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A one dimensional analysis of the boundary conditions of the electron energy eigenfunc-tion at a sharp interface between two crystals was made. An attempt to evaluate these conditions in terms of known band structure was made. It was concluded that this cannot be done in general. It was shown, however, that if the interface has the proper symmetry properties, the boundary conditions can be expressed in terms of only one unknown, energy-dependent parameter. It was concluded that setting this parameter equal to one gives boundary conditions which, though more general, are equivalent to the commonly used effective mass boundary conditions when they are applicable. It was concluded from numerical results for the transmission coefficient of the symmetric interface, that in general, these boundary conditions, which depend only on known band structure, do not give a good approximation to the exact answer. Since the energy dependence of the parameter mentioned above is described quite well qualitatively using the nearly free electron approximation or the tight-binding approximation, the applicability of any boundary conditions depending only on band structure can be predicted using these simple theories. The exact numerical results were calculated using the transfer matrix method. It was also concluded that the presence of symmetry in the interface either maximizes or minimizes the transmission coefficient. A tight-binding calculation showed that the transmission coefficient depends on an interface parameter which is independent of band structure. The transmission coefficient is maximized when this parameter is ignored. It was concluded that the effective mass equation is of little use when applied to this problem. Some transfer matrix results pertaining to the barrier and the superlattice were obtained. / Science, Faculty of / Physics and Astronomy, Department of / Graduate

A simulação de escoamentos com superfícies livres vem ganhando importância ao longo dos últimos anos devido às várias aplicações práticas em que esse tipo de escoamento está envolvido. Dentre os métodos numéricos existentes para a simulação de escoamentos, temos o GENSMAC, que é uma técnica numérica para simular escoamentos newtonianos com superfícies livres. A implementação de métodos semi-implícitos para a discretização temporal das equações de Navier-Stokes permitiu uma relaxação significativa na restrição no passo temporal, reduzindo consideravelmente o custo computacional na simulação de escoamentos com Re 1. Mas, mesmo no caso dos métodos semi-implícitos, o passo temporal não pode aumentar além de certos limites, bem aquém daquele da restrição CFL, sem provocar sérios problemas de precisão nos resultados numéricos e consequente aparecimento de resultados não físicos. Portanto, mesmo na formulação semi-implícita, uma restrição no passo temporal é aplicada. Neste trabalho, analisamos e implementamos no sistema FREEFLOW2D uma estratégia de adaptação do passo temporal de maneira a garantir a estabilidade e a precisão utilizando o maior passo temporal possível. A eficiência e robustez da técnica incorporada à formulação implícita do GENSMAC são demonstradas na solução de problemas bidimensionais complexos com superfícies livres e baixo número de Reynolds, incluindo os problemas do inchamento do extrudado e jet flow / The simulation of free surfaces flows has gained importance in the recent years due to the many practical applications of this type of flow. Among the many numerical methods available for the simulation of fluid flows, there is GENSMAC, which is a numerical technique to simulate Newtonian flows with free surfaces. The implementation of semi-implicitmethods for the temporal discretization of the Navier-Stokes equations allowed a significant loosening in the time step restriction, reducing considerably the computational cost of the simulation of flows with Re 1. But, even with the semi-implicit methods, the time step cannot increase beyond certain limits, well below the CFL restriction, without causing serious accuracy problems in the numerical results and the consequent appearance of non-physical results. Therefore, even in the semi-implicit formulation, a time step restriction is applied. In this work, we analyse and implement in the FREEFLOW2D system a strategy for adaptive time-stepping in order to ensure stability and precision while using the largest possible time step. The efficiency and robustness of the technique incorporated to the implicit formulation of GENSMAC are demonstrated in the solution of two-dimensional complex problems with free surfaces and low Reynolds numbers, including the swelling of the extrudate and jet flow problems

