Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-10T16:27:27Z No. of bitstreams: 1 ALAN DE ARAÚJO GUIMARÃES - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 389630 bytes, checksum: 8fee4901dc2c6f4008991c541e1728b0 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-10T16:27:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ALAN DE ARAÚJO GUIMARÃES - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 389630 bytes, checksum: 8fee4901dc2c6f4008991c541e1728b0 (MD5) Previous issue date: 2014-12 / Capes / O tema central da presente dissertação é o estudo das graduações de um grupo G nas álgebras UTn(F) eUT(d1,...,dm).Inicialmente, no Capítulo 2, supondo o grupo G abeliano e infnito e o corpo F algebricamente fechado e de característica zero, provamos que qualquer graduação em UTn(F) é elementar (a menos de automorfismo G-graduado). Ainda no Capítulo 2,sem fazer qualquer suposição sobre o grupo G e ocorpo F, chegamos à mesma conclusão. Para tanto, foi necessário utilizar técnicas mais sutis na demonstração. No Capítulo 3, novamente supondo o grupo G abeliano e infinito e o corpo F algebricamente fechado e de característica zero,classificamos as G-graduações da F-álgebra UT(d1,...,dm). Veremos que,neste caso, existe uma decomposição d1 = tp1,...,dm = tpm talqueUT(d1,...,dm) é isomorfa, como álgebra G-graduada ,ao produto tensorial Mt(F)⊗UT(p1,...,pm), onde Mt(F) tem uma G-graduação na e UT(p1,...,pm) tem uma G-graduação elementar. / The central theme of this dissertation is the study the of the gradings of a group G in the algebras UTn(F) and UT(d1, . . . , dm). Initially, in Chapter 2, assuming G a nite abelian group and F an algebraically closed eld and of characteristic zero, we prove that any grading in UTn(F) is elementary (up to graded isomorphism). Still in Chapter 2, without making any assumption about the group G and the eld F, we obtain the same conclusion. To prove this was necessary to use more subtle techniques in demonstration. In Chapter 3, again assuming G a nite abelian group and F an algebraically closed eld of characteristic zero, we classify the gradings of the algebra UT(d1, . . . , dm). We will see that there is a decomposition d1 = tp1, . . . , dm = tpm such that UT(d1, ..., dm) is isomorphic, as graded algebra, to the tensor product Mt(F) ⊗ UT(p1, . . . , pm), where Mt(F) has a ne grading and UT(p1, . . . , pm) has a elementary grading.

En 1955, las álgebras de Boole monádicas fueron introducidas por P. Halmos ([23]), como un modelo algebraico para el cálculo de predicados monádicos de la lógica clásica. Estas álgebras han sido ampliamente estudiadas por varios autores ([1], [24]) y en la actualidad se siguen realizando investigaciones en esta dirección ([4], [12], [37]). Por otra parte, Gr. C. Moisil introduce las álgebras de Boole cíclicas en [32], que han sido estudiadas también por A. Monteiro ([28], [29]), y A. V. Figallo ([15]). En esta tesis, investigamos la clase de las Tkm-álgebras, esto es, álgebras de Boole monádicas con un automorfismo monádico de período k, que generalizan a las álgebras de Boole monádicas simétricas ([1]) y están relacionadas de un modo especial, con la clase de las Df2-álgebras. Al trabajo lo hemos organizado en cuatro capítulos. El Capítulo 1 consta de cuatro secciones y casi todos los resultados indicados en ellas son conocidos. En la Sección 1, damos las definiciones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. En las Secciones 2, 3 y 4, hacemos una breve exposición de definiciones y propiedades de las álgebras de Boole monádicas, Df2-álgebras, y Tk-álgebras, respectivamente. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos y propiedades que utilizaremos en los capítulos posteriores. En el Capítulo 2, comenzamos el estudio de las Tkm-álgebras. En la Sección 1, damos las definiciones básicas, determinamos las estructuras de Tkm-álgebras que se pueden definir sobre el álgebra de Boole con n átomos para n = 1, ..., 4. Destacamos tres subálgebras en una Tkm-álgebra B y mostramos algunas de sus propiedades, las que nos permiten luego caracterizar los miembros subdirectamente irreducibles y simples de esta variedad. En la Sección 2, determinamos la relación entre cuantificadores existenciales y subálgebras especiales del álgebra de Boole subyacente de una Tkm-álgebra, a partir de la cual obtenemos otra caracterización de estas álgebras. En la Sección 3, logramos una nueva descripción de las Tkm-álgebras finitas, por medio de ciertas particiones asociadas al conjunto de sus