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<p> The Killarney Igneous Complex, composed of an intrusive granite and a hypabyssal or extrusive porphyry was implaced near and at the surface in the general locality of Killarney, Ontario. The crystallization age of the intrusive portion of the complex is approximately 1740 million years. These rocks have experienced deformation by forces which in some instances produced complicated shearing motions. Mesoscopic samples show a foliation and a lineation supporting a history of deformation. The foliation is clearly the more visible fabric and is interpreted as a plane of flattening.</p> <p> Kinematic indicators, specifically asymmetric pressure shadow wings, are present within the rocks; however the patterns are too complicated to interpret by a simple sense of shear. The geometry of these kinematic indicators does suggest an active plane of foliation.</p> / Thesis / Bachelor of Science (BSc)

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Transnormal functions are generalization of distance functions and this topic has some applications in Physics and real world problems. In this work, some results are generalized from Riemannian case to the Finsler one. Moreover certain new phenomena that happen only in Finsler spaces are discussed. To have a better understanding, certain examples based on the mentioned results in Randers spaces are provided. Moreover, some applications on propagation of waves of fire and water are introduced / As funções transnormais são a generalização da função de distância e este tópico tem algumas aplicações em Física e no mundo real. Neste trabalho, alguns resultados do caso riemanniana para o Finsler são generalizados. Alem disso, alguns fenômenos novos que ocorrem apenas nos espaços de Finsler são discutidos. Para ter uma melhor compreensão, são fornecidos certos exemplos com base nos resultados mencionados nos espaços de Randers. Além disso, algumas aplicações sobre propagação de ondas de fogo e água são introduzidas.

Transnormal functions are generalization of distance functions and this topic has some applications in Physics and real world problems. In this work, some results are generalized from Riemannian case to the Finsler one. Moreover certain new phenomena that happen only in Finsler spaces are discussed. To have a better understanding, certain examples based on the mentioned results in Randers spaces are provided. Moreover, some applications on propagation of waves of fire and water are introduced / As funções transnormais são a generalização da função de distância e este tópico tem algumas aplicações em Física e no mundo real. Neste trabalho, alguns resultados do caso riemanniana para o Finsler são generalizados. Alem disso, alguns fenômenos novos que ocorrem apenas nos espaços de Finsler são discutidos. Para ter uma melhor compreensão, são fornecidos certos exemplos com base nos resultados mencionados nos espaços de Randers. Além disso, algumas aplicações sobre propagação de ondas de fogo e água são introduzidas.

O objetivo central desta dissertação é apresentar as folheações infinitesimalmente polares, fornecendo uma demonstração para o teorema que as caracteriza. Seguimos a abordagem original encontrada em Lytchak e Thorbergsson [25], de 2010. Diretamente da definição e do teorema principal obtem-se dois exemplos: folheações polares e folheações riemannianas singulares de codimensão 1 ou 2. Dedicamos especial atenção a um terceiro exemplo: folheações sem pontos horizontalmente conjugados. A demonstração deste resultado utiliza resultados obtidos anteriormente pelos mesmos autores em 2007, Lytchak e Thorbergsson [24]. Abordamos também, brevemente, as implicações do teorema caracterizador (que é um resultado local) sobre o quociente global de uma folheação infinitesimalmente polar. Variedades com folheações infinitesimalmente polares podem ser encaradas como um objeto que apresenta aspectos clássicos do teorema do toro maximal para grupos de Lie compactos, em um contexto mais amplo. / The present work aims at introducing infinitesimally polar foliations -- as defined by Lytchak and Thorbergsson [25] -- providing a proof for the classification theorem. Polar foliations and low codimension singular Riemannian foliations are two immediate examples. A third example is given by foliations without horizontally conjugate points. The proof of this assertion relies on previous results established by the same authors in Lytchak and Thorbergsson [24]. The classification theorem for infinitesimally polar foliations is a local result; we also derive from it some global consequences on the quotient space of such foliations. Infinitesimally polar foliations may be regarded as a generalised setting where one can find characteristic features from the maximal torus theorem for compact Lie groups.

