In the first part of this thesis the prices of six non-ferrous metals (aluminum, copper, lead, nickel, tin, and zinc) are used to assess the forecasting performance of GARCH models. We find that the forecasting performances of GARCH, EGARCH, and TGARCH models are similar. However, we suggest the use of the GARCH model because it is more parsimonious and has a slightly better statistical performance than the other two. In the second part, the prices of six non-ferrous metals and the price of crude oil are used to examine the dynamic links between oil and metal returns by using the BEKK specification of the multivariate GARCH model and the Granger causality-in-variance tests. Results of our study agree with the previous studies in that the crude oil market volatility leads all non-ferrous metal markets. In order to move as far away from the effects of 9/11, daily data for the period December 12, 2003 &ndash / December 15, 2008 is used for the data analysis part of the thesis.

Στην εργασία αυτή προσεγγίζεται μια μέθοδος ιδιαίτερα γνωστή στον χρηματοπιστωτικό τομέα, με την οποία γίνεται αποτίμηση της αξίας σε κίνδυνο, Value at Risk, που είναι εκτεθειμένες μετοχές και χαρτοφυλάκιο, σύμφωνα με την συσχέτιση των αποδόσεων των περουσιακών τους στοιχείων, αλλά και το συστηματικό κίνδυνο αυτών σε σχέση με τις γενικές τάσεις της αγοράς. Χρησιμοποιώντας τις αποδόσεις 3 μετοχών, αλλά και ενός χαρτοφυλακίου μετοχών απο το Χρηματιστήριο Αξιών Αθηνών, ο βασικός στόχος της παρούσας διατριβής είναι να γίνει μια συγκρτική ανάλυση της αξίας σε κίνδυνο (VaR) για έναν επενδυτή με θέση αγοράς σε διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης και για δύο υποδείγματα δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (GARCH και E-GARCH). Για αυτή την συγκριτική ανάλυση, χρησιμοποιείται μια μεθοδολογία για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων των παραπάνω υποδειγμάτων, γνωστή ως έλεγχος Kupiec. / In this Theses, we present an application well-known in the financial sector, Value at Risk, with which we measure the risk of stocks and portofolios. Using the returns of 3 stocks and a portofolio from the Greek Stock Exchange Market, the basic goal of the present theses is to make a comparative analysis of the value at risk for an investor with long rading position in various confidence levels and for two generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models (GARCH and E-GARCH). For this comparative analysis, a methodology is used to backtest the results of the GARCH models, known as Kupiec Test.

O conhecimento do risco de ativos financeiros é de fundamental importância para gestão ativa de carteiras, determinação de preços de opções e análise de sensibilidade de retornos. O risco é medido através da variância estatística e há na literatura diversos modelos econométricos que servem a esta finalidade. Esta pesquisa contempla o estudo de modelos determinísticos de volatilidade, mais especificamente os modelos GARCH simétricos e assimétricos. O período de análise foi dividido em dois: de janeiro de 2000 à fevereiro de 2008 e à outubro de 2008. Tal procedimento foi adotado procurando identificar a influência da crise econômica originada nos EUA nos modelos de volatilidade. O setor escolhido para o estudo foi o mercado de petróleo e foram escolhidas as nove maiores empresas do setor de acordo com a capacidade produtiva e reservas de petróleo. Além destas, foram modeladas também as commodities negociadas na Bolsa de Valores de Nova York: o barril de petróleo do tipo Brent e WTI. A escolha deste setor deve-se a sua grande importância econômica e estratégica para todas as nações. Os resultados encontrados mostraram que não houve um padrão de modelo de volatilidade para todos os ativos estudados e para a grande maioria dos ativos, há presença de assimetria nos retornos, sendo o modelo GJR (1,1) o que mais prevaleceu, segundo a modelagem pelo método da máxima verossimilhança. Houve aderência, em 81% dos casos, dos ativos a um determinado modelo de volatilidade, alterando apenas, como eram esperados, os coeficientes de reatividade e persistência. Com relação a estes, percebe-se que a crise aumentou os coeficientes de reatividade para alguns ativos. Ao se compararem as volatilidades estimadas de curto prazo, percebe-se que o agravamento da crise introduziu uma elevação média de 265,4% em relação ao período anterior, indicando um aumento substancial de risco. Para a volatilidade de longo prazo, o aumento médio foi de 7,9%, sugerindo que os choques reativos introduzidos com a crise, tendem a ser dissipados ao longo do tempo. / The knowledge of the risk of financial assets is of basic importance for active management of portfolios, determination of prices of options and analysis of sensitivity of returns. The risk is measured through the variance statistics and has in literature several econometrical models that serve to this purpose. This research contemplates the study of deterministic