Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse étudie la catégorie dérivée du bloc principal du groupe fini GL(2,q) en caractéristique l. On dispose grâce à la théorie de Deligne-Lusztig de deux complexes Le et Ls. Si l est différent de 2 alors les l-sous-groupes de Sylow de GL(2,q) sont abéliens, je vérifie que si l divise q-1 (respectivement q+1) alors le complexe Le (respectivement Ls) induit une équivalence dérivée ``splendide'' entre la somme des blocs de défaut maximal de GL(2,q) et l'algèbre du normalisateur d'un l-sous-groupe de Sylow. Ceci vérifie la conjecture de Broué. Si l=2 et q est impair, alors les l-sous-groupes de Sylow de GL(2,q) ne sont pas abéliens. Je montre que si q est congru à 1 ou 7 modulo 8 alors il n'existe aucun sous-groupe local H de GL(2,q) tel que les blocs principaux de H et de GL(2,q) sont de même type. Si q est congru à 3 ou 5, je considère le normalisateur dans GL(2,q) d'un sous-groupe de Sylow de SL(2,q). Je montre que son bloc principal est de même type que celui de GL(2,q) puis que ces deux blocs sont reliés par une équivalence dérivée ``splendide''. J'utilise ensuite la théorie des A-infini-algèbres. A partir des complexes Le et Ls je construis une A-infini-algèbre minimale dont la catégorie dérivée est équivalente à celle du bloc principal de GL(2,q). Il s'agit donc d'une algèbre associative graduée munie d'une structure supplémentaire. Cette construction généralise la construction des équivalences splendides effectuée dans les cas où les sous-groupes de Sylow sont abéliens. Je donne une description complète des A-infini-algèbres obtenues en considérant PGL(2,q) plutôt que GL(2,q). Je montre en particulier que les applications m(n) (pour n>2) donnant la A-infini-structure supplémentaire sont nulles pour n>3.

Le thème central de cette thèse est la correspondance de McKay en dimension trois. Soit $X$ un schéma projectif lisse sur un corps $k$ et $G$ un groupe réductif fini. Dans un premier temps, on s'intéresse au schéma de Hilbert $G$-équivariant de $X$. On le définit dans un cadre général et on construit le morphisme de Hilbert-Chow par une méthode de linéarisation du déterminant. On étudie alors le cas particulier où le quotient $X/G$ est lisse. Dans un deuxième temps, on étudie une famille de singularités de dimension trois qui admettent deux résolutions crépantes naturelles : l'une est le schéma de Hilbert équivariant, et l'autre est le résultat d'un processus de désingularisation de singularités de points doubles. On calcule les fibres de ces deux résolutions et on conclut que le schéma de Hilbert donne une résolution plus naturelle au sens de McKay. On donne alors une interprétation de ce schéma en tant qu'espace modulaire d'une famille de fibrés vectoriels. Enfin, on s'intéresse à la catégorie dérivée équivariante. On donne une version $G$-équivariante du théorème de Be\u(\i)linson, puis on compare la catégorie dérivée $G$-équivariante de $X$ et la catégorie dérivée du quotient $X/G$ en déterminant l'image du foncteur $(\bf L)\pi^* : (\cal D)(X/G)\rightarrow (\cal D)^G(X)$.