O objetivo central desta dissertação é apresentar as folheações infinitesimalmente polares, fornecendo uma demonstração para o teorema que as caracteriza. Seguimos a abordagem original encontrada em Lytchak e Thorbergsson [25], de 2010. Diretamente da definição e do teorema principal obtem-se dois exemplos: folheações polares e folheações riemannianas singulares de codimensão 1 ou 2. Dedicamos especial atenção a um terceiro exemplo: folheações sem pontos horizontalmente conjugados. A demonstração deste resultado utiliza resultados obtidos anteriormente pelos mesmos autores em 2007, Lytchak e Thorbergsson [24]. Abordamos também, brevemente, as implicações do teorema caracterizador (que é um resultado local) sobre o quociente global de uma folheação infinitesimalmente polar. Variedades com folheações infinitesimalmente polares podem ser encaradas como um objeto que apresenta aspectos clássicos do teorema do toro maximal para grupos de Lie compactos, em um contexto mais amplo. / The present work aims at introducing infinitesimally polar foliations -- as defined by Lytchak and Thorbergsson [25] -- providing a proof for the classification theorem. Polar foliations and low codimension singular Riemannian foliations are two immediate examples. A third example is given by foliations without horizontally conjugate points. The proof of this assertion relies on previous results established by the same authors in Lytchak and Thorbergsson [24]. The classification theorem for infinitesimally polar foliations is a local result; we also derive from it some global consequences on the quotient space of such foliations. Infinitesimally polar foliations may be regarded as a generalised setting where one can find characteristic features from the maximal torus theorem for compact Lie groups.

In many areas of science, especially geophysics, geography and meteorology, the data are often directions or axes rather than scalars or unrestricted vectors. Directional statistics considers data which are mainly unit vectors lying in two- or three-dimensional space (R² or R³). One way in which directional data arise is as normals to foliations. A (codimension-1) foliation of {R} {d} is a system of non-intersecting (d-1)-dimensional surfaces filling out the whole of {R} {d}. At each point z of {R} {d}, any given codimension-1 foliation determines a unit vector v normal to the surface through z. The problem considered here is that of reconstructing the foliation from observations ({z}{i}, {v}{i}), i=1,...,n. One way of doing this is rather similar to fitting smooth splines to data. That is, the reconstructed foliation has to be as close to the data as possible, while the foliation itself is not too rough. A tradeoff parameter is introduced to control the balance between smoothness and closeness. The approach used in this thesis is to take the surfaces to be surfaces of constant values of a suitable real-valued function h on {R} {d}. The problem of reconstructing a foliation is translated into the language of Schwartz distributions and a deep result in the theory of distributions is used to give the appropriate general form of the fitted function h. The model parameters are estimated by a simplified Newton method. Under appropriate distributional assumptions on v{1},...,v{n}, confidence regions for the true normals are developed and estimates of concentration are given.

Neste trabalho estudamos a resolubilidade suave de campos vetoriais complexos suaves da forma L = L1 + iL2, em uma variedade M, com as seguintes propriedades: em cada ponto de M, os campos L1 e L2 são linearmente independentes , e seu colchete [L1, L2](x) é uma combinação linear de L1(x) e L2(x). Para tratar da resolubilidade local, nos utilizamos da teoria dos espaços Bp,k e operadores de força constante. Seguindo para a resolubilidade semiglobal, estudamos a folheação gerada por L1 e L2: mostramos que neste caso as folhas possuem estrutura de variedade complexa, o que nos permite obter um panorama bastante completo sobre o problema. Para encerrar, provamos que L é globalmente resolúvel se e somente se for semiglobalmente resolúvel e M for L-convexa; exibimos condições suficientes para que isto ocorra. / In this work we shall study the smooth solvability of smooth complex vector fields L = L1 + iL2 on a smooth manifold M, assuming the following properties: for any point of M, L1 and L2 are linearly independent and [L1,L2] is a linear combination of L1 and L2. Discussing local solvability, we shall employ the theory of Bp,k Spaces and Operators of Constant Strength. Moving on to Semi-Global Solvability, we shall study the foliation that is generated by L1 and L2: we prove that in this case the leaves are actually complex manifolds, which allow us to obtain an wide comprehension of the problem. Finally, we show that L is globally solvable if and only if it is semi-globally solvable and M is L-convex; we then exhibit sufficient conditions in order to it occur.

Neste trabalho, estabelecemos uma equação que relaciona a curvatura de Ricci de uma variedade riemanniana M e as segundas formas fundamentais de duas folheações ortogonais de dimensões complementares, F e F, definidas em M. Usando essa equação, encontramos uma estimativa da curvatura média da folheação F e uma condição necessária e suficiente para que tal folheação seja totalmente geodésica. Mostramos também uma condição suficiente para que M seja localmente um produto riemanniano das folhas de F e F, se uma das folheações for totalmente umbílica. Por fim, provamos ainda uma fórmula integral válida para tais folheações. / In this work, we and an equation that relates the Ricci curvature of a riemannian manifold M and the second fundamental forms of two orthogonal foliations of complementary dimensions, F and F, defined on M. Using this equation, we and an estimate of the mean curvature of the foliation F and a necessary and suficient condition for the foliation F to be totally geodesic. We also show a suficient condition for the manifold M to be locally a riemannian product of the leaves of F and F, if one of the foliations is totally umbilical. Finally, we also prove an integral formula for such foliations.