In this thesis we show that the finite element error for the high contrast elliptic interface problem is independent of the contrast in the material coefficient under certain assumptions. The error estimate is proved using a particularly technical proof with construction of a specific function from the finite dimensional space of piecewise linear functions. We review the multiscale finite element method of Chu, Graham and Hou to give clearer insight. We present some generalisations to extend their work on a priori contrast independent local boundary conditions, which are then used to find multiscale basis functions by solving a set of local problems. We make use of their regularity result to prove a new relative error estimate for both the standard finte element method and the multiscale finite element method that is completely coefficient independent. The analytical results we explore in this thesis require a complicated construction. To avoid this we present an adaptive multiscale finite element method as an enhancement to the adaptive local-global method of Durlofsky, Efendiev and Ginting. We show numerically that this adaptive method converges optimally as if the coefficient were smooth even in the presence of singularities as well as in the case of a realisation of a random field. The novel application of this thesis is where the adaptive multiscale finite element method has been applied to the linear elasticity problem arising from the structural optimisation process in mechanical engineering. We show that a much smoother sensitivity profile is achieved along the edges of a structure with the adaptive method and no additional heuristic smoothing techniques are needed. We finally show that the new adaptive method can be efficiently implemented in parallel and the processing time scales well as the number of processors increases. The biggest advantage of the multiscale method is that the basis functions can be repeatedly used for additional problems with the same high contrast material coefficient.

Storm surge, the pileup of seawater occurring as a result of high surface stresses and strong currents generated by extreme storm events such as hurricanes, is known to cause greater loss of life than these storms' associated winds. For example, inland flooding from the storm surge along the Gulf Coast during Hurricane Katrina killed hundreds of people. Previous storms produced even larger death tolls. Simultaneously, dune, barrier island, and channel erosion taking place during a hurricane leads to the removal of major flow controls, which significantly affects inland inundation. Also, excessive sea bed scouring around pilings can compromise the structural integrity of bridges, levees, piers, and buildings. Modeling these processes requires tightly coupling a bed morphology equation to the shallow water equations (SWE). Discontinuous Galerkin finite element methods (DGFEMs) are a natural choice for modeling this coupled system, given the need to solve these problems on large, complicated, unstructured computational meshes, as well as the desire to implement hp-adaptivity for capturing the dynamic features of the solution. Comprehensive modeling of these processes in the coastal zone presents several challenges and open questions. Most existing hydrodynamic models use a fixed-bed approach; the bottom is not allowed to evolve in response to the fluid motion. With respect to movable-bed models, there is no single, generally accepted mathematical model in use. Numerical challenges include coupling models of processes that exhibit disparate time scales during fair weather, but possibly similar time scales during intense storms. The main goals of this dissertation include implementing a robust, efficient, tightly-coupled morphological model using the local discontinuous Galerkin (LDG) method within the existing Advanced Circulation (ADCIRC) modeling framework, performing systematic code and model verification (using test cases with known solutions, proven convergence rates, or well-documented physical behavior), analyzing the stability and accuracy of the implemented numerical scheme by way of a priori error estimates, and ultimately laying some of the necessary groundwork needed to simultaneously model storm surges and bed morphodynamics during extreme storm events. / text

[pt] Nesta tese de Doutorado estudamos uma classe de equações diferenciais parciais de segunda ordem, uniformemente elípticas, completamente não-lineares na forma não-divergência, com crescimento superlinear no gradiente e coeficientes mensuráveis. Para equações com crescimento quadrático, provamos que ocorre multiplicidade de soluções quando o operador não é coercivo e investigamos o comportamento qualitativo dos contínuos de soluções obtidos para uma família parametrizada de problemas. Para isso, estendemos a regularidade e as estimativas C1, alfa, de Caffarelli-Swiech-Winter para equações com crescimento, no máximo quadrático, no gradiente, mostrando que as soluções são continuamente diferenciáveis até o bordo. Além disso, mostramos estimativas a priori na norma uniforme via técnicas puramente não-lineares na forma não-divergência, entre elas desigualdades do tipo Harnack e o princípio do máximo forte de Vázquez para equações de nosso tipo. / [en] In this Ph.D. thesis we study a class of uniformly elliptic partial differential equations of second order in fully nonlinear nondivergence form with superlinear growth in the gradient and measurable coefficients. For equations with quadratic growth, we prove that multiplicity of solutions occurs when the operator is not coercive. We investigate the qualitative behavior of the continuums of solutions obtained for a parameterized family of problems. For this, we extend the Caffarelli-Swiech-Winter C1, alpha, regularity estimates to equations with at most quadratic gradient growth, showing that the solutions are continuously differentiable up to the boundary. Furthermore, we show a priori estimates in the uniform norm using purely nonlinear techniques in the nondivergence form, such as Harnack type inequalities and a Vázquez’s strong maximum principle for equations of our type.