La première partie est consacrée à l'étude d'attaques génériques sur des schémas de Feistel dissymétriques. Ces attaques sont en fait des distingueurs qui calculent sur une partie des clairs-chiffrés le nombre de paires vérifiant un système d'égalités et de non-égalités sur un groupe fini. La recherche de ce type d'attaques a été automatisée et améliorée, notamment en tenant compte de goulots d'étranglement. Plus généralement, des travaux sur ce type de systèmes, que l'on désigne par les termes << théorie du miroir >> sont exposés dans cette partie. En particulier, on décrit le problème de la somme de deux bijections sur un groupe fini.La deuxième partie décrit un des candidats à la compétition SHA-3 : la fonction de hachage CRUNCH. Cette fonction reprend un schéma de Feistel dissymétrique et utilise la somme de deux bijections. De plus, un nouveau mode d'enchaînement a été utilisé.Dans la dernière partie on traite de problème d'authentification à divulgation nulle de connaissance. D'abord avec les polynômes à plusieurs variables, puis avec un problème difficile lié aux groupes symétriques. Une illustration est donnée avec le groupe du Rubik's Cube.Enfin une méthode originale pour tenter de trouver une solution aux équations de Brent est donnée en annexe. / The first part is dedicated to the study of generic attacks in unbalanced Feistel schemes. All these attacks are distinguishers that counts how many number of couples (plain text, cipher text) verify a system of equalities and non-equalities on a finite groupe. With the help of algorithms we have found all the possible attacks, and some attacks with a neck bottle have been rejected automatically. More generally, we describe some works about the "mirror theory" that deals about that kind of systems. We specially describe the problem of the sum of two bijections in a finite group.The second part describes one of the candidate of the SHA-3 competition : the hash function called CRUNCH. This function includes the sum of two bijections, and each bijection is an unbalanced Feistel Scheme. A new chaining process for long messages is given.In the last part we deal with zero-knowledge authentication problems. The first protocol is based on multivariate polynomials. The second is linked to a difficult problem in symmetric groups. We take the example of the Rubik's cube group.Finally, we reveal some works on Brent equations. We build an algorithm that may find one solution.

Le cadre du travail présenté dans cette thèse est celui de la théorie équivariante des courbes, c'est-à-dire l'étude des courbes munies d'une action d'un groupe G, qu'on considère toujours fini. Le résultat essentiel est un théorème de Riemann-Roch à valeurs dans l'anneau des caractères du groupe considéré, et qui relève le théorème classique. Il est obtenu pour des G-faisceaux de rang quelconque grâce à l'introduction d'un groupe de diviseurs à coefficients équivariants qui permet en particulier de définir le déterminant et le degré d'un tel faisceau. On applique ce théorème au calcul de structures galoisiennes d'origine géométrique.

Nous présentons une étude de la cohomologie à coefficients tordus de la réalisation géométrique des systèmes de liaison. Plus précisément, si (S, Ƒ, ℒ) est un groupe fini p-local, nous travaillons sur la cohomologie H*(\ℒ\, M) de la réalisation géométrique de ℒ, avec un Z(p)[π₁(\ℒ\)]-module M en coefficients, et ses liens avec les éléments Fᶜ-stables H* (Ƒᶜ, M) ⊆ H*(S, M) à travers l’inclusion de BS dans \ℒ\. Après avoir donné la définition des éléments Ƒᶜ-stables, nous étudions l’endomorphisme de H*(S, M) induit par un (S, S)-bi-ensemble Ƒᶜ-caractéristique et nous montrons que sous certaine hypothèse et si l’action est nilpotent, alors on a un isomorphisme naturel H*(\ℒ\, M) ≌ H* (Ƒᶜ,M). Ensuite, nous regardons les actions p-résolubles à travers la notion de sous-groupe p-local d’index premier à p ou une puissance de p. Nous montrons que si l’action de π₁(\ℒ\) sur M se factorise par un p'-groupe alors on a aussi un isomorphisme naturel. Pour une action p-résoluble plus général, nous obtenons un résultat dans le cas des systèmes réalisables. Ces résultats nous conduisent à la conjecture qu’on a un isomorphisme naturel pour tout groupe fini p-local et toute action p-résoluble. Nous donnons quelque outils pour étudier cette conjecture. Nous travaillons sur les produits de groupes finis p-locaux avec la formule de Kunneth et les systèmes de liaison que se décomposent bien vis-à-vis de la suite exacte longue de Mayer-Vietoris. Finalement, nous étudions les sous-groupes essentiels d’un produit couronné par Cp. Nous finissons par des exemples