Ce mémoire de maitrise présente une approche innovante de résolution de systèmes multi échelles intitulée « Finite-Element-Self-consistent Clustering Analysis (FE_SCA) » qui peut être traduite par Élément Fini couplé à un modèle réduit par regroupement auto cohérent des volumes élémentaires représentatifs. Cette méthode appartient à la catégorie des méthodes de mécanique computationnelle en homogénéisation multi-échelle. Étant un bon substitut à la méthode EF², à chaque point d'intégration du modèle macroscopique, un volume élémentaire représentatif réduit de la microstructure est résolu à l'aide des équations de Lippmann Schwinger. Ces dernières, étant non-linéaires, un schéma de résolution implicite est considéré. Dans ce travail, la méthode itérative de Newton-Raphson a été utilisée. La réduction des volumes élémentaires représentatifs est faite avec la méthode de regroupement en K-moyennes (k-means clustering) formant des groupements ayant le même comportement mécanique. Cette première phase s'appelle la phase hors-ligne, et vise à préparer une base de données qui comporte les informations compressées de la microstructure. La phase hors-ligne se compose de trois étapes : 1-Construction de la géométrie et homogénéisation de la microstructure avec la méthode Fast Fourier Transform (FFT) pour obtenir les tenseurs de concentrations de contraintes Aᵢⱼ, 2- regroupement des zones ayant les tenseurs Aᵢⱼ identiques, 3- Créations des tenseurs d'interactions Dᴵᴶ entre les groupements formés. Ensuite, cette base de données composée des tenseurs d'interaction Dᴵᴶ et de la répartition volumique des groupements formés est utilisée dans la deuxième partie de résolution multi échelle nommée la phase en-ligne. L'implémentation de la méthode est faite à partir des deux logiciels commerciaux suivants : Python pour la partie hors-ligne et ABAQUS/explicit pour la création du VUMAT de la partie en-ligne. La méthode est testée sur un matériau composite unidirectionnel avec deux phases ayant un comportement élastique. / This master's thesis presents an innovative approach of multi-scale simulation entitled Finite-Element-Self-consistent Clustering Analysis (FE_SCA). This method fits into the category of numerical methods for multi-scale homogenization. Being a good substitute for FE², at each integration point of the macroscopic model, a Reduced Order Model (ROM) of the microstructure is solved using the Lippmann Schwinger equations. As the latter are non-linear, an implicit solution scheme is considered. In this work, the iterative Newton-Raphson method was used. The reduced order model of Representative Volume Element (RVE) is carried out using the k-means clustering method, forming groups with the same mechanical behavior. This first phase is called the Offline phase and aims to prepare a database containing compressed microstructure information. The Offline phase consists of three steps: 1-Construction of the geometry and homogenization of the microstructure using the Fast Fourier Transform (FFT) method to obtain stress concentration tensors Aᵢⱼ, 2- Clustering of voxels according to tensors Aᵢⱼ, 3- Creation of interaction tensors Dᴵᴶ between each pair of clusters I,J. This database of tensors Dᴵᴶ and the volume distribution of the clusters is then used in the second part of the multi-scale resolution process, called the Online phase. The method is implemented using the following two commercial software packages: Python for the OFFLINE phase and ABAQUS/explicit for the Online phase using a user material subroutine VUMAT. The method is tested on a unidirectional composite material with two elastic phases.

