La collision d'un camion sur un pont est un événement courant et peut engendrer des efforts considérables dans la structure. Selon la norme canadienne CSA-S6-14, la pile d'un pont doit être conçue pour résister à une charge statique de 1400 kN à 1,2 m au-dessus du niveau du sol. Peu d'études récentes abordent ce sujet et aucune des études trouvées dans la littérature ne présente des résultats expérimentaux. Le but de ce mémoire est d'approfondir davantage nos connaissances sur le phénomène des collisions d'un véhicule avec un pont et de recueillir des résultats tant expérimentaux que numériques. La méthode expérimentale comprend les essais en laboratoire de deux piles en béton armé à échelles réduites 1:6 ainsi que la modélisation de ces essais à l'aide d'un modèle par éléments finis avec le logiciel LS-DYNA. Le premier essai consiste à imposer un chargement cyclique quasi-statique au niveau du chevêtre de la pile. Ceci permet de caractériser la pile et de calibrer un modèle numérique statique. Par la suite, un deuxième modèle numérique incluant la super-structure est utilisé pour simuler la collision d'un camion semi-remorque sur la pile étudiée. Les résultats du déplacement du chevêtre en fonction du temps du modèle numérique sont par la suite utilisés comme cas de chargement du deuxième essai. Finalement, un troisième modèle numérique est calibré à l'aide des résultats expérimentaux du deuxième essai. Les résultats démontrent que le montage expérimental ainsi que le modèle numérique reproduisent avec succès une charge d'impact. De plus, la nature dynamique de l'essai atteint des taux de déformations dans l'armature au-dessus de la limite quasi-statique. L'essai dynamique présente donc une charge pseudo-statique supérieure à la charge quasi-statique équivalente. Finalement, la force pseudo-statique maximale à l'échelle 1:1 atteint plus de 1832 kN alors que la force prescrite par la norme CSA-S6-14 est de 1400 kN.

L’utilisation de structures fines est croissante dans bon nombre d’industries. En ce sens, leur représentation mécanique et optimisation est un enjeu majeur de la recherche actuelle. De façon classique, l’optimisation s’effectue avec un critère de contrainte, obtenue à partir d’une modélisation éléments-finis en déplacements. L’idée de ces travaux est de construire un modèle éléments-finis mixte déplacements-contraintes et de développer des méthodes de réduction adaptées, de façon à améliorer l’efficacité des méthodes d’optimisation existantes. On construit d’une part deux modèles élément-finis mixtes déplacements-contraintes généralisées, pour des analyses dynamiques de structures “plaque” fines et épaisses. Ces derniers présentent l’avantage de donner des résultats identiques aux modèles classiques en déplacements, avec un meilleur temps de reconstruction des champs de contraintes. Cependant, ils s’avèrent être délicats pour plusieurs raisons : la taille des matrices associées, la difficulté de faire une analyse modale rapide, et un temps d’assemblage accru. C’est la raison pour laquelle nous développons par la suite des méthodes de sous-structuration et de double synthèse modale spécifiquement dédiées aux modèles mixtes. L’idée est d’utiliser des bases modales tirées du modèle équivalent en déplacements pour composer une nouvelle base mixte réduite. Dix méthodes sont implémentées, basées sur des modes encastrés, libres et de branche, parmi lesquelles certaines s’avèrent très efficaces pour réduire le nombre de degrés de liberté du système mixte, sans passer par ses modes propres. Enfin, nous intégrons les modèles mixtes sous-structurés sous forme de super- éléments mixtes dans un algorithme génétique, dans le but de mener une optimisation multi-objectif de structures “plaque” académiques sous chargement dynamique, avec critères de contrainte et paramètres d’épaisseur. Les modèles précédemment définis sont ainsi paramétrés en épaisseur, et ne nécessitent plus d’être ré-assemblés pour chaque configuration. Nous disposons désormais d’un modèle mixte “plaque”, qui conserve les avantages d’un accès direct aux contraintes, tout en étant affranchi de sa taille importante par le biais des méthodes de réduction, et de son assemblage grâce au paramétrage. Il en résulte des modèles mécaniques originaux et efficaces, permettant de réduire les coûts de calcul des algorithmes d’optimisation classiques. Ce type de méthode, couplé à de puissants algorithmes génétiques, permet d’avoir une bonne vue d’ensemble des solutions optimales, et laissent augurer des perspectives intéressantes pour une utilisation industrielle. / The use of thin structures is increasing in many industries. Their mechanical representation and optimization is therefore a major challenge in modern research. Usually, the optimization is done with a stress criterion which is determined through displacements finite-element