Nous étudions divers problèmes mathématiques et numériques posés par la modélisation de la fabrication de l'aluminium par électrolyse (procédé Hall-Héroult) De nombreux phénomènes physiques entrent en jeu : écoulements magnétohydrodynamiques (MHD) et multiphasiques, phénomènes thermiques, réactions électrochimiques, aimantation. La première partie consiste en une présentation de ces phénomènes; nous nous consacrons ensuite essentiellement à la MHD. La deuxième partie est dédiée à l'étude théorique de systèmes d'équations aux dérivées partielles modélisant certains aspects de l'électrolyse de l'aluminium. Nous prouvons l'existence de solutions faibles pour le système de la MHD incompressible avec densité, viscosité et conductivité électrique variables. Nous étudions ensuite un système MHD simplifié consistant en un couplage entre les équations de Navier-Stokes transitoires et les équations de Maxwell stationnaires. Nous nous intéressons enfin au comportement en temps long d'un système de deux fluides incompressibles non miscibles séparés par une interface libre. L'objet principal de la troisième partie est d'étudier des méthodes numériques pour les équations de la MHD. La question que nous abordons dans un premier temps est de nature plus générale : nous traitons d'un problème de vitesses parasites pouvant survenir dans la simulation d'un écoulement incompressible soumis à des forces extérieures. Nous illustrons ce phénomène par plusieurs exemples et proposons une manière de l'atténuer. Nous nous intéressons ensuite à deux méthodes pour la résolution numérique d'un problème de magnétostatique. L'une d'elle repose sur la notion de matrice d'influence. Puis, nous présentons quelques manières de traiter le couplage entre les équations de Maxwell et les équations de Navier-Stokes dans le système de la MHD. Nous étendons enfin à la MHD les techniques d'éléments finis stabilisés de type "streamline diffusion. [Résumé de l'auteur]

L'objectif de cette thèse est d'étudier numériquement la contrôlabilité exacte et la stabilisation rapide de multistructures flexibles composées de poutres d'Euler-Navier-Bernoulli. On utilise la méthode HUM de J.-L. Lions (resp. une variante proposée par V. Komornik) qui s'exprime directement au niveau continu et qui fournit un algorithme constructif de lois de contrôle frontière en boucle ouverte (resp. fermée) permettant de contrôler exactement (resp. de stabiliser de façon arbitrairement rapide) ces multistructures. On applique une méthode de superposition modale pour calculer le contrôle approché et on propose différentes méthodes pour calculer la réponse approchée de la poutre. L'étape fondamentale de notre méthode de discrétisation consiste à calculer avec une grande précision le grammien de contrôlabilité (resp. de stabilisabilité), terme celf de la méthode, en définissant une forme très faible des termes de bords discrets qu'ils contiennent. En boucle fermée, une formulation dite semi-très faible a été introduite ; elle permet de définir une méthode d'approximation stable pour le contrôle en déplacement. Le taux de décroissance exponentielle est indépendant de la discrétisation retenue et s'avère toujours deux fois plus grand que celui prédit par Komornik. Des résultats théoriques en cours d'établissement semblent d'ailleurs montrer que, sous certaines hypothèses, on peut effectivement démontrer cette propriété. Etant donné que nous voulons construire des lois réalistes du point de vue mécanique, on applique la méthode HUM pour construire des contrôles réguliers et on propose une régularisation de la loi de Komornik. Après une étude numérique approfondie de ces deux lois, on les appliquera aux treillis de poutres d'Euler-Navier-Bernoulli en utilisant les mêmes algorithmes constructifs et les mêmes techniques d'approximation, tout en élargissant la classe des actionneurs applicables. Une condition suffisante sur l'horizon de contrôlabilité et la disposition des actionneurs pour que de telles multistructures soient contrôlables exactement, est que le grammien de contrôlabilité vérifie une inégalité d'observabilité. Cela revient à obtenir une estimation de la constante de coercivité du grammien de contrôlabilité (resp. de stabilisabilité) qui permet de mesurer l'efficacité du contrôle exercé. C'est à partir de cette observation que F. Bourquin a proposé un test numérique discriminant qui donne une information sur la contrôlabilité exacte (ou la non-contrôlabilité exacte) des multistructures sur lesquelles s'exercent les contrôles HUM. On vérifiera la validité de ce test en comparant les conclusions qu'il donne, quand on l'applique à différents treillis de poutres d'Euler-Navier-Bernoulli, aux résultats théoriques de J. Lagnese, G. Leugering et E.J.P.G. Schmidt.