qui soulignent, qu’en général, on ne peut espérer un isomorphisme entre H*(\ℒ\, M) et H*(Ƒᶜ, M). / The aim of this work is to study the cohomology with twisted coefficients of the geometric realization of linking systems. More precisely, if (S, Ƒ, ℒ) is a p-local finite group, we work on the cohomology H*(\ℒ\, M) of the geometric realization of ℒ with coefficients in a Z(p)[π₁(\ℒ\)]-module M and its links with the Ƒᶜ-stables H*(Ƒᶜ, M) ⊆ H*(S, M) trough the inclusion of BS in \ℒ\. After we give the definition of Ƒᶜ-stable elements , we study the endomorphism of H*(S, M) induced by an Fc-characteristic (S, S)-biset and we show that, if the action is nilpotent- and we assume an hypothesis, we have a natural isomorphism H*(\ℒ\, M) ≌ H* (Fᶜ;M). Secondly, we look at p-solvable actions of π₁(\ℒ\) on M through the notion of p-local subgroups of index a power of p or prime to p. If the action factors through a p'-group, we show that there si also a natural isomorphism. We then work on extending this to any-p-solvable action and we get some positive answer then the p-local finite groupis realizable. Theses leads to the conjecture that it is true for any-p-local finite group and any-p-solvable actions. We also give some tools to study this conjecture on examples. We look at products of p-local finite groups with Kunneth Formula and linking system which can be decomposed in a way which behaves well with Mayer-Vietoris long exact sequence. Finally, we study essential subgroups of wreath productsby Cp. We finish with some examples which illustrate that, in general, we cannot hope an isomorphism between H*(\ℒ\, M) and H*(Ƒᶜ, M).

Dans la premier partie de cette thèse, nous étudions la structure des sous-groupes approximatifs dans les groupes metabéliens (groupes résolubles de classe de résolubilité 2) et montrons que si A est un tel sous-groupe K approximatif, il est K^⁰(r) contrôlée (au sens du Tao) par un groupe nilpotent où $ r désigne le rang de $ G=Fit (G) et Fit (G) $ est le sous-groupe de fitting de G. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la croissance des ensembles dans GLn(Fq) où Fq est un corps fini. Nous montrons une borne sur le diamètre (par rapport à n'importe quel système des générateurs) pour tous sous-groupes simples finis de ce groupe. Si G est un groupe fini simple de type Lie de rang n, et son corps de base est de taille borné, le diamètre du graphe du Cayley Gamma (G;S) serait borné par exp (O (n (log n) ^ 3)) . Si la taille du corps fini Fq n'est pas borné, notre méthode donne une borne de q ^ {O (n ( log nq) ^ 3) pour le diamètre.Dans la troisième partie nous nous sommes intéressés à la croissance des ensembles dans les boucles de Moufang commutatifs. Ceux-ci sont les boucles commutatifs respectant les identités de Moufang mais sans être (nécessairement) associatifs. Nous montrons que, si les tailles des ensembles des associateurs sont bornées alors la croissance des sous-structures approximatifs dans ces boucles est similaire à celle des groupes ordinaires. De cette façon dans le cadre des boucles de moufang commutatifs finiment engendré on a un théorème de structure pour ses sous-boucles approximatifs.Mots-clefs -sous-groupes approximatifs, groupes résolubles, diamètres des groupes, boucles de moufang commutatifs. / In the first part of this thesis, we study the structure of approximate subgroups inside metabelian groups (solvable groups of derived length 2) and show that if A is such a K-approximate subgroup, then it is K^(O(r)) controlled (in the sense of Tao) by a nilpotent group where r denotes the rank of G=Fit(G) and Fit(G) is the fitting subgroup of G.The second part is devoted to the study of growth of sets inside GLn(Fq) , where we show a bound on the diameter (with respect to any set of generators) for all finite simple subgroups of this group. What we have is - if G is a finite simple group of Lie type with rank n, and its base field has bounded size, then the diameter of the Cayley graph C(G; S) would be bounded by exp(O(n(logn)^3)). If the size of the base field Fq is not bounded then our method gives a bound of q^(O(n(log nq)3)) for the diameter.In the third part we are interested in the growth of sets inside commutative Moufang loops which are commutative loops respecting the moufang identities but without (necessarily)being associative. For them we show that if the sizes of the associator sets are bounded then the growth of approximate substructures inside these loops is similar to those in ordinary groups. In this way for the subclass of finitely generated commutative moufang loops we have a classification theorem of its approximate subloops.