model. The idea of this work is to build a mixed displacements-stresses finite-element model and to develop adapted reduction procedures, in order to improve the efficiency of existing optimization methods. On the one hand, we build two mixed displacements-generalized stresses finite element models, for thin and thick dynamic plate structures analysis. They afford the advantage of giving identical results as classical displacements models with a better computational time to re-build the stress fields. Nevertheless, they turn out to be tricky for some reasons : the bigger matrices size, the difficulty of modal analysis and an assembling time higher. That is the reason why we develop afterwards some sub-structuring methods and double modal synthesis specifically dedicated to mixed models. The idea is to use modal basis taken from the equivalent displacement model so as to build a new mixed reduced basis. Ten methods are implemented, based on fixed modes, free modes, and branch modes. Some of them turn out to be very efficient to drastically reduce the amount of degrees of freedom of the mixed model, without using its eigenmodes. Finally, we embed the sub-structured mixed model in the form of Mixed Super- Element in a genetic algorithm, with the aim of conducting a multi-objective optimization of academic plate structures under dynamic loads, with stresses criterion and thicknesses parameters. The models previously defined are configured with thicknesses as parameters, and therefore don’t need to be re-assembled for each configuration. We now dispose of a powerful thickness-parametrized mixed reduced plate finite element model : it keeps the advantages of an easy access to the stresses and is free of its important size thanks to the reduction method and of its assembling thanks to the parametrization. The result is an original and efficient mechanical model that reduces the computational cost of classical optimization algorithms. That type of model, coupled with powerful genetic algorithms, permits a global optimization with a good overview of the solutions and promises interesting perspectives for industrial uses.

L'objectif de ces travaux de thèse est de proposer une démarche de caractérisation et de simulation de matériaux métalliques à gradients de microstructure. Ces résultats doivent permettre de modéliser l'impact du procédé de forgeage sur la tenue en fatigue à grand nombre de cycles d'essieux ferroviaires, produits dans le cadre du projet Innovaxle par la société Valdunes. Des essais de caractérisation réalisés sur un essieu forgé mettent en évidence un gradient de taille de grain entre le cœur et la surface de la pièce. Ce gradient est reproduit à une échelle plus fine sur des éprouvettes recristallisées en fer ARMCO, dont la caractérisation révèle un comportement élasto-plastique fortement hétérogène. Ce comportement est caractérisé à l'aide de la méthode F.E.M.U. (Finite Element Model Updating), qui appuie une hypothèse de modélisation basée sur l'application de la loi Hall-Petch à l'échelle mésoscopique. Cette modélisation sert de base à des simulations en fatigue décrivant la réponse à des sollicitations non-uniformes d'agrégats polycristallins à gradient de microstructure. L'intérêt de microstructures conçues en prévision de chargements spécifiques est mise en avant par ces simulations. Les calculs éléments finis présentés dans ces travaux sont réalisés avec le logiciel Code Aster, et le logiciel libre YADICS est utilisé pour la corrélation d'images numériques. / The main objective of this thesis is to design a consistent methodology for the characterization and simulation of functionally graded metals. This approach should allow the assessment of the high cycle fatigue response of forged railway axles produced by Valdunes, in the context of the Innovaxle project. The tests conducted on the forged material reveal a very heterogeneous microstructure, whose grain size varies in the width of the axle. A procedure based on recrystallisation is designed to reproduce this grain size gradient on a smaller scale, on a reference material (ARMCO iron). The characterization of the obtained graded microstructure shows heterogeneities in the local elasto-plastic response of the specimen. This behaviour is tentatively described by a heterogeneously distributed elasto-plastic law over the microstructure, the local yield strength being obtained from the local grain size through a Hall-Petch formulation. This model is used to simulate the response of graded microstructures under heterogeneous loadings in the high cycle fatigue regime. The interests of functionally graded materials are outlined by these simulations. The finite element simulations run in this work make use of the Code Aster software, and the digital image correlation program YADICS is used for image registration purposes.

