Cette thèse s’intéresse à la faisabilité de la mise en place de modèles d’ordre réduit pour l’étude des vibrations sous écoulement au sein de faisceaux tubulaires d’échangeurs de chaleur. Ces problématiques sont cruciales car les systèmes étudiés sont des éléments majeurs des centrales nucléaires civiles et des chaufferies embarquées dans les sous-marins.Après avoir rappelé le fonctionnement et les risques vibratoires existants au sein des échangeurs de chaleur, des calculs complets d’écoulement et de vibrations sous écoulement ont été effectués, d’abord pour un tube seul en milieu infini, puis pour un faisceau de tubes. Ces calculs ont été menés avec l’outil CFD Code_Saturne. La méthode de réduction de modèle POD (Proper Orthogonal De-composition) a été appliquée au cas des écoulements avec la structure laissée fixe.Les résultats obtenus montrent l’efficacité de la méthode pour ces configurations, moyennant l’introduction de méthodes de stabilisation pour l’écoulement au sein du faisceau. La méthode POD-multiphasique, permettant d’adapter la méthode POD à l’interaction fluide-structure, a ensuite été appliquée. Les grands déplacements d’un cylindre seul dans la zone d’accrochage (lock-in) ont été correctement reproduits par cette méthode de réduction de modèle. De même, on montre que les grands déplacements d’un cylindre en milieu confiné dans un faisceau de tubes sont fidèlement reconstruits.Enfin, l’extension de l’utilisation de la réduction de modèle aux études d’évolution paramétrique a été testée. Nous avons d’abord utilisé la technique considérant une base POD unique pour reproduire des écoulements à divers nombres de Reynolds autour d’un cylindre seul. Les résultats confirment la prédictivité bornée à une gamme de paramètres de cette méthode. Enfin, l’interpolation de bases POD pré-calculées pour une famille de paramètres donnés, utilisant les variétés de Grassmann et permettant de générer de nouvelles bases POD, a été testée sur des cas modèles. / The objective of this thesis is to study the ability of model reduction for investigations of flow-induced vibrations in heat exchangers tube bundle systems.These mechanisms are a cause of major concern because heat exchangers are key elements of nuclear power plants and on-board stoke-holds.In a first part, we give a recall on heat exchangers functioning and on vi-bratory problems to which they are prone. Then, complete calculations leaded with the CFD numerical code Code_Saturne are carried out, first for the flow around a single circular cylinder (fixed then elastically mounted) and then for the case of a tube bundle system submitted to cross-flow. Reduced-order method POD is ap-plied to the flow resolution with fixed structures. The obtained results show the efficiency of this technique for such configurations, using stabilization methods for the dynamical system resolution in the tube-bundle case.Multiphase-POD, which is a method enabling the adaptation of POD to fluid-structure interactions, is applied. Large displacements of a single cylinder elastically mounted under cross-flow, corresponding to the lock-in phenomenon,are well reproduced with this reduction technique. In the same way, large displace-ments of a confined moving tube in a bundle are shown to be faithfully recon-structed.Finally, the use of model reduction is extended to parametric studies. First,we propose to use the method which consists in projecting Navier-Stokes equations for several values of the Reynolds number on to a unique POD basis. The resultsobtained confirm the fact that POD predictability is limited to a range of parameter values. Then, a basis interpolation method, constructed using Grassmann mani-folds and allowing the construction of a POD basis from other pre-calculated basis,is applied to basic cases.

