This study involves the ultraspherical polynomials, the Legendre polynomials, the Tchebichef polynomials of the first kind, and the Tchebichef polynomials of the second kind.

The present paper deals with a study of a two variable polynomial Pn(x) analogues to the Legendre polynomial Pn(x). The paper contains differential recurrence relations, a partial differential equation, double generating functions, double and triple hypergeometric forms, a special property and a bilinear double generating function for the newly defined polynomials Pn,k(x, y).

A raça Holandesa apresenta alto rendimento na produção de leite, por isto, diversos países têm optado pela importação de sêmen para substituir as raças leiteiras locais. Esta estratégia seria eficaz se o sêmen importado fosse utilizado nas mesmas circunstâncias em que foram selecionados. Caso exista interação genótipo ambiente significativa, é esperada uma nova classificação dos touros, porém se o efeito da interação genótipo ambiente não é levada em consideração, os valores genéticos preditos (EBVs) podem ser tendenciosos, reduzindo a resposta de seleção. Diante disso, os objetivos deste trabalho foram comparar modelos de diferentes ordens de ajuste por meio de funções polinomiais de Legendre, utilizando modelos de regressão aleatória e estimar os coeficientes de herdabilidade para os teores de gordura, proteína, ácido graxo saturado, ácido graxo insaturado, e produção de leite. Além de estimar o valor genético dos animais, sob a interferência do estresse térmico. Foram utilizadas informações fenotípicas coletadas mensalmente ao longo da lactação e modelos com polinômios ortogonais de Legendre de primeira a sexta ordem, para verificar a interferência de estresse térmico, foram utilizadas informações de temperatura e umidade do dia de coleta. Os modelos que melhor se ajustaram foram os de primeira e segunda ordem. As estimativas de herdabilidade variaram de 0,02 a 0,52 para teor de gordura; de 0,03 a 0,63 para teor de proteína; de 0,05 a 0,63 para ácido graxo saturado; de 0,019 a 0,364 para ácido graxo insaturado e de 0,133 a 0,390 para produção de leite nos diferentes modelos estudados. As estimativas de valores genéticos variaram de -0,5 a 0,5 em ambiente sem estresse térmico e de -0,2 a 0,2 em ambiente com estresse térmico para o teor de gordura; de -0,4 a 0,4 para ambiente sem estresse térmico e de -0,2 a 0,2 em ambiente com estresse térmico para o teor de proteína; de -0,3 a 0,3 em ambiente sem estresse térmico e de -0,2 a 0,2 em ambiente com estresse térmico para ácido graxo saturado; de -0,1 a 0,1 em ambiente sem estresse térmico e de -0,1 a 0,1 em ambiente com estresse térmico para ácido graxo insaturado e de - 6 a 6 em ambiente sem estresse térmico e de -2 e 2 em ambiente com estresse térmico para produção de leite. De acordo com os resultados, as herdabilidades indicam que o teor de gordura, proteína, ácido graxo saturado produção de leite podem ser utilizados como critério de seleção. Com o uso de informações de temperatura e umidade do ar, foi possível verificar a presença de interação genótipo ambiente para teor de gordura, proteína, ácido graxo saturado e produção de leite aos 205 dias em lactação. / Due to the high milk production of Holstein cattle, many countries have chosen to import semen to replace local dairy breeds. This strategy would be effective if these semen was used in the same circumstances in which they were selected. However, if there is significant genotype environment interaction, it is expected a new bulls ranking, but if the effect of genotype environment interaction is not considered, the estimated breeding values (EBVs) may be tendentious, reducing the selection response. The objectives of this study were estimate breeding value under heat stress and heritability coefficients, and also to compare models of different adjustment orders through Legendre polynomials, using random regression models for fat, protein, saturated fatty acid, unsaturated fatty acid and milk production. There were used phenotypic information collected monthly through the lactation period and Legendre orthogonal polynomials models from the first to sixth order. To verify the interference of heat stress, there was used temperature and humidity information on the day of the evaluation was performed. The first and second order models were the ones that better fitted. Heritability estimates were from 0.02 to 0.52 for fat; 0.03 to 0.63 for protein; 0.05 to 0.63 for saturated fatty acid; 0.019 to 0.364 for unsaturated fatty acid and 0.133 to 0.390 for milk production on the different models tested. Estimates of the genetic value were from -0.5 to 0.5 on environment without heat stress and -0.2 to 0.2 on environment with heat stress for fat; -0.4 to 0.4 on environment without heat stress and -0.2 to 0.2 on environment with heat stress for protein; -0.3 to 0.3 on environment without heat stress and -0.2 to 0.2 on environment with heat stress for saturated fatty acid; -0.1 to 0.1 on environment without heat stress and of -0.8 to 0.8 on environment with heat stress for unsaturated fatty acid; -6 to 6 on environment without heat stress and -2 to 2 on environment with heat stress for milk production. The heritability indicates that the fat, protein, saturated fatty acid and milk production can be used as selection criteria. With the use of temperature and humidity information, it was possible to verify the presence of genotype environment interaction for fat, protein, saturated fatty acid and milk production at 205 days in milk.

