Dans ce travail, on s'est intéressé à une équation d' ondes amorties intervenant dans un modèle de l'activité cérébrale . Nous nous sommes attachés à 1. justifier l'origine physiologique de cette équation et affiner le modèle pour des cas plus réalistes. 2. démontrer l'existence et l'unicité d'une solution et discuter le cas ou l'énergie de la solution décroît exponentiellement vers zéro à l'infini. 3. construire un schéma numérique stable, et le valider avec des simulations numériques. 4. étudier un problème d'identification de l'impulsion thalamique

Dans cette thèse, on se propose de participer à la popularisation des méthodes de résolution de problèmes de propagation d'onde basées sur des formulations intégrales en fournissant des indicateurs d'erreur a posteriori utilisable dans le cadre d'algorithmes de raffinement autoadaptatif. Le développement de tels indicateurs est complexe du fait de la non-localité des normes associées aux espaces de Sobolev et des opérateurs entrant en jeu. Des indicateurs de la littérature sont étendus au cas de la propagation d'une onde acoustique. On étend les preuves de convergence quasi-optimale (de la littérature) des algorithmes autoadaptatifs associés dans ce cas. On propose alors une nouvelle approche par rapport à la littérature qui consiste à utiliser une technique de localisation des normes, non pas basée sur des inégalités inverses, mais sur l'utilisation d'un opérateur Λ de localisation bien choisi.On peut alors construire des indicateurs d'erreur a posteriori fiables, efficaces, locaux et asymptotiquement exacts par rapport à la norme de Galerkin de l'erreur. On donne ensuite une méthode pour la construction de tels indicateurs. Les applications numériques sur des géométries 2D et 3D confirment l'exactitude asymptotique ainsi que l'optimalité du guidage de l'algorithme autoadaptatif.On étend ensuite ces indicateurs au cas de la propagation d'une onde électromagnétique. Plus précisément, on s'intéresse au cas de l'EFIE. On propose des généralisations des indicateurs de la littérature. On effectue la preuve de convergence quasi-optimale dans le cas d'un indicateur basé sur une localisation de la norme du résidu. On utilise le principe du Λ pour obtenir le premier indicateur d'erreur fiable, efficace et local pour cette équation. On en propose une seconde forme qui est également, théoriquement asymptotiquement exacte. / The aim of this work is to participate to the popularization of methods for the resolution of wave propagation problems based on integral equations formulations by developping a posteriori error estimates in the context of autoadaptive mesh refinement strategies. The development of such estimates is difficult because of the non-locality of the norms associated to the Sobolev spaces and of the involved integral operators. Estimates from the literature are extended in the case of the propagation of an acoustic wave. The proofs of quasi-optimal convergence of the autoadaptive algorithms are established. We then introduce a new approach with respect to the literature which is based on a new norm-localization technique based on the use of a well-chosen Λ operator and not on inverse inequalities as it was the case previously.We then establish new a posteriori error estimates which are reliable, efficient, local and asymptotically exact with respect to the Galerkin norm of the error. We give a method for the construction of such estimates. Numerical applications on 2D and 3D geometries confirm the asymptotic exactness and the optimality of the autoadaptive algorithm.These estimates are extended in the case of the propagation of an electromagnetic wave. More precisely, we are interested in the EFIE. We suggest generalization of the estimates of the literature. A proof for quasi-optimal convergence is given for an estimate based on a localization of the norm of the residual. The principle of Λ is used to construct the first reliable, efficient, local error estimate for this equation. We give a second forme which is eventually theoretically asymptotically exact.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties. Dans la première partie, on étudie le système d'Euler-Maxwell. En utilisant la méthode d'intégration de l'énergie classique, on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières du système avec données initiales petites. Ensuite, on étudie la limite de relaxation en montrant que, le sytème d'Euler-Maxwell converge vers les équations de dérive-diffusion quand le temps de relaxation tend vers zéro. Dans la deuxième partie, on cherche la contrôlabilité et l'observabilité exactes frontières de systèmes hyperboliques quasi-linéaires dans un réseau du type d'arbre. On établit des résultats d'existences de la contrôlabilité et l'observabilité par des méthodes constructives qui sont basées sur la théorie de la solution C1 semi-globale du système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre avec conditions initiales et frontières. Ensuite, on trouve des dualités de la contrôlabilité et l'observabilité.

