[pt] A regularidade de Catelnuovo-Munford r de uma variedade V contida no espaço projetivo P, n, k é um limite superior para o grau das hipersuperfícies que definem V. Neste trabalho damos uma cota superior para r quando V é uma curva aritmeticamente Cohen-Macaulay e subcanônica que é invariante por um campo vetorial sobre o espaço projetivo P, n, k (com coeficientes em um fibrado de retas), sob certas condições no corpo k. Além disso, damos uma cota superior para r (ou ainda, para o grau de V), quando V é uma hipersuperfície solução de um campo de Pfaff de posto 1 sobre o espaço projetivo P, n, k, sob certas condições no corpo k. Estes limites obtidos são generalizações do limite dado por E. Esteves em [17]. / [en] The Castelnuovo-Mumford regularity r of the variety V contained in a projective space P, n, k is an upper bound for the degrees of the hypersurfaces necessary to cut out V. In this work we give a bound for r when V is an arithmetically Cohen-Macaulay and sub-canonical curve which is invariant by a vector field on projective space P, n, k with coefficients in an invertible sheaf, under some conditions on the field k. Furthermore, we give a bound for r (i.e.for the degree of the V) when V is a hypersurface solution of the Pfaff equation of the rank 1, under some conditions on the field k. In both limits we consider the positions of the singularities of the V. These limits are the generalizations of the bounds given by E. Esteves in [17].

[pt] Campos vetoriais são resultados comuns em simuladores físicos. Simulações em modelos de reservatórios de petróleo podem nos fornecer, por exemplo, dados relativos ao fluxo de óleo, água e gás. Para um melhor entendimento de tais dados, entretanto, é interessante o uso de uma técnica de visualização que permita a identificação de características locais e tendências globais no campo. Este trabalho propõe uma técnica para visualização de campos vetoriais 3D baseada em GPU que utiliza o algoritmo de convolução de integral de linha (LIC) em 2D para a visualização da componente tangencial à superfície projetada no espaço da tela. Dados relativos à magnitude e componente normal são apresentados através de uma escala de cores bidimensional. Para fixar a imagem resultante do LIC no modelo é proposto um esquema simples baseado em coordenadas de texturas aleatórias, eliminando a necessidade de textura sólida 3D para armazenar o ruído branco. Filtros para animação da imagem de LIC foram adaptados para permitir velocidade variável de acordo com a magnitude do campo. Para melhoria da imagem final, o algoritmo de LIC é aplicado em duas passadas e o resultado é submetido a um filtro de passa-alta. O framework desenvolvido como parte do trabalho foi explorado no contexto da visualização de fluxos em modelos de reservatório de petróleo e de gradientes de altura em terrenos. No caso específico de reservatórios, é proposta uma variação da técnica que permite visualização simultânea de fluxos de óleo, gás e água. / [en] Vector fields are common results of physics simulators. Simulations over black-oil reservoirs, for instance, can generate oil, water and gas flow data. For a better understanding of such data, however, it s interesting to use a visualization technique that allows a better identification of local characteristics and global tendencies of the field. This work proposes a technique for visualization of 3D vector fields that is GPU-based and uses the 2D line integral convolution (LIC) algorithm to visualize the component tangential to the surface projected on screen space. Data related to magnitude and normal component are presented through a 2-dimensional color scale. A simple scheme based on randomly generated texture coordinates is proposed to fixate the resulting LIC image to the model, avoiding flickering during model manipulation and eliminating the need for a solid 3D texture noise. For animation, we adjust the use of filters to ensure that the animation speed varies in accordance to the field magnitude. To enhance the final image, the LIC algorithm is applied in two passes and the result is put through a high-pass filter. The framework developed as part of this work has been applied in the context of visualizing flow in black-oil reservoir models and height gradients in terrains. In the specific case of reservoirs, a variation from the main technique is proposed to allow simultaneous visualization of oil, gas and water flows.