átomos. Luego, en la sección siguiente exploramos, en el caso finito, la relación entre la clase BTkm y la clase Df2 de las álgebras cilíndricas libres de elementos diagonales de dimensión dos. En las Secciones 5 y 6, estudiamos una clase especial de filtros, los Tkm-filtros, los cuales nos permiten caracterizar las Tkm-congruencias. Además, determinamos la relación entre esta clase de filtros y la de los Tk-filtros, los -filtros y los filtros que se pueden definir en una Tkm-álgebra B. A partir de estas relaciones caracterizamos, en el capítulo siguiente, las álgebras subdirectamente irreducibles y simples. Finalmente, en la Sección 7 realizamos un breve estudio de los Tkm-homomorfismos. La mayoría de los resultados obtenidos en este capítulo se publicaron en [16], mientras que otros se presentaron y discutieron previamente en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina en 2007. En el Capítulo 3, con el propósito de obtener una mayor información sobre la variedad de las Tkm-álgebras, hacemos un estudio detallado de las congruencias e indicamos dos descripciones de las mismas, una por medio de los Tkm-filtros y la otra por una operación binaria definida sobre el álgebra. Esto nos permitió caracterizar las álgebras subdirectamente irreducibles y simples, y determinar algunas propiedades especiales de las Tkm-congruencias. Además, probamos que las Tkm-álgebras constituyen una variedad localmente finita, semisimple y residualmente finita. En las dos últimas secciones, aplicando los resultados de las secciones previas, obtenemos el término discriminador ternario para esta variedad y mostramos con ello que es discriminadora. Como consecuencia deducimos algunas propiedades de las Tkm-congruencias y, en particular, establecemos una descripción ecuacional de las congruencias principales. Cabe mencionar que algunos de los temas investigados en este capítulo se publicaron en [16]. El Capítulo 4 consta de cuatro secciones. En la primera, hemos incluido una breve exposición de la dualidad de P. Halmos para las álgebras de Boole monádicas. En la segunda sección, nos dedicamos a determinar una dualidad topológica para las Tkm-álgebras la que nos permitió, caracterizar al retículo de las congruencias. Finalmente, a partir de la dualidad topológica para la variedad BTkm, hemos establecido para una Tkm-álgebra B, una biyección entre las familias de las Tkm-subálgebras de B y de ciertas relaciones de equivalencia definidas en el conjunto de filtros primos de B. La mayor parte de los resultados obtenidos en las tres primeras secciones de este capítulo se presentaron previamente en el XIII Congreso Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur. / In 1955, P. Halmos introduced monadic Boolean algebras as an algebraic counterpart of the one-variable fragment of the classical predicate logic ([23]). These algebras have been widely studied by various authors ([1], [24]) and there are still investigations in this direction ([4], [12], [37]). On the other hand, Gr. C. Moisil introduces cyclic Boolean algebras in [32], which have been studied by A. Monteiro ([28], [29]), and A. V. Figallo ([15]). In this thesis, we investigate the class of the Tkm-algebras, this is, monadic Boolean algebras endowed with a monadic automorphism of period k. These algebras constitute a generalization of monadic symmetric Boolean algebras ([1]) and, in a special way, they are related with the class of Df2-algebras. We have organized this volume in four chapters. Chapter 1 consists of four sections and almost all results reported in them are well-known. In Section 1, we give the basic definitions and we review the most important results of universal algebra. In Sections 2, 3 and 4, we do a brief exposition of definitions and properties of monadic Boolean algebras, Df2-algebras and Tk-algebras, respectively. We have included them either to facilitate the reading as to fix the concepts and properties that we will use in later chapters. In Chapter 2, we start the study of Tkm-algebras. In Section 1, we give basic definitions, we determine the structures of Tkm-algebras that can be defined on the Boole algebra with $n$ atoms for n=1,...,4. We distinguish three subalgebras in a Tkm-algebra B and we show some of its properties, which allow us later to characterize the subdirectly irreducible and simple members of this variety. In the second section, we determine the relationship between existential quantifiers and special subalgebras of the underlying Boolean algebra of a Tkm-algebra, from