Submitted by Marco Antônio de Ramos Chagas (mchagas@ufv.br) on 2015-11-12T13:17:51Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1082850 bytes, checksum: e652565e5953a1e93915f35cfdcaf7f4 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-12T13:17:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1082850 bytes, checksum: e652565e5953a1e93915f35cfdcaf7f4 (MD5) Previous issue date: 2015-01-30 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Neste trabalho apresentamos as categorias cluster, que foram introduzidas por Aslak Bakke Buan, Robert Marsh, Markus Reineke, Idun Reiten e Gordana Todorov, com o objetivo de categoriíicar as algebras cluster criadas em 2002 por Sergey Fomin e Andrei Zelevinsky. Os autores acima, em [4], mostraram que existe uma estreita relação entre algebras cluster e categorias cluster para quivers cujo grafo subjacente é um diagrama de Dynkin. Para isto desenvolveram uma teoria tilting na estrutura triangulada das categorias cluster. Este resultado foi generalizado mais tarde por Philippe Caldero e Bernhard Keller em [8] para quivers do tipo acíclico. O objetivo principal desta dissertação e estudar como a teoria tilting sobre cluster permite estabelecer a relação entre estas estruturas e apresentar exemplos. / In this work we present the cluster categories, which were introduced by Aslak Bakke Buan, Robert Marsh, Markus Reineke, Idun Reiten and Gordana Todorov, with objective of categoriíication cluster algebras created in 2002 by Sergey Fornin and Andrei Zelevinsky. The authors above, on [4], showed that there is a close relationship between cluster algebras and cluster categories for quivers whose un- derlying graph is a Dynkin diagrarn. For this they develOped a tilting theory in the triangulated structure of the cluster categories. This result was later generalized by Philippe Caldero and Bernhard Keller on [8] for quivers of the acyclic type. The main objective of this dissertation is to study how the tilting theory about cluster enables establish the relationship between these structures and present examples.

Submitted by Cláudia Bueno (claudiamoura18@gmail.com) on 2015-10-29T19:17:43Z No. of bitstreams: 2 Tese - Elisângela Silva Dias - 2015.pdf: 1107380 bytes, checksum: e288bc934158fa879639c403bb15ba54 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-11-03T14:30:02Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Elisângela Silva Dias - 2015.pdf: 1107380 bytes, checksum: e288bc934158fa879639c403bb15ba54 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-03T14:30:02Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Elisângela Silva Dias - 2015.pdf: 1107380 bytes, checksum: e288bc934158fa879639c403bb15ba54 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-09-09 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás - FAPEG / Cluster algebras form a class of commutative algebra, introduced at the beginning of the millennium by Fomin and Zelevinsky. They are defined constructively from a set of generating variables (cluster variables) grouped into overlapping subsets (clusters) of fixed cardinality. Since its inception, the theory of cluster algebras found applications in many areas of science, specially in mathematics. In this thesis, we study, with computational focus, the recognition of cluster algebras of finite type. In 2006, Barot, Geiss and Zelevinsky showed that a cluster algebra is of finite type whether the associated graph is cyclically oriented, i.e., all chordless cycles of the graph are cyclically oriented, and whether the skew-symmetrizable matrix associated has a positive quasi-Cartan companion. At first, we studied the two topics independently. Related to the first part of the criteria, we developed an algorithm that lists all chordless cycles (polynomial on the length of those cycles) and another that checks whether a graph is cyclically oriented and, if so, list all their chordless cycles (polynomial on the number of vertices). Related to the second part of the criteria, we developed some theoretical results and we also developed a polynomial algorithm that checks whether a quasi-Cartan companion matrix is positive. The latter algorithm is used to prove that the problem of deciding whether a skew-symmetrizable matrix has a positive quasi-Cartan companion for general graphs is in NP class. We conjecture that this problem is in NP-complete class.We show that the same problem belongs to the class of polynomial problems for cyclically oriented graphs and, finally, we show that deciding whether a cluster algebra is of finite type also belongs to this class. / As álgebras cluster formam uma classe de álgebras comutativas introduzida no início do milênio por Fomin e Zelevinsky. Elas são definidas de forma construtiva a partir de um conjunto de variáveis geradoras (variáveis cluster) agrupadas em subconjuntos sobrepostos (clusters) de cardinalidade fixa. Desde a sua criação, a teoria das álgebras cluster encontrou aplicações em diversas áreas da matemática e afins. Nesta tese, estudamos, com foco computacional, o reconhecimento das álgebras cluster de tipo finito. Em 2006, Barot, Geiss e Zelevinsky mostraram que uma álgebra cluster é de tipo finito se o grafo associado é ciclicamente orientado, isto é, todos os ciclos sem corda do grafo são ciclicamente orientados, e se a matriz antissimetrizável associada possui uma companheira quase-Cartan positiva. Em um primeiro momento, estudamos os dois tópicos de forma independente. Em relação à primeira parte do critério, elaboramos um algoritmo que lista todos os ciclos sem corda (polinomial no tamanho destes ciclos) e outro que verifica se um grafo é ciclicamente orientado e, em caso positivo, lista todos os seus ciclos sem corda (polinomial na quantidade de vértices). Relacionado à segunda parte do critério, desenvolvemos alguns resultados teóricos e elaboramos um algoritmo polinomial que verifica se uma matriz companheira quase-Cartan é positiva. Este último algoritmo é utilizado para provar que o problema de decidir se uma matriz antissimetrizável tem uma companheira quase-Cartan positiva para grafos gerais está na classe NP. Conjecturamos que este problema pertence à classe NP-completa. Mostramos que o mesmo pertence à classe de problemas polinomiais para grafos ciclicamente orientados e, por fim, mostramos que decidir se uma álgebra cluster é de tipo finito também pertence a esta classe.