Cette thèse a pour objectif le développement et l'implémentation d'un outil de résolution éléments-finis pour les problèmes d'extrusion de matériaux visco-plastiques fondus qui soit adapté à l'industrie du pneumatique. Dans ces travaux nous présenterons une méthodologie complète pour résoudre un modèle couplé comprenant le calcul des écoulements dans l'outillage, la répartition de température dans le domaine et la position d'interfaces entre plusieurs matériaux non miscibles. Pour cela, nous utiliserons les équations de Stokes non linéaires, l'équation de la chaleur, la méthode des interfaces diffuses et l'adaptation de maillage hiérarchique. Après avoir détaillé les différentes méthodes utilisées pour la résolution des différents problèmes, nous présenterons des résultats numériques dans plusieurs géométries d'outillages liés à l'extrusion des polymères. / The objective of this thesis is the development and the implementation of a finite element resolution tool for extrusion problems of molten visco-plastic materials which is suitable for the tire industry. In this works we will present a complete methodology to solve a coupled model including the calculation of the flow field in the equipment, the temperature distribution in the domain and the position of interfaces between several immiscible materials. To achieve this goal, we will solve the nonlinear Stokes equations, the heat equation, the diffuse interface method and we will use hierarchical mesh adaptation. After describing the various methods used for the resolution of the different problems, we present numerical results in several industrial geometries of tools related to the extrusion of polymers.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2014-2015 / Ce mémoire porte sur les transformations isoparamétriques quadratiques dans le contexte de la méthode des éléments finis, mais en gardant un point de vue théorique. Le but est de trouver des critères d’inversibilité afin de pouvoir appliquer des techniques d’adaptation de maillage avec des éléments quadratiques (courbes). Le premier chapitre introduit le sujet en présentant les difficultés qui surviennent avec les éléments quadratiques. Le deuxième chapitre présente une revue des principaux résultats sur le sujet et une caractérisation des conditions d’inversibilité en deux dimensions. Finalement, le troisième chapitre étudie ce qui se passe en trois dimensions et tente d’apporter des idées pour l’inversibilité dans un cas particulier.

Une conséquence du lemme de Céa permet de déterminer l’ordre de convergence optimal d’une solution estimée par la méthode des éléments finis. L’hypothèse importante qui est faite pour obtenir cette convergence est que la solution doit être suffisamment régulière. Dans ce mémoire, nous montrerons l’impact de l’adaptation sur la convergence de problèmes de diffusion ayant une singularité dans leur gradient. Afin de retrouver l’ordre optimal de la méthode sur des problèmes où cette hypothèse est fausse, nous développerons une méthode d’adaptation de maillage faite a posteriori, c’est-à-dire que l’on doit déjà avoir une approximation initiale de la solution pour l’utiliser. L’adaptation est dite hiérarchique et utilise le fait qu’une meilleure approximation peut être trouvée à partir de l’approximation initiale. Cette méthode est en développement depuis quelques années et a été étudiée en détail dans la thèse de Bois [2].

Les équations de Saint-Venant sont un système aux dérivées partielles jouant un rôle central dans la modélisation des écoulements océaniques. La méthode des éléments finis est particulièrement adaptée pour résoudre les équations de Saint-Venant car elle offre une grande flexibilité sur les domaines irréguliers ainsi qu’une variété d’espaces pour l’approximation de la solution. Or, la qualité de la solution numérique dépend de l’interaction entre ces espaces. Pour certaines combinaisons ou paires d’élément finis la solution numérique peut présenter des oscillations articiellement introduites par la discrétisation. Cette thèse porte sur le comportement numérique des solutions aux équations de Saint-Venant obtenues par différentes paires d’éléments finis. Tout d’abord, une étude sur la dispersion des ondes d’inertie-gravité est présentée pour une sélection de neuf paires d’éléments finis. Un ensemble de trois propriétés est ensuite mis en évidence afin que la discrétisation respecte le comportement des équations analytiques. Une méthode basée sur le calcul des noyaux est utilisée pour caractériser les modes stationnaires correspondant aux écoulements géostrophiques. Finalement, les espaces vectoriels de Raviart-Thomas et Brezzi-Douglas-Marini sont analysés. / The shallow-water equations system plays a central role in numerical oceanic models. The finite element method is particularly well suited to solve the shallow-water equations as it works on irregular meshes with a variety of approximation spaces. However, the behavior of the numerical solution highly depends on the interaction between these approximation spaces. For specific finite element pairs the solution may exhibit spurious oscillations induced by the discretization scheme. In this thesis, we analyze these oscillations for a wide selection of finite element pairs. The numerical dispersion of inertia-gravity waves is quantified with dispersion analyses. A constructive linear algebra approach is developed to compute the kernels of the discretized operators. The results are used to characterize the smallest representable vortices on both structured and unstructured meshes. A special attention is given to the Raviart-Thomas and Brezzi-Douglas-Marini approximation spaces.

