $Z_p$ age livremente em M, com $p$ ímpar, então sempre existe uma função $f: M \\to N$ homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora. / Let $M$ and $N$ be compact surfaces without boundary, and let $\\tau: M \\to M$ be a fixed-point free involution. We say that a homotopy class $\\beta \\in [M,N]$ has the Borsuk-Ulam property if for every continuous fuction $g: M \\to N$ that represents $\\beta$, there exists $x \\in M$ such that $g(\\tau(x)) = g(x)$. In the case where $N$ is different of $S^2$ and $RP^2$, we show that the fact that $\\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau), $P_2(N)$ and $B_2(N)$, where $M_\\tau$ is the orbit space of $\\tau$ and $P_2(N)$ and $B_2(N) $ are the pure and the full braid groups of the surface $N$ respectively. We then go on to consider the cases of the torus $T^2$ and the Klein bottle $K^2$. Let $M$ and $N$ satisfy one of the following: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ and $N = T^2$; $M = K^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = K^2$. In these cases we classify the homotopy classes $\\beta \\in [M,N]$ that possess the Borsuk-Ulam property. If $N= S^2$, for every surface $M$ and an involution $\\tau: M \\to M$, we classify the elements $\\beta \\in [M, S^2] $ that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classification, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes $\\beta \\in [M,RP^2]$, we classify the classes that admit a lifting to $S^2$. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions of $Z_p$, where $p$ is a prime number. If $M$ and $N$ are compact surfaces without boundary such that $Z_p$ acts freely on $M$, with $p$ odd, we show that there is always a function $f: M \\to N$ homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of $\\tau$ is injective.

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9e6f062d94f6fdfb7d9cb0cfae289118 (MD5) / Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2017-11-30T17:48:32Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marini_mc_me_sjrp.pdf: 3119748 bytes, checksum: 9e6f062d94f6fdfb7d9cb0cfae289118 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-11-30T17:48:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marini_mc_me_sjrp.pdf: 3119748 bytes, checksum: 9e6f062d94f6fdfb7d9cb0cfae289118 (MD5) Previous issue date: 2017-09-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O Teorema de Borsuk-Ulam clássico afirma que: “Se f : Sn → IRn é uma aplicação contínua, entãoexisteumponto x em Sn talque f(x) = f(−x), ouequivalentemente f(x) = f(A(x)), onde Sn indica a esfera unitária n-dimensional e A : Sn → Sn é a aplicação antipodal”. Se pensamos na superfície terrestre como uma esfera, o caso n = 2 pode ser ilustrado dizendo-se que em cada instante, existe sempre um par de pontos antipodais na superfície da Terra com mesma temperatura e pressão barométrica (supondo que a temperatura e a pressão variam continuamente na superfície). Este trabalho é baseado no artigo “Some generalizations of the Borsuk-Ulam Theorem” de Vendrúsculo, Desideri e Pergher (2011), [8], e tem como principal objetivo apresentar um estudo de uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam associada a grupos topológicos. Diz-se que {(X,T);G}, onde X é um espaço topológico equipado por uma involução livre T e G é um grupo topológico, “satisfaz uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam”, abreviadamente, “satisfaz WBUT”, se, para cada aplicação contínua f : X → G, temos que o conjunto {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} é diferente do vazio, onde f(T(x))−1 é o simétrico de f(T(x)) em G e 2G = {g ∈ G; g = g−1}. Neste trabalho, relacionamos essa condição fraca com a condição geral de “satisfazer o Teorema de Borsuk-Ulam” (ou “satisfazer BUT”) dada também pelos autores; apresentamos alguns exemplos; considerando G = T2 (toro), detalhamos a demonstração de um resultado que estabelece um