Submitted by Bruna Rodrigues (bruna92rodrigues@yahoo.com.br) on 2016-09-27T12:32:15Z No. of bitstreams: 1 TeseMAN.pdf: 2601601 bytes, checksum: 70c6b910d382e2015025a5c8ec5ddd14 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-04T18:11:16Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseMAN.pdf: 2601601 bytes, checksum: 70c6b910d382e2015025a5c8ec5ddd14 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-04T18:11:29Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseMAN.pdf: 2601601 bytes, checksum: 70c6b910d382e2015025a5c8ec5ddd14 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-04T18:11:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseMAN.pdf: 2601601 bytes, checksum: 70c6b910d382e2015025a5c8ec5ddd14 (MD5) Previous issue date: 2015-12-04 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / We present results of Ambrosseti-Prodi type to quasilinear problems involving the p-Laplace operator. We consider the scalar case and a a problem with systems of equations. In the scalar case, we work with the conditions of Neumann and Dirichlet. In the problem involving system, we consider the condition og Dirichlet. In order to get the results we use the theory of Leray-Schauder degree and a priori estimates. / Neste trabalho apresentamos resultados do tipo Ambrosseti-Prodi para problemas quasilineares envolvendo o aperador p-Laplaciano. Considerando o caso escalar eu um problema com sistemas de equações. Para os casos escalares, trabalhamos com a condições de Neumann e Dirichlet, já para o problema envolvendo sistema, consideramos a condição Dirichlet. Para obter mais resultados usamos a teoria do grau de Leray-Schauder e estimativas a priori.

Orientadores: Djairo Guedes de Figueiredo, Olimpio Hiroshi Miyagaki / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T07:50:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Junges-Miotto_Taisa_D.pdf: 1407780 bytes, checksum: c2871097b4e97e35198b351dbcfa999b (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: O objetivo deste trabalho é obter estimativas ABP para operadores completamente não lineares e estudar problemas do tipo Ambrosetti-Prodi para o operador p-Laplaciano nos casos superlinear para a equação e sublinear para sistema, aplicando o método de sub e supersolução e a teoria do grau de Leray Schauder, para obtermos nos casos de Ambrosetti-Prodi, multiplicidade de soluções. Para aplicarmos a teoria do grau de Leray Schauder precisamos obter estimativas a priori das eventuais soluções dos problemas, estimativas essas que serão obtidas aplicando-se técnicas diferentes em cada caso. No Capítulo 1 enunciaremos alguns resultados auxiliares que serão utilizados no decorrer do trabalho. No Capítulo 2 obtemos estimativas do tipo ABP para soluções de viscosidade de uma classe de operadores completamente não lineares, o qual um exemplo é o operador p-Laplaciano. No Capítulo 3 estudamos o problema do tipo Ambrosetti-Prodi para equação com o p-Laplaciano no caso superlinear, fazendo uso da técnica blow up e de teoremas do tipo Liouville. No Capítulo 4 estudamos o problema do tipo Ambrosetti-Prodi para sistema com o p-Laplaciano no caso sublinear, utilizando para isso soluções de viscosidade e a caracterização do autovalor principal. / Abstract: The aim of this work is to obtain ABP estimates for fully nonlinear operators and to study problems of the Ambrosetti-Prodi type for the p-Laplacian operator in two cases: superlinear case for the equation and the sublinear case for the system. For this, we use the sub and supersolution method and the Leray Schauder degree theory, to obtain in the two cases, multiplicity of solutions. To apply the degree theory, we need a priori estimates of the possible solutions, obtained applying di_erent techniques in each problem. In Chapter 1 we will cite some auxiliary results, which will use during this work. In Chapter 2 we will obtain ABP estimates for viscosity solutions to a class of fully nonlinear operators, whose example is the p_Laplacian operator. In Chapter 3 we will study the Ambrosetti-Prodi type problems for the superlinear case, using the blow up technique and Liouville theorems type. In Chapter 4 we will study the Ambrosetti-Prodi type problem for system in the sublinear case, using for this viscosity solutions and the variational characterization of the principal eigenvalue. / Doutorado / Doutor em Matemática