Cette thèse s'intéresse à la génération, à l'utilisation et à l'évaluation des maillages hex-dominants, composés d'hexaèdres et de tétraèdres, dans la cadre de la simulation numérique par la méthode des éléments finis. Les éléments finis hexaédriques sont souvent préférés aux éléments tétraédriques car ils offrent un meilleur ratio entre précision et temps de calcul dans un certain nombre de situations. Cependant, si la génération automatique de maillages tétraédriques est aujourd'hui un domaine bien maîtrisé, ce n'est pas le cas de la génération de maillages hexaédriques alignés avec le bord, qui reste un problème largement ouvert. En l'absence de progrès significatifs, les approches actuelles se contentent de maillages hex-dominants afin de tirer parti des performances supérieures des hexaèdres et de la flexibilité géométrique des tétraèdres, qui rend possible le maillage automatique. Dans une première partie, nous développons des algorithmes robustes pour la génération de maillages hex-dominants à partir de champs de directions, notamment pour l'isolement et le remplissage des régions difficiles à mailler (singularités et autres dégénérescences). Dans la seconde partie, nous essayons de déterminer dans quelles situations et dans quelle mesure les maillages hexaédriques, et hex-dominants générés précédemment, sont plus intéressants que les maillages tétraédriques. Ceci implique spécifiquement d'étudier plusieurs manières d'effectuer des simulations par éléments finis avec les maillages hybrides, dont une approche où nous utilisons des contraintes de continuité pour maillages non-conformes. Pour mesurer l'influence du maillage sur l'approximation des solutions, nous proposons une nouvelle méthode d'échantillonnage pour calculer très efficacement des distances globales entre solutions éléments finis définies sur des domaines compliqués / This thesis focuses on generation, usage and evaluation of hex-dominant meshes, which are made of hexaehedra and tetrahedra, in the context of the finite element method. Hexahedron finite elements are often preferred to tetrahedron elements because they offer a better compromise between accuracy and computation time in certain situations. However, if tetrahedral meshing is a well mastered subject, it is not the case of hexahedral meshing. Generating hexahedral meshes with elements aligned to the borders is still an open and difficult problem. Meanwhile, current automated approaches can use hex-dominant meshes in order to take advantage of both hexahedron accuracy and geometrical flexibility of tetrahedra. In the first part, we develop robust algorithms for the generation of hex-dominant meshes with elements aligned with the borders. Specifically, we propose a method to extract and fill the areas where hexahedral meshing is difficult (singularities and degeneracies). In the second part, we try to identify and to quantify the advantages of hexahedral and hex-dominant meshes over tetrehedral ones. This requires to study various ways to apply the finite element method on hybrid meshes, including one in which we propose to use continuity constraints on hexahedral-tetrahedral non-conforming meshes. To measure the impact of meshes on the finite element accuracy, we develop a new sampling method which allows to compute efficiently global distances between finite element solutions defined on complicated 3D domains

Cette thèse vise à développer et à évaluer une méthode de décomposition de domaine avec recouvrement dans le cadre de la modélisation du contrôle non destructif (CND) par courants de Foucault (CF). L'objectif d'une telle approche consiste à éviter le remaillage systématique de l'intégralité du domaine d'étude lors du déplacement de l'un de ses éléments constitutifs(par exemple, déplacement de la sonde CF au dessus de la pièce contrôlée). Plus précisément, il s'agit de concevoir une méthode de décomposition de domaine avec recouvrement qui s'appuie sur la théorie apportée par la méthode des éléments finis avec joints. En plus de s'affranchir de la contrainte d'une interface d'échange invariante avec le mouvement, la technique décrite dans ce travail réalise des transferts d'information réciproques entre les domaines. Cette étude présente les résultats théoriques ainsi que numériques liés à la simulation magnétodynamique. Par ailleurs, l'intérêt d'une telle méthode est illustré par des applications sur des configurations bidimensionnelles de CND par CF. / This thesis aims at studying and developing a domain decomposition method with overlapping subdomains for the modeling in eddy current (EC) non-Destructive testing (NDT). The idea behind such an approach is the possibility to avoid the systematic remeshes of the whole studying domain when some of its components are modified (for example the displacement of the coil above the conductor). More precisely, this work aims at designing a domain decomposition method with overlapping based on the theory of the mortar finite element method. In addition to remove the constraint owing to an coupling interface which is invariant with the displacement, the technique described, in this work, realizes reciprocal transfers of information between subdomains. This study presents the theoretical and numerical results attached to the magnetodynamic simulation. Moreover, the interest of such a method is illustrated by applications in some 2D modeling cases of EC NDT.