The acoustics of small cavities raises interest of the scientific community since it involves particular damping mechanisms. In fluid dynamics, when a small perturbation is propagating within a Newtonian and heat-conducting fluid bounded by a rigid and isothermal surface, viscous and thermal dissipative mechanisms are generated near the walls. Such effects can have significant impact on the acoustic behaviour of the system.<p>Several types of practical applications can be cited, among which: hearing aids, micro-electro-mechanical systems (transducers, microphones and loud-speakers), absorbing materials made of thin capillary nets or small pores, dissipative silencers, thermo-acoustic heat exchangers, or any kind of device bringing into play small resonant cavities filled with a dissipative fluid (micro-acoustics).<p><p>This study focuses on appropriated reductions of the physical equations, in order to enhance the efficiency of the numerical resolution without adversely affecting the accuracy. Moreover, the proposed strategies lead to numerically stable systems as they involve only one scalar partial order differential equation (or equivalent fluid equation). The emphasis is put on the physical aspect of those reductions, their range of applicability, benefits and drawbacks.<p>Two new reduced models are proposed to estimate the visco-thermal acoustic wave propagation. A first extension deals with waveguide geometries and relax the hypothesis of the fluid at rest. The second original formulation addresses visco-thermal acoustics in 3D arbitrary geometries. This model is based on different considerations coming from existing techniques as well as the estimation of a wall-distance field.<p><p>A second part aims at studying the acoustic behaviour of biphasic materials and more specifically poro-elastic materials. This type of acoustic component is widely used in industry because of their good absorbing properties in the medium- and high-frequency <p>ranges.<p>A preliminary bibliographic research deals with the derivation of the set of partial order differential equations that account for both fluid/structure interactions and the anisotropy of a given poro-elastic material. It has been shown that transversely orientated capillary materials (for instance catalyst substrates) can be simulated using the proposed reduction technique.<p>At last, the modelling of the acoustic transmission between two domains separated by perforated or micro-perforated plates or thin plates of poro-elastic materials is discussed. The analogy between the rigid perforated plate models with an equivalent fluid formulation has been presented. As a result, this model has been extended in order to account for flexural effects of the solid part.<p><p><p>Ce travail porte sur l'étude de certains phénomènes d'amortissements intervenant dans l'acoustique des petites cavités. En méchanique des fluides, lorsqu'une petite perturbation se propage au sein d'un fluide newtonien et caloporteur borné par un mur rigide et isotherme, ces mécanismes dissipatifs particuliers se localisent aux abords des parois et jouent un rôle significatif dans certaines situations.<p>Parmi les exemples d'applications pratiques, il est possible de citer les appareils d'aide auditive, les systèmes microélectromécaniques (transducteurs, microphones et haut-parleurs), les matériaux absorbants constitués de fins réseaux capillaires ou de pores aux dimensions réduites, les systèmes de silencieux, d'échangeurs de chaleur thermo-acoustiques ou tout autre appareil mettant en jeu des cavités résonantes aux dimensions réduites (micro-acoustique).<p><p>L'étude proposée ici se focalise sur des stratégies de réduction appropriées des équations physiques, ceci afin d'améliorer l'efficacité du modèle tout en conservant une précision acceptable. Les techniques présentées aboutissent à des systèmes numériquement stables mettant en jeu une seule équation scalaire (ou équation fluide équivalent). Ainsi, l'accent est porté sur l'aspect physique des réductions, leurs domaines d'application, avantages et inconvénients.<p>Deux modèles originaux sont proposés afin de prédire la propagation acoustique visco-thermique. Une première extension permet d'évaluer la pression acoustique au sein de géométries particulières de type guides d'onde en présence d'un écoulement hydrodynamique. La seconde formulation présentée s'intéresse à l'acoustique dans des domaines 3D arbitraires. Cette méthode se base sur des considérations conjointes de modèles réduits existants ainsi que sur l'estimation d'un champ de distance à la plus proche paroi.<p><p>Dans une seconde partie, nous nous proposons d'étudier le comportement acoustique de matériaux biphasique et plus précisément les matériaux poro-élastiques (très utilisés dans l'industrie en raison de leurs caractéristiques absorbantes dans les domaines des moyennes et hautes fréquences).<p>Une étude bibliographique préliminaire nous a permis d'exprimer l'ensemble des équations aux dérivées <p>partielles modélisant à la fois les interactions fluide/structure et l'anisotropie générale des matériaux. <p>Cette réflexion nous a permis d'aboutir à un modèle de matériau isotrope transverse intéressant, combinant le modèle fluide proposé et la formulation acousto-élastique équivalente. Ainsi la modélisation de structures capillaires orientées (comme les matériaux utilisés dans les catalyseurs automobiles) s'en trouve grandement simplifiée.<p>Enfin, la transmission acoustique intervenant entre deux domaines fluides séparés par une plaque perforée ou micro-perforée ou bien une couche de matériau poreux a été étudiée. L'analogie entre les modèlisations existantes et un modèle générique de fluide équivalent a été mise en évidence. Pour finir, cette formulation a été étendue afin de prendre en compte les effets de flexion de la partie solide. / Doctorat en Sciences de l'ingénieur / info:eu-repo/semantics/nonPublished