Les freins aéronautiques sont soumis à des instabilités vibratoires induites par le frottement. Il en résulte des vibrations qui présentent un risque pour la structure du frein et de l’atterrisseur et posent des problèmes d’intégration. Safran Landing Systems doit donc répondre à des spécifications avionneurs strictes sur les niveaux des vibrations générées par son équipement. Le respect de ces spécifications est actuellement contrôlé par la réalisation d’essais de freinage longs et coûteux. L’objectif de ces travaux de recherche est de reproduire numériquement ces phénomènes vibratoires via des outils intégrables au processus de conception d’un frein. Le crissement de frein, bien qu’il soit l’objet de recherches depuis le début du XXe siècle, demeure un phénomène assez mal compris, notamment dans l’aéronautique. Des vibrations instables apparaissent régulièrement sur l’ensemble de la plage fréquentielle 0-2 kHz. Au cours de la dernière décennie, une instabilité vibratoire vers 200 Hz dénommée whirl 2 s’est manifestée de manière récurrente et souvent critique sur la plupart des nouveaux freins développés. On cherche donc à mettre en place une méthode permettant de simuler l’apparition et les amplitudes des instabilités vibratoires, notamment du mode de whirl 2. Dans une première partie, on présente des analyses d’essais vibratoires réalisés en conditions opérationnelles et expérimentales. On décrit ensuite la modélisation par la méthode des éléments finis du frein instable au sens de Lyapunov. La stabilité du système linéarisé est étudiée et on montre une corrélation en fréquence et déformée entre le modèle et les essais. Ce modèle éléments finis est trop volumineux en l’état pour permettre la simulation d’amplitudes de vibrations non linéaires. On propose donc dans une seconde partie deux méthodes de réduction adaptées à l’architecture complexe d’un système de freinage aéronautique et permettant la prise en compte du frottement. La première est une méthode semi-analytique qui se révèle très performante jusqu’à 500 Hz. La seconde méthode de réduction mise en oeuvre est la double synthèse modale. Elle est implémentée dans sa version classique, puis une amélioration est proposée avec succès : la double synthèse modale complexe. La troisième partie est consacrée à l’étude de la dynamique non linéaire du whirl 2 par la réalisation d’intégrations temporelles. La simulation des amplitudes de vibration nécessite la prise en compte réaliste du comportement non linéaire du frein. Or, on fait d’abord le constat que, contrairement à une hypothèse communément admise, les non-linéarités de contact situées aux interfaces frottantes ne suffisent pas à expliquer à elles seules la saturation des amplitudes vibratoires constatée expérimentalement. La recherche des phénomènes physiques non linéaires influents nous amène a considérer l’interaction de la structure vibrante avec le circuit hydraulique de commande du frein. La modélisation du couplage hydrodynamique fournit alors des éléments de compréhension inédits et permet de formuler des règles de conception. Enfin on étudie l’impact du frottement sec dans les contacts périphériques des disques de freinage avec la structure. Ce phénomène, jusque là négligé, apparaît largement prépondérant. Des études d’influences, présentant une bonne corrélation avec les essais, permettent de mettre en évidence de manière robuste l’influence du design et des scénarios de freinage sur les amplitudes vibratoires. / These vibrations are a threat for the brake and landing-gear structural integrity and represent an issue in terms of integration. Thus Safran Landing Systems has to comply with aircraft manufacturers’ strict requirements on the vibration amplitude its product is likely to generate. Compliance to these requirements is assessed by long and costly braking test campaigns. The objective of the research presented here is to reproduce by simulation the brake dynamic instabilities with numerical tools that could be integrated in the design process. Brake squeal has been a research topic since the early XXth century. However it remains a rather ill-understood phenomenon, especially in aeronautics. Unstable vibrations regularly appear on the whole 0-2kHz frequency spectrum. In the last decade, an instability located around 200 Hz called whirl 2 persistently appeared on the newly developed wheel and brake assemblies, sometimes exhibiting critical vibration amplitudes. Consequently, Safran Landing Systems wishes to develop numerical tools able to simulate both the occurrence and the amplitudes associated with friction-induced instabilities, especially with the whirl 2 mode. In the first part of this report, an experimental analysis of the brake is conducted, on both laboratory and in operational set-ups. The modelling of the wheel and brake assembly using the finite element method is then described. The system stability in a Lyapunov’s sense is studied and shows good correlation in both frequencies and mode shapes with the experiments. This finite element model is too big to be used to perform the transient simulation of the nonlinear amplitudes. In the second part, two reduction methods, tailored to the complex aircraft brakes architectures, are thus presented. The first method is a semi-analytical. It shows excellent performances up to 500 Hz. The second reduction method is the double modal synthesis, implemented under its classical version. It is then successfully improved and called "complex double modal synthesis". The third part is dedicated to the study of the nonlinear dynamics of the whirl 2 through transient analyses. The nonlinear amplitudes simulation requires taking into account the relevant nonlinear brake behavior. However, it is first observed that, contrary to a commonly accepted hypothesis, the contact nonlinearities located at the friction interfaces cannot single-handedly account for the vibration amplitudes saturation observed in the tests. The need to identify the relevant physical phenomena leads then to consider the interaction between the squealing brake structure and its hydraulic command circuit. The modelling of the hydro-mechanical coupling provides an unprecedented insight and allows to prescribe design rules. Finally, we study the impact of dry friction in the peripheral contacts between the braking discs and the structure. This phenomenon, neglected until now, appears to have a major influence. Sensitivity studies exhibit a good correlation with tests, allowing to highlight, in a robust manner, the impact of brake design and braking scenarii on the nonlinear vibration amplitudes.