critério algébrico para que {(X,T);T2} satisfaça a condição WBUT e de um resultado que dá uma equivalência entre a versão fraca WBUT para triplas {(S,T);T2} e a condição BUT para {(S,T);IR2}, sendo S uma superfície fechada. Por fim, apresentamos um invariante topológico obtido da versão WBUT. Tal invariante, por nós definido, é similar ao obtido da condição BUT e apresentado pelos autores citados. / The classical Borsuk-Ulam Theorem states that: “If f : Sn → IRn is any continuous map, then there exists a point x in Sn such that f(x) = f(−x), or equivalently f(x) = f(A(x)), where Sn denotes the n-dimensional unit sphere and A : Sn → Sn is the antipodal map”. If we think of the Earth’s surface as a sphere, the case n = 2 can be illustrated by saying that at every instant there is always a pair of antipodal points on the Earth’s surface with the same temperature and barometric pressure (assuming that the temperature and pressure vary continuously in the surface). This work is based on the article “Some generalizations of Borsuk-Ulam Theorem” by Ven drúsculo, Desideri and Pergher (2011), [8], and has the main purpose of presenting a study of a weak version of the Borsuk-Ulam Theorem associated with topolog ical groups. It is said that {(X,T);G}, where X is a topological space equipped with a free involution T and G is a topological group “satisfies a Weak version of the Borsuk-Ulam Theorem”, abbreviatedly, “satisfies WBUT” if, given any continuous map f : X → Y , the set {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} is non empty, where f(T(x))−1 is the symmetric of f(T(x)) in G and 2G = {g ∈ G; g = g−1}. In this work, we relate this weak condition with the more general condition of “satisfying the Borsuk-Ulam Theorem” (or “satisfying BUT”) also given by the authors; we present some examples; considering G = T2 (torus), we detail the proof of a result that establishes an algebraic criterion for {(X,T);T2} satisfy the condition WBUT, and of a result that gives an equivalence between the weak version WBUT for triples {(S,T);T2} and the condition BUT for {(S,T);IR2}, where S is a closed surface and T is a free involution on S. Finally, we present a topological invariant obtained from the WBUT version. Such invariant, defined by us, is similar to that obtained from the BUT condition and presented by the cited authors.

Na maior parte deste trabalho, estudamos a existência de involuções livres sobre algumas 4-variedades fechadas, com o mesmo tipo de homotopia do espaço total de algum fibrado de superfície sobre superfície, bem como uma generalização do teorema de Borsuk-Ulam para tais 4-variedades. Também estudamos a relação do teorema de Borsuk-Ulam, para aplicações da n-esfera em variedades, com a teoria de conível. / In the most part of this work, we study the existence of free involutions over some closed 4-manifolds with the same homotopy type of the total space of some surface bundle over surface, as well as a generalization of the Borsuk-Ulam theorem for such 4-manifolds. Also we study the relation of the Borsuk-Ulam theorem, for maps from the n-sphere into manifolds, with the colevel theory.

Na maior parte deste trabalho, estudamos a existência de involuções livres sobre algumas 4-variedades fechadas, com o mesmo tipo de homotopia do espaço total de algum fibrado de superfície sobre superfície, bem como uma generalização do teorema de Borsuk-Ulam para tais 4-variedades. Também estudamos a relação do teorema de Borsuk-Ulam, para aplicações da n-esfera em variedades, com a teoria de conível. / In the most part of this work, we study the existence of free involutions over some closed 4-manifolds with the same homotopy type of the total space of some surface bundle over surface, as well as a generalization of the Borsuk-Ulam theorem for such 4-manifolds. Also we study the relation of the Borsuk-Ulam theorem, for maps from the n-sphere into manifolds, with the colevel theory.