Orientador: Madson Cortes de Almeida / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-23T14:17:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Schmidt_Fabiano_M.pdf: 1011600 bytes, checksum: d02fbe7d42a25cfc2745ce47bff3b467 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: A estimação de estado em sistemas de energia elétrica pode ser descrita como um conjunto de funções que visam fornecer o modelo em tempo real do sistema elétrico. Fazem parte do modelo, a topologia da rede, seus parâmetros elétricos e as variáveis de estado, frequentemente definidas como os fasores de tensões nas barras do sistema. Na obtenção das variáveis de estado, embora os sistemas de medição possam ser projetados para que a rede seja sempre observável, eventualmente, falhas de comunicação, mudanças topológicas ou falhas em medidores podem tornar a rede temporariamente não observável. Nessas situações, as equações normais do modelo de estimação por mínimos quadrados tornam-se mal postas inviabilizando a estimação do estado. Convencionalmente, esse problema é contornado através da restauração da observabilidade, onde pseudomedidas são adicionadas à rede tornando-a novamente observável. Esta dissertação trata da estimação de estado regularizada, que é um método alternativo para lidar com os problemas associados a não observabilidade temporária da rede. Com o estimador regularizado é possível evitar a etapa de restauração da observabilidade, simplificando o processo de estimação de estado. O esquema de regularização adotado é baseado na regularização de Tikhonov, que consiste na introdução de um conjunto de informações a priori que tornam o problema sempre factível. Esse conjunto de informações a priori é obtido da melhor estimativa conhecida para o estado da rede ou a partir de previsões baseadas no conhecimento do comportamento histórico da rede. Ao regularizar o problema, é desejável que o conjunto de informações introduzidas não deteriore a qualidade do estado estimado. Para tanto, deve haver um compromisso entre a qualidade das informações a priori e a suas respectivas ponderações. O uso de ponderações inadequadas pode deteriorar o estado estimado ou piorar o condicionamento numérico das matrizes envolvidas, dificultando a convergência do estimador regularizado. Tais problemas são estudados nesta dissertação. O método de regularização foi desenvolvido nas versões completa e desacoplada que foram combinadas em dois algoritmos visando melhorar as características de convergência do estimador regularizado. As versões desenvolvidas foram testadas com as redes de 14 e 118 barras do Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) / Abstract: Power system state estimation can be described as a set of functions aimed to provide a real time power system electrical model. This model is composed of the network topology, its electrical parameters and a set of state variables, often defined as the bus voltage phasors. In obtaining of the state variables, although the measurement systems may be designed to ensure that the grid is always observable, eventually, communication failures, topological changes or meter failures can make the grid temporarily unobservable. In these situations the normal equations of the least squares estimation model becomes ill posed, invalidating the state estimation. Conventionally this problem is solved by the observability restoration, where pseudomeasurements are added to the network making it observable again. This thesis deals with the regularized state estimation, that is, an alternative method to deal with the problems associated to temporary network unobservability. With the regularized estimator is possible to avoid the observability restoration stage, simplifying the state estimation procedure. The regularization scheme used is based on the Tikhonov regularization, that consists in the introduction of an a priori information set that results in a problem always feasible. This set of a priori information is obtained from the best estimative for the state variables or by a forecast based on historical patterns of the grid. During regularization of the problem it is desirable that the information set does not deteriorate the quality of the state estimated. Therefore, must be a compromise between the quality of the a priori information and its weighing. The use of inadequate weighting can deteriorate the state estimated or worsen the numerical condition of the involved matrices, disturbing or even preventing the regularized estimator convergence. These problems are studied in this thesis. The regularization method was developed for both the complete and the decoupled variants. These variants are combined in two algorithms that aim to improve the convergence characteristics of the regularized state estimator. The developed variants are tested with the IEEEs 14 and 118 networks / Mestrado / Energia Eletrica / Mestre em Engenharia Elétrica

