[pt] Um dos resultados fundamentais na mecânica clássica é que, para sistemas lineares com n graus de liberdade, existem n modos de vibração ortogonais e que as freqüências naturais são independentes da amplitude de vibração. Além disso, qualquer movimento da estrutura pode ser obtido como uma combinação linear desses modos. No caso de sistemas não-lineares, isto não mais se verifica e a relação entre freqüência, amplitude e os modos de vibração precisa ser determinada. A obtenção dessas informações para estruturas se dá em geral pelo uso de programas de análise não-linear baseados em uma formulação em elementos finitos. Contudo, isto é um procedimento custoso computacionalmente. Uma abordagem mais viável é o uso de modelos discretos compatíveis de baixa dimensão, por meio dos quais as freqüências e os modos não- lineares são obtidos. Neste trabalho é proposto um procedimento para a derivação de modelos de redução de dimensão para vigas e pórticos planos esbeltos. As equações diferenciais de movimento são obtidas a partir da aplicação das técnicas variacionais a um funcional não-linear de energia. A obtenção do modelo se dá através do emprego dos métodos de Ritz ou Galerkin para a redução espacial e do balanço harmônico para redução no tempo. Os modos lineares são utilizados como uma primeira aproximação para os modos não-lineares. As relações freqüência-amplitude são satisfatoriamente obtidas para vibrações livre e forçada (não-amortecida e amortecida). Entretanto, essas curvas apresentam, em geral, no regime não-linear, pontos limites, sendo obtidas, portanto, com uso do método do controle de comprimento de arco. Uma correção para o modo- linear é obtida com uso dos métodos dos elementos finitos e da perturbação. Um estudo paramétrico e das condições de contorno é apresentado para vigas. O comportamento não-linear de pórticos em L é também analisado. Para esses pórticos é estudada a influência de cargas axiais e da geometria. Os resultados são comparados com soluções analíticas encontradas na literatura. / [en] One of the fundamental results in classical mechanics is that linear systems with n degrees of freedom have n orthogonal vibration modes and n natural frequencies which are independent of the vibration amplitude. Any motion of the system can be obtained as a linear combination of these modes. This does not hold for nonlinear systems in which case amplitude dependent vibrations modes and frequencies must be obtained. One way of obtaining these informations for arbitrary structures is to use a nonlinear finite element software. However, this is a cumbersome and time consuming procedure. A better approach is to derive a consistent low dimensional model from which the nonlinear frequencies and mode shapes can be derived. In this work a procedure for the derivation of low dimensional models for slender beams and portal frames is proposed. The differential equations of motion are derived from the application of variational techniques to a nonlinear energy functional. The linear vibration modes are used as a first approximation for the nonlinear modes. The Galerkin and Ritz methods are used in the model for the spatial reduction and the harmonic balance method for the reduction in time domain. This allows the analysis of the free and forced (damped or undamped) vibrations of the structure in non- linear regime. However nonlinear resonance curves usually presents limit points. To obtain these curves, a methodology for the solution of non-linear equations based on an arc-length procedure is derived. Based on the finite element methods and using the basic ideas of the perturbation theory, a correction for the nonlinear vibration modes is derived. The influence of boundary conditions, geometric, and force parameters on the beam response is analyzed. The behavior of L frames is studied. For this kind of frame, the influence of axial loading and geometric parameters on the response is studied. The results are compared with analytical solutions found in the literature.