models of volatility, more specifically symmetrical and asymmetrical models GARCH. The period of analysis was divided in two: January of 2000 to the February of 2008 and the October of 2008. Such a proceeding was adopted trying to identify the influence of the economic crisis given rise in U.S.A. in the volatility models. The sector chosen for the study was the oil market and had been chosen the nine bigger companies of the sector in accordance with the productive capacity and reserves of oil. Beyond these, there were modeled also the commodities negotiated in the Stock Exchange of New York: the barrel of oil of the types Brent and WTI. The choice of this sector is due to his great economical and strategic importance for all the nations. The results showed that there was no a standard of model of volatility for all the studied assets and for the majority of them, there is presence of asymmetry in the returns, being the model GJR (1,1) that more prevailed, according to the method of likelihood. There was adherence, in 81 % of the cases, of the assets to a determined model of volatility, altering only the coefficients of reactivity and persistence. Regarding these, it is realized that the crisis increased the coefficients of reactivity for some assets. In relation to the volatilities of short term, it is realized that the aggravation of the crisis introduced an elevation of 265,4% regarding the previous period, indicating a substantial increase of risk. In relation to the volatility of long term, the increase was 7,9 %, suggesting that the reactive shocks introduced with the crisis have a tendency to be dispersed along the time.

A busca da correta modelagem e previsão de volatilidade em séries financeiras é o que motiva grande parte dos analistas e gestores de carteiras. Esta dissertação buscou, portanto comparar dois tipos de modelos de volatilidade - determinística e estocástica - para as três principais séries de retornos de ações do setor siderúrgico brasileiro, quais sejam: Gerdau PN (GGBR4), Usiminas PN (USIM5) e CSN ON (CSNA3). Os três ativos apresentaram estruturas semelhantes para suas volatilidades. Para as três séries foram encontradas especificações determinísticas do tipo AR (1) - EGARCH (1,1) e AR (1) - TGARCH (0,1), ambas com volatilidades estimadas muito próximas. No caso estocástico optou-se por um modelo AR (1) - SV Estacionário para as três séries de retornos. A maior persistência foi observada no ativo da Gerdau, mostrando que um choque sobre o ativo da Gerdau demora mais a se dissipar do que um choque de mesma magnitude sobre os ativos de Usiminas e CSN. Quanto ao efeito alavancagem, a ação da Usiminas apresentou o maior resultado estimado, mostrando que retornos negativos em um dado instante t geram maior volatilidade no período seguinte (t+1) sobre o ativo da Usiminas. Por último comparou-se a qualidade preditiva das duas classes de modelos de volatilidade por meio de previsões um passo à frente durante 21 dias utilizando-se três estatísticas de previsão - erro médio (ME), raiz do erro quadrático médio (RMSE) e erro absoluto médio (MAE). Para o ativo USIM5 as três estatísticas sugerem que o modelo escolhido deve ser o estocástico. Para o ativo GGBR4 e CSNA3 o ME sugere que o modelo escolhido deve ser o determinístico e o RMSE e o MAE sugerem que o modelo escolhido deve ser o estocástico. / The accurate modeling and forecasting of volatility in financial series is what motivates most analysts and portfolio managers. This dissertation sought therefore to compare two types of volatility models - deterministic and stochastic - for three major series of stock returns of the Brazilian steel industry, namely: Gerdau PN (GGBR4), Usiminas PN (USIM5) and CSN ON (CSNA3). The three assets had similar structures to their volatilities. For all the series we found deterministic specifications of the type AR (1) - EGARCH (1,1) and AR (1) - TGARCH (0.1), both with very close volatility estimates. In the stochastic case we chose a model AR (1) - SV Stationary for the three sets of returns. The highest persistence was observed in the asset of Gerdau, showing that a shock on this asset takes longer to dissipate than a clash of the same magnitude on the assets of Usiminas and CSN. For the leverage effect, the series of Usiminas had the highest estimated results, showing that negative returns in a given time t generate greater volatility in period (t +1) on the asset of Usiminas. Finally we compared the predictive quality of the two classes of volatility models through a one step ahead forecast for 21 days using three statistics for forecasting - mean error (ME), mean squared error (RMSEA) and mean absolute error (MAE). For the asset USIM5 the three statistics suggest that the chosen model should be the stochastic. For the assets GGBR4 and CSNA3 the ME suggests that the chosen model should be the deterministic and the RMSE and MAE suggest that the chosen model should be the stochastic.