Nous construisons une méthode numérique fiable pour simuler un écoulement dans un milieu poreux modélisé par une équation elliptique. La simulation est rendue difficile par les hétérogénéités du milieu, la taille et la géométrie complexe du domaine de calcul. Un maillage d'hexaèdres réguliers ne permet pas de représenter fidèlement les couches géologiques du domaine. Par conséquent, nous sommes amenés à travailler avec un maillage de cubes déformés. Il existe différentes méthodes de volumes finis ou d'éléments finis qui résolvent ce problème avec plus ou moins de succès. Pour la méthode que nous proposons, nous nous imposons d'avoir seulement un degré de liberté par maille pour la pression et un degré de liberté par face pour la vitesse de Darcy, pour rester au plus près des habitudes des codes industriels. Comme les méthodes d'éléments finis mixtes standards ne convergent pas, notre méthode est basée sur un élément fini mixte composite. En deux dimensions, une maille polygonale est découpée en triangles en ajoutant un point au barycentre des sommets, et une expression explicite des fonctions de base a pu être obtenue. En dimension 3, la méthode s'étend naturellement au cas d'une maille pyramidale. Dans le cas d'un hexaèdre ou d'un cube déformé quelconque, la maille est divisée en 24 tétraèdres en ajoutant un point au barycentre des sommets et en divisant les faces en 4 triangles. Les fonctions de base de l'élément sont alors construites en résolvant un problème discret. Les méthodes proposées ont été analysées théoriquement et complétées par des estimateurs a posteriori. Elles ont été expérimentées sur des exemples académiques et réalistes en utilisant le calcul parallèle. / We develop a reliable numerical method to approximate a flow in a porous media, modeled by an elliptic equation. The simulation is made difficult because of the strong heterogeneities of the medium, the size together with complex geometry of the domain. A regular hexahedral mesh does not allow to describe accurately the geological layers of the domain. Consequently, this leads us to work with a mesh made of deformed cubes. There exists several methods of type finite volumes or finite elements which solve this issue. For our method, we wish to have only one degree of freedom per element for the pressure and one degree of freedom per face for the Darcy velocity, to stay as close to the habits of industrial software. Since standard mixed finite element methods does not converge, our method is based on composite mixed finite element. In two dimensions, a polygonal mesh is split into triangles by adding a node to the vertices's barycenter, and explicit formulation of the basis functions was obtained. In dimension 3, the method extend naturally to the case of pyramidal mesh. In the case of a hexahedron or a deformed cube, the element is divided into 24 tetrahedra by adding a node to the vertices's barycenter and splitting the faces into 4 triangles. The basis functions are then built by solving a discrete problem. The proposed methods have been theoretically analyzed and completed by a posteriori estimators. They have been tested on academical and realistic examples by using parallel computation.