Dans le dimensionnement des lanceurs spatiaux, la maîtrise de l'amortissement est une problématique majeure. Faute d'essais sur structure réelle très couteux avant la phase finale de qualification, la modélisation de l'amortissement peut conduire à un sur-dimensionnement de la structure alors que le but recherché est de diminuer le coût du lancement d'une fusée tout en garantissant le confort vibratoire de la charge utile.Nos contributions sont les suivantes. Premièrement, une méthode de prédiction par le calcul des niveaux vibratoires dans les structures de lanceurs en utilisant une stratégie d'essais virtuels qui permet de prédire les amortissements en basses fréquences, est proposée. Cette méthode est basée sur l'utilisation de méta-modèles construits à partir de plans d'expériences numériques à l'aide de modèles détaillés des liaisons. Ces méta-modèles peuvent être obtenus grâce à des calculs spécifiques utilisant une résolution 3D par éléments finis avec prise en compte du contact. En utilisant ces méta-modèles, l'amortissement modal dans un cycle de vibration peut être calculé comme étant le ratio entre l'énergie dissipée et l'énergie de déformation. L'approche utilisée donne une approximation précise et peu coûteuse de la solution. Le calcul non-linéaire global qui est inaccessible pour les structures complexes est rendu accessible en utilisant l'approche virtuelle basées sur les abaques.Deuxièmement, une validation des essais virtuels sur la structure du lanceur Ariane 5 a été élaborée en tenant compte des liaisons boulonnées entre les étages afin d'illustrer l'approche proposée. Lorsque la matrice d'amortissement généralisé n'est pas diagonale (car des dissipations localisées), ces méthodes modales ne permettent pas de calculer ou d'estimer les termes d'amortissement généralisé extra-diagonaux. La problématique posée est alors la quantification de l'erreur commise lorsque l'on néglige les termes extra-diagonaux dans le calcul des niveaux vibratoires ; avec un bon ratio précision / coût de calcul.Troisièmement, la validité de l'hypothèse de diagonalité de la matrice d'amortissement généralisée a été examinée et une méthode très peu coûteuse de quantification a posteriori de l'erreur d'estimation de l'amortissement modal par la méthodes des perturbations a été proposée.Finalement, la dernière contribution de cette thèse est la proposition d'un outil d'aide à la décision qui permet de quantifier l'impact des méconnaissances sur l'amortissement dans les liaisons sur le comportement global des lanceurs via l'utilisation de la méthode info-gap. / In the dimensioning of space launchers, controlling depreciation is a major problem. In the absence of very expensive real structural tests before the final qualification phase, damping modeling can lead to over-sizing of the structure while the aim is to reduce the cost of launching a rocket while guaranteeing the vibratory comfort of the payload.[...]

Cette thèse porte sur le contrôle acoustique actif (ANC) dans une cavité. L’objectif est d’atténuer l’effet d’une onde sonore perturbatrice en des points ou dans un volume. Ceci est réalisé à l’aide d’un contre-bruit généré, par exemple, par un haut-parleur. Cette étude requiert l’utilisation de modèles dynamiques rendant compte de l’évolution des pressions aux points d’intérêt en fonction des bruits exogènes. Ce modèle peut être obtenu par une identification fréquentielle des réponses point-à-point ou en utilisant le modèle physique sous jacent (équation des ondes). Dans ce dernier cas, la recherche d'un modèle de dimension finie est souvent un préalable à l’étude conceptuelle d'un système d’ANC. Les contributions de cette thèse portent donc sur l’élaboration de différents modèles simplifiés paramétrés par la position pour les systèmes acoustiques et sur la conception de lois de commande pour l’ANC. Le premier volet de la thèse est dédié à l’élaboration de différents modèles simplifiés de système de propagation acoustique au sein d’une cavité. Pour cela, les simplifications envisagées peuvent être de nature spatiale autant que fréquentielle. Nous montrons notamment qu'il est possible, sous certaines conditions, d’approximer le système 3D par un système 1D. Ceci a été mis en évidence expérimentalement sur le banc d’essai LS2NBox. Le second volet porte sur la conception de lois de commande. En premier lieu, les stratégies de commandes couramment utilisées pour l’ANC sont comparées. L'effet dela commande multi-objectif H en différents points voisins des points d'atténuation est analysé. La possibilité d’une annulation parfaitedu bruit en un point est aussi discutée. / This thesis deals with active noise control (ANC) in a cavity. The aim is to mitigate the effect of a disturbing sound wave at some points or in a volume. This is achieved using ananti-noise generated, for example, by a loudspeaker. This study