[pt] Nesta tese estudamos a extensão da desigualdade fraca de Harnack até o bordo para uma equação de segunda ordem elíptica geral na forma divergência, assumindo pouca regularidade sobre o operador diferencial. Assim, generalizamos e unificamos todos os resultados precedentes deste tipo. Como aplicação, mostramos estimativas a priori para uma classe de problemas elípticos quasilineares com crescimento quadratico no gradiente e investigamos, sob várias hipóteses, a multiplicidade das soluções obtidas para este problema. / [en] This thesis focuses on global extension of the interior weak Harnack inequality for a general class of divergence-type elliptic equations, under very weak regularity assumptions on the differential operator. In this way we generalize and unify all previous results of this type. As an application, we prove a priori estimates for a class of quasilinear elliptic problems with quadratic growth on the gradient and we investigate, under various assumptions, the multiplicity of the solutions obtained for this problem.