O conhecimento do risco de ativos financeiros é de fundamental importância para gestão ativa de carteiras, determinação de preços de opções e análise de sensibilidade de retornos. O risco é medido através da variância estatística e há na literatura diversos modelos econométricos que servem a esta finalidade. Esta pesquisa contempla o estudo de modelos determinísticos de volatilidade, mais especificamente os modelos GARCH simétricos e assimétricos. O período de análise foi dividido em dois: de janeiro de 2000 à fevereiro de 2008 e à outubro de 2008. Tal procedimento foi adotado procurando identificar a influência da crise econômica originada nos EUA nos modelos de volatilidade. O setor escolhido para o estudo foi o mercado de petróleo e foram escolhidas as nove maiores empresas do setor de acordo com a capacidade produtiva e reservas de petróleo. Além destas, foram modeladas também as commodities negociadas na Bolsa de Valores de Nova York: o barril de petróleo do tipo Brent e WTI. A escolha deste setor deve-se a sua grande importância econômica e estratégica para todas as nações. Os resultados encontrados mostraram que não houve um padrão de modelo de volatilidade para todos os ativos estudados e para a grande maioria dos ativos, há presença de assimetria nos retornos, sendo o modelo GJR (1,1) o que mais prevaleceu, segundo a modelagem pelo método da máxima verossimilhança. Houve aderência, em 81% dos casos, dos ativos a um determinado modelo de volatilidade, alterando apenas, como eram esperados, os coeficientes de reatividade e persistência. Com relação a estes, percebe-se que a crise aumentou os coeficientes de reatividade para alguns ativos. Ao se compararem as volatilidades estimadas de curto prazo, percebe-se que o agravamento da crise introduziu uma elevação média de 265,4% em relação ao período anterior, indicando um aumento substancial de risco. Para a volatilidade de longo prazo, o aumento médio foi de 7,9%, sugerindo que os choques reativos introduzidos com a crise, tendem a ser dissipados ao longo do tempo. / The knowledge of the risk of financial assets is of basic importance for active management of portfolios, determination of prices of options and analysis of sensitivity of returns. The risk is measured through the variance statistics and has in literature several econometrical models that serve to this purpose. This research contemplates the study of deterministic models of volatility, more specifically symmetrical and asymmetrical models GARCH. The period of analysis was divided in two: January of 2000 to the February of 2008 and the October of 2008. Such a proceeding was adopted trying to identify the influence of the economic crisis given rise in U.S.A. in the volatility models. The sector chosen for the study was the oil market and had been chosen the nine bigger companies of the sector in accordance with the productive capacity and reserves of oil. Beyond these, there were modeled also the commodities negotiated in the Stock Exchange of New York: the barrel of oil of the types Brent and WTI. The choice of this sector is due to his great economical and strategic importance for all the nations. The results showed that there was no a standard of model of volatility for all the studied assets and for the majority of them, there is presence of asymmetry in the returns, being the model GJR (1,1) that more prevailed, according to the method of likelihood. There was adherence, in 81 % of the cases, of the assets to a determined model of volatility, altering only the coefficients of reactivity and persistence. Regarding these, it is realized that the crisis increased the coefficients of reactivity for some assets. In relation to the volatilities of short term, it is realized that the aggravation of the crisis introduced an elevation of 265,4% regarding the previous period, indicating a substantial increase of risk. In relation to the volatility of long term, the increase was 7,9 %, suggesting that the reactive shocks introduced with the crisis have a tendency to be dispersed along the time.