which we obtain another characterization of these algebras. In Section 3, we give a new description of finite Tkm-algebras by means of certain partitions of the set of their atoms. Then, in the next section, we explore, in the finite case, the relationship between the class BTkm and the class Df2 of diagonal-free two-dimensional cylindric algebras. In Sections 5 and 6, we study a special class of filters, the Tkm-filters, which allow us to characterize the Tkm-congruences. Also, we determine relationships between classes of Tkm-filters, Tk-filters, -filters and filters that can be defined in a Tkm-algebra B. From these relationships, we characterize, in the next chapter, sub-directly irreducible and simple algebras. Finally, in Section 7 we carry out a brief study of the Tkm-homomorphisms. Most of the results obtained in this chapter were published in [16], while others were previously presented and discussed in Annual Meeting of the Unión Matemática Argentina in 2007. In Chapter 3, in order to obtain further information on the variety of Tkm-algebras, we make a detailed study of the congruences and indicate two descriptions of them, one by means of the Tkm-filters and the other by a binary operation defined on the algebra. This allowed us to characterize subdirectly irreducible and simple algebras, and determine some special properties of the Tkm-congruences. Furthermore, we prove that Tkm-algebras constitute a semisimple, locally finite and residually finite variety. In Sections 6 and 7, by applying the results of the previous sections, we obtain the ternary discriminator term for this variety and we show with it that this variety is discriminator. As a consequence, we deduce some properties of the Tkm-congruences and, in particular, we establish an equational description of the principal congruences. It is worth mentioning that several of the topics investigated in this chapter were published in [16]. Chapter 4 consists of four sections. In the first one, we have included a brief exposition of P. Halmos' duality for monadic Boolean algebras. In the second section, we devote to determine a topology duality for the Tkm-álgebras which allowed us to characterize the lattice of congruences. Finally, bearing in mind the above duality for the variety BTkm, we have established for a Tkm-algebra B, a bijection between the families of the Tkm-subalgebras of B and of certain equivalence relations defined in the set of prime filters of B. Most of the results obtained in the first three sections of this chapter were previously presented at the XIII Congress Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur.

El objetivo de esta tesis es abordar distintos problemas algebraicos acerca de algunas subvariedades de las álgebras de De Morgan Heyting y de las álgebras pseudocomplementadas de Kleene utilizando dualidades topológicas tipo Priestley correspondientes a dichas variedades. Se investiga la sucesión de subvariedades SDHn de las álgebras de De Morgan Heyting caracterizadas por la identidad xn(1*) = x(n+1)(1*) definidas por H.P. Sankappanavar en [26]. Se obtienen condiciones necesarias y sufi- cientes sobre el espacio de filtros primos para que un álgebra de De Morgan Heyting pertenezca a la variedad SDH1 y se caracterizan las álgebras subdirectamente irreducibles y simples de dicha variedad. Todos estos resultados son extendidos para las álgebras finitas en el caso general SDHn. La clase de las álgebras de Boole es un ejemplo familiar de álgebras de Heyting y es bien conocido que existe una correspondencia entre las subálgebras de un álgebra de Boole y ciertas relaciones de equivalencia definidas sobre su espacio Booleano (ver, por ejemplo [13]). En esta tesis se extiende esta correspondencia tanto para la clase de las álgebras de Heyting como para la clase de las álgebras de De Morgan Heyting, es decir, se caracterizan las subálgebras de las álgebras de Heyting y de De Morgan Heyting definiendo ciertas relaciones de equivalencia sobre los espacios topológicos de sus respectivas representaciones tipo Priestley. Como caso particular de este resultado, se obtiene la caracterización para subálgebras maximales de las álgebras de Heyting finitas dada por M. Adams en [2]. Se estudian las álgebras subdirectamente irreducibles en la variedad PCDM de las álgebras pseudocomplementadas de De Morgan a través de sus pm-espacios. Se introduce la noción de body de un álgebra L 2 PCDMy se caracteriza completamente Body(L) cuando L es subdirectamente irreducible, directamente