A simulação de escoamentos com superfícies livres vem ganhando importância ao longo dos últimos anos devido às várias aplicações práticas em que esse tipo de escoamento está envolvido. Dentre os métodos numéricos existentes para a simulação de escoamentos, temos o GENSMAC, que é uma técnica numérica para simular escoamentos newtonianos com superfícies livres. A implementação de métodos semi-implícitos para a discretização temporal das equações de Navier-Stokes permitiu uma relaxação significativa na restrição no passo temporal, reduzindo consideravelmente o custo computacional na simulação de escoamentos com Re 1. Mas, mesmo no caso dos métodos semi-implícitos, o passo temporal não pode aumentar além de certos limites, bem aquém daquele da restrição CFL, sem provocar sérios problemas de precisão nos resultados numéricos e consequente aparecimento de resultados não físicos. Portanto, mesmo na formulação semi-implícita, uma restrição no passo temporal é aplicada. Neste trabalho, analisamos e implementamos no sistema FREEFLOW2D uma estratégia de adaptação do passo temporal de maneira a garantir a estabilidade e a precisão utilizando o maior passo temporal possível. A eficiência e robustez da técnica incorporada à formulação implícita do GENSMAC são demonstradas na solução de problemas bidimensionais complexos com superfícies livres e baixo número de Reynolds, incluindo os problemas do inchamento do extrudado e jet flow / The simulation of free surfaces flows has gained importance in the recent years due to the many practical applications of this type of flow. Among the many numerical methods available for the simulation of fluid flows, there is GENSMAC, which is a numerical technique to simulate Newtonian flows with free surfaces. The implementation of semi-implicitmethods for the temporal discretization of the Navier-Stokes equations allowed a significant loosening in the time step restriction, reducing considerably the computational cost of the simulation of flows with Re 1. But, even with the semi-implicit methods, the time step cannot increase beyond certain limits, well below the CFL restriction, without causing serious accuracy problems in the numerical results and the consequent appearance of non-physical results. Therefore, even in the semi-implicit formulation, a time step restriction is applied. In this work, we analyse and implement in the FREEFLOW2D system a strategy for adaptive time-stepping in order to ensure stability and precision while using the largest possible time step. The efficiency and robustness of the technique incorporated to the implicit formulation of GENSMAC are demonstrated in the solution of two-dimensional complex problems with free surfaces and low Reynolds numbers, including the swelling of the extrudate and jet flow problems

Este trabalho apresenta um método numérico para simular escoamentos viscoelásticos tridimensionais com superfícies livres governados pela equação constitutiva de Maxwell. O método numérico é uma extensão da técnica newtoniana GENSMAC3D para escoamentos viscoelásticos. As equações governantes para escoamentos incompressíveis cartesianos isotérmicos são apresentadas em detalhes. O tratamento do tensor não-newtoniano em contornos rígidos tridimensionais é apresentado em detalhes, bem como o cálculo da condição de contorno na superfície livre. As equações governantes são resolvidas pelo método de diferenças finitas numa malha deslocada tridimensional. O fluido é modelado pela técnica das partículas marcadoras e tratado como uma superfície linear por partes. O método numérico desenvolvido foi implementado no sistema Freeflow3D, e resultados numéricos obtidos na simulação de escoamentos tridimensionais governados pela equação constitutiva de Maxwell são apresentados. Adicionalmente, apresentamos uma validação mostrando a convergência do método desenvolvido nesse trabalho / This work presents a numerical method for solving three-dimensional viscoelastic flows with free surfaces governed by the Maxwell constitutive equation. The numerical method is an extension of the Newtonian technique GENSMAC3D to viscoelastic flows. The governing equations for Cartesian incompressible isothermic flows are presented in details. The treatment of the non-Newtonian tensor on three-dimensional rigid boundaries is given in details as well as the calculation of the boundary conditions on the free surface. The governing equations are solved by a finite difference method using a three-dimensional staggered grid. The fluid is described by marker particles and is represented by a piecewise linear surface. The numerical method developed in this work was implemented into the Freeflow3D system, and numerical results obtained from the simulation of complex three-dimensional flows are presented. Additionally, we present validation results and demonstrate the convergence of the method by performing mesh refinement

