A incerteza é um elemento fundamental da realidade. Então, torna-se natural a busca por métodos que nos permitam representar o desconhecido em termos matemáticos. Esses problemas originam uma grande classe de programas probabilísticos reconhecidos como modelos de programação estocástica. Eles são mais realísticos que os modelos determinísticos, e tem por objetivo incorporar a incerteza em suas definições. Essa tese aborda os problemas probabilísticos da classe de problemas de multi-estágio com incerteza e com restrições probabilísticas e com restrições probabilísticas conjuntas. Inicialmente, nós propomos um modelo de administração de ativos e passivos multi-estágio estocástico para a indústria de fundos de pensão brasileira. Nosso modelo é formalizado em conformidade com a leis e políticas brasileiras. A seguir, dada a relevância dos dados de entrada para esses modelos de otimização, tornamos nossa atenção às diferentes técnicas de amostragem. Elas compõem o processo de discretização desses modelos estocásticos Nós verificamos como as diferentes metodologias de amostragem impactam a solução final e a alocação do portfólio, destacando boas opções para modelos de administração de ativos e passivos. Finalmente, nós propomos um “framework” para a geração de árvores de cenário e otimização de modelos com incerteza multi-estágio. Baseados na tranformação de Knuth, nós geramos a árvore de cenários considerando a representação filho-esqueda, irmão-direita o que torna a simulação mais eficiente em termos de tempo e de número de cenários. Nós também formalizamos uma reformulação do modelo de administração de ativos e passivos baseada na abordagem extensiva implícita para o modelo de otimização. Essa técnica é projetada pela definição de um processo de filtragem com “bundles”; e codifciada com o auxílio de uma linguagem de modelagem algébrica. A eficiência dessa metodologia é testada em um modelo de administração de ativos e passivos com incerteza com restrições probabilísticas conjuntas. Nosso framework torna possível encontrar a solução ótima para árvores com um número razoável de cenários. / Uncertainty is a key element of reality. Thus, it becomes natural that the search for methods allows us to represent the unknown in mathematical terms. These problems originate a large class of probabilistic programs recognized as stochastic programming models. They are more realistic than deterministic ones, and their aim is to incorporate uncertainty into their definitions. This dissertation approaches the probabilistic problem class of multistage stochastic problems with chance constraints and joint-chance constraints. Initially, we propose a multistage stochastic asset liability management (ALM) model for a Brazilian pension fund industry. Our model is formalized in compliance with the Brazilian laws and policies. Next, given the relevance of the input parameters for these optimization models, we turn our attention to different sampling models, which compose the discretization process of these stochastic models. We check how these different sampling methodologies impact on the final solution and the portfolio allocation, outlining good options for ALM models. Finally, we propose a framework for the scenario-tree generation and optimization of multistage stochastic programming problems. Relying on the Knuth transform, we generate the scenario trees, taking advantage of the left-child, right-sibling representation, which makes the simulation more efficient in terms of time and the number of scenarios. We also formalize an ALM model reformulation based on implicit extensive form for the optimization model. This technique is designed by the definition of a filtration process with bundles, and coded with the support of an algebraic modeling language. The efficiency of this methodology is tested in a multistage stochastic ALM model with joint-chance constraints. Our framework makes it possible to reach the optimal solution for trees with a reasonable number of scenarios.

In this thesis, we study a series of closely related multi-stage stochastic programming models in production planning, from both a modeling and an algorithmic point of view. We first consider a very simple multi-stage stochastic lot-sizing problem, involving a single item with no fixed charge and capacity constraint. Although a multi-stage stochastic integer program, this problem can be shown to have a totally unimodular constraint matrix. We develop primal and dual algorithms by exploiting the problem structure. Both algorithms are strongly polynomial, and therefore much more efficient than the Simplex method. Next, motivated by applications in semiconductor tool planning, we develop a general capacity planning problem under uncertainty. Using a scenario tree to model the evolution of the uncertainties, we present a multi-stage stochastic integer programming formulation for the problem. In contrast to earlier two-stage approaches, the multi-stage model allows for revision of the capacity expansion plan as more information regarding the uncertainties is revealed. We provide analytical bounds for the value of multi-stage stochastic programming over the two-stage approach. By exploiting the special simple stochastic lot-sizing substructure inherent in the problem, we design an efficient approximation scheme and show that the proposed scheme is asymptotically optimal. We conduct a computational study with respect to a semiconductor-tool-planning problem. Numerical results indicate that even an approximate solution to the multi-stage model is far superior to any optimal solution to the two-stage model. These results show that the value of multi-stage stochastic programming for this class of problem is extremely high. Next, we extend the simple stochastic lot-sizing model to an infinite horizon problem to study the planning horizon of this problem. We show that an optimal solution of the infinite horizon problem can be approximated by optimal solutions of a series of finite horizon problems, which implies the existence of a planning horizon. We also provide a useful upper bound for the planning horizon.

