Une difféologie sur un ensemble arbitraire X, déclare, pour tout entier n,quelles applications de R[exposant n] vers X sont lisses. Cette idée est structurée par trois axiomes naturels : recouvrements, localité et compatibilité lisse. L’un des objectifs de cette thèse est de développer et d’étudier des outils classiques de la topologie algébrique dans le cadre difféologique. Parmi ces outils on se penche particulièrement sur les théories homologiques et cohomologiques généralisées. Un autre objectif est de montrer que les espaces difféologiques offrent un cadre assez naturel afin d’étudier les espaces singuliers : pseudo-variétés contrôlées à la Thom-Mather. On met en place les définitions de théories (co)homologiques généralisées dans la catégorie Diff . On définit une nouvelle notion "CW-difféologie" liée à la notion de CW-complexes. P. Iglesias Zemmour a introduit l’homologie cubique et cohomologie de De Rham dans la cadre difféologique. On développe en outre l’homologie singulière, l’homologie cellulaire et la cohomologie de Rham difféologique. On étudie les pseudo-variétés contrôlées qui sont des espaces singuliers en difféologie. / A diffeology on an arbitrary set X declares, for any integer n, which applications in R[exponent n] to X are smooth. This idea is structured by three natural axioms covering, locality and smooth compatibility. One objective of this thesis is to develop and study classical tools of algebraic topology in the diffeological framework. These tools are particularly looking at the generalized homology and cohomology theories. Another objective is to show that diffeological spaces offer a fairly natural frame to study the singular spaces : Thom-Mather stratified space. We set up the definitions of generalized (co)homology theories in the category Diff. We define a new notion of " CW- diffeology " linked to the notion of CW- complexes. P.Iglesias Zemmour introduced cubic homology and De Rham cohomology in the diffeological framework. We develop in addition the singular homology, cellular homology and diffeological de Rham cohomology. We study Thom-Mather stratified spaces which are singular spaces, with diffeology.

.

.

Cette thèse étudie la catégorie dérivée du bloc principal du groupe fini GL(2,q) en caractéristique l. On dispose grâce à la théorie de Deligne-Lusztig de deux complexes Le et Ls. Si l est différent de 2 alors les l-sous-groupes de Sylow de GL(2,q) sont abéliens, je vérifie que si l divise q-1 (respectivement q+1) alors le complexe Le (respectivement Ls) induit une équivalence dérivée ``splendide'' entre la somme des blocs de défaut maximal de GL(2,q) et l'algèbre du normalisateur d'un l-sous-groupe de Sylow. Ceci vérifie la conjecture de Broué. Si l=2 et q est impair, alors les l-sous-groupes de Sylow de GL(2,q) ne sont pas abéliens. Je montre que si q est congru à 1 ou 7 modulo 8 alors il n'existe aucun sous-groupe local H de GL(2,q) tel que les blocs principaux de H et de GL(2,q) sont de même type. Si q est congru à 3 ou 5, je considère le normalisateur dans GL(2,q) d'un sous-groupe de Sylow de SL(2,q). Je montre que son bloc principal est de même type que celui de GL(2,q) puis que ces deux blocs sont reliés par une équivalence dérivée ``splendide''. J'utilise ensuite la théorie des A-infini-algèbres. A partir des complexes Le et Ls je construis une A-infini-algèbre minimale dont la catégorie dérivée est équivalente à celle du bloc principal de GL(2,q). Il s'agit donc d'une algèbre associative graduée munie d'une structure supplémentaire. Cette construction généralise la construction des équivalences splendides effectuée dans les cas où les sous-groupes de Sylow sont abéliens. Je donne une description complète des A-infini-algèbres obtenues en considérant PGL(2,q) plutôt que GL(2,q). Je montre en particulier que les applications m(n) (pour n>2) donnant la A-infini-structure supplémentaire sont nulles pour n>3.

Dans cette recherche, nous avons pour but d'étudier l'utilisation des représentations par des enseignants pour l'introduction du concept de dérivée. Pour ce faire, nous avons observé deux enseignantes du cours de calcul différentiel au cégep pendant les séances d'introduction de la dérivée. Nous avons ensuite effectué une analyse du point de vue de la théorie des représentations de Duval et des représentations fonctionnelles de diSessa et al., et Hitt. Nous voulons, non seulement, connaître quels types de représentations les deux enseignantes utilisent, mais également de quelles façons elles les gèrent. Nous remarquons une prédominance des registres verbal et algébrique et une présence sporadique du registre graphique. De plus, nous observons un grand nombre d'actions implicites sur les représentations. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Didactique des mathématiques, calcul différentiel, pratique d'enseignement, représentations.