Cette thèse contient quatre articles qui étudient les phénomènes de rigidité des transforma- tions hamiltoniennes des variétés symplectiques. Le premier article, rédigé en collaboration avec Egor Shelukhin, examine les obstructions à l’existence de symétries hamiltoniennes d’ordre fini sur une variété symplectique fermée (M,ω); c’est-à-dire de torsion hamiltonienne. En d’autres termes, nous étudions les sous- groupes finis du groupe des difféomorphismes hamiltoniens Ham(M,ω). Nous identifions trois sources principales d’obstructions: Contraintes topologiques. Inspirés par un résultat de Polterovich montrant que les variétés symplectiques asphériques n’admettent pas de torsion hamiltonienne, nous établissons que la présence d’un sous-groupe fini non trivial de Ham(M, ω) implique l’existence d’une sphère A ∈ π2(M) avec ⟨[ω],A⟩ > 0 et ⟨c1(M),A⟩ > 0. En particulier, les variétés symplectiques négativement monotones et les variétés symplectiques Calabi-Yau n’admettent pas de torsion hamiltonienne. Présence de courbes J-holomorphes. De manière générale, il y a de nombreux exemples de torsion hamiltonienne, par exemple toute rotation de la sphère de dimension deux par une fraction irrationnelle de π. Lorsque (M,ω) est positivement monotone, nous montrons que l’existence de torsion hamiltonienne impose une condition géométrique qui implique que les sphères J-holomorphes non constantes sont présentes partout. Ce phénomène était prédit dans une liste de problèmes contenue dans la monographie d’introduction de McDuff et de Salamon. Rigidité métrique spectrale. Notre analyse révèle que, pour les variétés symplectiques posi- tivement monotones, il existe un voisinage de l’identité dans Ham(M,ω) dans la topologie induite par la métrique spectrale qui ne contient aucun sous-groupe fini non trivial. Le principal résultat du deuxième article établit que, pour une large classe de variétés sym- plectiques, le flux d’un lacet de difféomorphismes symplectiques est entièrement déterminé par la classe d’homotopie de ses orbites. Comme application, nous obtenons de nouveaux exemples où l’existence d’un point fixe d’une action symplectique du cercle implique qu’elle est hamiltonienne et de nouvelles conditions assurant que le groupe de flux est trivial. De plus, nous obtenons des obstructions à l’existence d’éléments non triviaux de Symp0(M,ω) ayant un ordre fini. Le troisième article, rédigé en collaboration avec Han Lou, démontre une version de la conjecture de Hofer-Zehnder pour les variétés symplectiques fermées semi-positives dont l’homologie quantique est semi-simple; ce résultat généralise le travail révolutionnaire de Shelukhin sur les variétés symplectiques monotones. Le résultat montre qu’un difféomor- phisme hamiltonien possédant plus de points fixes contractiles, comptés homologiquement, que le nombre total de Betti de la variété doit avoir une infinité de points périodiques. La composante clé de la preuve est une nouvelle étude de l’effet de la réduction modulo p, un nombre premier, sur les bornes de l’homologie de Floer filtrée qui proviennent de la semi- simplicité. Cette étude repose sur la théorie des extensions algébriques des corps équipés d’une norme non-archimédienne. Le quatrième article, écrit en collaboration avec Habib Alizadeh et Dylan Cant, examine la déplaçabilité d’une sous-variété lagrangienne fermée L d’une variété symplectique convexe á l’infini par un difféomorphisme hamiltonien à support compact. Nous concluons qu’un difféomorphisme hamiltonien φ dont la norme spectrale est plus petite qu’un ħ(L) > 0 ne dépendant que de L ⊆ W ne peut pas déplacer L. De plus, nous établissons une estimation du nombre de valeurs d’action en terme de la longueur du cup-produit pour le nombre de valeurs d’action; lorsque L est rationnelle, cela implique une estimation du nombre de points d’intersection L ∩ φ(L) en terme de la longueur du cup-produit. Ainsi, nous montrons que le nombre de points fixes