indescomponible o simple. Como consecuencia de esto, en el caso particular de las álgebras pseudocomplementadas de Kleene, surgen naturalmente tres subvariedades de la misma para las cuales se determinan identidades que las caracterizan. Se define la subvariedad BPK, de particular interés ya que sus álgebras subdirectamente irreducibles son suma ordinal de álgebras de Boole y cadenas, realizándose un estudio de la misma. Se determina completamente el reticulado de sus subvariedades y se encuentran bases ecuacionales para cada una de ellas. Una de estas subvariedades, llamada BPK0 es aquella cuyos miembros subdirectamente irreducibles son de la forma B B, donde B es un álgebra de Boole. La última parte de la tesis está destinada al estudio de la variedad BPK0 resolviéndose problemas tales como la obtención de las álgebras libres con una cantidad finita de generadores libres y la descripción completa del reticulado de cuasivariedades junto con una base de cuasi-identidades para cada cuasivariedad. / The objective of this thesis is to study several algebraic problems regarding some subvarieties of De Morgan Heyting algebras and pseudocomplemented Kleene algebras using the corresponding Priestley dualities as a main tool. We focus on the sequence of subvarieties SDHn, which consist of the De Morgan Heyting algebras characterized by the identity xn(1*) =x(n+1)(1*), as defined by H. P. Sankappanavar in [26]. We give necessary and suficient conditions on the space of prime filters for a De Morgan Heyting algebra to belong to the variety SDH1. We also characterize the subdirectly irreducible and simple members of this variety. These results are all further extended for finite algebras in the general case of the varieties SDHn. The class of Boolean algebras is a familiar example of Heyting algebras and it is well known that there exists a correspondence between subalgebras of a Boolean algebra and certain equivalence relations on its Boolean space (see, for example, [13]). In this thesis, we extend this correspondence both for the class of Heyting algebras and for the class of De Morgan Heyting algebras, that is, we characterize the subalgebras of a Heyting algebra and a De Morgan Heyting algebra by defining certain equivalence relations on their respective Priestley spaces. The characterization of maximal subalgebras in finite Heyting algebras given by M. Adams in [2] follows now as a special case of our characterization. We also study the subdirectly irreducible members of the variety PCDM of pseudocomplemented De Morgan algebras in terms of their pm-spaces. We introduce the notion of body of an algebra L 2 PCDM and characterize completely the body of L when L is subdirectly irreducible, directly indecomposable or simple. As a consequence of this, in the case of pseudocomplemented Kleene algebras, three special subvarieties arise naturally, for which we give explicit identities that characterize them. We also define the variety BPK which is of particular interest because its subdirectly irreducible algebras are ordinal sums of Boolean algebras and chains. We study this variety in depth. We determine the whole subvariety lattice and find explicit equational bases for each of the subvarieties. The subdirectly irreducible members of one of these subvarieties, called BPK0, are of the form B B, where B is a Boolean algebra. The last part of this thesis is devoted to the study of this variety: we characterize the finitely generated free algebras and give a full description of the quasivariety lattice as well as the corresponding quasi-equational basis for each of the quasivarieties.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-10T17:30:02Z No. of bitstreams: 1 DAVID LEVI DA SILVA MACÊDO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2015..pdf: 982236 bytes, checksum: eeb47d97976467c33db1c843ee7e5f90 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-10T17:30:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DAVID LEVI DA SILVA MACÊDO - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2015..pdf: 982236 bytes, checksum: eeb47d97976467c33db1c843ee7e5f90 (MD5) Previous issue date: 2015-08 / Capes / Para ler o resumo deste trabalho recomendamos o download do arquivo, uma vez que o mesmo possui fórmulas e caracteres matemáticos que não foram possíveis trascreve-los aqui. / To read the summary of this work we recommend downloading the file, since it has formulas and mathematical characters that were not possible to transcribe them here.

Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-08-30T15:24:40Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Fernando Junior S. Santos.pdf: 885469 bytes, checksum: 810e1dae7c213671c12b8d4f9c0ff331 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-08-30T15:29:43Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Fernando Junior S. Santos.pdf: 885469 bytes, checksum: 810e1dae7c213671c12b8d4f9c0ff331 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-30T15:29:43Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Fernando Junior S. Santos.pdf: 885469 bytes, checksum: 810e1dae7c213671c12b8d4f9c0ff331 (MD5) Previous issue date: 2017-07-06 / FAPEAM - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas / In this work we study how certain types of loop algebras can be classi ed with the help of Galois cohomology. In the rst part of the paper we expose the theory of nitedimensional Lie algebras and introduce the notion of a loop algebra. Subsequently we explain the relationship of loop algebras with the S=R-forms of g(R), where R is the ring of Laurent polynomials in one variable over an algebraically closed eld and S an extension of the ring. In the second chapter the theory of Galois cohomology will be developped. Finally we will show how isomorphism classes of loop algebras can be represented by elements of sets of Galois cohomology. / Neste trabalho se estuda como certos tipos de álgebras de loop podem ser classi - cados com a ajuda da cohomologia galoisiana. Na primeira parte do trabalho é exposta a teoria de álgebras de Lie de dimensão nita e é introduzida a noção de álgebra de loop. Em seguida, é explicado a relação das álgebras de loop com as S=R formas de g(R), para R o anel de polinômios de Laurent em uma variável sobre um corpo algebricamente fechado e S uma extensão deste anel. No capítulo seguinte será apresentado a teoria da cohomologia galoisiana. No nal será mostrado como classes de isomor smo de álgebras de loop podem ser representados por elementos de conjuntos da cohomologia galoisiana.

De las numerosas subvariedades de las álgebras de Ockham, aquella estrechamente relacionada con las álgebras de De Morgan es Km,0 con m > 1, la cual está formada por las álgebras de Ockham que satisfacen la identidad adicional f2m(x) = x. Como las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden n (o Ln–álgebras) tienen un reducto que es un álgebra de De Morgan, T. Almada y J. Vaz de Carvalho ([1]) consideraron una generalización de las Ln–álgebras reemplazando dicho reducto por uno que pertenece a Km,0 y, de este modo, introdujeron la variedad de las álgebras de Lukasiewicz m−generalizadas de orden n (o Lmn–álgebras). En esta tesis, nosotros continuamos con el estudio de esta variedad. Al volumen lo hemos organizado en cinco capítulos. En el Capítulo I damos nociones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. Además, hemos incluido una breve exposición sobre la teoría de los cálculos proposicionales extensionales implicativos standars. Por último, describimos la localización para retículos distributivos acotados. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos que utilizaremos en el desarrollo de este trabajo. En el Capítulo II, comenzamos nuestro estudio de las álgebras de Lukasiewicz m– generalizadas de orden n. En primer lugar, y motivados por el rol fundamental que desempeña la implicación débil en las álgebras de Lukasiewicz de orden n, introducimos una operación de implicación en las Lmn –álgebras. Esta implicación nos permitió considerar la noción de sistema deductivo a partir de la cual caracterizamos a las congruencias. Cabe señalar que este resultado fue fundamental para describir a las congruencias principales, de manera más simple que la obtenida en [1] a partir de la teoría de las álgebras de Ockham. Además, dicha implicación nos permitió definir un elemento fundamental para obtener una nueva caracterización de las álgebras simples y hallar el polinomio discriminador ternario para esta variedad. Algunos de los temas estudiados en este capítulo fueron expuestos en las comunicaciones: Sobre las m−álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, C. Gallardo y A. Ziliani, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de Cuyo, 2008. La variedad discriminadora de las m-álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de Mar del Plata, 2009. Además, se encuentran publicados en [32]: Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, A.V. Figallo, C. A. Gallardo y A. Ziliani, Bulletin of the Section of Logic, 39, 4(2010), 187–198. En el Capítulo III, y con el propósito de hallar un cálculo proposicional para el cual las Lmn–álgebras sean su contrapartida algebraica, introducimos una nueva operación de implicación a la que denominamos implicación standard. Ella jugó un papel primordial en la resolución del problema planteado y nos permitió obtener otra caracterización de las congruencias. A continuación describimos el cálculo hallado, que denotamos `mn y probamos que pertenece a la clase de los sistemas proposicionales implicativos extensionales standards. Finalmente, demostramos el teorema de completitud para `mn. Además, cabe mencionar que los resultados obtenidos en este capítulo dan respuesta positiva a un