La L-théorie classique d'un anneau commutatif est construite à partir des formes quadratiques sur cet anneau modulo une relation d'équivalence lagrangienne. Nous construisons la L-théorie dérivée, à partir des formes quadratiques $n$-décalées sur un anneau commutatif dérivé. Nous montrons que les formes $n$-décalées qui admettent un lagrangien possèdent une forme standard. Nous montrons des résultats de chirurgie pour la L-théorie dérivée, qui permettent de réduire une forme quadratique décalée en une forme plus simple équivalente. On compare la L-théorie dérivée avec la L-théorie classique.On définit un champ dérivé des formes quadratiques dérivées, et un champ dérivé des lagrangiens dans une forme, qui sont localement algébriques de présentation finie. On calcule les complexes tangents, et on trouve des points lisses. On montre un résultat de rigidité pour la L-théorie : la L-théorie d'un anneau commutatif est isomorphe à celle d'un voisinage hensélien de cet anneau. Enfin, on définit l'algèbre de Clifford d'une forme quadratique n-décalée, qui est une déformation d'une algèbre symétrique en tant qu'E_k-algèbre. On montre un affaiblissement de la propriété d'Azumaya pour ces algèbres, dans le cas d'un décalage nul n=0, qu'on appelle semi-Azumaya. Cette propriété exprime la trivialité de l'homologie de Hochschild du bimodule de Serre. / The classical L-theory of a commutative ring is built from the quadratic forms over this ring modulo a lagrangian equivalence relation.We build the derived L-theory from the n-shifted quadratic forms on a derived commutative ring. We show that forms which admit a lagrangian have a standard form. We prove surgery results for this derived L-theory, which allows to reduce shifted quadratic forms to equivalent simpler forms. We compare classical and derived L-theory.We define a derived stack of shifted quadratic forms and a derived stack of lagrangians in a form, which are locally algebraic of finite presentation. We compute tangent complexes and find smooth points. We prove a rigidity result for L-theory : the L-theory of a commutative ring is isomorphic to that of any henselian neighbourhood of this ring.Finally, we define the Clifford algebra of a n-shifted quadratic form, which is a deformation as E_k-algebra of a symmetric algebra. We prove a weakening of the Azumaya property for these algebras, in the case n=0, which we call semi-Azumaya. This property expresses the triviality of the Hochschild homology of the Serre bimodule.