[pt] Emulsões podem ser usadas como agentes de controle de mobilidade em métodos de recuperação avançada de petróleo com o objetivo de obter uma varredura mais uniforme do reservatório. O uso e otimização desta técnica requer um perfeito entendimento do escoamento de emulsões através de meios porosos. O escoamento macroscópico é função direta do escoamento na escala do poro, na qual emulsões não podem ser tratadas como um fluido não Newtoniano monofásico, já que as gotas são de tamanho semelhante às gargantas dos poros. Na escala microscópica, o escoamento de emulsões deve ser modelado como um escoamento bifásico incluindo efeitos capilares. Para determinar o efeito da tensão interfacial, razão de viscosidades, tamanho de gota e geometria do tubo capilar na relaçãao vazão - diferença de pressão do escoamento, um método do tipo Level Set, incluindo forças de tensão interfacial, foi desenvolvido e incorporado a um programa para solução implícita da equação de Navier - Stokes transiente baseado no método de elementos finitos. Os resultados mostram que o controle de mobilidade é obtido através de dois mecanismos. O primeiro é baseado na simples substituição de um líquido menos viscoso por outro mais viscoso; e o outro baseado as forças capilares associadas a deformação da gota durante a sua passagem pela garganta do capilar. Os resultados podem ser usados na construção de um modelo constitutivo na escala de poro que será incorporado em um modelo de rede de capilares que está sendo desenvolvido para o estudo de escoamento de emulsões através demeios porosos. / [en] Emulsion can be used as a mobility control agent in enhanced oil recovery methods in order to achieve a more efficient sweep of the reservoir. The application of such technique requires full understanding of how emulsions flow in a porous material. The macroscopic flow behavior can be determined based on the pore scale flow, at which emulsions cannot be treated as a single phase non Newtonian liquid, since the drop diameters are in the same order of magnitude of the pore throats. In the pore scale, emulsion flow needs to be studied as a two phase flow including capillary effects. In order to determine the effect of interfacial tension, viscosity ratio, drop size and capillary geometry in the pressure drop of the flow of a single oil drop immersed in water through a straight and constricted capillary, a Level Set type method including surface tension forces was incorporated to a fully coupled implicit Navier - Stokes solver using finite element method. The results clearly show that mobility control is achieved by two different mechanisms. One based on the simple substitution of a low viscosity by a high viscosity liquid and the other based on the capillary forces associated with the drop deformation as it flows through the constriction. The results can be used to construct a pore level model that will be incorporated in a capillary network model to study flow of emulsions through porous media.

Este trabalho apresenta um método numérico para simular escoamentos viscoelásticos tridimensionais com superfícies livres governados pela equação constitutiva de Maxwell. O método numérico é uma extensão da técnica newtoniana GENSMAC3D para escoamentos viscoelásticos. As equações governantes para escoamentos incompressíveis cartesianos isotérmicos são apresentadas em detalhes. O tratamento do tensor não-newtoniano em contornos rígidos tridimensionais é apresentado em detalhes, bem como o cálculo da condição de contorno na superfície livre. As equações governantes são resolvidas pelo método de diferenças finitas numa malha deslocada tridimensional. O fluido é modelado pela técnica das partículas marcadoras e tratado como uma superfície linear por partes. O método numérico desenvolvido foi implementado no sistema Freeflow3D, e resultados numéricos obtidos na simulação de escoamentos tridimensionais governados pela equação constitutiva de Maxwell são apresentados. Adicionalmente, apresentamos uma validação mostrando a convergência do método desenvolvido nesse trabalho / This work presents a numerical method for solving three-dimensional viscoelastic flows with free surfaces governed by the Maxwell constitutive equation. The numerical method is an extension of the Newtonian technique GENSMAC3D to viscoelastic flows. The governing equations for Cartesian incompressible isothermic flows are presented in details. The treatment of the non-Newtonian tensor on three-dimensional rigid boundaries is given in details as well as the calculation of the boundary conditions on the free surface. The governing equations are solved by a finite difference method using a three-dimensional staggered grid. The fluid is described by marker particles and is represented by a piecewise linear surface. The numerical method developed in this work was implemented into the Freeflow3D system, and numerical results obtained from the simulation of complex three-dimensional flows are presented. Additionally, we present validation results and demonstrate the convergence of the method by performing mesh refinement