requires the use of dynamic models that report changes in pressure at points of interest in response to exogenous noises. Such models can be obtained by frequency identification of point-to-point responses or by using the underlying physical model (wave equation). In the latter case, the search for a low-complexity model (finite dimensional model) is often a prerequisite for the conceptual study of an active control system. The contributions of this thesis concern the development of different simplified models parameterized by the spatial position for acoustic systems, and the design of control laws for noise attenuation. The first part of the thesis is dedicated to the development of various simplified models of acoustic propagation system within a cavity. For that, the simplifications envisaged can be of spatial nature as much as frequential. We show in particular that it is possible, under certain conditions, to approximate the 3D system by a 1D system. This has been demonstrated experimentally on the prototype system, LS2NBox. The second part of the thesis deals with the design of control laws. First, the control strategies commonly used for ANC are compared. The effect of multi-objective H control at different spatial positions close to the attenuation points is analyzed. The possibility of perfect noise cancellation at one point is also discussed.

Les structures composites sont souvent exposées à des ambiances dynamiques plus oumoins sévères. Ces vibrations peuvent développer différentes formes d’endommagement(fracture des fibres, délamination, fissuration de la matrice. . . ). Les défauts locaux sepropagent et affectent les propriétés mécaniques de la structure modifiant ainsi soncomportement dynamique global. Ces changements peuvent induire une dégradationrapide de la structure et une réduction de sa durée de vie. La thèse a pour objectif lamise en oeuvre de modèles de comportement pour le dimensionnement de structurescomplexes intégrant des sous-structures composites susceptibles d’être endommagées.La méthode des éléments finis est utilisée pour modéliser le comportement vibratoirelinéaire et non-linéaire de ces structures et l’endommagement est introduit via un modèlebilatéral, dans un premier temps. Durant le processus de résolution, une des difficultésrencontrées est le coût de calcul très élevé. Ainsi, un méta-modèle a été développé basésur les réseaux de neurones artificiels couplé avec la méthode de condensation par sousstructurationde Craig-Bampton. Les réseaux de neurones artificiels permettent d’estimer,à moindre cout numérique, le niveau d’endommagement sans avoir recours au calculexact. Le modèle d’endommagement bilatéral n’est pas adapté au cas de chargementsalternés ou périodiques. Par conséquent, la deuxième partie de la thèse est orientée versle développement d’un modèle d’endommagement unilatéral qui donne une meilleuredescription du comportement mécanique lorsque les micro-fissures sont fermées. De plus,dans plusieurs applications industrielles, les structures composites utilisées sont de faibleépaisseur. Par conséquent, elles peuvent avoir naturellement un comportement vibratoirenon-linéaire de type grands déplacements. Le modèle de comportement dynamique engrands déplacements et en présence de la non-linéarité matérielle d’endommagement estdéveloppé et validé. A l’issue de ces travaux de thèse, un outil numérique implémentésur MATLAB® a été développé intégrant deux modèles d’endommagement, bilatéralet unilatéral et une méta-modélisation permettant la localisation et l’estimation del’endommagement ainsi que la prédiction de la réponse dynamique des structures composites, totalement ou localement, endommagées. Le méta-modèle proposé permet deréduire significativement le coût de calcul tout en assurant une bonne précision en termesde localisation et d’estimation du niveau d’endommagement. Cet outil peut s’avérer utilepour diverses applications dans le domaine de surveillance de l’état de santé des structurescomposites. / Composite structures are often exposed to more or less severe dynamic perturbations.These vibrations can develop different forms of damage (fiber fracture, delamination,cracking of the matrix, etc.). Local defects propagate and affect the mechanical propertiesof the structure resulting to modify its global dynamic behavior. These changes can leadto the degradation of the structure and the reduction in its lifetime. This thesis focuseson the implementation of behavior models for the dimensioning of complex structuresintegrating damaged composite sub-structures. The finite element method is used tomodel the linear and nonlinear vibration behavior of these structures where the damageis introduced, initially, via a bilateral model. Since the high computational costs duringthe solving process, a meta-model was developed based on artificial neural networkscoupled