Submitted by Marco Antônio de Ramos Chagas (mchagas@ufv.br) on 2015-11-12T13:17:51Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1082850 bytes, checksum: e652565e5953a1e93915f35cfdcaf7f4 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-12T13:17:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 1082850 bytes, checksum: e652565e5953a1e93915f35cfdcaf7f4 (MD5) Previous issue date: 2015-01-30 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Neste trabalho apresentamos as categorias cluster, que foram introduzidas por Aslak Bakke Buan, Robert Marsh, Markus Reineke, Idun Reiten e Gordana Todorov, com o objetivo de categoriíicar as algebras cluster criadas em 2002 por Sergey Fomin e Andrei Zelevinsky. Os autores acima, em [4], mostraram que existe uma estreita relação entre algebras cluster e categorias cluster para quivers cujo grafo subjacente é um diagrama de Dynkin. Para isto desenvolveram uma teoria tilting na estrutura triangulada das categorias cluster. Este resultado foi generalizado mais tarde por Philippe Caldero e Bernhard Keller em [8] para quivers do tipo acíclico. O objetivo principal desta dissertação e estudar como a teoria tilting sobre cluster permite estabelecer a relação entre estas estruturas e apresentar exemplos. / In this work we present the cluster categories, which were introduced by Aslak Bakke Buan, Robert Marsh, Markus Reineke, Idun Reiten and Gordana Todorov, with objective of categoriíication cluster algebras created in 2002 by Sergey Fornin and Andrei Zelevinsky. The authors above, on [4], showed that there is a close relationship between cluster algebras and cluster categories for quivers whose un- derlying graph is a Dynkin diagrarn. For this they develOped a tilting theory in the triangulated structure of the cluster categories. This result was later generalized by Philippe Caldero and Bernhard Keller on [8] for quivers of the acyclic type. The main objective of this dissertation is to study how the tilting theory about cluster enables establish the relationship between these structures and present examples.

Con el objeto de iniciarme en la tarea de realizar investiación en Matemáticas y Lógica Matemática, Aldo V. Figallo, mi pa-dre y director de este trabajo, me sugirió comenzar con el análisis de un sistema proposicional algebrizable, o más preci-samente, la versión algebraica de ese sistema proposicional. Entonces, con este objetivo, me propuso en primer lugar que estudiara un trabajo bastante reciente y de complejidad consi-derable, cuyo autor es N. Bezhanishvili, al que tituló Varietries of two-dimensional cylindric algebras. part I: Diagonal-free case, el cuál fue publicado en el año 2002, en las páginas 11 a 42 de la primera sección del volumen 48 de la prestigiosa re-vista Algebra universalis. Entre otros resultados, Bezhanishvili estableció que la variedad de las álgebras cilimdricas de dimen-sión 2 librer de elementos diagonales (o Df2-álgebras), tiene la particularidad que toda subvariedad propia es localmente finita. Este hecho sugiere de manera natural, investigar a las álgebras finitas. Por otra parte, como las Df2-álgebras consti-tuyen una ampliación de las álgebras de Boole monádicas de Halmos, también hemos extendido algunos resultados sobre las álgebras de Boole Monádicas al caso de las Df2-álgebras, que por supuesto no fueron establecidos previamente poor Bezhanishvili. Al trabajo lo hemos organizado en cuatro capí-tulos. El Cap. I, Introducción y preliminares, contiene cuatro secciones y los temas que hemos incluido en ellas son resultados bien conocidos, pero necesarios tanto para facilitar la lectura, como para introducir notaciones y dejar fijadas cuáles serán las definiciones que utilizaremos posteriormente. El Cap. II, Representaciones de las Df2 álgebras, tiene tres secciones y en él obtenemos dos representación para las Df2 áñgebras. La primera "vía" álgebras de equivalencia y la segunda por medio álgebras funcionales. Es en este capítulo donde extendemos resultados de Halmos para las álgebras de Boole monádicas. El Cap. III, Df2 álgebras finitas, consta de cinco secciones. En una de ellas describimos las Df2 álgebras subdirectamente irreducibles, en otra probamos que en este caso toda álgebra no trivial es producto directo de álgebras subdirectamente irreducibles, y en la sección final utilizamos resultados que hemos obtenido para las Df2 álgebras y los utilizamos para obtener una nueva solución del problema de determinar las subálgebras monádicas de un álgebra de Boole monádica finita. Finalmente, el Cap. IV, Variedades de Df2-álgebras, tiene dos secciones. En la primera nos abocamos al problema de determinar las subálgebras de un álgebra finita dada, y en la segunda analizamos el retículo de las subvarie-dadesde la variedad de las Df2-álgebras. Casi todos los resul-tados obtenidos en esta tesis los hemos expuesto en congre-sos nacionales e internacionales (ver[15,16,17,18,19]). Algu-nos de stos resultados los hemos publicado ([20]) y otros están en vias de publicación ([21]). / In 1955, P. Halmos introduced the notion of (existential) quantifier on a Boolean algebra and called monadic Boolean algebras any pari (A, E) formed by a Boolean algebra A and q quantifier E defined on A (see [23]). It is well-known that the-se algebras constitute the algebraic counterpart of the monadic predicate calculus of classical logic. In 1968 A. Diego and R. Panzone, while investigating certain type of problemas related with the theory of probabilities, considered Boolean set algebras endowed with two quantifiers which, in addition, commuted (see [14]). They introduced what they called biadic Boolean algebras as triples (A, E1, E2), where A is a Boolean algebra, E1, E2 are quantifiers on A that commute, i.e., they satisfy the additional property: E1E2x=E2E1x for al x E A. These algebras constiture a particular case of the cylindric algebras introduced by A. Tarski, L. Chin y F Thomp-son with the purpose of providing a device for an algebraic study of first-order predicate calculus. A detailed stydy of cylindric algebras can be seen in [27].From now on, following Henkin, Monk and Tarski we shall call the Boolean biadic alge-bras diagonal-fre two -dimensional cylindric algebras (or Df2-algebras) and denoted the variety of Df2-algebras by Df2. It should be noted that Df2 has been widely investigated by different authors but little has been studied on those pro-blems inherent to finite algebras. Among other known results of this variety, the subdirectly irreducible Df2-algebras were described and it wasshown that they coincide with the simple ones (see [27]). Recently, N Bezhanishvili, in [5], studied the lattice A(Df2) of al subvarieties of Df2 and he proved that every proper subvariety of Df2 is locally finite although Df2 is not.We have organized our work in four chapters. Chapter I, Introduction and preliminaries, containsfour sections and the topics included there are well-known but necessary for the understanding of the following chapters as well as for intro-ducing notations and the definitions that will be used later. Chapter II, Representations of Df2-algebras, has three sec-tions and there are exhibited two representations theorems for Df2 algebras. The firs one is "via" w3quivalence algebras and the second by means of algebras of functions. It is here where we extend the results obtained by Halmos for monadic Boolean algebras. Chapter III, Finitte Df2-algebras, has five sections. In this chapter the we describe the subdirectly irreducible Df2-algebras, also we proved that eavery non-trivial finite algebra is direct product of subdirectly irreducible algebras; and then we use theses results in order tu obtain a nw solution of the problem of determining all monadic subalge-bras of a given finite monadic Boolean algegra. Finally, in Chapter IV, Varieties of Df2-algebras, we determine all subal-gebras of a finite Df2-algebras and we study the lattice of all subvarieties of the variety Df2. All these results have been exposed in national and international meetings (see [15, 16, 17, 18, 19]) and some of the have been published ([220]) or are to bi pubished ([21]).

