[pt] A investigação da geometria quântica em semicondutores e isoladores tornou-se significativa devido às suas implicações nas características dos materiais. A noção de geometria quântica surge considerando a métrica quântica do estado de Bloch da banda de valência, que é definido a partir da sobreposição dos estados de Bloch em momentos ligeiramente diferentes. Ao integrar a métrica quântica em toda a zona de Brillouin, introduzimos uma quantidade que chamamos de número de fidelidade, que significa a distância média entre estados de Bloch adjacentes. Além disso, apresentamos um formalismo para expressar o número de fidelidade como um marcador de fidelidade local no espaço real que pode ser definido em qualquer sítio da rede. O marcador pode ser calculado diretamente diagonalizando o hamiltoniano da rede que descreve o comportamento das partículas na rede. Posteriormente, o conceito de número e marcador de fidelidade é estendido para temperatura finita utilizando a teoria de resposta linear, conectando-os a medições experimentais que envolvem analisar o poder de absorção óptica global e local quando o material é exposto à luz linearmente polarizada. Particularmente para materiais bidimensionais, a opacidade do material permite a determinação direta do número de fidelidade espectral, permitindo a detecção experimental do número de fidelidade. Finalmente, um marcador de fidelidade não local é introduzido considerando a divergência da métrica quântica. Este marcador é postulado como um indicador universal de transições de fase quântica, assumindo que o momento cristalino permanece um número quântico válido. Este marcador não local pode ser interpretado como uma função de correlação dos estados de Wannier, que são funções de onda localizadas que descrevem estados eletrônicos em um cristal. A generalidade e aplicabilidade destes conceitos são demonstradas através da investigação de vários isoladores topológicos e transições de fase topológicas em diferentes dimensões. Essas descobertas elaboram o significado dessas quantidades e sua conexão com vários fenômenos fundamentais na física da matéria condensada. / [en] The investigation of quantum geometry in semiconductors and insulators has become significant due to its implications for material characteristics. The notion of quantum geometry arises by considering the quantum metric of the valence-band Bloch state, which is defined from the overlap of the Bloch states at slightly different momenta. By integrating the quantum metric through-out the Brillouin zone, we introduce a quantity that we call fidelity number, which signifies the average distance between adjacent Bloch states. Furthermore, we present a formalism to express the fidelity number as a local fidelity marker in real space that can be defined on every lattice site. The marker can be calculated directly by diagonalizing the lattice Hamiltonian that describes particle behavior on the lattice. Subsequently, the concept of the fidelity number and marker is extended to finite temperature using linear-response theory, connecting them to experimental measurements which involves analyze the global and local optical absorption power when the material is exposed to linearly polarized light. Particularly for two-dimensional materials, the material s opacity enables straightforward determination of the fidelity number spectral, allowing for experimental detection of the fidelity number. Finally, a nonlocal fidelity marker is introduced by considering the divergence of the quantum metric. This marker is postulated as a universal indicator of quantum phase transitions, assuming the crystalline momentum remains a valid quantum number. This nonlocal marker can be interpreted as a correlation function of Wannier states, which are localized wave functions describing electronic states in a crystal. The generality and applicability of these concepts are demonstrated through the investigation of various topological insulators and topological phase transitions across different dimensions. These findings elaborate the significance of these quantities and their connection to various fundamental phenomena in condensed matter physics.

[pt] A geometria quântica na física da matéria condensada nos permite entender várias propriedades geométricas dos estados da zona de Brillouin, como a curvatura de Berry e a métrica quântica. Especialmente em relação a esta última, foram observados estudos que mostram sua relação com a supercondutividade. Motivados por estas investigações, esta dissertação visa investigar as propriedades geométricas quânticas de supercondutores singletos, como os tipos s-wave e d-wave, e identificar sua relação com várias respostas eletromagnéticas. Começamos mostrando a descrição desses supercondutores através da teoria do campo médio, posteriormente analisando sua métrica quântica, que é definida pela sobreposição de dois estados de quasihole em momentos ligeiramente diferentes. Subsequentemente, estudamos o número de fidelidade, que é definido como a integração de momento da métrica quântica e representa a distância média entre estados de quasihole vizinhos. Além disso, expressamos esse número de fidelidade como um marcador de fidelidade definido localmente em cada sítio da rede, o que nos permite observar o efeito de impurezas não magnéticas nesse marcador. Para supercondutores de tipo s-wave, mostramos que respostas eletromagnéticas como a absorção no infravermelho estão relacionadas à métrica quântica, enquanto, por outro lado, a corrente paramagnética e a função dielétrica estão relacionadas ao número de fidelidade, que por sua vez é determinado pelo comprimento de coerência. Por outro lado, para supercondutores de tipo d-wave, observamos que sua métrica quântica mostra um comportamento singular e que seu número de fidelidade diverge. O resultado mais relevante desta dissertação é que descobrimos que supercondutores singletos, descritos pela teoria do campo médio BCS, exibem uma métrica quântica não trivial, e que para supercondutores de tipo s-wave as respostas eletromagnéticas mencionadas estão diretamente relacionadas à geometria quântica, o que não havia sido encontrado anteriormente. / [en] Quantum geometry in condensed matter physics allows us to understand various geometric properties of the Brillouin zone states, such as the Berry curvature and the quantum metric. Especially in relation to the latter, studies have been observed that show its relationship with superconductivity. Motivated by these investigations, this dissertation aims to investigate the quantum geometric properties of singlet superconductors, such as s-wave and d-wave types, and identify their relation to various electromagnetic responses. We begin by showing the description of these superconductors through mean field theory, subsequently analyzing their quantum metric, which is defined by the overlap of two quasihole states at slightly different momenta. Subsequently, we study the fidelity number, which is defined as the momentum integration of the quantum metric and represents the average distance between neighboring quasihole states. Furthermore, we express this fidelity number as a fidelity marker defined locally at each lattice site, which allows us to observe the effect of non-magnetic impurities on this marker. For s-wave superconductors, we show that electromagnetic responses such as infrared absorption are related to the quantum metric, while on the other hand, the paramagnetic current and the dielectric function are related to the fidelity number, which in turn is determined by the coherence length. On the other hand, for d-wave super-conductors, we observe that their quantum metric shows a singular behavior and that their fidelity number diverges. The most relevant result of this dissertation is that we have discovered that singlet superconductors, described by the BCS mean field theory, exhibit a nontrivial quantum metric, and that for s-wave superconductors the aforementioned electromagnetic responses are directly related to the quantum geometry, which has not been found previous.