with the condensation method of Craig-Bampton. Artificial neural networkspermit to estimate the damage severity at a lower numerical cost without resorting toexact calculation. The bilateral damage model is not adapted to the case of periodic loads.Consequently, the second part of the thesis is oriented towards the development of aunilateral damage model which gives a better description of the mechanical behaviorwhen the micro-cracks are closed. Moreover, in several industrial applications, the usedcomposite structures have small thickness. Therefore, they can naturally have a geometricnon-linear dynamic behavior. The model of dynamic behavior in large displacements andin the presence of material non-linearity of damage is developed and validated. At theend of this thesis, a numerical tool implemented on MATLAB® software was developedintegrating two models of damage, bilateral and unilateral, and a meta-modeling allowingthe localization and the estimation of the damage as well as the prediction of the linear andnon-linear dynamic responses of composite structures, totally or locally, damaged. Theproposed meta-model reduces significantly the computational cost and ensuring a goodaccuracy in terms of localization and estimation of the damage severity. Thereby, thistool can be useful in life-time estimation and monitoring strategies of composite structures.Thèse de

Uncertainty Quantification (UQ) has been an active area of research in recent years with a wide range of applications in data and imaging sciences. In many problems, the source of uncertainty stems from an unknown parameter in the model. In physical and engineering systems for example, the parameters of the partial differential equation (PDE) that model the observed data may be unknown or incompletely specified. In such cases, one may use a probabilistic description based on prior information and formulate a forward UQ problem of characterising the uncertainty in the PDE solution and observations in response to that in the parameters. Conversely, inverse UQ encompasses the statistical estimation of the unknown parameters from the available observations, which can be cast as a Bayesian inverse problem. The contributions of the thesis focus on examining the aforementioned forward and inverse UQ problems for the low-frequency, time-harmonic Maxwell equations, where the model uncertainty emanates from the lack of knowledge of the material conductivity parameter. The motivation comes from the Controlled-Source Electromagnetic Method (CSEM) that aims to detect and image hydrocarbon reservoirs by using electromagnetic field (EM) measurements to obtain information about the conductivity profile of the sub-seabed. Traditionally, algorithms for deterministic models have been employed to solve the inverse problem in CSEM by optimisation and regularisation methods, which aside from the image reconstruction provide no quantitative information on the credibility of its features. This work employs instead stochastic models where the conductivity is represented as a lognormal random field, with the objective of providing a more informative characterisation of the model observables and the unknown parameters. The variational formulation of these stochastic models is analysed and proved to be well-posed under suitable assumptions. For computational purposes the stochastic formulation is recast as a deterministic, parametric problem with distributed uncertainty, which leads to an infinite-dimensional integration problem with respect to the prior and posterior measure. One of the main challenges is thus the approximation of these integrals, with the standard choice being some variant of the Monte-Carlo (MC) method. However, such methods typically fail to take advantage of the intrinsic properties of the model and suffer from unsatisfactory convergence rates. Based on recently developed theory on high-dimensional approximation, this thesis advocates the use of Sparse Quadrature (SQ) to tackle the integration problem. For the models considered here and under certain assumptions, we prove that for forward UQ, Sparse Quadrature can attain dimension-independent convergence rates that out-perform MC. Typical CSEM models are large-scale and thus additional effort is made in this work to reduce the cost of obtaining forward solutions for each sampling parameter by utilising the weighted Reduced Basis method (RB) and the Empirical Interpolation Method (EIM). The proposed variant of a combined SQ-EIM-RB algorithm is based on an adaptive selection of training sets and a primal-dual, goal-oriented formulation for the EIM-RB approximation. Numerical examples show that the suggested computational framework can alleviate the computational costs associated with forward UQ for the pertinent large-scale models, thus providing a viable methodology for practical applications.