[pt] O processo de revestimento por Extrusão é amplamente usado nos processo de manufatura de diferentes produtos. Em geral a mínima espessura de filme que pode ser obtida é proporcional à distância entre a barra de revestimento e o substrato (usualmente apoiado por um cilindro rígido) e inversamente proporcional à viscosidade do líquido. Na prática, existe uma distância mínima de operação, tipicamente em torno de 100 m, abaixo da qual o processo torna-se perigoso com o risco de colisão do cilindro de apoio com a barra e de quebra do substrato. Conseqüentemente, existe um limite da menor espessura de filme que pode ser depositada, principalmente no caso de líquidos de alta viscosidade. Uma solução comum é usar um cilindro rígido de apoio coberto com uma camada de borracha, que se deforma durante a operação. O líquido na região de aplicação produz uma pressão suficiente para deformar a camada elástica, mudando a geometria do escoamento, caracterizando uma interação elastohidrodinâmica. Apesar de muito usado na indústria, o conhecimento fundamental deste processo é bastante limitado. O entendimento desta interação líquido/sólido é vital para a otimização deste processo de revestimento. Um modelo teórico para descrever este processo deve considerar o escoamento viscoso, a deformação do cilindro e os efeitos da superfície livre a fim de predizer o comportamento do escoamento e conseqüentemente os limites de operação do processo. Uma análise teórica é apresentada neste trabalho, que consiste em resolver a equação de Navier-Stokes para descrever escoamento com superfície livre acoplado a um arranjo de molas para modelar a deformação da camada elástica. O sistema de equações foi resolvido pelo método Galerkin/MEF. O sistema de equações algébrica não-linear resultante foi resolvido pelo método de Newton. Os resultados indicam como os parâmetros de operação, as propriedades do líquido e da cobertura do cilindro afetam os limites de operação do processo. / [en] Slot coating is largely used in the manufacturing process of many products. In general, the minimum thickness that can be coated is proportional to the gap between the coating die and the substrate (usually backed- up by a rigid roll) and inversely proportional to the liquid viscosity. Therefore, in order to obtain thin films with liquid of high viscosity, a very small gap would be necessary. In practice, the clearance between the die and the web has to be large enough to avoid the risk of clashing two hard surfaces. A common solution is the use a backup rolls covered with an elastomeric layer. The liquid in the coating bead develops high enough pressure to deform the resilient cover, which changes the geometry of the flow, characterizing an elastohydrodynamic action. The understanding of the flow is vital to the optimization of this widely used coating method. Theoretical model has to take into account the viscous flow, the roll deformation and the free surface effects in order to predict the flow behavior. A theoretical analysis is presented here, that consisted of solving the Navier-Stokes equation to describe the free surface flow coupled with an array of springs to model the elastic cover deformation. The equation system was solved by the Galerkin / Finite element method. The resulting set of non- linear algebraic equations was solved by Newton´s method. The results indicate how different operating parameters, liquid and roll cover properties affect the flow.

[pt] O processo de deposição de uma fina camada de líquido sobre um substrato em movimento é conhecido como processo de revestimento. Um das técnicas mais utilizadas é o Revestimento por Rotação Direta, devido a sua simplicidade e baixo custo de instalação e operação. A baixas velocidades, o escoamento na região de aplicação do líquido é bi- dimensional e permanente. Porem quando a velocidade é elevada o escoamento bi- dimensional torna-se instável, levando a um escoamento tri-dimensional, com variação da espessura do filme de líquido depositado ao longo da largura do substrato. Este tipo de instabilidade é comunmente denominado Ribbing, e limita a velocidade do processo dependendo dos requisitos de uniformidade de espessura. Geralmente, os líquidos utilizados neste processo são soluções poliméricas, os que apresentam um comportamento não Newtoniano. Foi demonstrado, para líquidos Newtonianos, que o gradiente da pressão perto do menisco destabiliza o escoamento. O parâmetro crítico para o aparecimento da instabilidade é o número de capilaridade. Para líquidos viscoelásticos o comportamento do escoamento muda dramaticamente, o inicio das instabilidades ocorre a bem menores números de capilaridade quando é comparado ao caso Newtoniano. O mecanismo pelo qual a elasticidade desestabiliza o escoamento perto da superfície livre ainda não é completamente entendido. Predições recentes mostraram que a zona de recirculação perto do menisco presente para líquidos Newtonianos, diminui e desaparece posteriormente a medida que o escoamento torna-se mais viscoelástico (aumento do Número de Weissenberg). O objetivo deste trabalho é verificar experimentalmente