The effect of an imposed magnetic field on the thermal convection between rigid plates heated from below under the influence of gravity is numerically simulated in a computational domain with periodic horizontal extent. The numerical technique is based on solenoidal basis functions satisfying the boundary conditions for both velocity and induced magnetic field. The expansion bases for the thermal field are also constructed to satisfy the boundary conditions. The governing partial differential equations are reduced to a system of ordinary differential equations governing the time evolution of the expansion coefficients under Galerkin projection onto the subspace spanned by the dual bases. In the process, the pressure term in the momentum equation is eliminated. The system validated in the linear regime is then used for some numerical experiments in the nonlinear regime.

Müntz polynomials arise from consideration of Müntz's Theorem, which is a beautiful generalization of Weierstrass's Theorem. We prove a new surprisingly simple representation for the Müntz orthogonal polynomials on the interval of orthogonality, and in particular obtain new formulas for some of the classical orthogonal polynomials (e.g. Legendre, Jacobi, Laguerre). This allows us to determine the strong asymptotics and endpoint limit asymptotics on the interval. The zero spacing behavior follows, as well as estimates for the smallest and largest zeros. This is the first time that such asymptotics have been obtained for general Müntz exponents. We also look at the asymptotic behavior outside the interval and the asymptotic properties of the associated Christoffel functions.