A busca da correta modelagem e previsão de volatilidade em séries financeiras é o que motiva grande parte dos analistas e gestores de carteiras. Esta dissertação buscou, portanto comparar dois tipos de modelos de volatilidade - determinística e estocástica - para as três principais séries de retornos de ações do setor siderúrgico brasileiro, quais sejam: Gerdau PN (GGBR4), Usiminas PN (USIM5) e CSN ON (CSNA3). Os três ativos apresentaram estruturas semelhantes para suas volatilidades. Para as três séries foram encontradas especificações determinísticas do tipo AR (1) - EGARCH (1,1) e AR (1) - TGARCH (0,1), ambas com volatilidades estimadas muito próximas. No caso estocástico optou-se por um modelo AR (1) - SV Estacionário para as três séries de retornos. A maior persistência foi observada no ativo da Gerdau, mostrando que um choque sobre o ativo da Gerdau demora mais a se dissipar do que um choque de mesma magnitude sobre os ativos de Usiminas e CSN. Quanto ao efeito alavancagem, a ação da Usiminas apresentou o maior resultado estimado, mostrando que retornos negativos em um dado instante t geram maior volatilidade no período seguinte (t+1) sobre o ativo da Usiminas. Por último comparou-se a qualidade preditiva das duas classes de modelos de volatilidade por meio de previsões um passo à frente durante 21 dias utilizando-se três estatísticas de previsão - erro médio (ME), raiz do erro quadrático médio (RMSE) e erro absoluto médio (MAE). Para o ativo USIM5 as três estatísticas sugerem que o modelo escolhido deve ser o estocástico. Para o ativo GGBR4 e CSNA3 o ME sugere que o modelo escolhido deve ser o determinístico e o RMSE e o MAE sugerem que o modelo escolhido deve ser o estocástico. / The accurate modeling and forecasting of volatility in financial series is what motivates most analysts and portfolio managers. This dissertation sought therefore to compare two types of volatility models - deterministic and stochastic - for three major series of stock returns of the Brazilian steel industry, namely: Gerdau PN (GGBR4), Usiminas PN (USIM5) and CSN ON (CSNA3). The three assets had similar structures to their volatilities. For all the series we found deterministic specifications of the type AR (1) - EGARCH (1,1) and AR (1) - TGARCH (0.1), both with very close volatility estimates. In the stochastic case we chose a model AR (1) - SV Stationary for the three sets of returns. The highest persistence was observed in the asset of Gerdau, showing that a shock on this asset takes longer to dissipate than a clash of the same magnitude on the assets of Usiminas and CSN. For the leverage effect, the series of Usiminas had the highest estimated results, showing that negative returns in a given time t generate greater volatility in period (t +1) on the asset of Usiminas. Finally we compared the predictive quality of the two classes of volatility models through a one step ahead forecast for 21 days using three statistics for forecasting - mean error (ME), mean squared error (RMSEA) and mean absolute error (MAE). For the asset USIM5 the three statistics suggest that the chosen model should be the stochastic. For the assets GGBR4 and CSNA3 the ME suggests that the chosen model should be the deterministic and the RMSE and MAE suggest that the chosen model should be the stochastic.

Nas últimas décadas a volatilidade transformou-se num conceito muito importante na área financeira, sendo utilizada para mensurar o risco de instrumentos financeiros. Neste trabalho, o foco de estudo é a modelagem da volatilidade, que faz referência à variabilidade dos retornos, sendo esta uma característica presente nas séries temporais financeiras. Como ferramenta fundamental da modelação usaremos o modelo GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), que usa a heterocedasticidade condicional como uma medida da volatilidade. Considerar-se-ão duas características principais a ser modeladas com o propósito de obter um melhor ajuste e previsão da volatilidade, estas são: a assimetria e as caudas pesadas presentes na distribuição incondicional da série dos retornos. A estimação dos parâmetros dos modelos propostos será feita utilizando a abordagem Bayesiana com a metodologia MCMC (Markov Chain Monte Carlo) especificamente o algoritmo de Metropolis-Hastings. / In the last decades volatility has become a very important concept in the financial area, being used to measure the risk of financial instruments. In this work, the focus of study is the modeling of volatility, that refers to the variability of returns, which is a characteristic present in the financial time series. As a fundamental modeling tool, we used the GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) model, which uses conditional heteroscedasticity as a measure of volatility. Two main characteristics will be considered to be modeled with the purpose of a better adjustment and prediction of the volatility, these are: heavy tails and an asymmetry present in the unconditional distribution of the return series. The estimation of the parameters of the proposed models is done by means of the Bayesian approach with an MCMC (Markov Chain Monte Carlo) methodology , specifically the Metropolis-Hastings algorithm.