Cette thèse est une contribution à l’étude de problèmes de contrôle optimal dont le caractère non linéaire se traduit par la présence, dans les équations d’état, d’un terme bilinéaire relativement à l’état et au contrôle. Malgré les difficultés liées à la non linéarité, nous obtenons des propriétés spécifiques au cas bilinéaire. L’introduction générale constitue la première partie. La seconde partie est consacrée à l’étude des équations d’état ; ce sont des équations aux dérivées partielles d’évolution. Nous établissons des estimations a priori sur les solutions à partir des inégalités de Willett et Wong et nous démontrons que les équations d’états sont bien posées. Dans le cas où les contrôles subissent une contrainte liée aux états, ces estimations permettent de déduire l’existence de solutions dans le cadre des inclusions différentielles. Les troisième et quatrième parties de ce mémoire sont dévolues à la démonstration de l’existence de contrôles optimaux, puis à l’analyse de la sensibilité relative à une perturbation qui intervient de façon additive dans l’équation d’état. Le caractère bilinéaire permet de vérifier des conditions suffisantes d’optimalité du second ordre. Nous fournissons sur des exemples, une formule explicite des dérivées directionnelles de la fonction valeur optimale / This thesis is devoted to the analysis of nonlinear optimal control problems governed by an evolution state equation involving a term which is bilinear in state and control. The difficulties due to nonlinearity remain, but bilinearity adds a lot of structure to the control problem under consideration. In Section 2, by using Willet and Wong inequalities we establish a priori estimates for the solutions of the state equation. These estimates allow us to prove that the state equation is well posed in the sense of Hadamard. In the case of a feedback constraint on the control, the state equation becomes a differential inclusion. Under mild assumptions, such a differential inclusion is solvable. In Section 3, we prove the existence of solutions to the optimal control problem. Section 4 is devoted to the sensitivity analysis of the optimal control problem. We obtain a formula for the directional derivative of the optimal value function. This general formula is worked out in detail for particular examples

Submitted by Aelson Maciera (aelsoncm@terra.com.br) on 2017-06-27T20:42:50Z No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-07-03T17:56:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-07-03T17:56:52Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-03T18:01:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissLFL.pdf: 818058 bytes, checksum: a45e8f4dbdc692c6f31fde1d45f6574d (MD5) Previous issue date: 2016-12-20 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / In this thesis, we present a priori estimates for solutions of a mean-field game (MFG) defined over a bounded domain Ω ⊂ ℝd. We propose an application of these results to a model of capital and wealth accumulation. In Chapter 1, an introduction to mean-field games is presented. We also put forward some of the motivation from Economics and discuss previous developments in the theory of differential games. These comments aim at indicating the connection between mean-field games theory, its applications and the realm of Mathematical Analysis. In Chapter 2, we present an optimal control problem. Here, the agents are supposed to be undistinguishable, rational and intelligent. Undistinguishable means that every agent is governed by the same stochastic differential equation. Rational means that all efforts of the agent is to maximize a payoff functional. Intelligent means that they are able to solve an optimal control problem. Once we describe this (stochastic) optimal control problem, we produce a heuristic derivation of the mean-field games system, which is summarized in a Verification Theorem; this gives rise to the Hamilton-Jacobi equation (HJ). After that, we obtain the Fokker-Plank equation (FP). Finally, we present a representation formula for the solutions to the (HJ) equation, together with some regularity results. In Chapter 3, a specific optimal control problem is described and the associated MFG is presented. This MFG is prescribed in a bounded domain Ω ⊂ ℝd, which introduces substantialadditional challenges from the mathematical view point. This is due to estimates for the solutionsat the boundary in Lp. The rest of the chapter puts forward two well known tips of estimates: theso-called Hopf-Lax formula and the First Order Estimate. In Chapter 4, the wealth and capital accumulation mean-field game model is presented. The relevance of studying MFG in a bounded domain then becomes clear. In light of the results