problema planteado en [1]. Algunos de estos resulatdos fueron expuestos en la siguiente presentación: On the congruence m-generalized Lukasiewicz algebras of order n, C. Gallardo y A. Ziliani, XVI EBL and 16th Brazilian Logic Conference, Petrópolis, Brasil, 2011 y han sido publicados en [33]: The Lmn–propositional calculus, C. A. Gallardo y A. Ziliani. Mathematica Bohemica, 140,1(2015), 11–33. En el Capítulo IV, desarrollamos la teoría de localización para las álgebras de Lukasiewicz m–generalizadas de orden n. En particular, para cada Lmn–álgebra L determinamos el álgebra de fracciones L[C] asociada a un conjunto ^-cerrado C de L. A continuación, introducimos la noción de 1–ideal en las Lmn–álgebras lo que nos permitió definir una topología F para ellas y el concepto de F-multiplicador. Luego, a partir de estas nociones construimos el álgebra de localización LF de L con respecto a F. Además, mostramos que la Lmn–álgebra de fracciones L[C] es un álgebra de localización. Posteriormente, definimos la noción de Lmn-álgebra de cocientes y probamos la existencia de la Lmn-álgebra maximal de cocientes. En la última sección de este capítulo nos dedicamos a analizar los resultados antes descriptos para el caso de las Lmn–álgebras finitas. En la siguiente comunicación presentamos algunos de estos temas: F–multipliers and localization of Lmn –algebras, C. Gallardo y A. Ziliani, Workshop Philosophy and History of Science State University of Campinas, UNICAMP, Campinas, Brasil, 2012 Cabe mencionar que los mismos han sido aceptados para su publicación en Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing (2016). ([34]) En el Capítulo V, nos abocamos al estudio de las propiedades de las L2 n–álgebras finitas y finitamente generadas, obteniendo importantes propiedades de los átomos en estas álgebras. A continuación, describimos detalladamente a las álgebras simples. Además, determinamos la estructura de las L2 n–álgebras libres con un conjunto finito de generadores lies. Finalmente, indicamos un método para calcular el cardinal del álgebra libre con un conjunto finito n de generadores libres. / Ockham algebras have a great number of subvarieties, but the ones which are more closely related to De Morgan algebras are Km,0 with m > 1. They are constituted by Ockham algebras that satisfy the additional identity f2m(x) = x. Since Lukasiewicz- Moisil algebras of order n have a reduct which is a De Morgan algebra, T. Almada y J. Vaz de Carvalho ([1]) introduced a generalization of them, by switching this reduct by one which belongs to Km,0. Hence, they introduced the variety of m−generalized Lukasiewicz algebras of order n (or Lmn–algebras). Our aim in this thesis is to study in depth this variety. More precisely, we have organized this work in five chapters. In Chapter I, basic definitions are provided and we also do a review of the most important results in universal algebra. Furthermore, we have included as well a brief discussion on the class of standard systems of implicative extensional propositional calculi. Finally, we describe the localization for bounded distributive lattices. These topics have been included not only to simplify the reading but also to fix the notations and the definitions that we will use in this volume. In Chapter II, we began our study of m−generalized Lukasiewicz algebras of order n. First, and bearing in mind the fundamental role that the weak implication played in the study of Lukasiewicz algebras of order n, we introduced an implication operation on Lmn –algebras which generalize the latter. This notion enabled us to consider the notion of deductive systems from which we have given a new characterization of the congruence lattice on these algebras. It is worth mentioning that this result turned out to be very useful for describing the principal congruences on Lmn –algebras in a simpler way than the one obtained in [1], where the theory of Ockham’s algebras was applied. In addition, the aforementioned implication allowed us to define a fundamental element for what follows and, in this case, to obtain a new characterization of simple algebras and to describe the ternary discriminator polynomial for this variety. Some of the above results were presented in the following meetings: Sobre las m−´algebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, C. Gallardo y A. Ziliani, LVIII Reuni´on Anual de Comunicaciones Cient´ıficas de la UMA, U.N. de Cuyo, 2008. La variedad discriminadora de las m-´algebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, LVIII Reuni´on Anual de Comunicaciones Cient´ıficas de la UMA, U.N. de Mar del Plata, 2009. Furthermore, they were published in [32]: Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, A.V. Figallo, C. A. Gallardo y A. Ziliani, Bulletin of the Section of Logic, 39, 4(2010), 187–198. In Chapter III, and in order to obtain a propositional calculus which has Lmn –algebras as the algebraic counterpart, we introduced another implication operation on these algebras which we called standard implication. This provided us with a crucial tool not only to solve the formulated problem, but also to give a new characterization of the congruence and the principal congruence lattice of these algebras, simpler than all the above