A raça Holandesa apresenta alto rendimento na produção de leite, por isto, diversos países têm optado pela importação de sêmen para substituir as raças leiteiras locais. Esta estratégia seria eficaz se o sêmen importado fosse utilizado nas mesmas circunstâncias em que foram selecionados. Caso exista interação genótipo ambiente significativa, é esperada uma nova classificação dos touros, porém se o efeito da interação genótipo ambiente não é levada em consideração, os valores genéticos preditos (EBVs) podem ser tendenciosos, reduzindo a resposta de seleção. Diante disso, os objetivos deste trabalho foram comparar modelos de diferentes ordens de ajuste por meio de funções polinomiais de Legendre, utilizando modelos de regressão aleatória e estimar os coeficientes de herdabilidade para os teores de gordura, proteína, ácido graxo saturado, ácido graxo insaturado, e produção de leite. Além de estimar o valor genético dos animais, sob a interferência do estresse térmico. Foram utilizadas informações fenotípicas coletadas mensalmente ao longo da lactação e modelos com polinômios ortogonais de Legendre de primeira a sexta ordem, para verificar a interferência de estresse térmico, foram utilizadas informações de temperatura e umidade do dia de coleta. Os modelos que melhor se ajustaram foram os de primeira e segunda ordem. As estimativas de herdabilidade variaram de 0,02 a 0,52 para teor de gordura; de 0,03 a 0,63 para teor de proteína; de 0,05 a 0,63 para ácido graxo saturado; de 0,019 a 0,364 para ácido graxo insaturado e de 0,133 a 0,390 para produção de leite nos diferentes modelos estudados. As estimativas de valores genéticos variaram de -0,5 a 0,5 em ambiente sem estresse térmico e de -0,2 a 0,2 em ambiente com estresse térmico para o teor de gordura; de -0,4 a 0,4 para ambiente sem estresse térmico e de -0,2 a 0,2 em ambiente com estresse térmico para o teor de proteína; de -0,3 a 0,3 em ambiente sem estresse térmico e de -0,2 a 0,2 em ambiente com estresse térmico para ácido graxo saturado; de -0,1 a 0,1 em ambiente sem estresse térmico e de -0,1 a 0,1 em ambiente com estresse térmico para ácido graxo insaturado e de - 6 a 6 em ambiente sem estresse térmico e de -2 e 2 em ambiente com estresse térmico para produção de leite. De acordo com os resultados, as herdabilidades indicam que o teor de gordura, proteína, ácido graxo saturado produção de leite podem ser utilizados como critério de seleção. Com o uso de informações de temperatura e umidade do ar, foi possível verificar a presença de interação genótipo ambiente para teor de gordura, proteína, ácido graxo saturado e produção de leite aos 205 dias em lactação. / Due to the high milk production of Holstein cattle, many countries have chosen to import semen to replace local dairy breeds. This strategy would be effective if these semen was used in the same circumstances in which they were selected. However, if there is significant genotype environment interaction, it is expected a new bulls ranking, but if the effect of genotype environment interaction is not considered, the estimated breeding values (EBVs) may be tendentious, reducing the selection response. The objectives of this study were estimate breeding value under heat stress and heritability coefficients, and also to compare models of different adjustment orders through Legendre polynomials, using random regression models for fat, protein, saturated fatty acid, unsaturated fatty acid and milk production. There were used phenotypic information collected monthly through the lactation period and Legendre orthogonal polynomials models from the first to sixth order. To verify the interference of heat stress, there was used temperature and humidity information on the day of the evaluation was performed. The first and second order models were the ones that better fitted. Heritability estimates were from 0.02 to 0.52 for fat; 0.03 to 0.63 for protein; 0.05 to 0.63 for saturated fatty acid; 0.019 to 0.364 for unsaturated fatty acid and 0.133 to 0.390 for milk production on the different models tested. Estimates of the genetic value were from -0.5 to 0.5 on environment without heat stress and -0.2 to 0.2 on environment with heat stress for fat; -0.4 to 0.4 on environment without heat stress and -0.2 to 0.2 on environment with heat stress for protein; -0.3 to 0.3 on environment without heat stress and -0.2 to 0.2 on environment with heat stress for saturated fatty acid; -0.1 to 0.1 on environment without heat stress and of -0.8 to 0.8 on environment with heat stress for unsaturated fatty acid; -6 to 6 on environment without heat stress and -2 to 2 on environment with heat stress for milk production. The heritability indicates that the fat, protein, saturated fatty acid and milk production can be used as selection criteria. With the use of temperature and humidity information, it was possible to verify the presence of genotype environment interaction for fat, protein, saturated fatty acid and milk production at 205 days in milk.

O Brasil é um dos maiores produtores de leite do mundo, porém é necessário que se produza não só em quantidade, mas com qualidade adequada ao consumo e ao beneficiamento. Com a entrada em vigor da Instrução Normativa 51 (2002), a qualidade do leite nacional passou a ser monitorada, sendo exigido um padrão mínimo. Dentre os aspectos analisados, estão os teores de proteína e gordura e a contagem de células somáticas. Diante disso, o objetivo desse trabalho foi de estimar componentes de variância, coeficientes de herdabilidade e comparar modelos de diferentes ordens de ajuste por meio de funções polinomiais de Legendre, sob modelos de regressão aleatória, com a finalidade de predizer o modelo mais adequado para descrever as mudanças nas variâncias associadas aos teores de proteína, gordura e à contagem de células somáticas de vacas holandesas de primeira lactação. Foi utilizado um banco de dados com 27.988 dados de teores de gordura e proteína e 27.883 de escore de células somáticas, referentes a 4.945 vacas e a matriz de parentesco continha 30.843 animais. Foram utilizados quatro modelos, com polinômios ortogonais de Legendre de ordens de 3 a 6 e variância residual homogênea. Os modelos que melhor se ajustaram para gordura foram o de 5ª e 6ª ordens, para proteína, o de 4ª ordem e para escore de células somáticas foram os de 4ª e 6ª ordens. As estimativas de herdabilidade variaram de 0,07 a 0,56 para teor de gordura; de 0,13 a 0,66 para teor de proteína e de 0,08 a 0,50 para escore de células somáticas, nos diferentes modelos estudados. De acordo com os resultados, modelos de regressão aleatória são adequados para descrever variações no teor de gordura e proteína e no escore de células somáticas em função do estágio de lactação em que a vaca se encontra. / Brazil is one of the largest milk producers in the world, but it is necessary to produce not only in quantity but in quality suitable for consumption and processing. With the entry into force of the Federal Normative Instruction 51 (IN-51), the national quality of milk started to be monitored, with a required minimum standard. Among the aspects studied are the protein and fat contents and somatic cell count. Thus, the aim of this study was to estimate variance components, heritability coefficients and compare models with different orders of adjustment of Legendre polynomials, by random regression models in order to predict the most appropriate model to describe variances associated with changes in levels of protein, fat and somatic cell count of first lactation Holstein cows. We used a database with 27,988 data from fat and protein content and a database with 27,883 of somatic cell score, relative to 4,945 cows and the relationship matrix contained 30,843 animals. We used four models with orthogonal Legendre polynomials of orders 3-6 and homogeneous residual variance. The models that best adjusted for fat were of the 5th and 6th orders, for protein was of the 4th order and somatic cell score were of the 4th and 6th order. The heritabilities estimated ranged from 0.07 to 0.56 for fat, 0.13 to 0.66 for protein and 0.08 to 0.50 for somatic cell score in the different models studied. According to the results, random regression models are suitable to describe variations in fat and protein contents and somatic cell score according to the stage of lactation.