A incerteza é um elemento fundamental da realidade. Então, torna-se natural a busca por métodos que nos permitam representar o desconhecido em termos matemáticos. Esses problemas originam uma grande classe de programas probabilísticos reconhecidos como modelos de programação estocástica. Eles são mais realísticos que os modelos determinísticos, e tem por objetivo incorporar a incerteza em suas definições. Essa tese aborda os problemas probabilísticos da classe de problemas de multi-estágio com incerteza e com restrições probabilísticas e com restrições probabilísticas conjuntas. Inicialmente, nós propomos um modelo de administração de ativos e passivos multi-estágio estocástico para a indústria de fundos de pensão brasileira. Nosso modelo é formalizado em conformidade com a leis e políticas brasileiras. A seguir, dada a relevância dos dados de entrada para esses modelos de otimização, tornamos nossa atenção às diferentes técnicas de amostragem. Elas compõem o processo de discretização desses modelos estocásticos Nós verificamos como as diferentes metodologias de amostragem impactam a solução final e a alocação do portfólio, destacando boas opções para modelos de administração de ativos e passivos. Finalmente, nós propomos um “framework” para a geração de árvores de cenário e otimização de modelos com incerteza multi-estágio. Baseados na tranformação de Knuth, nós geramos a árvore de cenários considerando a representação filho-esqueda, irmão-direita o que torna a simulação mais eficiente em termos de tempo e de número de cenários. Nós também formalizamos uma reformulação do modelo de administração de ativos e passivos baseada na abordagem extensiva implícita para o modelo de otimização. Essa técnica é projetada pela definição de um processo de filtragem com “bundles”; e codifciada com o auxílio de uma linguagem de modelagem algébrica. A eficiência dessa metodologia é testada em um modelo de administração de ativos e passivos com incerteza com restrições probabilísticas conjuntas. Nosso framework torna possível encontrar a solução ótima para árvores com um número razoável de cenários. / Uncertainty is a key element of reality. Thus, it becomes natural that the search for methods allows us to represent the unknown in mathematical terms. These problems originate a large class of probabilistic programs recognized as stochastic programming models. They are more realistic than deterministic ones, and their aim is to incorporate uncertainty into their definitions. This dissertation approaches the probabilistic problem class of multistage stochastic problems with chance constraints and joint-chance constraints. Initially, we propose a multistage stochastic asset liability management (ALM) model for a Brazilian pension fund industry. Our model is formalized in compliance with the Brazilian laws and policies. Next, given the relevance of the input parameters for these optimization models, we turn our attention to different sampling models, which compose the discretization process of these stochastic models. We check how these different sampling methodologies impact on the final solution and the portfolio allocation, outlining good options for ALM models. Finally, we propose a framework for the scenario-tree generation and optimization of multistage stochastic programming problems. Relying on the Knuth transform, we generate the scenario trees, taking advantage of the left-child, right-sibling representation, which makes the simulation more efficient in terms of time and the number of scenarios. We also formalize an ALM model reformulation based on implicit extensive form for the optimization model. This technique is designed by the definition of a filtration process with bundles, and coded with the support of an algebraic modeling language. The efficiency of this methodology is tested in a multistage stochastic ALM model with joint-chance constraints. Our framework makes it possible to reach the optimal solution for trees with a reasonable number of scenarios.