La réduction du temps de calcul lors de la résolution de problèmes d’évolution dans le cadre du calcul de structure constitue un enjeu majeur pour, par exemple, la mise en place de critères de rupture des pièces dans le secteur de l’aéronautique et de l’automobile. En particulier, la prédiction du cycle stabilisé des polymères sollicités sous chargement cyclique nécessite de résoudre un problème thermo-viscoélastique à grand nombre de cycles. La présence de différentes échelles de temps telles que le temps de relaxation (viscosité), le temps caractéristique associé au problème thermique et le temps du cycle de chargement conduit à un temps de calcul significatif lorsqu’un schéma incrémental est utilisé comme c’est le cas avec la méthode des éléments finis (MEF). De plus, un nombre important de données doit être stocké (au moins à chaque cycle). L’objectif de cette thèse est de proposer de nouvelles méthodes ainsi que d’étendre des méthodes existantes. Il est choisi de résoudre un problème thermique transitoire cyclique impliquant différentes échelles de temps avec l’objectif de réduire le temps de calcul réduit. Les méthodes proposées font partie des méthodes de réduction de modèles. Tout d’abord, la méthode de décomposition propre généralisée(PGD) a été étendue à un problème transitoire cyclique 3D non linéaire, la non-linéarité a été traitée en combinant la méthode PGD à la Méthode d’interpolation empirique discrète (DEIM), stratégie numérique déjà proposée dans la littérature. Les résultats ont montré l’efficacité de la PGD pour générer des résultats précis par rapport à la solution FEM avec une erreur relative inférieure à (1%). Ensuite, afin de réduire le temps de calcul, une autre approche alternative a été développée. Cette approche est basée sur l’utilisation d’une collection de modes, les modes les plus significatifs, issus de solutions PGD pour différentes échelles de temps et différentes valeurs de paramètres. Un dictionnaire regroupant ces modes est alors utilisé pour construire des solutions pour différents temps caractéristiques et différentes conditions aux limites, uniquement par projection de la solution sur les modes du dictionnaire. Cette approche a été adaptée pour traiter un problème faiblement couplé diffuso-thermique. La nouveauté de cette approche est de considérer un dictionnaire composé de bases spatio-temporelles et non pas uniquement de bases spatiales comme dans la fameuse méthode POD. Les résultats obtenus avec cette approche sont précis et permettent une réduction notable du temps de calcul on line. Néanmoins, lorsque différents temps de cycles sont considérés, le nombre de modes dans le dictionnaire augmente, ce qui en limite son utilisation. Afin de pallier cette limitation,une troisième stratégie numérique est proposée dans cette thèse. Elle consiste à considérer comme a priori connues des bases temporelles, elle est appelée stratégie mixte. L’originalité dans cette approche réside dans la construction de la base temporelle a prior basée sur l’analyse de Fourier de différentes simulations pour différents temps et différentes valeurs des paramètres. Une fois cette étude réalisée, une expression analytique des bases temporelles fonction des paramètres tels que le temps caractéristique et le temps du cycle est proposée. Les bases spatiales associées sont calculées à l’aide d’un algorithme type PGD. Cette méthode est ensuite testée pour la résolution de problèmes thermiques 3D sous chargement cyclique linéaires et non linéaires et un problème faiblement couplé thermo-diffusion. / In the framework of structural calculation, the reduction of computation time plays an important rolein the proposition of failure criteria in the aeronautic and automobile domains. Particularly, the prediction of the stabilized cycle of polymer under cyclic loading requires solving of a thermo-viscoelastic problem with a high number of cycles. The presence of different time scales, such as relaxation time (viscosity), thermal characteristic time (thermal), and the cycle time (loading) lead to a huge computation time when an incremental scheme is used such as with the Finite Element Method (FEM).In addition, an allocation of memory will be used for data storage. The objective of this thesis isto propose new techniques and to extend existent ones. A transient thermal problem with different time scales is considered in the aim of computation time reduction. The proposed methods are called model reduction methods. First, the Proper Generalized Decomposition method (PGD) was extended to a nonlinear transient cyclic 3D problems. The non-linearity was considered by combining the PGD method with the Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM), a numerical strategy used in the literature. Results showed the efficiency of the PGD in generating accurate results compared to the FEM solution with a relative error less than 1%. Then, a second approach was developed in order to reduce the computation time. It was based on the collection of the significant modes calculated from the PGD method for different time scales. A dictionary assembling these modes is then used to calculate the solution for different characteristic times and different boundary conditions. This approach was adapted in the case of a weak coupled diffusion thermal problem. The novelty of this method is to consider a dictionary composed of spatio-temporal bases and not spatial only as usedin the POD. The results showed again an exact reproduction of the solution in addition to a huge time reduction. However, when different cycle times are considered, the number of modes increases which limits the usage of the approach. To overcome this limitation, a third numerical strategy is proposed in this thesis. It consists in considering a priori known time bases and is called the mixed strategy. The originality in this approach lies in the construction of a priori time basis based on the Fourier analysis of different simulations for different time scales and different values of parameters.Once this study is done, an analytical expression of time bases based on parameters such as the characteristic time and the cycle time is proposed. The related spatial bases are calculated using the PGD algorithm. This method is then tested for the resolution of 3D thermal problems under cyclic loading linear and nonlinear and a weak coupled diffusion thermal problem.