obtained in Chapter 3, we close Chapter 4 with the Hopf-Lax formula, and the First Order estimates. Three appendices close this thesis. They gather elementary material on Stochastic Calculus and Functional Analysis. / Nesta dissertação são apresentadas algumas estimativas a priori para soluções de sistemas mean-field games (MFG), definidos em domínios limitados Ω ⊂ ℝd. Tais estimativas são aplicadas em um modelo mean-field específico, que descreve o acúmulo de riqueza e capital. No Capítulo 1, é apresentada uma breve introdução histórica sobre os mean-field games. Nesta introdução, exploramos sua relação com a teoria dos jogos, cujos alicerces foram construídos por economistas e matemáticos ao longo do século XX. O objetivo do capítulo é transmitir. No Capítulo 2, apresentamos um problema de controle ótimo em que cada agente é suposto ser indistinguível, racional e inteligente. Indistinguível no sentido de que cada um é governado pela mesma equação diferencial estocástica. Racional no sentido de que todos os esforços do agente são no sentido de maximizar um funcional de recompensa e, inteligente no sentido de que são capazes de resolver um problema de controle ótimo. Descreve-se este problema de controle ótimo, e apresenta-se a derivação heurística dos mean-field games; obtém-se através de um Teorema de Verificação, a equação de Hamilton-Jacobi (HJ) associada, e em seguida, obtémse a equação de Fokker-Planck. De posse destas equações, apresentamos alguns resultados preliminares, como uma fórmula de representação para soluções da equação de HJ e alguns resultados de regularidade. No Capítulo 3, descreve-se um problema específico de controle ótimo e apresenta-se a respectiva derivação heurística culminando na descrição de um MFG com condições não periódicas na fronteira; esta abordagem é original na literatura de MFG. O restante do capítulo é dedicado à exposição de dois tipos bem conhecidos de estimativas: a fórmula de Hopf-Lax e estimativa de Primeira Ordem. Uma observação relevante, é a de que o trabalho em obter-se estimativas a priori é aumentado substancialmente neste caso, devido ao fato de lidarmos com estimativas para os termos de fronteira com normas em Lp. ao leitor, as origens da Teoria Econômica contemporânea, que surgem à partir da utilização da Matemática na formulação e resolução de problemas econômicos. Tal abordagem é motivada principalmente pelo rigor e clareza da Matemática em tais circunstâncias. No Capítulo 4, apresenta-se o modelo de jogo do tipo mean-field de acúmulo de capital e riqueza, o que deixa claro a relevância do estudo dos MFG em um domínio limitado. À luz dos resultados obtidos no Capítulo 3, encerramos o Capítulo 4 com as estimativas do tipo Hopf-Lax e de Primeira Ordem. Três apêndices encerram o texto desta dissertação de mestrado; estes reúnem material elementar sobre Cálculo Estocástico e Análise Funcional.

[pt] Esta tese tem o intuito do estudo da existência, não existência e estimativas a priori de soluções não negativas de alguns tipos de problemas elípticos degenerados coercivos e não coercivos com um termo adicional dependendo do gradiente. Dentre outras coisas, obtemos condições integrais generalizadas tipo Keller-Osserman para a existência e não existência de soluções. Também mostramos que condições adicionais e diferentes são necessárias quando p é maior ou igual à 2 ou p é menor ou igual à 2, devido ao caráter degenerado do operador. As estimativas a priori são obtidas para super-soluções e soluções de EDPs elípticas superlineares o sistemas de tais tipos de equações em forma divergente com diferentes operadores e não linearidades. Além do mais, obtemos extensões até a fronteira de algumas desigualdades de Harnack fracas e lemas quantitativos de Hopf para operadores elípticos como o p-Laplaciano. / [en] This thesis concerns the study of existence, nonexistence and a priori estimates of nonnegative solutions of some types of degenerate coercive and non coercive elliptic problems involving an additional term which depends on the gradient. Among other things, we obtain generalized integral conditions of Keller-Osserman type for the existence and nonexistence of solutions. Also, we show that different conditions are needed when p is higher or equal to 2 or p is less than or equal to 2, due to the degeneracy of the operator. The uniform a priori estimates are obtained for supersolutions and solutions of superlinear elliptic PDE or systems of such PDE in divergence form that can contain different operators and nonlinearities. We also give full boundary extensions to some half Harnack inequalities and quantitative Hopf lemmas, for degenerate elliptic operators like the p-Laplacian.