Les précipités ductiles de niobium compris dans l'alliage à mémoire de forme Ni47Ti44Nb9 élargissent l'hystérésis de transformation après un traitement particulier. L'augmentation des températures de transformation inverse peut atteindre 80 °C. Cette caractéristique représente un grand intérêt pour des applications industrielles, notamment pour des bagues de serrage. Un modèle de comportement thermomécanique est présenté. Il s'appuie sur des observations expérimentales permettant de caractériser l'alliage, considéré comme un composite dont la matrice est composée de NiTi avec un comportement à mémoire de forme, et d'inclusions de niobium avec un comportement élastoplastique ductile. La technique de transition d'échelle de Mori-Tanaka entraîne la formulation d'une loi de comportement macrohomogène. Ce modèle est implémenté dans un code de calcul par éléments finis. Des dispositifs de serrage sont réalisés expérimentalement et modélisés numériquement afin de valider le modèle. / Niobium ductile precipitates included in Ni47Ti44Nb9 shape memory alloy broaden transformation hysteresis after a particular treatment. The increase of reverse transformation temperature can reach 80 °C. This feature is attractive for industrial applications, including tightening rings. A thermomechanical model is presented. It is based on experimental observations to characterize the alloy, considered as a composite whose matrix is composed of NiTi with shape memory alloy behavior and inclusions of niobium with elastic-plastic behavior. The Mori-Tanaka transition scale technique results in a macro-homogeneous behavior law formulation. This model is implemented in a finite element code. Clamping devices are realized experimentally and modelled numerically to validate the model.

Un modèle de comportement thermomécanique pour les alliages à mémoire de forme est présenté. Il prend en compte la transformation de phase martensitique, l'orientation des variantes de martensite ainsi que l'accommodation inélastique des macles au sein de la martensite formée sous une structure auto-accommodée. Un potentiel thermodynamique pour un volume élémentaire représentatif est proposé. Il est décrit à l'aide de trois variables internes définies à l'échelle macroscopique. Des forces thermodynamiques sont dérivées de ce potentiel et équilibrées en faisant intervenir des phénomènes dissipatifs. Le modèle est ensuite implanté dans un code de calcul par élément finis afin de dimensionner des structures en deux et trois dimensions. Ce modèle a servi par la suite de base à une description non locale du comportement superélastique permettant de prendre en compte les phénomènes de localisation observés dans les fils et les films minces d'AMF. Des éléments finis spécifiques sont développés afin de pouvoir prendre en compte ce type d'approche dans le cadre d'un calcul de structures. / A constitutive thermomechanical model for the behavior of shape memory alloys is presented. It takes into account the martensitic phase transformation, the orientation of martensite variants and the inelastic accommodation of twins inside self-accommodated martensite. A thermodynamical potential is built using three internal variables described at macroscopic scale. Driving forces are derived from this potential and the equilibrium is reached by considering dissipative phenomena. The model is then implemented into a finite element code in order to design two or three-dimensional structures. It was adopted as a fundamental for a non-local description of the superelastic behavior in order to take into account the localization phenomenon observed in SMA wires and thin films. Specific finite elements are developed to account with this type of approach in the framework of structures computation.

Le formage incrémental consiste à utiliser un poinçon de forme simple dont le mouvement va progressivement mettre en forme une tôle. Il ouvre de nouvelles perspectives quant au potentiel des procédés de mise en forme des tôles métalliques. La mise en oeuvre du formage incrémental par des systèmes mécaniques ayant des capacités dynamiques accrues et des volumes accessibles importants tels que les robots manipulateurs sériels ou parallèles est un moyen efficace d’améliorer, d’une part la productivité mais aussi la complexité des pièces formées. L’objectif scientifique de ce travail est de contribuer au développement d’une approche globale du problème, en se plaçant à la fois à l’échelle « mésoscopique » du procédé et à l’échelle « macroscopique » du système de fabrication. C’est dans ce contexte qu’est proposée une approche couplée matériau/structure combinant d’une part l’analyse éléments finis du procédé et d’autre part un modèle élastique de la structure du robot.Tout d’abord, les efforts requis au niveau de l’outil pour former la pièce sont calculés sous l’hypothèse d’une structure de machine parfaitement rigide. Afin de minimiser l’erreur entre la prédiction et la mesure des efforts de formage, trois facteurs identifiés comme influents sur le niveau d’effort sont étudiés. Il est alors démontré, qu’à partir d’un choix de paramètres adapté, il est possible de s’affranchir de la mesure des efforts de formage, ce qui n’est actuellement pas le cas dans la littérature.Les efforts prédits sont ensuite définis comme une donnée d’entrée