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Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

On propose une méthode stochastique qui s'applique à des systèmes non linéaires d'équations différentielles qui modélisent l'interaction de deux espèces; le but est d'établir si un système déterministe particulier peut s'ajuster à des données qui présentent un comportement oscillatoire. L'existence d'un cycle limite est essentielle pour l'implantation de notre méthode. Cette procédure se base sur l'estimation des isoclines du système, en utilisant le fait que les isoclines traversent les solutions du système à des points maximum et minimum. Ensuite, nous proposons des tests qui permettent de comparer trois modèles: Holling (1959), Hanski et al. (1991), and Arditi et al. (2004). Finalement, on utilise des données simulées pour illustrer et étudier les propriétés de notre méthode, et nous appliquons la procédure à un ensemble de données bien connu. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Systèmes prédateur-proie, Équations différentielles ordinaires, Plan des phases, Isoclines, Modèle stochastique, Régression linéaire, Estimation par moindres carrés, Test de t, Test de Wilcoxon.

Soit $T$ une constante positive. Dans le présent travail, nous nous intéressons à l'existence d'une solution $T$-anti-périodique et d'une solution $T$-périodique de l'équation différentielle d'Abel \begin{equation*} \theta^{\prime}=f_0+\sum_{j\in \mathbb N} f_j\theta^j \end{equation*} avec $f_j$, ($j \in \lbrace 0, 1, 2, ...\rbrace$) à variation bornée sur $[0, T]$. Nous allons généraliser cette équation au cas impulsif où $\theta$ et $\theta^{\prime}$ subissent des sauts dépendants de l'état. Le premier chapitre consiste en un rappel de quelques définitions, notions de bases et résultats fondamentaux de l'analyse réelle et fonctionnelle que nous allons utiliser tout au long des chapitres 2 et 3. Au deuxième chapitre, on étudie l'existence d'une solution $T$-anti-périodique dans le sens que $\theta(0)= -\theta(T)$. Les conditions que nous imposons nous permettent d'utiliser le théorème du point fixe de Banach. Cette méthode nous donne non seulement l'existence d'une solution, mais aussi un moyen de trouver la solution numériquement ainsi qu'une majoration de la vitesse de convergence uniforme, d'une suite d'itérations de Picard vers la solution. Les résultats obtenus dans ce chapitre sont publiés dans \cite{BelleyGueye17}. Au troisième chapitre, on étudie l'existence d'une solution T-périodique pour la même équation. On utilise encore le théorème du point fixe de Banach pour garantir l'unicité de la solution. L'unicité est nécessaire pour que la fonction moyenne $M(\mu)$ que nous introduirons plus tard soit bien définie. Cette méthode nous donne également, non seulement l'existence d'une solution, mais aussi un moyen de trouver la solution numériquement ainsi qu'une majoration de la vitesse de convergence uniforme d'une suite d'itérations de Picard, vers la solution.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Généralisation de la théorie du contrôle classique développée pour les E.D.O. au cas des E.D.P. Reformulation des critères de la théorie du contrôle suivant 2 approches : théorie formelle des E.D.P. et algèbre différentiel. Un accent tout particulier est accordé au critère de contrôlabilité dont la généralisation aux E.D.P. constitue l'apport essentiel de cette étude. L'approche algébrique est utilisée pour conduire à un raisonnement qui permet la généralisation et la clarification de ces critères. Cependant c'est la théorie des E.D.P. qui permet d'élaborer des tests pour vérifier ces critères sur machine grâce a des logiciels de calcul formel. Nouvelle théorie du contrôle appliquée à de nombreux exemples de la physique (tourbillons de Bénard, dynamique des câbles, équations d'Euler, équations de Maxwell...) et des calculs explicites de degré de transcendance différentielle très complexes.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.