This document introduces a new class of adaptive filters, namely Geometric- Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Those are generated by formulating the underlying minimization problem (a least-squares cost function) from the perspective of Geometric Algebra (GA), a comprehensive mathematical language well-suited for the description of geometric transformations. Also, differently from the usual linear algebra approach, Geometric Calculus (the extension of Geometric Algebra to differential calculus) allows to apply the same derivation techniques regardless of the type (subalgebra) of the data, i.e., real, complex-numbers, quaternions etc. Exploiting those characteristics, among others, a general leastsquares cost function is posed, from which two types of GAAFs are designed. The first one, called standard, provides a generalization of regular adaptive filters for any subalgebra of GA. From the obtained update rule, it is shown how to recover the following least-mean squares (LMS) adaptive filter variants: real-entries LMS, complex LMS, and quaternions LMS. Mean-square analysis and simulations in a system identification scenario are provided, showing almost perfect agreement for different levels of measurement noise. The second type, called pose estimation, is designed to estimate rigid transformations { rotation and translation - in n-dimensional spaces. The GA-LMS performance is assessed in a 3-dimensional registration problem, in which it is able to estimate the rigid transformation that aligns two point clouds that share common parts. / Este documento introduz uma nova classe de filtros adaptativos, entitulados Geometric-Algebra Adaptive Filters (GAAFs). Eles s~ao projetados via formulação do problema de minimização (uma função custo de mínimos quadrados) do ponto de vista de álgebra geométrica (GA), uma abrangente linguagem matemática apropriada para a descrição de transformações geométricas. Adicionalmente, diferente do que ocorre na formulação com álgebra linear, cálculo geométrico (a extensão de álgebra geométrica que possibilita o uso de cálculo diferencial) permite aplicar as mesmas técnicas de derivação independentemente do tipo de dados (subálgebra), isto é, números reais, números complexos, quaternions etc. Usando essas e outras características, uma função custo geral de mínimos quadrados é proposta, da qual dois tipos de GAAFs são gerados. O primeiro, chamado standard, generaliza filtros adaptativos da literatura concebidos sob a perspectiva de subálgebras de GA. As seguintes variantes do filtro least-mean squares (LMS) s~ao obtidas como casos particulares: LMS real, LMS complexo e LMS quaternions. Uma análise mean-square é desenvolvida e corroborada por simulações para diferentes níveis de ruído de medição em um cenário de identificação de sistemas. O segundo tipo, chamado pose estimation, é projetado para estimar transformações rígidas - rotação e translação { em espaços n-dimensionais. A performance do filtro GA-LMS é avaliada em uma aplicação de alinhamento tridimensional na qual ele estima a tranformação rígida que alinha duas nuvens de pontos com partes em comum.

Este trabalho apresenta uma solução geral para a detecção de alinhamentos de dados em conjuntos multidimensionais não ordenados e ruidosos. Nesta abordagem, o tipo requerido de alinhamento de dados pode ser uma forma geométrica (e.g., linha reta, plano, círculo, esfera, seção cônica, entre outras) ou qualquer estrutura, com dimensionalidade arbitrária, que possa ser caracterizada por um subespaço linear. A detecção é realizada por meio de um procedimento composto por três etapas. Na etapa de inicialização, um espaço de parâmetros com p (n − p) dimensões é definido de modo que cada ponto neste espaço represente uma instância do alinhamento requerido, descrito por um subespaço p-dimensional em um domínio n-dimensional. Em seguida, uma grade de acumuladores é criada como sendo a representação discreta do espaço de parâmetros. Na segunda etapa do procedimento, cada elemento no conjunto de dados de entrada (também um subespaço no domínio n-dimensional) é mapeado para o espaço de parâmetros como os pontos (no espaço de parâmetros) representando os subespaços requeridos que contém ou que estão contidos no elemento de entrada. À medida que os elementos de entrada são mapeados, as células do acumulador relacionadas com o mapeamento são incrementadas pelo valor de importância do elemento mapeado. A etapa final do procedimento recupera os subespaços p-dimensionais que melhor se ajustam aos dados de entrada como sendo os máximos locais na grade de acumuladores. A parametrização proposta é independente das propriedades geométricas dos alinhamentos a serem detectados. Além disso, o procedimento de mapeamento é independente do tipo de dado de entrada e é capaz de se adaptar a elementos com dimensionalidades arbitrárias. Essas características permitem a utilização da técnica (sem a necessidade de modificações) como uma ferramenta para a detecção de padrões em uma grande quantidade de aplicações. Por conta de sua natureza geral, otimizações desenvolvidas para a abordagem proposta beneficiam, de forma imediata, todos os casos de detecção. Neste trabalho eu demonstro uma implementação em software da técnica proposta e mostro que ela pode ser aplicada tanto em casos simples de detecção, quanto na detecção concorrente de tipos diferentes de alinhamentos, com diferentes interpretações geométricas e em conjuntos de dados compostos por vários tipos de elementos. Esta dissertação também apresenta uma extensão do esquema de detecção para dados de entrada com distribuição Gaussiana de incerteza. A extensão proposta produz distribuições de valores mais suaves na grade de acumuladores e faz com que a técnica fique mais robusta à detecção de subespaços espúrios. / This dissertation presents a generalized closed-form framework for detecting data alignments in large unordered noisy multidimensional datasets. In this approach, the intended type of data alignment may be a geometric shape (e.g., straight line, plane, circle, sphere, conic section, among others) or any other structure, with arbitrary dimensionality that can be characterized by a linear subspace. The detection is performed using a three-step process. In the initialization, a p (n − p)-dimensional parameter space is defined in such a way that each point in this space represents an instance of the intended alignment described by a p-dimensional subspace in some n-dimensional domain. In turn, an accumulator array is created as the discrete representation of the parameter