du modèle élastique de la structure robot afin de calculer les erreurs de poses du centre outil. Pour prendre en compte le comportement élastique de la structure, la modélisation des structures robotisées par des éléments de type poutre est retenue puis appliquée à un robot industriel Fanuc S420if. Elle permet de prédire ce comportement avec une précision maximale de ± 0,35 mm, quelque soit le chargement en bout d’outil supportable par le robot.Afin de valider l’approche, deux pièces sont formées par le robot : un cône tronqué et une pyramide vrillée. La géométrie de ces deux pièces permet de valider à la fois les hypothèses de la simulation ainsi que l’approche globale. Ces deux expérimentations entraînent une amélioration de 80 % de l’exactitude de pose du robot, rapprochant ainsi celui-ci des performances d’une machine à commande numérique à structure cartésienne.Finalement, dans la dernière partie, une boucle d’optimisation permet de prendre en compte, dès le calcul de la trajectoire, l’effet du retour élastique de la tôle avant le débridage de la pièce afin de minimiser l’écart entre le profil nominal et le profil formé. L’application de l’approche couplée à cette trajectoire se traduit par une précision géométrique de ± 0,15 mm du profil formé avant desserrage de la tôle, ouvrant ainsi des perspectives intéressantes quant à l’application de la méthodologie. / The incremental forming is an innovative process which consists in forming a sheet by the progressive movements of a punch. A solution to improve the productivity of the process and the complexity of the parts shapes is to use robots (serial or parallel). The scientific aim of this work is to define a global approach of the problem by studying the mesoscopic scale of the process and the macroscopic scale of the machine. In this context, a process/machine coupling approach which combines a Finite Element Analysis (FEA) of the process and an elastic modeling of the robot structure is presented.First, the punch forces necessary to form the part are computed assuming a machine structure perfectly stiff. To minimize the error between the predicted forming forces and the measured ones, the weight of three numerical and material parameters of the FEA is investigated. This study shows that an appropriate choice of parameters avoids the force measurement step, unlike the available approaches in the literature.Then, the predicted forces are defined as input data of the elastic model of the robot structure to compute the Tool Center Point (TCP) pose errors. To consider the behavior of the elastic structure, the modeling of robotized structures by beam elements is chosen and applied to an industrial robot Fanuc S420if. The identified elastic model permits to predict the TCP displacements induced by the elastic behavior of the robot structure over the workspace whatever the load applied on the tool. The prediction maximum error of ±0.35 mm remains compatible with the process requirements.To validate the approach, two parts are formed by the robot: a truncated cone and a twisted pyramid. The geometry of these two parts confirms the hypothesis of the simulation and the global approach. These two tests give very interesting results since an improvement of 80 % of the TCP poseaccuracy is identified.Finally, an optimization loop based on a parametric trajectory and on a FEA anticipates the springback effects before the unclamping of the sheet, and then minimizes the error between the nominal shape and the formed one. The application of the process/machine coupling approach for this trajectory leads to a geometric accuracy of the part before unclamping of ± 0.15 mm. These results open interesting perspectives for the methodology application.

La dérivée topologique évaluée pour une fonctionnelle d'énergie définie dans un domaine et dépendante d'une solution d'un problème aux limites, est l'outil principal de l'optimisation de formes. Elle représente le taux de variation de la fonctionnelle d'énergie quand le domaine est modifié par une création de trou. La forme de la dérivée topologique est fournie par une analyse asymptotique d'un problème aux dérivées partielles et d'une fonctionnelle d'énergie. La définition de la dérivée topologique a été introduite dans [4] et [5]. Quelques notions d'analyse asymptotique qui permetent d'évaluer la forme de la dérivée topologique, ont été évoquées dans [2], [3]. Une méthode numérique pour calculer la solution du problème d'optimisation de forme, utilisant la dérivée topologique et la méthode des courbes de niveaux (levelset) a été présentée dans [1]. L'objet de ce travail de thèse est de développer des méthodes pour déterminer la dérivée topologique. Dans la première partie, on fait l'analyse d'un problème elliptique d'équation aux dérivées partielles non-linéaire. On commence par l'approximation de la solution du problème aux limites et ensuite on obtient le développement asymptotique d'une fonctionnelle de forme, dont le terme de premier ordre est la dérivée topologique. Par la suite, on considère une approximation numérique de la dérivée topologique en utilisant une méthode d'éléments finis et on démontre sa convergence. Les résultats théoriques sont illustrés par les calculs numériques. Dans la deuxième partie, on adapte la méthode de courbes de niveau