El propósito de esta nota es señalar la posibilidad de reunir el estudio básico de las nociones de álgebra exterior y de álgebra simétrica sobre un espacio vectorial, en un solo concepto al que se da aquí el nombre de álgebra distinguida.

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Las álgebras de semi-Heyting fueron introducidas como una nueva clase ecuacional por H. P. Sankappanavar en [33]. Éstas álgebras representan un generalizacióon de las álgebras de Heyting. Si bien la manera de definir la axiomáatica para una clase u otra es casi la misma, de hecho difieren en un só-lo axioma, el comportamiento entre las variedades es distinto y hace rico el trabajo de estudiar cuáles son las propiedades que se extienden a las álgebras de semi-Heyting y cuáles no. / Semi-Heyting algebras were introduced as a new equational class by H. P. Sankappanavar en [33]. These algebras represent a generalization of Heyting algebras. In fact, their definition can be obtain from a certain axiomatic of Heyting algebras replacing one of the axioms by a weaker one. Nevertheless, as we will see, the behavior of semi-Heyting algebras is much more complicated than that of Heyting algebras.

Orientador: Roldão da Rocha Junior / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2013

Estudamos a estrutura de álgebras de potências associativas que são álgebras train. Primeiramente, mostramos a existência de idempotentes, que são todos principais e absolutamente primitivos. Em seguida, vemos as equações train envolvendo a decom- posição de Peirce. Quando a álgebra é de dimensão finita, resulta que a dimensão das componentes de Peirce são invariantes e o limite superior para seus nilndices são es- tudados para alguns idempotentes. Além disso, mostramos que as álgebras localmente train são álgebras train. Damos então uma descrição completa para o conjunto dos idempotentes para obter suas fórmulas explcitas. É voltada uma atenção para o caso de álgebras de Jordan, onde discutimos condições para que álgebras train de potências as- sociativas sejam álgebras de Jordan. Também mostramos que álgebras train de Jordan são de dimensão finita. Para álgebras de Bernstein de ordem n e perodo p, provamos que para termos associatividade nas potências necessitamos p = 1. Neste caso, existem 2 n1 possibilidades de equações train, que são explicitamente descritas. / We study the structure of power associative algebras which are train algebras. First we show the existence of idempotents, which are all principal and absolutely primitive. Then consider the train equations involving the Peirce decomposition. When the alge- bra is finite dimensional, it follows that the size of the Pierce components are invariant and the upper limit for its nil-indexes are studied for some idempotent. Furthermore, we show that locally train algebras are train algebras. Then we get a complete de- scription for the set of idempotents to obtain their explicit formulas. We give attention to the case of Jordan algebras, where we discuss conditions for train power associa- tive algebras be Jordan algebras. We also show that Jordan train algebras are finite dimensional. For Bernstein algebras of order n and period p, we prove that to have associativity in the powers we need p = 1. In this case, there are 2 n1 possibilities of train equations, which are explicitly described.

En el presente artículo estudiaremos los entrelazamientos de un álgebra asociativa con unidad A y el álgebra depolinomios de Laurent k[y1]. Asimismo, estableceremos condiciones para las cuales es posible prolongar una extension polinomial de A a un entrelazamiento de A conk[y1]. Por ultimo, presentaremos dos familias de algebras de Hopf sobre algunos entrelazados de k[x] y k[y1].