O presente trabalho analisou as volatilidades dos mercados de renda fixa e variável de onze países, sendo eles: Brasil, Rússia, Índia, China, África do Sul (neste país apenas renda fixa), Argentina, Chile, México, Estados Unidos, Alemanha e Japão no período de janeiro de 2000 a dezembro de 2011. Os indicadores utilizados para representar cada mercado foram os índices dos mercados de ações e as taxas de juros interbancárias. Para tanto, o estudo se utilizou de modelos de heterocedasticidade condicional auto-regressiva: ARCH, GARCH, EGARCH, TGARCH e PGARCH, verificando quais destes processos eram mais eficientes para modelagem da volatilidade dos mercados dos países da amostra. Esta pesquisa também verificou qual dos modelos (ARIMA ou modelos GARCH e suas extensões) conseguiria prever melhor as séries de tempo analisadas. Além disso, por meio dos índices de correlação, covariância e causalidade Granger, foram comparados os retornos e a volatilidade do mercado de ações entre os países BRIC, entre os países latinos americanos e entre os países desenvolvidos e o Brasil. Os resultados sugerem que a volatilidade, tanto do mercado de renda fixa quanto do mercado de renda variável, é mais bem modelada por processos GARCH assimétricos (EGARCH e TGARCH), demonstrando efeitos de alavancagem nas séries estudadas. Quanto aos modelos de previsão, os modelos ARIMA, também para os dois mercados, mostrou-se mais eficiente que os modelos GARCH e suas extensões. Além disso, as volatilidades dos mercados de ações entre os países analisados parecem ser mais correlacionadas e possuir maior causalidade Granger do que os retornos destes países. Entre os dois mercados, renda fixa e variável dentro de cada país, as correlações dos retornos e da volatilidade são muito baixas, em algumas vezes negativa, e há pouca relação de causalidade Granger. / This study analyzed the volatility of fixed income and stocks markets for eleven countries, namely: Brazil, Russia, India, China, South Africa (just fixed income), Argentina, Chile, Mexico, United States, Germany and Japan from January 2000 to December 2011, using interbank interest rate as a fixed income market indicator and stock index to each country, as a stock market indicator. Therefore, the study used models of autoregressive conditional heteroscedasticity: ARCH, GARCH, EGARCH, TGARCH e PGARCH to verify which of these processes were more effective for in volatility modeling in each country. This research also found that the models (ARIMA or GARCH models and their extensions) could be used as the best forecast models. Moreover, by means of correlation coefficients, covariance and Granger causality, were used to compare the returns and volatility of the stock market among the BRIC countries, among the Latin American countries and between developed countries and Brazil. The results suggest that the volatility of both the fixed income market as the stock market is best modeled by processes asymmetric GARCH (EGARCH and TGARCH) demonstrating leverage effects in the time series. Regarding prediction ARIMA models was more efficient for both markets than GARCH models and extensions. In addition, the volatility of stock markets across countries analyzed seem to be more correlated and have higher Granger causality than returns these countries. Between the two markets, for each country, the correlations of returns and volatility are very low, if not positive, and there is low Granger causality.