Orientador: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Coorientador: Évelin Meneguesso Barbaresco / Banca: Anderson Paião dos Santos / Banca: Maria Gorete Carreira Andrade / Resumo: O Teorema de Borsuk-Ulam clássico afirma que: "Se f : Sn → IRn é uma aplicação contínua, entãoexisteumponto x em Sn talque f(x) = f(−x), ouequivalentemente f(x) = f(A(x)), onde Sn indica a esfera unitária n-dimensional e A : Sn → Sn é a aplicação antipodal". Se pensamos na superfície terrestre como uma esfera, o caso n = 2 pode ser ilustrado dizendo-se que em cada instante, existe sempre um par de pontos antipodais na superfície da Terra com mesma temperatura e pressão barométrica (supondo que a temperatura e a pressão variam continuamente na superfície). Este trabalho é baseado no artigo "Some generalizations of the Borsuk-Ulam Theorem" de Vendrúsculo, Desideri e Pergher (2011), [8], e tem como principal objetivo apresentar um estudo de uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam associada a grupos topológicos. Diz-se que {(X,T);G}, onde X é um espaço topológico equipado por uma involução livre T e G é um grupo topológico, "satisfaz uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam", abreviadamente, "satisfaz WBUT", se, para cada aplicação contínua f : X → G, temos que o conjunto {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} é diferente do vazio, onde f(T(x))−1 é o simétrico de f(T(x)) em G e 2G = {g ∈ G; g = g−1}. Neste trabalho, relacionamos essa condição fraca com a condição geral de "satisfazer o Teorema de Borsuk-Ulam" (ou "satisfazer BUT") dada também pelos autores; apresentamos alguns exemplos; considerando G = T2 (toro), detalhamos a demonstração de um resultado que estabelece um critério... / Abstract: The classical Borsuk-Ulam Theorem states that: "If f : S n → IRn is any continuous map, then there exists a point x in S n such that f(x) = f(−x), or equivalently f(x) = f(A(x)), where S n denotes the n-dimensional unit sphere and A : S n → S n is the antipodal map". If we think of the Earth's surface as a sphere, the case n = 2 can be illustrated by saying that at every instant there is always a pair of antipodal points on the Earth's surface with the same temperature and barometric pressure (assuming that the temperature and pressure vary continuously in the surface). This work is based on the article "Some generalizations of Borsuk-Ulam Theorem" by Vendrúsculo, Desideri and Pergher (2011), [8], and has the main purpose of presenting a study of a weak version of the Borsuk-Ulam Theorem associated with topological groups. It is said that {(X, T); G}, where X is a topological space equipped with a free involution T and G is a topological group "satisfies a Weak version of the Borsuk-Ulam Theorem", abbreviatedly, "satisfies WBUT" if, given any continuous map f : X → Y, the set {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} is non empty, where f(T(x))−1 is the symmetric of f(T(x)) in G and 2G = {g ∈ G; g = g −1 }. In this work, we relate this weak condition with the more general condition of "satisfying the Borsuk-Ulam Theorem" (or "satisfying BUT") also given by the authors; we present some examples; considering G = T 2 (torus), we detail the proof of a result that establishes an algebraic criterion for {(X, T); T 2 } satisfy the condition WBUT, and of a result that gives an equivalence between the weak version WBUT for triples {(S, T); T 2 } and the condition BUT for {(S, T); IR2 }, where S is a closed surface and T is a free involution on S. Finally, we present a topological invariant obtained from the WBUT version. Such invariant, defined ... / Mestre

Orientador: Maria Gorete Carreira Andrade / Banca: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Banca: Denise de Mattos / Resumo: O teorema clássico de Borsuk-Ulam afirma que se f : Sn ����! Rn e uma aplicação contínua, então existe um ponto x na esfera tal que f(x) = f(����x). Desde a publicação, diversas generalizações desse resultado têm sido abordadas. Algumas generalizações consistem em substituir o domínio (Sn;A), onde A e a involução antipodal, por outros pares (X; T) de involuções livres, ou o contradomínio Rn por espaços topológicos mais gerais Y . Nesse caso, dizemos que ((X; T); Y ) satisfaz a propriedade de Borsuk-Ulam se dada uma aplicação contínua f : X ����! Y , existe um ponto x em X tal que f(x) = f(T(x)). Neste trabalho, detalhamos a demonstração de um resultado de classificação apresentado por Gonçalves em [6], que