à un problème d'optimisation de formes et de topologie. On applique la dérivée topolo- gique trouvée dans la première parie pour trouver l'endroit de modification du domaine afin de minimiser une fonctionnelle de coût. Dans la troisième partie, on considère le système de l'élasticité défini dans un domaine avec une fissure. Dans ce cas, on regarde le comportement asymptotique de la solution et de la fonctionnelle d'énergie par rapport aux perturbations singulières du domaine géométrique. Dans ce chapitre la dérivée topologique de l'énergie est donnée pour des domaine fissurés en dimension deux et trois. / The dissertation concerns numerical methods of shape optimization for nonlinear elliptic boundary value problems. Two classes of equations are considered. The first class are semilinear elliptic equations. The second class are elasticity problems in domains weakened by nonlinear cracks. The method proposed in the dissertation is known for linear problems. The framework includes the topological derivatives [2]-[5], and the levelset method [1]. It is shown, that the method can be applied in order to find numerical solutions for the shape optimization problems in the case of nonlinear elliptic equations. There are three parts of the dissertation. In the first part the topological derivatives for semilinear elliptic equation are determined by the compound asymptotic expansions. The expansion of solutions with respect to the small parameter which describes the size of the hole or cavity created in the domain of integration is established and justified. There are two problems considered in details. The first problem in three spatial dimensions with the Dirichlet boundary conditions on the hole. The complete proof of asymptotic expansion of the solution in the weighted Holder spaces is given. The order of the remainder is established by the Banach fixed point theorem in the weighted Holder spaces. The expansion of the solution is plug into the shape functional, and the first order term with respect to small parameter, is obtained. The second boundary value problem in two spatial dimensions enjoys the Neumann boundary conditions on the hole. The numerical results for the topological derivatives are given in twwo spatial dimensions by the finite element method combined with the Newton method for the nonlinear problems. The error estimates for the finite element method are also established. In the second part numerical method of shape optimization is proposed , justified and tested for a semilinear elliptic problem in two spatial dimensions. The forms of the shape gradient and of the topological derivative for the tracking type shape functional are given. The existence of an optimal domain under standard assumptions on the family of admissible domains is shown. Finally, numerical results are presented, which confirm the efficiency of the proposed method. In the third part of dissertation the elasticity boundary value problems in a body weakened by cracks is introduced. The variational formulations of the problem are recalled, including the smooth domain formulation. The domain decomposition method with the Steklov-Poincaré operator is analysed, with respect to the singular perturbation by creation of a small opening. The difficulty of the analysis is due to the fact that there are nonpenetration conditions prescribed on the crack lips, which make the problem nonlinear. The asymptotics of the energy functional are introduced and justified. As a result, the form of the topological derivative of the energy functional is obtained.

Les différents travaux de recherche menés dans le cadre de la présente thèse, ont pour objectifs de :(i) comprendre les mécanismes et phénomènes prenant part dans la plasticité des aciers en présence d’une transformation de phases diffusive ou martensitique. (ii) développer des outils de prédiction de TRIP capables d’une part de reproduire correctement cette déformation macroscopique pour des cas de chargements complexes et d’autre part de nous offrir des enseignements sur les interactions élasto-visco-plastiques locales entre phase naissante et phase parente. Pour ce faire, de nouvelles campagnes d'essais TRIP à chargements uni- et bi-axiaux constants ou variables ont été menées sur l'acier 35NCD16 pour une transformation austénitemartensite et l'acier 100C6 pour une transformation austénite-perlite. En complément, des essais de traction-compression et relaxation ont été réalisés pour caractériser les propriétés élastoviscoplastique ssur chacune des 2 phases de l’acier 100C6... / The objectives of this work are: (i) understand the mechanisms and phenomena involved in the plasticity of steels in the presence of a diffusive or martensitic phase transformation. (ii) develop tools for predicting TRIP, which are able to correctly reproduce the macroscopic deformation for cases of complex loading and could also provide information about local elasto-visco-plastic interactions between product and parent phases. To this purpose, new experimental tests are conducted on 35NCD16 steel for austenite tomartensite transformation and on 100C6 steel for austenite to pearlite transformation. The elasto viscoplasticproperties of austenite and pearlite of the 100C6 steel are characterized through tension compression and relaxation tests...