space. In the second step each input entry (also a subspace in the n-dimensional domain) is mapped to the parameter space as the set of points representing the intended p-dimensional subspaces that contain or are contained by the entry. As the input entries are mapped, the bins of the accumulator related to such a mapping are incremented by the importance value of the entry. The subsequent and final step retrieves the p-dimensional subspaces that best fit input data as the local maxima in the accumulator array. The proposed parameterization is independent of the geometric properties of the alignments to be detected. Also, the mapping procedure is independent of the type of input data and automatically adapts to entries of arbitrary dimensionality. This allows application of the proposed approach (without changes) in a broad range of applications as a pattern detection tool. Given its general nature, optimizations developed for the proposed framework immediately benefit all the detection cases. I demonstrate a software implementation of the proposed technique and show that it can be applied in simple detection cases as well as in concurrent detection of multiple kinds of alignments with different geometric interpretations, in datasets containing multiple types of data. This dissertation also presents an extension of the general detection scheme to data with Gaussian-distributed uncertainty. The proposed extension produces smoother distributions of values in the accumulator array and makes the framework more robust to the detection of spurious subspaces.

Este trabalho apresenta uma solução geral para a detecção de alinhamentos de dados em conjuntos multidimensionais não ordenados e ruidosos. Nesta abordagem, o tipo requerido de alinhamento de dados pode ser uma forma geométrica (e.g., linha reta, plano, círculo, esfera, seção cônica, entre outras) ou qualquer estrutura, com dimensionalidade arbitrária, que possa ser caracterizada por um subespaço linear. A detecção é realizada por meio de um procedimento composto por três etapas. Na etapa de inicialização, um espaço de parâmetros com p (n − p) dimensões é definido de modo que cada ponto neste espaço represente uma instância do alinhamento requerido, descrito por um subespaço p-dimensional em um domínio n-dimensional. Em seguida, uma grade de acumuladores é criada como sendo a representação discreta do espaço de parâmetros. Na segunda etapa do procedimento, cada elemento no conjunto de dados de entrada (também um subespaço no domínio n-dimensional) é mapeado para o espaço de parâmetros como os pontos (no espaço de parâmetros) representando os subespaços requeridos que contém ou que estão contidos no elemento de entrada. À medida que os elementos de entrada são mapeados, as células do acumulador relacionadas com o mapeamento são incrementadas pelo valor de importância do elemento mapeado. A etapa final do procedimento recupera os subespaços p-dimensionais que melhor se ajustam aos dados de entrada como sendo os máximos locais na grade de acumuladores. A parametrização proposta é independente das propriedades geométricas dos alinhamentos a serem detectados. Além disso, o procedimento de mapeamento é independente do tipo de dado de entrada e é capaz de se adaptar a elementos com dimensionalidades arbitrárias. Essas características permitem a utilização da técnica (sem a necessidade de modificações) como uma ferramenta para a detecção de padrões em uma grande quantidade de aplicações. Por conta de sua natureza geral, otimizações desenvolvidas para a abordagem proposta beneficiam, de forma imediata, todos os casos de detecção. Neste trabalho eu demonstro uma implementação em software da técnica proposta e mostro que ela pode ser aplicada tanto em casos simples de detecção, quanto na detecção concorrente de tipos diferentes de alinhamentos, com diferentes interpretações geométricas e em conjuntos de dados compostos por vários tipos de elementos. Esta dissertação também apresenta uma extensão do esquema de detecção para dados de entrada com distribuição Gaussiana de incerteza. A extensão proposta produz distribuições de valores mais suaves na grade de acumuladores e faz com que a técnica fique mais robusta à detecção de subespaços espúrios. / This dissertation presents a generalized closed-form framework for detecting data alignments in large unordered noisy multidimensional datasets. In this approach, the intended type of data alignment may be a geometric shape (e.g., straight line, plane, circle, sphere, conic section, among others) or any other structure, with arbitrary dimensionality that can be characterized by a linear subspace. The detection is performed using a three-step process. In the initialization, a p (n − p)-dimensional parameter space is defined in such a way that each point in this space represents an instance of the intended alignment described by a p-dimensional subspace in some n-dimensional domain. In turn, an accumulator array is created as the discrete representation of the parameter space. In the second step each input entry (also a subspace in the n-dimensional domain) is mapped to the parameter space as the set of points representing the intended p-dimensional subspaces that contain or are contained by the entry. As the input entries are mapped, the bins of the accumulator related to such a mapping are incremented by the importance value of the entry. The subsequent and final step retrieves the p-dimensional subspaces that best fit input data as the local maxima in the accumulator array. The proposed parameterization is independent of the geometric properties of the alignments to be detected. Also, the mapping procedure is independent of the type of input data and automatically adapts to entries of arbitrary dimensionality. This allows application of the proposed approach (without changes) in a broad range of applications as a pattern detection tool. Given its general nature, optimizations developed for the proposed framework immediately benefit all the detection cases. I demonstrate a software implementation of the proposed technique and show that it can be applied in simple detection cases as well as in concurrent detection of multiple kinds of alignments with different geometric interpretations, in datasets containing multiple types of data. This dissertation also presents an extension of the general detection scheme to data with Gaussian-distributed uncertainty. The proposed extension produces smoother distributions of values in the accumulator array and makes the framework more robust to the detection of spurious subspaces.