La dérivée topologique évaluée pour une fonctionnelle d'énergie définie dans un domaine et dépendante d'une solution d'un problème aux limites, est l'outil principal de l'optimisation de formes. Elle représente le taux de variation de la fonctionnelle d'énergie quand le domaine est modifié par une création de trou. La forme de la dérivée topologique est fournie par une analyse asymptotique d'un problème aux dérivées partielles et d'une fonctionnelle d'énergie. La définition de la dérivée topologique a été introduite dans [4] et [5]. Quelques notions d'analyse asymptotique qui permetent d'évaluer la forme de la dérivée topologique, ont été évoquées dans [2], [3]. Une méthode numérique pour calculer la solution du problème d'optimisation de forme, utilisant la dérivée topologique et la méthode des courbes de niveaux (levelset) a été présentée dans [1]. L'objet de ce travail de thèse est de développer des méthodes pour déterminer la dérivée topologique. Dans la première partie, on fait l'analyse d'un problème elliptique d'équation aux dérivées partielles non-linéaire. On commence par l'approximation de la solution du problème aux limites et ensuite on obtient le développement asymptotique d'une fonctionnelle de forme, dont le terme de premier ordre est la dérivée topologique. Par la suite, on considère une approximation numérique de la dérivée topologique en utilisant une méthode d'éléments finis et on démontre sa convergence. Les résultats théoriques sont illustrés par les calculs numériques. Dans la deuxième partie, on adapte la méthode de courbes de niveau à un problème d'optimisation de formes et de topologie. On applique la dérivée topolo- gique trouvée dans la première parie pour trouver l'endroit de modification du domaine afin de minimiser une fonctionnelle de coût. Dans la troisième partie, on considère le système de l'élasticité défini dans un domaine avec une fissure. Dans ce cas, on regarde le comportement asymptotique de la solution et de la fonctionnelle d'énergie par rapport aux perturbations singulières du domaine géométrique. Dans ce chapitre la dérivée topologique de l'énergie est donnée pour des domaine fissurés en dimension deux et trois. / The dissertation concerns numerical methods of shape optimization for nonlinear elliptic boundary value problems. Two classes of equations are considered. The first class are semilinear elliptic equations. The second class are elasticity problems in domains weakened by nonlinear cracks. The method proposed in the dissertation is known for linear problems. The framework includes the topological derivatives [2]-[5], and the levelset method [1]. It is shown, that the method can be applied in order to find numerical solutions for the shape optimization problems in the case of nonlinear elliptic equations. There are three parts of the dissertation. In the first part the topological derivatives for semilinear elliptic equation are determined by the compound asymptotic expansions. The expansion of solutions with respect to the small parameter which describes the size of the hole or cavity created in the domain of integration is established and justified. There are two problems considered in details. The first problem in three spatial dimensions with the Dirichlet boundary conditions on the hole. The complete proof of asymptotic expansion of the solution in the weighted Holder spaces is given. The order of the remainder is established by the Banach fixed point theorem in the weighted Holder spaces. The expansion of the solution is plug into the shape functional, and the first order term with respect to small parameter, is obtained. The second boundary value problem in two spatial dimensions enjoys the Neumann boundary conditions on the hole. The numerical results for the topological derivatives are given in twwo spatial dimensions by the finite element method combined with the Newton method for the nonlinear problems. The error estimates for the finite element method are also established. In the second part numerical method of shape optimization is proposed , justified and tested for a semilinear elliptic problem in two spatial dimensions. The forms of the shape gradient and of the topological derivative for the tracking type shape functional are given. The existence of an optimal domain under standard assumptions on the family of admissible domains is shown. Finally, numerical results are presented, which confirm the efficiency of the proposed method. In the third part of dissertation the elasticity boundary value problems in a body weakened by cracks is introduced. The variational formulations of the problem are recalled, including the smooth domain formulation. The domain decomposition method with the Steklov-Poincaré operator is analysed, with respect to the singular perturbation by creation of a small opening. The difficulty of the analysis is due to the fact that there are nonpenetration conditions prescribed on the crack lips, which make the problem nonlinear. The asymptotics of the energy functional are introduced and justified. As a result, the form of the topological derivative of the energy functional is obtained.