este fenômeno e determinar o efeito das propriedades viscoelásticas do líquido no processo. Para isso, o escoamento entre uma placa estacionaria e o cilindro girante é analisado experimentalmente visualizando a região perto da superfície livre e medindo o campo de velocidade usando a técnica de Velocimetria por Imagem de Partículas (PIV).Diferentes soluções de baixo peso molecular polietileno glicol (PEG), e alto peso molecular oxido de polietileno (PEO), característica elástica, em agua foram usados para avaliar o efeito da viscoelasticidade no comportamento do escoamento. Com este analises experimental se quer confirmar la prediçao teórica de Zevallos(2003) sobre o efeito da viscoelasticidade nas linhas de corrente e na estabilidade da superfície livre com respeito às perturbaçoes tri-dimensionais. / [en] Roll coating is a common method in the manufacture of a wide variety of products. It is used to apply a thin liquid layer to a continuous flexible substrate. At low speeds, the flow is two-dimensional and steady; as the roll speed is raised, the two-dimensional flow is unstable and is replaced by a steady three-dimensional flow, which results in more or less regular stripes in the machine direction. This type of the instability is commonly called ribbing, it can limit the speed of the process if a smooth film is required as a final product. The liquids used in this process generaly are polimeric solutions, which present Non-Newtonian behavior. It was demonstrated, for Newtonian liquids, that the gradient of the pressure close to the meniscus destabilizes the flow, whereas the surface tension has a stabilizing effect. The critical parameter for the flow stability is the capillary number. For viscoelastic liquids can drastically change the nature of the flow near the free surfaces of the coating bead. The onset of the instabilities occurs at much lower capillary numbers than Newtonian flow case, which falls with the growth of the elasticity. Accurate theoretical predictions of the onset of ribbing when viscoelastic liquids are used is still not available. The mechanisms by which the liquid elasticity makes the flow unstable at Capillary numbers much lower than in the Newtonian case is not completely understood. Recent theoretical predictions have shown that at high Weissenberg number, the recirculation zone, present in the Newtonian flow completely disappears. In this work, film splitting flows between a stationary plate and rotating roll are analyzed experimentally by visualizing the free surface configuration and measuring the velocity field using the Particle Image Velocimetry (PIV) technique. Various solutions of low molecular weight polyethylene glycol (PEG) and high molecular weight polyethylene oxide (PEO) in water were used in order to evaluate the effect of mildly viscoelastic behavior on the flow. The goal was to confirm the theoretical predictions of Zevallos et al. (2004) on the effect of the liquid viscoelasticity on the streamline pattern and on the stability of the free surface with respect to three-dimensional disturbances.

[pt] O escoamento de fluidos imiscíveis em tubos ocorre em diferentes processos industriais, como a extração de óleo em meios porosos, a cimentação de poços de petróleo e o revestimento de superfícies internas de tubos. Para uma boa compreensão e otimização destes processos, é extremamente relevante o estudo da influência da capilaridade, da inércia e da razão de viscosidades no padrão de escoamento. Além disso, os materiais envolvidos são frequentemente polímeros de moléculas flexéveis, portanto, o estudo dos efeitos dos parâmetros reológicos faz-se igualmente importante. Os diferentes padrões de escoamento são caracterizados pela fração de massa depositada na parede do tubo, pelo perfil da frente da interface e pela presen¸ca de recirculações. Analisa-se o problema através de uma abordagem experimental e outra numérica. A comparação dos resultados obtidos pelas duas abordagens mostra uma boa concordância para o caso com fluidos Newtonianos e qualitativamente boa para o caso não Newtoniano. / [en] There are many important processes in industry that use liquid displacement of imiscible fluids in tubes. Some practical applications include enhanced oil recovery, ce- mentation of drilling wells and coating of internal surfaces of the tubes. For a good understanding of these problems, it is extremely important to study the effect of cap-illarity,inertia and viscosity ratio in these flows. Furthermore, the materials used are frequently flexible polymer molecules. Hence, the study of rheological properties is very important as well. The focus of the thesis is to analyze the fractional mass deposited on the tube wall and the configuration of the interface. The analysis followed two approaches: theoretical and experimental study. The comparison of the two approaches shows a good agreement for Newtonian fluids and a qualitatively good agreement for Non-Newtonian.