Les méthodes de modification structurale sont l'ensemble des techniques qui permettent d'estimer l'influence d'une modification quelconque sur le comportement dynamique d'une structure. Dans le cadre général, le modèle de comportement de la structure cible, comme celui de la modification, peut être aussi bien numérique qu'expérimental. Dans le cadre de ce travail, seul le cas particulier du couplage d'un modèle expérimental de la structure et d'un modèle numérique de la modification sera traité.<br />Les concepts fondamentaux utilisés dans cette thèse sont ensuite présentés. Les relations de la dynamique des structures pour les problèmes discrets sont rappelées, ainsi que les principes de la synthèse modale, de la sous-structuration dynamique et de la réduction de modèle, tout comme la notion de modes d'interface. Les formulations classiques des méthodes de modification structurale sont ensuite détaillées pour en illustrer les limitations et les restrictions.<br />Une formulation originale permettant de prendre en compte les incompatibilités entre les mesures et les DDL de l'interface structure/modification et de régulariser la construction d'un modèle de comportement couplé est alors proposée. Cette première contribution de la thèse repose sur l'utilisation des techniques d'expansion de données et de réduction de modèle. Des indicateurs sont également construits pour estimer la cohérence de la prédiction réalisée. Les évolutions sont appliquées au cas d'un démonstrateur numériques et les résultats sont comparés avec les prédictions réalisées par les méthodes classiques. La méthodologie associée à cette nouvelle formulation est alors largement exposée.<br />L'influence des différents facteurs intervenant dans la construction du modèle couplé et la qualité de la prédiction est ensuite analysée en détail. Cette analyse permet de dresser une liste non exhaustive des précautions à prendre lors de la mise en œuvre de la méthode proposée, depuis la réalisation pratique de l'analyse modale expérimentale jusqu'à l'interprétation des premiers résultats.<br />Enfin, plusieurs applications sont présentées. Une première structure académique démontre la faisabilité de la méthode. Une deuxième étude, réalisée sur un cas industriel, illustre les gains de temps potentiels en comparant la prédiction avec les résultats d'une étude basée sur un modèle EF recalé de la structure. La troisième étude illustre l'application de la méthode dans un cas type. L'analyse modale de la structure cible permet de comprendre le problème, une modification est conçue, réalisée et mise en place. La prédiction est ensuite comparée aux résultats de l'analyse modale de la structure modifiée. Enfin, la dernière application montre les limites de la méthodologie. L'étude multi-objectifs sur une large bande de fréquences d'une structure industrielle permet de faire une ouverture vers la suite des travaux et montre la nature des difficultés à surmonter.

This thesis consists of six papers. The main topic of all these papers is modeling a class of linear time-invariant systems. The system class is parameterized in the context of interpolation theory with a degree constraint. In the papers included in the thesis, this parameterization is the key tool for the design of dynamical system models in fields such as spectral estimation and model reduction. A problem in spectral estimation amounts to estimating a spectral density function that captures characteristics of the stochastic process, such as covariance, cepstrum, Markov parameters and the frequency response of the process. A  model reduction problem consists in finding a small order system which replaces the original one so that the behavior of both systems is similar in an appropriately defined sense.  In Paper A a new spectral estimation technique based on the rational covariance extension theory is proposed. The novelty of this approach is in the design of a spectral density that optimally matches covariances and approximates the frequency response of a given process simultaneously.In Paper B  a model reduction problem is considered. In the literature there are several methods to perform model reduction. Our attention is focused on methods which preserve, in the model reduction phase, the stability and the positive real properties of the original system. A reduced-order model is computed employing the analytic interpolation theory with a degree constraint. We observe that in this theory there is a freedom in the placement of the spectral zeros and interpolation points. This freedom can be utilized for the computation of a rational positive real function of low degree which approximates the best a given system. A problem left open in Paper B is how to select spectral zeros and interpolation points in a systematic way in order to obtain the best approximation of a given system. This problem is the main topic in Paper C. Here, the problem is investigated in the analytic interpolation context and spectral zeros and interpolation points are obtained as solution of a optimization problem.In Paper D, the problem of modeling a floating body by a positive real function is investigated. The main focus is  on modeling the radiation forces and moment. The radiation forces are described as the forces that make a floating body oscillate in calm water. These