A incerteza é um elemento fundamental da realidade. Então, torna-se natural a busca por métodos que nos permitam representar o desconhecido em termos matemáticos. Esses problemas originam uma grande classe de programas probabilísticos reconhecidos como modelos de programação estocástica. Eles são mais realísticos que os modelos determinísticos, e tem por objetivo incorporar a incerteza em suas definições. Essa tese aborda os problemas probabilísticos da classe de problemas de multi-estágio com incerteza e com restrições probabilísticas e com restrições probabilísticas conjuntas. Inicialmente, nós propomos um modelo de administração de ativos e passivos multi-estágio estocástico para a indústria de fundos de pensão brasileira. Nosso modelo é formalizado em conformidade com a leis e políticas brasileiras. A seguir, dada a relevância dos dados de entrada para esses modelos de otimização, tornamos nossa atenção às diferentes técnicas de amostragem. Elas compõem o processo de discretização desses modelos estocásticos Nós verificamos como as diferentes metodologias de amostragem impactam a solução final e a alocação do portfólio, destacando boas opções para modelos de administração de ativos e passivos. Finalmente, nós propomos um “framework” para a geração de árvores de cenário e otimização de modelos com incerteza multi-estágio. Baseados na tranformação de Knuth, nós geramos a árvore de cenários considerando a representação filho-esqueda, irmão-direita o que torna a simulação mais eficiente em termos de tempo e de número de cenários. Nós também formalizamos uma reformulação do modelo de administração de ativos e passivos baseada na abordagem extensiva implícita para o modelo de otimização. Essa técnica é projetada pela definição de um processo de filtragem com “bundles”; e codifciada com o auxílio de uma linguagem de modelagem algébrica. A eficiência dessa metodologia é testada em um modelo de administração de ativos e passivos com incerteza com restrições probabilísticas conjuntas. Nosso framework torna possível encontrar a solução ótima para árvores com um número razoável de cenários. / Uncertainty is a key element of reality. Thus, it becomes natural that the search for methods allows us to represent the unknown in mathematical terms. These problems originate a large class of probabilistic programs recognized as stochastic programming models. They are more realistic than deterministic ones, and their aim is to incorporate uncertainty into their definitions. This dissertation approaches the probabilistic problem class of multistage stochastic problems with chance constraints and joint-chance constraints. Initially, we propose a multistage stochastic asset liability management (ALM) model for a Brazilian pension fund industry. Our model is formalized in compliance with the Brazilian laws and policies. Next, given the relevance of the input parameters for these optimization models, we turn our attention to different sampling models, which compose the discretization process of these stochastic models. We check how these different sampling methodologies impact on the final solution and the portfolio allocation, outlining good options for ALM models. Finally, we propose a framework for the scenario-tree generation and optimization of multistage stochastic programming problems. Relying on the Knuth transform, we generate the scenario trees, taking advantage of the left-child, right-sibling representation, which makes the simulation more efficient in terms of time and the number of scenarios. We also formalize an ALM model reformulation based on implicit extensive form for the optimization model. This technique is designed by the definition of a filtration process with bundles, and coded with the support of an algebraic modeling language. The efficiency of this methodology is tested in a multistage stochastic ALM model with joint-chance constraints. Our framework makes it possible to reach the optimal solution for trees with a reasonable number of scenarios.

This dissertation addresses the modeling and solution of mixed-integer linear multistage stochastic programming problems involving both endogenous and exogenous uncertain parameters. We propose a composite scenario tree that captures both types of uncertainty, and we exploit its unique structure to derive new theoretical properties that can drastically reduce the number of non-anticipativity constraints (NACs). Since the reduced model is often still intractable, we discuss two special solution approaches. The first is a sequential scenario decomposition heuristic in which we sequentially solve endogenous MILP subproblems to determine the binary investment decisions, fix these decisions to satisfy the first-period and exogenous NACs, and then solve the resulting model to obtain a feasible solution. The second approach is Lagrangean decomposition. We present numerical results for a process network planning problem and an oilfield development planning problem. The results clearly demonstrate the efficiency of the special solution methods over solving the reduced model directly. To further generalize this work, we also propose a graph-theory algorithm for non-anticipativity constraint reduction in problems with arbitrary scenario sets. Finally, in a break from the rest of the thesis, we present the basics of stochastic programming for non-expert users.

This thesis deals with multi-stage stochastic programming in the context of random process representation. Basic structure for random process is a scenario tree. The thesis introduces general and stage-independent scenario tree and their properties. Scenario trees can be also combined with Markov chains which describe the state of the system and determine which scenario tree should be used. Another structure which enables reduce the complexity of the problem is a scenario lattice. Scenario generation is performed using moment method. Scenario trees are used for representation of random returns as the input to the investment problem.