Este trabalho apresenta uma solução geral para a detecção de alinhamentos de dados em conjuntos multidimensionais não ordenados e ruidosos. Nesta abordagem, o tipo requerido de alinhamento de dados pode ser uma forma geométrica (e.g., linha reta, plano, círculo, esfera, seção cônica, entre outras) ou qualquer estrutura, com dimensionalidade arbitrária, que possa ser caracterizada por um subespaço linear. A detecção é realizada por meio de um procedimento composto por três etapas. Na etapa de inicialização, um espaço de parâmetros com p (n − p) dimensões é definido de modo que cada ponto neste espaço represente uma instância do alinhamento requerido, descrito por um subespaço p-dimensional em um domínio n-dimensional. Em seguida, uma grade de acumuladores é criada como sendo a representação discreta do espaço de parâmetros. Na segunda etapa do procedimento, cada elemento no conjunto de dados de entrada (também um subespaço no domínio n-dimensional) é mapeado para o espaço de parâmetros como os pontos (no espaço de parâmetros) representando os subespaços requeridos que contém ou que estão contidos no elemento de entrada. À medida que os elementos de entrada são mapeados, as células do acumulador relacionadas com o mapeamento são incrementadas pelo valor de importância do elemento mapeado. A etapa final do procedimento recupera os subespaços p-dimensionais que melhor se ajustam aos dados de entrada como sendo os máximos locais na grade de acumuladores. A parametrização proposta é independente das propriedades geométricas dos alinhamentos a serem detectados. Além disso, o procedimento de mapeamento é independente do tipo de dado de entrada e é capaz de se adaptar a elementos com dimensionalidades arbitrárias. Essas características permitem a utilização da técnica (sem a necessidade de modificações) como uma ferramenta para a detecção de padrões em uma grande quantidade de aplicações. Por conta de sua natureza geral, otimizações desenvolvidas para a abordagem proposta beneficiam, de forma imediata, todos os casos de detecção. Neste trabalho eu demonstro uma implementação em software da técnica proposta e mostro que ela pode ser aplicada tanto em casos simples de detecção, quanto na detecção concorrente de tipos diferentes de alinhamentos, com diferentes interpretações geométricas e em conjuntos de dados compostos por vários tipos de elementos. Esta dissertação também apresenta uma extensão do esquema de detecção para dados de entrada com distribuição Gaussiana de incerteza. A extensão proposta produz distribuições de valores mais suaves na grade de acumuladores e faz com que a técnica fique mais robusta à detecção de subespaços espúrios. / This dissertation presents a generalized closed-form framework for detecting data alignments in large unordered noisy multidimensional datasets. In this approach, the intended type of data alignment may be a geometric shape (e.g., straight line, plane, circle, sphere, conic section, among others) or any other structure, with arbitrary dimensionality that can be characterized by a linear subspace. The detection is performed using a three-step process. In the initialization, a p (n − p)-dimensional parameter space is defined in such a way that each point in this space represents an instance of the intended alignment described by a p-dimensional subspace in some n-dimensional domain. In turn, an accumulator array is created as the discrete representation of the parameter space. In the second step each input entry (also a subspace in the n-dimensional domain) is mapped to the parameter space as the set of points representing the intended p-dimensional subspaces that contain or are contained by the entry. As the input entries are mapped, the bins of the accumulator related to such a mapping are incremented by the importance value of the entry. The subsequent and final step retrieves the p-dimensional subspaces that best fit input data as the local maxima in the accumulator array. The proposed parameterization is independent of the geometric properties of the alignments to be detected. Also, the mapping procedure is independent of the type of input data and automatically adapts to entries of arbitrary dimensionality. This allows application of the proposed approach (without changes) in a broad range of applications as a pattern detection tool. Given its general nature, optimizations developed for the proposed framework immediately benefit all the detection cases. I demonstrate a software implementation of the proposed technique and show that it can be applied in simple detection cases as well as in concurrent detection of multiple kinds of alignments with different geometric interpretations, in datasets containing multiple types of data. This dissertation also presents an extension of the general detection scheme to data with Gaussian-distributed uncertainty. The proposed extension produces smoother distributions of values in the accumulator array and makes the framework more robust to the detection of spurious subspaces.