obtained descriptions. Next, we described the propositional calculus, denoted by `mn , and we proved that it belongs to the class of standard systems of implicative extensional propositional calculi. Finally, the completeness theorem for `mn is obtained. It is worth noting that in this chapter we have given a positive answer to the problem posed in [1]. Besides, some of the topics presented in this chapter were previously discussed in the following event On the congruence m-generalized Lukasiewicz algebras of order n, C. Gallardo y A. Ziliani, XVI EBL and 16th Brazilian Logic Conference, Petr´opolis, Brasil, 2011. and they have been published in [33]: The Lmn –propositional calculus, C. A. Gallardo y A. Ziliani. Mathematica Bohemica, 140,1(2015), 11–33. In Chapter IV, we have developed the theory of localization for m−generalized Lukasiewicz algebras of order n. In particular, for each Lmn –algebra L we have determined the Lmn– algebra of fractions L[C] relative to an ^-closed system C of L. Later on, we introduced the notion of 1–ideal on Lmn –algebras which allows us to consider a topology F for them and the concept of F-multiplier. Furthermore, we have proved that the Lmn –algebra of fractions L[C] is an Lmn –algebra of localization. Moreover, we have defined the notion of Lmn –algebra of quotients and we have proved the existence of the maximal Lmn –algebra of quotients. By the end of this chapter, our attention is focused on analyzing the aforementioned results for the case of finite Lmn –algebras. Some of these results were presented in this report: F–multipliers and localization of Lmn –algebras, C. Gallardo y A. Ziliani, Workshop Philosophy and History of Science State University of Campinas, UNICAMP, Campinas, Brasil, 2012. Besides, it is worth mentioning that these topics have been accepted for publication in the Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing (2016). ([34]). In Chapter V, our main aim was to study the properties of finite and finitely generated L2 n–algebras. In particular, we have obtained important results on the atoms of them. Next, we have provided an exhaustive description of the simple L2 n–algebras. Finally, we have determined the structure of the free L2 n–algebras with a finite set of free generators and we have also indicated a method to calculate the cardinal number of them in terms of the number of the free generators.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En esta tesis doctoral se abordan cuatro tópicos diferentes pero mutuamente relacionados: Problemas variacionales sobre álgebras de Jordan Euclideanos, problemas de complementariedad sobre espacios de matrices simétricas, análisis angular entre dos conos convexos y cerrados, y el camino central en programación cónica simétrica. La primera parte de este trabajo corresponde al estudio del concepto de operator commutation en álgebras de Jordan Euclideanos por medio del establecimiento de un principio de conmutación para problemas variacionales los cuales poseen datos espectrales. El principal enfoque de la segunda parte es el análisis y resolución numérica de una amplia clase de problemas de complementariedad formuladas en espacios de matrices simétricas. Las condiciones de complementariedad son expresadas en términos de la ordenación de Loewner o, mas general, con respecto a un par dual de conos Loewnerianos. En la tercera parte presentamos una construcción de la teoría general de ángulos críticos para pares de conos convexos y cerrados. El análisis angular de pares de conos con estructuras especiales es también abordada. Por ejemplo, en nuestro estudio incluimos: subespacios lineales, conos poliedrales, conos de revolución, conos topheavy y conos de matrices. La última parte de este trabajo está dedicada al estudio de la convergencia del camino central y del comportamiento de su punto límite en programación cónica simétrica. Esto es hecho por medio del uso de herramientas de álgebras de Jordan.

O objetivo principal dessa dissertação é o estudo do comportamento de ideais diferenciais com respeito à importantes temas de álgebra comutativa como decomposição primária e localização. Veremos que dado um ideal diferencial em um anel noetheriano de característica zero, seus primos associados também serão diferenciais e que ele admite uma decomposição primária cujas componentes são diferenciais. Em relação a localização, teremos uma equivalência dos conceitos de ideais diferenciais no anel dado e no localizado, ou seja, um ideal é diferencial se, e somente se, sua localização também o é. / The main goal of this dissertation is to study the behavior of differential ideals regarding important themes of commutative algebra such as primary decomposition and localization. We will see that, given a differential ideal in a noetherian ring of caracteristic zero, its associated primes ideals will also be differentials and we will exhibit a primary decomposition whose components will be differentials too. In relation to localization, we will have an equivalence of the concepts of differential ideals in the given ring and in the localized ring, that is, an ideal is differential if, and only if, its localization is differential too.

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