Cette étude porte sur l'intégration de l'aluminium et de matériaux composites de type Polymère Renforcé de Fibre de Verre (PRFV) dans les ponts transportables ferroviaires. Ces matériaux ont un intérêt particulier en raison de leur résistance aux conditions environnementales rudes et leur légèreté. Cependant, la combinaison de ces matériaux légers avec les matériaux traditionnels dont l'acier est peu fréquente dans les structures de génie civil. De plus les références de conception fournissent très peu d'informations pour le dimensionnement de ce type d'assemblage. Il existe néanmoins des références de conception des assemblages simplement en aluminium ou simplement en PRFV. Cependant, en comparaison avec l'acier, les recommandations proposées pour l'aluminium et les PRFV sont basées sur un nombre restreint d'essais et le dimensionnement optimal d'un assemblage boulonné entre des pièces d'acier et d'aluminium ou de PRFV peut s'avérer difficile. Aussi, l'objectif principal de la thèse est d'identifier les paramètres géométriques optimum des assemblages boulonnés aluminium-acier et PRFV-acier et d'effectuer une analyse critique des recommandations de conception existantes et si nécessaire les améliorer et enfin, d'évaluer la contribution de la colle dans les assemblages boulonnés/collés. Sur la base de l'état des connaissances disponibles, des études expérimentales et/ou numériques des assemblages boulonnés, collés, et boulonnés/collés des plaques aluminium-acier et PRFV-acier ont été menées. Pour les assemblages boulonnés, des configurations à un boulon et deux boulons ont été expérimentalement et analytiquement analysées. Les résultats obtenus ont permis d'évaluer l'effet des paramètres géométriques tels que l'épaisseur des plaques, les pinces longitudinale et transversale, et les pas longitudinal et transversal sur la résistance de l'assemblage. Par la suite, les paramètres géométriques optimums des assemblages boulonnés en PRFV-acier et aluminium-acier ont été identifiés et l'analyse critique des équations de dimensionnement des assemblages en aluminium et en PRFV recommandés dans les références de conception a été effectuée. Dans le cas des assemblages aluminium-acier, une amélioration des équations de résistance à la pression diamétrale et de résistance en traction et cisaillement combinés ont été proposées. Pour les assemblages en PRFV-acier, une étude semi-empirique a permis de proposer une équation de résistance en section nette adaptée aux PRFV pultrudés. Pour les assemblages collés et boulonnés/collés, seules les configurations à un boulon ont été testées. Des adhésifs méthacrylate et époxyde ont été utilisés et l'effet de ces derniers sur les assemblages multi-matériaux a été évalué. Il est apparu que le type d'adhésif a un effet important tant sur la résistance de l'assemblage que sur son mode de rupture. En outre la rigidité des plaques a un grand impact dans la capacité portante de l'assemblage collé. La contribution de la colle dans un assemblage boulonné a été trouvée avantageuse seulement dans le cas de l'assemblage PRFV-acier. Dans le cas de l'assemblages aluminium-acier, pas d'accroissement significatif n'a été observé.

Les bâtiments en acier de faible hauteur (BAFH) constituent une partie importante des constructions non résidentielles au Canada. Ces bâtiments ont la particularité d'avoir une toiture relativement flexible dans son plan comparativement aux bâtiments en béton où la rigidité est très élevée. La majorité des études sur les BAFH ont été publiées depuis 1994 suite au tremblement de terre de Northridge en Californie. Au Canada, la conception des structures doit respecter les exigences du Code National du Bâtiment du Canada (CNBC) dans lequel sont inscrites les exigences sur les charges sismiques, entre autres. Pour déterminer ces charges, il faut connaître la période de vibration du bâtiment. Le CNBC présente donc des formules empiriques pour déterminer cette période. Celles-ci ont cependant été dérivées pour des bâtiments multiétagés et ne s'appliquent pas pour les BAFH. L'objectif principal de ce mémoire est de mieux comprendre le comportement dynamique des BAFH. Pour ce faire, douze essais sous vibrations ambiantes ont été menés sur onze bâtiments afin de créer une base de données expérimentale. À partir de cette base de données, 24 équations permettant de prédire la période de vibrations sont présentées. De ses équations, six sont retenues et une est suggérée pour remplacer celle du CNBC. Le CNBC permet, pour la conception, d'utiliser la période obtenue à l'aide d'un logiciel d'éléments finis. Ce mémoire compare donc celles-ci à celles obtenues par les essais in situ et celles fournies par le CNBC. De plus, différentes hypothèses de modélisation sont vérifiées par une étude paramétrique. Les résultats montrent que la rigidité du modèle étant plus faible que le bâtiment réel, la période est toujours plus faible. Ceci fait en sorte que les efforts calculés sont aussi plus faible et donc du coté non-sécuritaire. C'est pourquoi il est conseillé de ne jamais utiliser la période obtenue par éléments finis pour le dimensionnement des BAFH.