fornece condições necessárias e suficientes para que uma superfície fechada satisfaça a propriedade de Borsuk-Ulam. Mostramos também uma prova detalhada de um resultado apresentado por Desideri, Pergher e Vendrúsculo em [3], que estabele um critério algébrico para que um espaço topológico qualquer satisfaça a propriedade de Borsuk-Ulam / Abstract: The classic Borsuk-Ulam theorem states that if f : Sn ����! Rn is a continuous map, then there exists a point x in the sphere such that f(x) = f(����x). Since the publication, many generalizations of that result have been studied. Some generalizations consist in replacing either the domain (Sn;A), where A is the antipodal involution, by other free involution pair (X; T), or the target space Rn by more general topological spaces Y . In that case, we say that ((X; T); Y ) satisfies the Borsuk-Ulam property if given any continuous map f : X ����! Y , there exists a point x in X such that f(x) = f(T(x)). In this work, we detail the proof of a classification result presented by Gonçalves in [6], that provides necessary and suficient conditions for a closed surface satisfy the Borsuk-Ulam property. We also show a detailed proof of a result presented by, Desideri, Pergher and Vendrúsculo in [3], that establishes an algebraic criterion for any topological space satisfy the Borsuk-Ulam property / Mestre

Made available in DSpace on 2015-04-09T12:28:27Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-02-20Bitstream added on 2015-04-09T12:47:32Z : No. of bitstreams: 1 000811736.pdf: 442400 bytes, checksum: 037b5d630eff63eb854ef35fecab8412 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O teorema clássico de Borsuk-Ulam afirma que se f : Sn ! Rn e uma aplicação contínua, então existe um ponto x na esfera tal que f(x) = f(x). Desde a publicação, diversas generalizações desse resultado têm sido abordadas. Algumas generalizações consistem em substituir o domínio (Sn;A), onde A e a involução antipodal, por outros pares (X; T) de involuções livres, ou o contradomínio Rn por espaços topológicos mais gerais Y . Nesse caso, dizemos que ((X; T); Y ) satisfaz a propriedade de Borsuk-Ulam se dada uma aplicação contínua f : X ! Y , existe um ponto x em X tal que f(x) = f(T(x)). Neste trabalho, detalhamos a demonstração de um resultado de classificação apresentado por Gonçalves em [6], que fornece condições necessárias e suficientes para que uma superfície fechada satisfaça a propriedade de Borsuk-Ulam. Mostramos também uma prova detalhada de um resultado apresentado por Desideri, Pergher e Vendrúsculo em [3], que estabele um critério algébrico para que um espaço topológico qualquer satisfaça a propriedade de Borsuk-Ulam / The classic Borsuk-Ulam theorem states that if f : Sn ! Rn is a continuous map, then there exists a point x in the sphere such that f(x) = f(x). Since the publication, many generalizations of that result have been studied. Some generalizations consist in replacing either the domain (Sn;A), where A is the antipodal involution, by other free involution pair (X; T), or the target space Rn by more general topological spaces Y . In that case, we say that ((X; T); Y ) satisfies the Borsuk-Ulam property if given any continuous map f : X ! Y , there exists a point x in X such that f(x) = f(T(x)). In this work, we detail the proof of a classification result presented by Gonçalves in [6], that provides necessary and suficient conditions for a closed surface satisfy the Borsuk-Ulam property. We also show a detailed proof of a result presented by, Desideri, Pergher and Vendrúsculo in [3], that establishes an algebraic criterion for any topological space satisfy the Borsuk-Ulam property

Bartsch (BARTSCH, 1993) introduziu uma teoria de índice cohomológico, conhecida como o length, para G-espaços, no qual G é um grupo de Lie compacto. Apresentamos o cálculo do length de G-espaços os quais são esferas de cohomologia e G = (Z2)k, (Zp)k ou (S1)k, k &ge; 1. Como consequências, obtemos um teorema de Borsuk-Ulam neste contexto e damos condições suficientes para a existência de aplicações G-equivariantes entre uma esfera de cohomologia e uma esfera de representação quando G = (Zp)<sup<k. Também, uma versão Bourgin-Yang do teorema de Borsuk-Ulam é apresentada. Como segunda parte desta tese, uma nova definição do grafo de Reeb R( f) de uma função suave f : MR com pontos críticos isolados, como um subcomplexo de M é dada. Para isto, um complexo 1-dimensional &Gamma; (f ) mergulhado em M e equivalente por