d’un difféomorphisme hamiltonien d’une variété symplectique fermée rationnelle (M, ω) dont la norme spectrale est plus petite que la constante de rationalité est au moins de 1 plus la longueur du cup-produit de M. / This thesis comprises four articles that study rigidity phenomena of Hamiltonian transfor- mations of symplectic manifolds. The first article, co-authored with Egor Shelukhin, examines obstructions to the existence of Hamiltonian symmetries of finite order on a closed symplectic manifold (M,ω); Hamil- tonian torsion. In other words, we study the finite subgroups of the group of Hamiltonian diffeomorphisms Ham(M, ω). We identify three primary sources of obstructions: Topological constraints. Inspired by a result of Polterovich showing that symplectically aspherical symplectic manifolds do not admit Hamiltonian torsion, we establish that the presence of a non-trivial finite subgroup of Ham(M,ω) implies that there exists a sphere A ∈ π2(M) with ⟨[ω],A⟩ > 0 and ⟨c1(M),A⟩ > 0. In particular, symplectically Calabi-Yau, and spherically negative-monotone symplectic manifolds do not admit Hamiltonian torsion. The presence of J-holomorphic curves. For general closed symplectic manifolds, there are plenty of examples of Hamiltonian torsion, for instance, any rotation of the two-sphere by an irrational fraction of π. When (M, ω) is spherically positive-monotone, we show the existence of Hamiltonian torsion imposes geometrical uniruledness, which implies that non-constant J-holomorphic spheres are ubiquitous. This phenomenon was predicted in a list of problems contained in the introductory monograph of McDuff and Salamon. The spectral metric rigidity. Our study reveals that for spherically positive-monotone (M, ω), there exists a neighbourhood of the identity in Ham(M,ω), in the topology induced by the spectral metric, that does not contain any non-trivial finite subgroup. The main result of the second article establishes that for a broad class of symplectic manifolds the flux of a loop of symplectic diffeomorphisms is completely determined by the homotopy class of its orbits. As an application, we obtain a new vanishing result for the flux group and new instances where the existence of a fixed point of a symplectic circle action implies that it is Hamiltonian. Moreover, we obtain obstructions to the existence of non-trivial elements of Symp0(M,ω) that have finite order. The third article, co-authored with Han Lou, proves a version of the Hofer-Zehnder conjec- ture for closed semipositive symplectic manifolds whose quantum homology is semisimple; this result generalizes the groundbreaking work of Shelukhin in the spherically positive- monotone setting. The result shows that a Hamiltonian diffeomorphism possessing more contractible fixed points, counted homologically, than the total Betti number of the mani- fold, must have infinitely many periodic points. The key component of the proof is a new study of the effect of reduction modulo a prime on the bounds on filtered Floer homology that arise from semisimplicity. It relies on the theory of algebraic extensions of non-Archimedean normed fields. The fourth article, co-authored with Habib Alizadeh and Dylan Cant, investigates the dis- placeability of a closed Lagrangian submanifold L of a convex-at-infinity symplectic manifold by a compactly supported Hamiltonian diffeomorphism. We conclude that a Hamiltonian diffeomorphism φ whose spectral norm is smaller than some ħ(L) > 0, depending only on L ⊂ W , cannot displace L. Furthermore, we establish a cup-length estimate for the number of action values; when L is rational, this implies a cup-length estimate on the number of intersection points L ∩ φ(L). As a corollary, we demonstrate that the number of fixed points of a Hamiltonian diffeomorphism of a closed rational symplectic manifold (M,ω), whose spectral norm is smaller than the rationality constant, is bounded below by one plus the cup-length of M.