[pt] Campos vetoriais representam um papel principal em diversas aplicações científicas. Eles são comumente gerados via simulações computacionais. Essas simulações podem ser um processo custoso, dado que em muitas vezes elas requerem alto tempo computacional. Quando pesquisadores desejam quantificar a incerteza relacionada a esse tipo de aplicação, costuma-se gerar um conjunto de realizações de campos vetoriais, o que torna o processo ainda mais custoso. A Decomposição de Helmholtz-Hodge é uma ferramenta útil para a interpretação de campos vetoriais uma vez que ela distingue componentes conservativos (livre de rotação) de componentes que preservam massa (livre de divergente). No presente trabalho, vamos explorar a aplicabilidade de tal técnica na análise de incerteza de campos vetoriais 2D. Primeiramente, apresentaremos uma abordagem utilizando a Decomposição de Helmholtz-Hodge como uma ferramenta básica na análise de conjuntos de campos vetoriais. Dado um conjunto de campos vetoriais epsilon, obtemos os conjuntos formados pelos componentes livre de rotação, livre de divergente e harmônico, aplicando a Decomposição Natural de Helmholtz- Hodge em cada campo vetorial em epsilon. Com esses conjuntos em mãos, nossa proposta não somente quantifica, por meio de análise estatística, como cada componente é pontualmente correlacionado ao conjunto de campos vetoriais original, como também permite a investigação independente da incerteza relacionado aos campos livre de rotação, livre de divergente e harmônico. Em sequência, propomos duas técnicas que em conjunto com a Decomposição de Helmholtz-Hodge geram, de forma estocástica, campos vetoriais a partir de uma única realização. Por fim, propomos também um método para sintetizar campos vetoriais a partir de um conjunto, utilizando técnicas de Redução de Dimensionalidade e Projeção Inversa. Testamos os métodos propostos tanto em campos sintéticos quanto em campos numericamente simulados. / [en] Vector field plays an essential role in a large range of scientific applications. They are commonly generated through computer simulations. Such simulations may be a costly process because they usually require high computational time. When researchers want to quantify the uncertainty in such kind of applications, usually an ensemble of vector fields realizations are generated, making the process much more expensive. The Helmholtz-Hodge Decomposition is a very useful instrument for vector field interpretation because it traditionally distinguishes conservative (rotational-free) components from mass-preserving (divergence-free) components. In this work, we are going to explore the applicability of such technique on the uncertainty analysis of 2-dimensional vector fields. First, we will present an approach of the use of the Helmholtz-Hodge Decomposition as a basic tool for the analysis of a vector field ensemble. Given a vector field ensemble epsilon, we firstly obtain the corresponding rotational-free, divergence-free and harmonic component ensembles by applying the Natural Helmholtz-Hodge Decomposition to each1 vector field in epsilon. With these ensembles in hand, our proposal not only quantifies, via a statistical analysis, how much each component ensemble is point-wisely correlated to the original vector field ensemble, but it also allows to investigate the uncertainty of rotational-free, divergence-free and harmonic components separately. Then, we propose two techniques that jointly with the Helmholtz-Hodge Decomposition stochastically generate vector fields from a single realization. Finally, we propose a method to synthesize vector fields from an ensemble, using both the Dimension Reduction and Inverse Projection techniques. We test the proposed methods with synthetic vector fields as well as with simulated vector fields.

[pt] Arnold no seu trabalho The asymptotic Hopf Invariant and its applications de 1986, considerou sobre um domínio (ômega maiúsculo) compacto de R3 com bordo suave e homología trivial campos X e Y de divergência nula e tangentes ao bordo de (ômega maiúsculo) e definiu o índice de enlaçamento assintótico lk(X; Y ) e o invariante de Hopf associados a X e Y pela integral I(X; Y ) igual a (integral em ômega maiúsculo de alfa produto d-beta), onde (d-alfa) igual a iX-vol e (d-beta) igual a iy-vol, e mostrou que I(X; Y ) igual a lk(X; Y ). Agora, no presente trabalho estenderemos estas definições de índices de enlaçamento assintótico lk(fi maiúsculo,xi maiúsculo) e de invariante de Hopf I(fi maiúsculo,xi maiúsculo), onde (fi maiúsculo) e (xi maiúsculo) são ações de Rk e de Rs, k mais s igual a n-1, respectivamente de difeomorfismos que preservam volume em (ômega maiúsculo n) a bola unitária fechada em Rn e mostraremos que lk (fi maiúsculo, xi maiúsculo) igual a I(fi maiúsculo,xi maiúsculo). / [en] V.I. Arnold, in his paper The algebraic Hopf invariant and its applications published in 1986, considered a compact domain (ômega maiúsculo) in R3 with a smooth boundary and trivial homology and two divergence free vector fields X and Y in (ômega maiúsculo) tangent to the boundary. He defined an asymptotic linking invariant lk(X; Y ) and a Hopf invariant associated to X and Y by the integral I(X; Y ) equal (integral em ômega maiúsculo de alfa produto d-beta) where (d-alfa) equal iX-vol e (d-beta) equal iy- vol. He showed that que I(X; Y ) equal lk(X; Y ). In the present work we extend these definitions of the asymptotic linking invariant lk(fi capital letter,xi capital letter) and the Hopf invariant I(fi maiúsculo,xi capital letter) where (fi capital letter) and (xi capital letter) are actions Rk and Rs, k plus s equal n-1 by volume preserving diffeomorphisms, on the closed unit ball (ômega capital letter n) in and we show lk (fi capital letter, xi capital lette r equal I(ficapital letter ,xi capital letter).