A estimação e previsão da volatilidade de ativos são de suma importância para os mercados financeiros. Temas como risco e incerteza na teoria econômica moderna incentivaram a procura por métodos capazes de modelar uma variância condicional que evolui ao longo do tempo. O objetivo principal desta dissertação é comparar alguns métodos de regressão global e local quanto à extração da volatilidade dos índices Ibovespa e Standard and Poor´s 500. Para isto, são realizadas estimações e previsões com os modelos GARCH paramétricos e com os modelos aditivos semi-paramétricos. Os primeiros, tradicionalmente utilizados na estimação de segundos momentos condicionais, têm sua capacidade sugerida em diversos artigos. Os segundos provêm alta flexibilidade e descrições visualmente informativas das relações entre as variáveis, tais como assimetrias e não linearidades. Sendo assim, testar o desempenho dos últimos frente às estruturas paramétricas consagradas apresenta-se como uma investigação apropriada. A realização das comparações ocorre em períodos selecionados de alta volatilidade no mercado financeiro internacional (crises), sendo a performance dos modelos medida dentro e fora da amostra. Os resultados encontrados sugerem a capacidade dos modelos semi-paramétricos em estimar e prever a volatilidade dos retornos dos índices nos momentos analisados. / Volatility estimation and forecasting are very important matters for the financial markets. Themes like risk and uncertainty in modern economic theory have encouraged the search for methods that allow for the modeling of time varying variances. The main objective of this dissertation is to compare global and local regressions in terms of their capacity to extract the volatility of Ibovespa and Standard and Poor 500 indexes. To achieve this aim, parametric GARCH and semiparametric additive models estimation and forecasting are performed. The first ones, traditionally applied in the estimation of conditional second moments, have their capacity suggested in many papers. The second ones provide high flexibility and visually informative descriptions of the relationships between the variables, like asymmetries and nonlinearities. Therefore, testing the last ones´ performance against the acknowledged parametric structures is an appropriate investigation. Comparisons are made in selected periods of high volatility in the international financial market (crisis), measuring the models´ performance inside and outside sample. The results that were found suggest the capacity of semiparametric models to estimate and forecast the Indexes returns´ volatility at the analyzed moments.

A busca da correta modelagem e previsão de volatilidade em séries financeiras é o que motiva grande parte dos analistas e gestores de carteiras. Esta dissertação buscou, portanto comparar dois tipos de modelos de volatilidade - determinística e estocástica - para as três principais séries de retornos de ações do setor siderúrgico brasileiro, quais sejam: Gerdau PN (GGBR4), Usiminas PN (USIM5) e CSN ON (CSNA3). Os três ativos apresentaram estruturas semelhantes para suas volatilidades. Para as três séries foram encontradas especificações determinísticas do tipo AR (1) - EGARCH (1,1) e AR (1) - TGARCH (0,1), ambas com volatilidades estimadas muito próximas. No caso estocástico optou-se por um modelo AR (1) - SV Estacionário para as três séries de retornos. A maior persistência foi observada no ativo da Gerdau, mostrando que um choque sobre o ativo da Gerdau demora mais a se dissipar do que um choque de mesma magnitude sobre os ativos de Usiminas e CSN. Quanto ao efeito alavancagem, a ação da Usiminas apresentou o maior resultado estimado, mostrando que retornos negativos em um dado instante t geram maior volatilidade no período seguinte (t+1) sobre o ativo da Usiminas. Por último comparou-se a qualidade preditiva das duas classes de modelos de volatilidade por meio de previsões um passo à frente durante 21 dias utilizando-se três estatísticas de previsão - erro médio (ME), raiz do erro quadrático médio (RMSE) e erro absoluto médio (MAE). Para o ativo USIM5 as três estatísticas sugerem que o modelo escolhido deve ser o estocástico. Para o ativo GGBR4 e CSNA3 o ME sugere que o modelo escolhido deve ser o determinístico e o RMSE e o MAE sugerem que o modelo escolhido deve ser o estocástico. / The accurate modeling and forecasting of volatility in financial series is what motivates most analysts and portfolio managers. This dissertation sought therefore to compare two types of volatility models - deterministic and stochastic - for three major series of stock returns of the Brazilian steel industry, namely: Gerdau PN (GGBR4), Usiminas PN (USIM5) and CSN ON (CSNA3). The three assets had similar structures to their volatilities. For all the series we found deterministic specifications of the type AR (1) - EGARCH (1,1) and AR (1) - TGARCH (0.1), both with very close volatility estimates. In the stochastic case we chose a model AR (1) - SV Stationary for the three sets of returns. The highest persistence was observed in the asset of Gerdau, showing that a shock on this asset takes longer to dissipate than a clash of the same magnitude on the assets of Usiminas and CSN. For the leverage effect, the series of Usiminas had the highest estimated results, showing that negative returns in a given time t generate greater volatility in period (t +1) on the asset of Usiminas. Finally we compared the predictive quality of the two classes of volatility models through a one step ahead forecast for 21 days using three statistics for forecasting - mean error (ME), mean squared error (RMSEA) and mean absolute error (MAE). For the asset USIM5 the three statistics suggest that the chosen model should be the stochastic. For the assets GGBR4 and CSNA3 the ME suggests that the chosen model should be the deterministic and the RMSE and MAE suggest that the chosen model should be the stochastic.