Parmi les différentes méthodes permettant de résoudre les équations de Maxwell harmoniques pour les problèmes de diffraction d'onde, la méthode des éléments finis de frontière [1] offre la particularité de permettre une résolution exacte tout en prenant parfaitement en compte les conditions de radiation à l'infini. De plus, seule la frontière des objets doit être maillée. La figure 1 représente les différentes étapes d'un tel calcul : à gauche se trouve le maillage surfacique d'un avion furtif, au milieu sont représentés les courants surfaciques (du moins leur partie réelle) issus de l'illumination par une onde plane, à droite enfin se trouve le champ lointain diffracté par l'avion dans un plan horizontal.<br />Le système linéaire à résoudre est malheureusement plein, ce qui rend difficile la résolution de problème pour des objets de diamètre supérieur à quelques longueurs d'onde. L'utilisation de la méthode multipôle rapide [2], en conjonction avec un solveur itératif comme GMRES [3], permet de repousser les limites et de traiter des cas de calcul beaucoup plus volumineux [4].<br />En collaboration avec EADS-CCR, nous avons développé une implémentation parallèle haute performance de la méthode multipôle rapide qui nous a permis de résoudre des problèmes de diffraction d'ondes électromagnétiques par des structures de taille jamais atteinte auparavant. Par exemple, un avion comme celui représenté ci dessus illuminé par une onde plane de fréquence 1 GHz conduit à la résolution d'un système linéaire plein d'ordre 10 puissance 6. Cette résolution, quasiment irréalisable sans méthode multipôle, prend désormais 19 heures sur une station de travail. Des calculs portant sur plusieurs dizaines de millions d'inconnues ont également été réalisés sur des calculateurs parallèles.

La décision dans l'incertain est un theme de recherche particulièrement actif à l'heure actuelle, en raison notamment de ses nombreuses applications dans différents domaines de l'ingéniérie (télécommunications, transports,...), de la gestion et de la finance, etc. La formulation de ces problèmes en termes de problèmes d'optimisation sous contraintes est une approche classique. Cependant, dans un contexte aléatoire (ou stochastique), la nature des contraintes prises en compte requiert une attention particulière : -les contraintes à satisfaire "presque sûrement" sont généralement irréalistes ou anti-économiques (on ne dimensionne pas les réseaux pour écouler le traffic des heures de pointe de l'année), en dehors bien sûr des relations mathématiques qui représentent les lois de la Physique ; -les contraintes à satisfaire "en espérance", quoique mathématiquement agréables, n'ont pas de signification pratique très utile dans la mesure où le respect d'une inégalité sur l'espérance ne garantit rien sur la fréquence des dépassements de cette inégalité; -les contraintes à satisfaire avec une certaine probabilité sont généralement celles qui ont le plus de signification pratique, mais elles sont dificiles à traiter mathématiquement; -d'autres mesures de risque ont été récemment proposées CVaR, ordres stochastiques,...), notamment dans le domaine de la finance, pour aller dans le sens d'un traitement mathématique plus facile (préservation de la convexité par exemple), mais avec une certaine perte de l'interprétation intuitive qu'on peut leur donner. Sur le plan théorique, l'une des difficultés fondamentales que soulève le traitement des contraintes en probabilité est que ces contraintes s'expriment essentiellement comme l'espérance d'une fonction indicatrice d'ensemble, fonction à la fois non convexe et discontinue: le traitement de telles quantités par des méthodes d'approximation stochastique est donc très difficile. Dans cette thèse, trois voies sont explorées pour contourner ces difficultés : -le recours à d'autres formulations du risque qui amènent à des problèmes mathématiques plus simples ; -des méthodes d'intégration par parties ou de changement de variables dans le calcul de l'espérance permettent, sous certaine condition, de remplacer la fonction indicatrice par sa primitive, évidemment plus régulière, et donc plus facile à traiter du point de vue de l'approximation stochastique: on obtient ainsi des stimateurs non biaisés mais présentant une certaine variance ; -des méthodes de "lissage" remplaçant la fonction indicatrice par une approximation "adoucie", ce qui introduit un certain biais dans l'estimation, biais que l'on cherche ensuite à faire tendre asymptotiquement vers zéro. Ces méthodes sont évaluées et comparées à la fois sur les plans théorique et numérique, en utilisant pour cela deux exemples issus l'un d'un problèeme de parcours optimal avec risque et l'autre d'un problème d'investissement en finance.