homotopia a R( f ) é construído. Como consequência, mostramos que para toda função f sobre uma variedade com grupo fundamental finito, o grafo de Reeb de f é uma árvore. Se &pi;1(M) é um grupo abeliano, ou mais geralmente, um grupo amenable1, então R( f ) conterá no máximo um laço. Finalmente, é provado que o número de laços do grafo de Reeb de toda função sobre uma superfície Mg é estimado superiormente por g, o genus de Mg. Os resultados desta segunda parte estão publicados em (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015). / Bartsch (BARTSCH, 1993) introduced a numerical cohomological index theory, known as the length, for G-spaces, where G is a compact Lie group. We present the length of G-spaces which are cohomology spheres and G = (Z2)k, (Zp)k or (S1)k, k &ge; 1. As consequences, we obtain a Borsuk-Ulam theorem in this context and we give a sucient condition for the existence of G-maps between a cohomological sphere and a representation sphere when G = (Zp)k. Also, a Bourgin-Yang version of the Borsuk-Ulam theorem is presented. As a second part of this thesis, a new definition of the Reeb graph R( f ) of a smooth function f : M &rarr; R with isolated critical points as a subcomplex of M is given. For that, a 1-dimensional complex &Gamma; ( f ) embedded into M and homotopy equivalent to R( f ) is constructed. As consequence it is shown that for every function f on a manifold with finite fundamental group, the Reeb graph of f is a tree. If &pi; 1 (M) is an abelian group, or more generally, an amenable group2, then R( f ) contais at most one loop. Finally, it is proved that the number of loops of the Reeb graph of every function on a surface Mg is estimated from above by g, the genus of Mg. The results of this second part is published in (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015).

Bartsch (BARTSCH, 1993) introduziu uma teoria de índice cohomológico, conhecida como o length, para G-espaços, no qual G é um grupo de Lie compacto. Apresentamos o cálculo do length de G-espaços os quais são esferas de cohomologia e G = (Z2)k, (Zp)k ou (S1)k, k &ge; 1. Como consequências, obtemos um teorema de Borsuk-Ulam neste contexto e damos condições suficientes para a existência de aplicações G-equivariantes entre uma esfera de cohomologia e uma esfera de representação quando G = (Zp)<sup<k. Também, uma versão Bourgin-Yang do teorema de Borsuk-Ulam é apresentada. Como segunda parte desta tese, uma nova definição do grafo de Reeb R( f) de uma função suave f : MR com pontos críticos isolados, como um subcomplexo de M é dada. Para isto, um complexo 1-dimensional &Gamma; (f ) mergulhado em M e equivalente por homotopia a R( f ) é construído. Como consequência, mostramos que para toda função f sobre uma variedade com grupo fundamental finito, o grafo de Reeb de f é uma árvore. Se &pi;1(M) é um grupo abeliano, ou mais geralmente, um grupo amenable1, então R( f ) conterá no máximo um laço. Finalmente, é provado que o número de laços do grafo de Reeb de toda função sobre uma superfície Mg é estimado superiormente por g, o genus de Mg. Os resultados desta segunda parte estão publicados em (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015). / Bartsch (BARTSCH, 1993) introduced a numerical cohomological index theory, known as the length, for G-spaces, where G is a compact Lie group. We present the length of G-spaces which are cohomology spheres and G = (Z2)k, (Zp)k or (S1)k, k &ge; 1. As consequences, we obtain a Borsuk-Ulam theorem in this context and we give a sucient condition for the existence of G-maps between a cohomological sphere and a representation sphere when G = (Zp)k. Also, a Bourgin-Yang version of the Borsuk-Ulam theorem is presented. As a second part of this thesis, a new definition of the Reeb graph R( f ) of a smooth function f : M &rarr; R with isolated critical points as a subcomplex of M is given. For that, a 1-dimensional complex &Gamma; ( f ) embedded into M and homotopy equivalent to R( f ) is constructed. As consequence it is shown that for every function f on a manifold with finite fundamental group, the Reeb graph of f is a tree. If &pi; 1 (M) is an abelian group, or more generally, an amenable group2, then R( f ) contais at most one loop. Finally, it is proved that the number of loops of the Reeb graph of every function on a surface Mg is estimated from above by g, the genus of Mg. The results of this second part is published in (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015).