[pt] Nesta tese estudamos a extensão da desigualdade fraca de Harnack até o bordo para uma equação de segunda ordem elíptica geral na forma divergência, assumindo pouca regularidade sobre o operador diferencial. Assim, generalizamos e unificamos todos os resultados precedentes deste tipo. Como aplicação, mostramos estimativas a priori para uma classe de problemas elípticos quasilineares com crescimento quadratico no gradiente e investigamos, sob várias hipóteses, a multiplicidade das soluções obtidas para este problema. / [en] This thesis focuses on global extension of the interior weak Harnack inequality for a general class of divergence-type elliptic equations, under very weak regularity assumptions on the differential operator. In this way we generalize and unify all previous results of this type. As an application, we prove a priori estimates for a class of quasilinear elliptic problems with quadratic growth on the gradient and we investigate, under various assumptions, the multiplicity of the solutions obtained for this problem.

[pt] Neste trabalho examinamos equações completamente não-lineares em dois contextos distintos. A princípio, estudamos jogos de campo médio completamente não-lineares. Aqui, examinamos ganhos de regularidade para as soluções do problema, existência de soluções, resultados de relaxação e aspectos particulares de um example explícito. A segunda metade da tese dedica-se à regularidade ótima das soluções de um modelo completamente não-linear que degenera-se com respeito ao gradiente das soluções. A pergunta fundamental subjacente a ambos os tópicos diz respeito aos efeitos da elipticidade sobre propriedades intrínsecas das soluções de equações não-lineares. Mais precisamente, no caso dos jogos de campo médio, a elipticidade parece magnificada pelos efeitos do acoplamento, enquanto no caso dos problemas degenerados, esta quantidade colapsa em sub-regiões do domínio, dando origem a delicados fenômenos. Nossa análise inclui um breve contexto da inserção do trabalho. / [en] In this thesis, we examine fully nonlinear problems in two distinct contexts. The first part of our work focuses on fully nonlinear mean-field games. In this context, we examine gains of regularity, the existence of solutions, relaxation results, and particular aspects of a one-dimensional problem. The second half of the thesis concerns a (sharp) regularity theory for fully nonlinear equations degenerating with respect to the gradient of the solutions. The fundamental question underlying both topics regards the effects of ellipticity on the intrinsic properties of solutions to nonlinear equations. To be more precise, in the case of mean-field game systems, ellipticity seems to be magnified through the coupling structure. On the other hand, in the degenerate setting, ellipticity collapses, giving rise to intricate regularity phenomena. Our analysis is preceded by some context on both topics.

[pt] A equação de Isaacs é um exemplo importante de equação elíptica totalmente não-linear, aparecendo em uma grande variedade de disciplinas. Um fato de interesse particular é que tais equações são dirigidas por operadores não convexos. Portanto, são compatíveis com a teoria de EvansKrylov e apresentam delicados desafios quando se trata de sua teoria da regularidade. Descrevemos uma série de resultados recentes sobre a teoria da regularidade da Equação de Isaacs. Estas cobrem estimativas nos espaços Hölder e Sobolev. Argumentamos através de um método genuinamente geométrico, importando informações de uma equação de Bellman relacionada. / [en] Isaacs equation is an important example of fully nonlinear elliptic equation, appearing in a wide of disciplines. Of particular interest is the fact that such equations are driven by nonconvex operators. Therefore, it falls off the scope of the Evans-Krylov theory and poses additional, delicate, challenges when it comes to its regularity theory. We describe a series of recent results on the regularity theory of the Isaacs equation. These cover estimates in Holder and Sobolev spaces. We argue through a genuinely geometrical method, by importing information from a related Bellman equation.