This thesis deals with multi-stage stochastic programming in the context of random process representation. Basic structure for random process is a scenario tree. The thesis introduces general and stage-independent scenario tree and their properties. Scenario trees combined with Markov chains are also introduced. Markov chains states determine if there is a crisis period or not. Information about historical number of crises helps us to construct a scenario lattice. Scenario generation is performed using moment method. Scenario trees are used as an input to the investment problem.

The thesis deals with a multistage stochastic model and its application to a number of practical problems. Special attention is devoted to the case where a random element follows an autoregressive sequence and the constraint sets correspond to the individual probability constraints. For this case conditions under which is the problem well-defined are specified. Further, the approximation of the problem and its convergence rate under the empirical estimate of the distribution function is analyzed. Finally, an example of the investment in financial instruments is solved, which is defined as a two-stage stochastic programming problem with the probability constraint and a random element following an autoregressive sequence. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

[pt] Esta tese é composta por quatro artigos que descrevem diferentes formas de inclusão de aversão a risco em problemas dinâmicos, ressaltando seus aspectos teóricos e consequências práticas envolvidas em técnicas de otimização sob incerteza aplicadas a problemas financeiros. O primeiro artigo propões uma interpretação econômica e analisa as consequencias práticas da consistência temporal, em que particular para o problema de seleção de portfólio. No segunfo artigo, também aplicado à seleção de portfólio, é proposto um modelo que considera empréstimo como variável de decisão e uma função convexa e linear por partes que representa a existência de diversos credores com diferentes limites de crédito e taxas de juros. A performance do modelo proposto é melhor que as aproximações existentes e garante otimalidade para a situação de vários credores. No terceiro artigo, desenvolve-se um modelo de emissão de títulos de dívida de uma empresa que seja financiar um conjunto pré-determinado de projetos. Trata-se de um modelo de otimização dinâmico sob incerteza que considera títulos pré e pós-fixados com diferentes maturidades e formas de amortização. As principais contribuições são o tratammento de um horizonte longuíssimo prazo através de uma estrutura híbrida dos cenários; a modelagem detalhada do pagamento de cupons e amortizações; o desenvolvimento de uma função objetivo multi-critério que reflete o trade-off entre risco-retorno além de outras medidas de performance financeiras como a taxa de alavancagem (razão passivos sobre ativos). No quarto artigo é desenvolvido um modelo de programação estocástica multi-estágio para obter a política ótima de caixa de uma empresa cujo custo de investimento e o custo da dívida são incertos e modelados em diferentes regimes. As contribuições são a extensão de metodologia de equilíbrio dual para um modelo estocástico; a proposição de uma regra de decisão baseada na estrutura de regime dos fatores de risco que aproxima de forma satisfatória o modelo original. / [en] This PhD Thesis is composed of four working papers, each one with a respective chapter on this thesis, with contributions on risk averse stochastic programming models. In particular, it focuses on analyzing the practical consequences of certain theoretical concepts of decision theory, finance and optimization. The first working paper analyzes the practical consequences and the economic interpretation of time consistent optimal policies, in particular for well known portfolio selection problem. The second paper has also a contribution to the portfolio selection literature. Indeed, we develop leverage optimal strategy considering a single-period debt with a piecewise linear borrowing cost function, which represents the actual situation faced by investors, and show a significant gap in comparison to the suboptimal solutions obtained by the usual linear approximation. Moreover, we develop a multistage extension where our cost function indirectly penalizes the excess of leverage, which is closely related to the contribution of the next working paper. The contribution of the third working paper is to penalize excess of leverage in a debt issuance multistage model that optimizes over several types of bonds with fixed or floating rate, different maturities and amortization patterns. For the sake of dealing with the curse of dimensionality of a long term problem, we divide the planning horizon into a detailed part at the beginning followed by a policy rule approximation for the remainder. Indeed, our approximation mitigates the end effects of a truncated model which is closely related to the contributions of the forth working paper. The forth paper develops a multistage model that seeks to obtain the optimal cash holding policy of a firm. The main contributions are a methodology to end effect treatment for a multistage model with infinite horizon and the development of a policy rule as approximation of the optimal solution.