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La thèse a pour objet la modélisation et la simulation numérique de la propagation d'ondes dans un fluide en écoulement uniforme ou fortement cisaillé. Nous retiendrons l'équation de Galbrun comme modèle mathématique linéarisé pour décrire ce phénomène. Cette équation, dont l'inconnue est le déplacement lagrangien, ne se prête pas à une étude mathématique directe en raison d'un défaut d'ellipticité. La première partie traite le cas d'un écoulement subsonique uniforme. Nous présentons dans un premier temps une méthode de régularisation pour pallier le défaut de coercivité de la ''partie spatiale'' de l'équation de Galbrun et, dans un deuxième temps, une méthode de résolution numérique stable. En outre, nous calculons à l'aide de la technique de Cagniard-de Hoop, le tenseur de Green de l'équation de Galbrun. Ce tenseur admet une singularité non-intégrable en espace et en temps. La deuxième partie est consacrée à l'extension de ce qui précède au cas des écoulements brutalement cisaillés. Nous montrons par l'analyse de Kreiss que le problème limite (lorsque l'épaisseur de la couche de cisaillement tend vers 0) est fortement mal posé. Pour contourner cette difficulté, nous proposons alors deux approches fondamentalement différentes. La première est analytique~:~nous utilisons d'une part la méthode de Cagniard-de Hoop pour calculer analytiquement la solution fondamentale du problème et d'autre part la théorie des ultradistributions pour lui donner un sens mathématique. La deuxième approche repose sur la conception d'un nouveau modèle. Nous montrons comment, à partir de techniques asymptotiques de type "couche limite", on peut construire de nouvelles conditions de transmission conduisant à un problème bien posé et rendant compte du phénomène d'instabilité de Kelvin-Helmholtz.

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Ce travail est consacr'e `a l'analyse et la construction de codes d´efinis par des graphes dans le but d'obtenir des familles de codes ayant, pour une complexit´e de d´ecodage faible, de tr`es bonnes performances pour une large plage de rapports signal-`a-bruit. Nous nous int´eressons `a une famille de codes que nous appelons TLDPC (pour Tailbiting Trellis Low-Density Parity Check) qui contient, comme sous-familles, `a la fois les Turbo codes de Berrou et Glavieux et les codes de Gallager appel´es aussi codes LDPC. La premi`ere partie de cette th`ese est consacr´ee `a l'´etude des codes TLDPC binaires. Nous nous sommes int´eress´es au caract`ere asymptotiquement bon de ces codes et avons obtenus des conditions n´ecessaires ou suffisantes en ´etudiant les polyn

Les transducteurs - automates avec sortie - et les relations rationnelles sont des concepts fondamentaux de la théorie des automates. Un rôle particulier est joué par la famille des fonctions rationnelles, en raison de ses propriétés remarquables et aujourd'hui classiques. Les relations de norme bornée sont une généralisation de celles-ci, introduite par Schützenberger en 1976, où le supremum des cardinalités des images est borné par une constante. Ces relations ont reçu une attention particulière en de differents travaux, dont le but a été de généraliser certaines propriétés des fonctions rationnelles; pourtant, les différences entre les techniques mises en oeuvre et la difficulté de quelques preuves conduisent à la nécessité d'une compréhension plus approfondie de ces propriétés. Cette thèse est consacrée à une présentation uniforme de quelques propriétés des relations de norme bornée, centrée sur la représentation de ces relations par des transducteurs et les manipulations de leur structure via des constructions de produits et de revêtements d'automates. Sont traités dans cette approche structurelle la décomposition d'une relation rationnelle de norme bornée dans une somme de fonctions rationnelles, résultat dont il est aussi donné une généralisation, la décidabilité de la famille des relations rationnelles de norme bornée, et la décidabilité de l'équivalence pour ces relations. Les constructions développées dans cette thèse permettent en particulier de nouvelles bornes de complexité, par rapport aux résultats connus.

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