Cette thèse a pour objectif le développement et l'implémentation d'un outil de résolution éléments-finis pour les problèmes d'extrusion de matériaux visco-plastiques fondus qui soit adapté à l'industrie du pneumatique. Dans ces travaux nous présenterons une méthodologie complète pour résoudre un modèle couplé comprenant le calcul des écoulements dans l'outillage, la répartition de température dans le domaine et la position d'interfaces entre plusieurs matériaux non miscibles. Pour cela, nous utiliserons les équations de Stokes non linéaires, l'équation de la chaleur, la méthode des interfaces diffuses et l'adaptation de maillage hiérarchique. Après avoir détaillé les différentes méthodes utilisées pour la résolution des différents problèmes, nous présenterons des résultats numériques dans plusieurs géométries d'outillages liés à l'extrusion des polymères. / The objective of this thesis is the development and the implementation of a finite element resolution tool for extrusion problems of molten visco-plastic materials which is suitable for the tire industry. In this works we will present a complete methodology to solve a coupled model including the calculation of the flow field in the equipment, the temperature distribution in the domain and the position of interfaces between several immiscible materials. To achieve this goal, we will solve the nonlinear Stokes equations, the heat equation, the diffuse interface method and we will use hierarchical mesh adaptation. After describing the various methods used for the resolution of the different problems, we present numerical results in several industrial geometries of tools related to the extrusion of polymers.

Ce mémoire de maitrise présente une approche innovante de résolution de systèmes multi échelles intitulée « Finite-Element-Self-consistent Clustering Analysis (FE_SCA) » qui peut être traduite par Élément Fini couplé à un modèle réduit par regroupement auto cohérent des volumes élémentaires représentatifs. Cette méthode appartient à la catégorie des méthodes de mécanique computationnelle en homogénéisation multi-échelle. Étant un bon substitut à la méthode EF², à chaque point d'intégration du modèle macroscopique, un volume élémentaire représentatif réduit de la microstructure est résolu à l'aide des équations de Lippmann Schwinger. Ces dernières, étant non-linéaires, un schéma de résolution implicite est considéré. Dans ce travail, la méthode itérative de Newton-Raphson a été utilisée. La réduction des volumes élémentaires représentatifs est faite avec la méthode de regroupement en K-moyennes (k-means clustering) formant des groupements ayant le même comportement mécanique. Cette première phase s'appelle la phase hors-ligne, et vise à préparer une base de données qui comporte les informations compressées de la microstructure. La phase hors-ligne se compose de trois étapes : 1-Construction de la géométrie et homogénéisation de la microstructure avec la méthode Fast Fourier Transform (FFT) pour obtenir les tenseurs de concentrations de contraintes Aᵢⱼ, 2- regroupement des zones ayant les tenseurs Aᵢⱼ identiques, 3- Créations des tenseurs d'interactions Dᴵᴶ entre les groupements formés. Ensuite, cette base de données composée des tenseurs d'interaction Dᴵᴶ et de la répartition volumique des groupements formés est utilisée dans la deuxième partie de résolution multi échelle nommée la phase en-ligne. L'implémentation de la méthode est faite à partir des deux logiciels commerciaux suivants : Python pour la partie hors-ligne et ABAQUS/explicit pour la création du VUMAT de la partie en-ligne. La méthode est testée sur un matériau composite unidirectionnel avec deux phases ayant un comportement élastique. / This master's thesis presents an innovative approach of multi-scale simulation entitled Finite-Element-Self-consistent Clustering Analysis (FE_SCA). This method fits into the category of numerical methods for multi-scale homogenization. Being a good substitute for FE², at each integration point of the macroscopic model, a Reduced Order Model (ROM) of the microstructure is solved using the Lippmann Schwinger equations. As the latter are non-linear, an implicit solution scheme is considered. In this work, the iterative Newton-Raphson method was used. The reduced order model of Representative Volume Element (RVE) is carried out using the k-means clustering method, forming groups with the same mechanical behavior. This first phase is called the Offline phase and aims to prepare a database containing compressed microstructure information. The Offline phase consists of three steps: 1-Construction of the geometry and homogenization of the microstructure using the Fast Fourier Transform (FFT) method to obtain stress concentration tensors Aᵢⱼ, 2- Clustering of voxels according to tensors Aᵢⱼ, 3- Creation of interaction tensors Dᴵᴶ between each pair of clusters I,J. This database of tensors Dᴵᴶ and the volume distribution of the clusters is then used in the second part of the multi-scale resolution process, called the Online phase. The method is implemented using the following two commercial software packages: Python for the OFFLINE phase and ABAQUS/explicit for the Online phase using a user material subroutine VUMAT. The method is tested on a unidirectional composite material with two elastic phases.