Resumo: Parâmetros genéticos para o fluxo lácteo medido no dia do controle (FLDC) de primeiras lactações de vacas da raça Holandesa foram estimados utilizando modelos de dimensão finita (TDM) e modelos de regressão aleatória. Para os TDM foram analisadas 10 características por meio de modelos uni e bi e multi-características e de repetibilidade, que continham como aleatórios, o efeito genético aditivo e o efeito residual e, como efeitos fixos, o grupo de contemporâneos e as covariáveis idade da vaca ao parto. A variável número de dias em lactação foi incluída somente no modelo de repetibilidade. Para os MRA, foram considerados os efeitos aleatórios genético aditivo direto, de ambiente permanente e o residual. Foram considerados como efeitos fixos, o grupo de contemporâneos, os efeitos linear e quadrático da covariável idade da vaca ao parto e a curva média de lactação da população, modelada por meio de polinômios ortogonais de Legendre de quarta ordem. Os efeitos aleatórios genético aditivo e de ambiente permanente foram modelados por meio de regressão aleatória sobre polinômios ortogonais de Legendre e por meio de funções b-splines. Diferentes estruturas de variâncias residuais foram testadas, por meio de classes contendo 1, 7, 10, 20 e 43 variâncias residuais, para os MRA modelados por meio de polinômios de Legendre. Já, para os MRA modelados por funções b-splines, a estrutura residual foi considerada heterogênea, contendo 7 classes de variâncias. Os MRA foram comparados usando o teste de razão de verossimilhança, o critério de informação de Akaike e o critério de informação de Bayesiano de Schwarz. As estimativas de herdabilidade (h2) para os FLDC variaram de 0,23 a 0,32 nas análises unicaracterísticas, de 0,24 a 0,32 nas bi-características e de 0,28 a 0,37 nas multicaracterísticas. Os valores de h2 estimados variaram no decorrer da... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: Flow milk genetic parameters to the first lactation test-day milk yields of Holstein cattle were estimated using Test-day models (TDM) and Random regression models (RRM). Ten TDM differents traits were analyzed using uni, bi and multi-trait and repeatability animal models, that included the additive genetic as random effect and the fixed effects of contemporary group, age of cow (linear and quadratic) as covariables. The days in milk (linear) variable was included only at repeatability model. To RRM were included the additive genetic, permanent environmental and residual as random effects, the fixed effects of contemporary group, age of cow as covariable (linear and quadratic effects) and a 4th-order Legendre orthogonal polynomials of days in milk, to model the mean trend. The additive genetic and permanent environmental effects were fitted by Legendre orthogonal polynomials and b-splines functions. Different structures of residual variances were used, through the variances classes containing 1, 7, 10, 20, and e 43 residual variances, to the models fitted by Legendre orthogonal polynomials. Moreover, for the RRM fitted by b-splines-functions, the residual estructure was considered heterogeneous, having 7 variance classes. The RRM were compared by Likelihood ratio test, Bayesian and Akaike's information criteria. The heritability estimated ranged from 0.23 to 0.32 by uni-trait analyses, from 0.24 to 0.32 by bi-traits analyses and from 0.28 to 0.37 by multi-trait analyses. The h2 estimates varied during the lactation being the highest estimate at the fourth month. The estimate obtained by the repeatability model was 0.27, and a repeatability estimate of 0.66. For the MRA fitted by Legendre orthogonal polynomials, related to the residual variance, the best model the one that deemed 7 residual classes. For the additive and permanent environmental effects, the having 3th-order... (Complete abstract click electronic access below) / Orientadora: Lúcia Galvão de Albuquerque / Coorientadora: Lenira El Faro Zadra / Banca: Laila Talarico Dias Teixeira / Banca: Anibal Eugênio Vercesi Filho / Banca: Humberto Tonhati / Banca: Henrique Nunes de Oliveira / Doutor