[pt] O uso de materiais sustentáveis e os resultados das pesquisas sobre energias renováveis têm sido aplicados nas obras civis que buscam estar à vanguarda no fornecimento de sistemas construtivos novos, leves, resistentes e de baixo custo. Dentre estes materiais, o bambu é uma solução que apresenta características químicas, físicas e mecânicas compatíveis e em muitos aspectos superiores em comparação com os materiais industrializados. Pesquisas desenvolvidas no Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, desde 1979, fornecem dados de caracterização do bambu como material de construção, porém estudos mais aprofundados sobre seu desempenho estrutural se fazem necessários. Neste trabalho procura-se avaliar o comportamento de uma estrutura de pórtico plano em modelo reduzido sob carregamento estático e dinâmico. Os resultados se comparam com os de um modelo reduzido em aço. O bambu ensaiado é da espécie Phyllostachys aurea, que foi estudado na PUC–Rio anteriormente. Os dados coletados em relação às propriedades físicas, mecânicas e dinâmicas se verificam usando as normas ISO-22157-1 e ISO/TR 22157-2 que existem para estabelecer as propriedades físicas e mecânicas sujeitas à carga estática. Nos pórticos de modelos reduzidos é aplicada as cargas estáticas vertical e lateral para avaliar a resposta no regime elástico e plástico, e assim, comparar ao comportamento dos materiais segundo suas propriedades, como à deformação permanente e o comportamento rígido-plástico. Na análise dinâmica, realizam-se ensaios de vibração livre aplicando deslocamento inicial, para identificar os parâmetros modais estruturais que correspondem aos valores de amortecimento coeficiente de amortecimento (igual) 1,5 por cento e coeficiente de amortecimento (igual) 2,3 por cento e frequência natural de 13 Hz e 35 Hz, em segmentos de bambu e nos modelos de pórtico respectivamente. / [en] The use of green and ecological materials in addition to the renewable energy in civil engineering are leading provider of new building systems, lightweight, durable and inexpensive are reality at the present time. Among these materials, bamboo is a solution that has some chemical, physical and mechanical properties compatible and in many cases even superior in comparison with industrialized materials. Studies carried out in the Department of Civil Engineering of PUC-Rio, since 1979, generated technical data concerning the chemical, physical and mechanical characterization of bamboo as a building material. Further studies on its structural performance in different forms and geometry are needed for establishing the method of calculation of bamboo structures. This study presents the results of an investigation for the evaluation of the behavior of a plane frame structure subjected to lateral and vertical static and only lateral dynamic loading. This work is the first investigation on the dynamic behavior of the bamboo frame, in the available technical literature. To achieve this objective and to compare the obtained results with those of a steel model, bamboo plane frame of the same scale using the species Phyllostachys aurea, was prepared. The physical and mechanical properties of the bamboo were established using ISO-22157-1, ISO/TR22157-2 recommendations for static load. In the plane frame models a static load is applied to evaluate the response in the elastic and plastic regime. In turn the obtained data are compared with those of steel plane frame. In dynamic analysis, free vibration tests were performed in bamboo segments and plane models frame applying initial displacement. The values of damping damping coefficient (equal) 1,5 percent and damping coefficient (equal) 2,3 percent and the natural frequencies of 13 Hz and 35 Hz for the segment and the bamboo portal frame models respectively were obtained.

[pt] O presente trabalho visa dar complemento à ferramenta gráfica interativa previamente criada com a finalidade de modelar e dimensionar vigas e pilares em concreto armado, inserindo no dimensionamento a não linearidade física. A ferramenta existente tem como base o programa FTOOL, que de maneira didática permite modelar e realiza análise estrutural em duas dimensões, resultando em deslocamentos, reações e esforços internos. Com base nos esforços e dados iniciais da estrutura tais como materiais, seções e cobrimento, a nova ferramenta altera a rigidez das seções para que se considere os efeitos de fissuração e fluência do concreto, além da relação não linear entre tensão e deformação. É necessário inserir uma análise da rigidez das seções, que após a fissuração da peça, na transição do Estádio I para o Estádio II, têm sua rigidez reduzida, cálculo este feito pela rigidez secante obtida pelos diagramas momento-curvatura. Desta forma, é necessário reavaliar a rigidez das diversas seções de maneira iterativa, fazendo-se a redistribuição de esforços de acordo com a variação das rijezas nas seções dos elementos estruturais. Propõe-se a comparação entre a recomendação da NBR 6118:2014, item 15.7.3, para consideração aproximada da não linearidade física e a rigidez secante obtida pelas relações momento-curvatura, tanto para os pilares como para as vigas. Para isso são estudados três exemplos de estruturas onde compara-se os resultados obtidos para os esforços internos, armadura e deslocamento. / [en] The present work aims to complement the graphic-interactive tool previously created for modeling and designing reinforced concrete beams and columns, introducing the material nonlinearity in the design. The existant tool is based on the FTOOL program, which didactically allows to model and performs structural analysis in two dimensions, resulting in deflections, reactions ans internal forces. Based on the forces and initial data of the structure such as materials, cross sections and concrete covering, the new tool changes the cross sections stiffnesses to consider the effects of concrete cracking and creep, besides the nonlinear relationships between tensions and deformations. It is necessary to introduce an analysis of the section stiffnesses, which after cracking, in the transition between stages I and II, presents a reduction in its stiffiness, that is evaluated by the secant stiffness from the moment-curvature diagrams. Thus, it is necessary to reevaluate the stiffness of the several sections iteratively, performing the redistribuition of the forces according to the vaiation of stiffness on the structural elements. It is proposed the comparison between the recommendation of NBR 6118 (ABNT, 2014), in its topic 15.7.3, for the approximate consideration of material nonlinearity and the secant stiffness obtained by the moment-curvature relationships, both for columns and beams. So three examples of structures are studied, in which the results obtained for internal forces, reinforcement and displacement are compared.