forces are passive and usually they are modeled with system of high degree. Thus, for efficient computer simulation it is necessary to obtain a low order system which approximates the original one. In this paper, the procedure developed in Paper C is employed. Thus, this paper demonstrates the usefulness of the methodology described in Paper C for a real world application.In Paper E, an algorithm to compute the steady-state solution of a discrete-type Riccati equation, the Covariance Extension Equation, is considered. The algorithm is based on a homotopy continuation method with predictor-corrector steps. Although this approach does not seem to offer particular advantage to previous solvers, it provides insights into issues such as positive degree and model reduction, since the rank of the solution of the covariance extension problem coincides with the degree of the shaping filter. In Paper F a new algorithm for the computation of the analytic interpolant of a bounded degree is proposed. It applies to the class of non-strictly positive real interpolants and it is capable of treating the case with boundary spectral zeros. Thus, in Paper~F, we deal with a class of interpolation problems which could not be treated by the optimization-based algorithm proposed by Byrnes, Georgiou and Lindquist. The new procedure computes interpolants by solving a system of nonlinear equations. The solution of the system of nonlinear equations is obtained by a homotopy continuation method. / QC 20100721

This thesis is divided into two parts. The first part deals with theNevanlinna-Pick interpolation problem, a problem which occursnaturally in several applications such as robust control, signalprocessing and circuit theory. We consider the problem of shaping andapproximating solutions to the Nevanlinna-Pick problem in a systematicway. In the second part, we study distance measures between powerspectra for spectral estimation. We postulate a situation where wewant to quantify robustness based on a finite set of covariances, andthis leads naturally to considering the weak*-topology. Severalweak*-continuous metrics are proposed and studied in this context.In the first paper we consider the correspondence between weighted entropyfunctionals and minimizing interpolants in order to find appropriateinterpolants for, e.g., control synthesis. There are two basic issues that weaddress: we first characterize admissible shapes of minimizers bystudying the corresponding inverse problem, and then we developeffective ways of shaping minimizers via suitable choices of weights.These results are used in order to systematize feedback controlsynthesis to obtain frequency dependent robustness bounds with aconstraint on the controller degree.The second paper studies contractive interpolants obtained as minimizersof a weighted entropy functional and analyzes the role of weights andinterpolation conditions as design parameters for shaping theinterpolants. We first show that, if, for a sequence of interpolants,the values of the corresponding entropy gains converge to theoptimum, then the interpolants converge in H_2, but not necessarily inH-infinity. This result is then used to describe the asymptoticbehaviour of the interpolant as an interpolation point approaches theboundary of the domain of analyticity.A quite comprehensive theory of analytic interpolation with degreeconstraint, dealing with rational analytic interpolants with an apriori bound, has been developed in recent years. In the third paper,we consider the limit case when this bound is removed, and only stableinterpolants with a prescribed maximum degree are sought. This leadsto weighted H_2 minimization, where the interpolants areparameterized by the weights. The inverse problem of determining theweight given a desired interpolant profile is considered, and arational approximation procedure based on the theory is proposed. Thisprovides a tool for tuning the solution for attaining designspecifications. The purpose of the fourth paper is to study the topology and develop metricsthat allow for localization of power spectra, based on second-orderstatistics. We show that the appropriate topology is theweak*-topology and give several examples on how to construct suchmetrics. This allows us to quantify uncertainty of spectra in anatural way and to calculate a priori bounds on spectral uncertainty,based on second-order statistics. Finally, we study identification ofspectral densities and relate this to the trade-off between resolutionand variance of spectral estimates.In the fifth paper, we present an axiomatic framework for seekingdistances between power spectra. The axioms requirethat the sought metric respects the effects of additive andmultiplicative noise in reducing our ability to discriminate spectra.They also require continuity of statistical quantities withrespect to perturbations measured in the metric. We then present aparticular metric which abides by these requirements. The metric isbased on the Monge-Kantorovich transportation problem and iscontrasted to an earlier Riemannian metric based on theminimum-variance prediction geometry of the underlying time-series. Itis also being compared with the more traditional Itakura-Saitodistance measure, as well as the aforementioned prediction metric, ontwo representative examples. / QC 20100817