Made available in DSpace on 2014-10-09T12:49:06Z (GMT). No. of bitstreams: 0 / Made available in DSpace on 2014-10-09T14:06:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 09670.pdf: 10232628 bytes, checksum: 1590f43108c1cbc7b2065202eea72fa8 (MD5) / Dissertacao (Mestrado) / IPEN/D / Instituto de Pesquisas Energeticas e Nucleares - IPEN/CNEN-SP

O Brasil é um dos maiores produtores de leite do mundo, porém é necessário que se produza não só em quantidade, mas com qualidade adequada ao consumo e ao beneficiamento. Com a entrada em vigor da Instrução Normativa 51 (2002), a qualidade do leite nacional passou a ser monitorada, sendo exigido um padrão mínimo. Dentre os aspectos analisados, estão os teores de proteína e gordura e a contagem de células somáticas. Diante disso, o objetivo desse trabalho foi de estimar componentes de variância, coeficientes de herdabilidade e comparar modelos de diferentes ordens de ajuste por meio de funções polinomiais de Legendre, sob modelos de regressão aleatória, com a finalidade de predizer o modelo mais adequado para descrever as mudanças nas variâncias associadas aos teores de proteína, gordura e à contagem de células somáticas de vacas holandesas de primeira lactação. Foi utilizado um banco de dados com 27.988 dados de teores de gordura e proteína e 27.883 de escore de células somáticas, referentes a 4.945 vacas e a matriz de parentesco continha 30.843 animais. Foram utilizados quatro modelos, com polinômios ortogonais de Legendre de ordens de 3 a 6 e variância residual homogênea. Os modelos que melhor se ajustaram para gordura foram o de 5ª e 6ª ordens, para proteína, o de 4ª ordem e para escore de células somáticas foram os de 4ª e 6ª ordens. As estimativas de herdabilidade variaram de 0,07 a 0,56 para teor de gordura; de 0,13 a 0,66 para teor de proteína e de 0,08 a 0,50 para escore de células somáticas, nos diferentes modelos estudados. De acordo com os resultados, modelos de regressão aleatória são adequados para descrever variações no teor de gordura e proteína e no escore de células somáticas em função do estágio de lactação em que a vaca se encontra. / Brazil is one of the largest milk producers in the world, but it is necessary to produce not only in quantity but in quality suitable for consumption and processing. With the entry into force of the Federal Normative Instruction 51 (IN-51), the national quality of milk started to be monitored, with a required minimum standard. Among the aspects studied are the protein and fat contents and somatic cell count. Thus, the aim of this study was to estimate variance components, heritability coefficients and compare models with different orders of adjustment of Legendre polynomials, by random regression models in order to predict the most appropriate model to describe variances associated with changes in levels of protein, fat and somatic cell count of first lactation Holstein cows. We used a database with 27,988 data from fat and protein content and a database with 27,883 of somatic cell score, relative to 4,945 cows and the relationship matrix contained 30,843 animals. We used four models with orthogonal Legendre polynomials of orders 3-6 and homogeneous residual variance. The models that best adjusted for fat were of the 5th and 6th orders, for protein was of the 4th order and somatic cell score were of the 4th and 6th order. The heritabilities estimated ranged from 0.07 to 0.56 for fat, 0.13 to 0.66 for protein and 0.08 to 0.50 for somatic cell score in the different models studied. According to the results, random regression models are suitable to describe variations in fat and protein contents and somatic cell score according to the stage of lactation.