Résumé indisponible / Résumé indisponible

La dérivée est un concept important dans les cours de calcul. Dans certains pays comme au Canada et en France, il est enseigné au niveau collégial tandis qu’en Afrique et en particulier au Cameroun, on l’enseigne au niveau secondaire car la dérivée intervient dans l’étude des variations d’une fonction. Cette thèse dont le titre est : Analyse praxéologique des pratiques des enseignants et de leur utilisation de ressources pour l’enseignement de la dérivée. Une étude de cas dans l’enseignement secondaire général au Cameroun part du constat selon lequel de nombreux élèves et étudiants rencontrent des difficultés avec la notion de dérivée et que ces difficultés s’observent dans leurs résultats scolaires et académiques. Au vu de l’importance de la dérivée pour les différents parcours universitaires en sciences, nous nous intéressons aux pratiques des enseignants de mathématiques et notamment leurs praxéologies didactiques autour de la dérivée mais aussi, nous voulons comprendre les raisons qui justifient les choix faits par ces enseignants. La recherche essaie de répondre à la question de savoir quelles sont les pratiques des enseignants et les ressources utilisées par ces derniers pour l’enseignement de la dérivée? La recherche se propose ainsi d’identifier les praxéologies que les enseignants développent dans leur utilisation des ressources pour préparer leurs leçons et pour enseigner la dérivée. Nous ne nous limitons pas aux praxéologies observables mais nous aimerons comprendre les raisons qui justifient les choix opérés par ces enseignants et les contraintes institutionnelles auxquelles ils font face. Deux cadres théoriques encadrent cette recherche : la Théorie Anthropologique de la Didactique (TAD) qui nous permet d’analyser les types de tâches, les techniques, les technologies et les théories justifiant les technologies employées dans les ressources des enseignants et dans leurs pratiques enseignantes. De même, nous utilisons l’Approche Documentaire du Didactique (ADD) afin d’analyser les ressources institutionnelles et les autres ressources que les enseignants utilisent pour enseigner la dérivée. Pour analyser l’utilisation des ressources des enseignants, nous mettons un accent sur les objectifs et les sous-objectifs visés, les règles d’action, les invariants opératoires et les inférences éventuelles. Sur le plan méthodologique, nous utilisons une étude de cas impliquant trois enseignants qui enseignent la dérivée aux élèves de première. Nous utilisons des entretiens semi-dirigés afin d’analyser les choix que font les enseignants lors de la préparation des cours mais et surtout les raisons qui justifient ces choix; les observations vidéo-filmées permettent de savoir comment les enseignants introduisent la dérivée en un point et sur un intervalle et l’analyse des documents tels que les programmes de mathématiques, les manuels scolaires et d’autres ressources des enseignants employés dans la préparation des cours. Le principal résultat de cette thèse est l’identification du poids des ressources institutionnelles et de l’examen de fin d’année sur les praxéologies mathématiques et sur la manière dont les enseignants utilisent ces ressources. Nous discutons de ce résultat en tenant compte du rapport personnel des enseignants et des praxéologies développées dans les manuels et lors de l’enseignement. / Derivatives are one of the most important topics studied in high school (in many countries) and postsecondary mathematics. Many students must learn this topic to pursue their university studies and as a gateway to learn other mathematical topics in various other fields. In Cameroon, secondary teaching lasts from 12 to 18 years old. In this context, what in other countries is considered as pre-university courses, or college, in Cameroon is still called secondary. Derivatives are introduced in the last but one year of this cycle, called première (students are 17), after the topics of function, limit, and continuity. In this thesis, we examined teachers’ practices and their use of resources while teaching derivatives. This study in general secondary education in Cameroon starts from the observation that many pupils and students encounter difficulties with the notion of derivative and that these difficulties are observed in their academic results. The research attempts to identify the tasks, techniques and technologies developed in the resources used by these teachers. It also tries to describe the patterns of use of resources by closely observing the objectives pursued, the rules of action and the operational invariants put in place when using resources. We do not limit ourselves to describing the practices of teachers, but we would like to understand the reasons that justify their choices and the institutional constraints they face. Since we are interested in teachers’ practices and their use of resources to teach derivatives, we use elements of the anthropological theory of the didactic (ATD) to analyze the types of tasks, the techniques, technologies, and theories justifying the technologies used in teachers' resources and teaching practices. By using DA, we understand that teachers, to prepare their teaching, use variety of resources. These resources aiming to teach this content together with the schemes of use of these resources result in a document and these schemes of use of resources is influenced by the teacher’s own personal relationship. The participants in this study were three teachers who teach derivatives to first-class students. We use semi-structured interviews to analyse the choices teachers make when preparing courses, but above all the reasons that justify these choices and video to observe how teachers introduce the derivative. The video shows how teachers introduce the derivative at a point and on an interval. Others analyses helps us understanding how this content is introduced on math programs, textbooks and other teacher resources used in the preparation of courses. The main result of this thesis is the identification of the weight of institutional resources and the end-of-year examination on mathematical praxeology’s and on the way, teachers use these resources. We discuss this result considering the personal relationship of teachers and the praxeology’s developed in textbooks and during teaching.

Généralisation de la théorie du contrôle classique développée pour les E.D.O. au cas des E.D.P. Reformulation des critères de la théorie du contrôle suivant 2 approches : théorie formelle des E.D.P. et algèbre différentiel. Un accent tout particulier est accordé au critère de contrôlabilité dont la généralisation aux E.D.P. constitue l'apport essentiel de cette étude. L'approche algébrique est utilisée pour conduire à un raisonnement qui permet la généralisation et la clarification de ces critères. Cependant c'est la théorie des E.D.P. qui permet d'élaborer des tests pour vérifier ces critères sur machine grâce a des logiciels de calcul formel. Nouvelle théorie du contrôle appliquée à de nombreux exemples de la physique (tourbillons de Bénard, dynamique des câbles, équations d'Euler, équations de Maxwell...) et des calculs explicites de degré de transcendance différentielle très complexes.