La première partie de cette thèse présente le cadre des équations différen- tielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale « classique ». On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on présente et on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs de vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelle démonstration de la version formelle du théorème de Kolmogorov et du théorème de Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple mettant en œuvre certains de ces calculs, et témoignant ainsi de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.

La these porte sur les corrections mixtes QCD-EW au niveau NNLO a la productionDrell-Yan de bosons Z et W. Le processus Drell-Yan est un processus fondamentalpermettant de tester avec precision le Modele Standard (MS) de physique des partic-ules au sein de collisionneurs hadroniques, car ce dernier presente une section ecaceimportante, une signature experimentale tres propre, ainsi qu'une tres haute sensi-bilite aux proprietes des bosons de jauge. Pour toutes ces raisons, une prediction theorique precise et able, siginant ici que l'on garde sous contr^ole lestermes provenant des corrections perturbatives d'ordre superieur de la section ecaceet des distributions du mecanisme de production de Drell-Yan, est exigee pour menera bien des etudes de physique au niveau de collisionneurs hadroniques.Dans cette thèse , nous étudions les corrections QCD mixtes - EW à Drell - Yan traite à la NNLO . D'un point de vue technique , le calcul d'un tel ensemble de corrections impliquerait le cal-tion de diagrammes de Feynman très compliquées , La plus grande contribution provient des diagrammes dans lesquels la particule de décomposition ( Z ou boson W ) est presque sur - coquille.En utilisant les règles Cutkosky , nous pouvons ré-écrire l'intégration sur l'espace de phase de latermes d'interférence ( une boucle 2 à 2 diagrammes interféré avec le niveau arbre 2 à 2 etarbre 2 ou 3 diagrammes carré ) en termes de combinaison des intégrales de propagationteurs ayant la prescription et propagateurs de causalité droite avec une face .Ces intégrales peuvent être traités de la même manière que les corrections virtuelles . Cette réduction se fait en utilisant l' algorithme Laporta \ " , sur la base del'intégration par parties identités . Le calcul de l' IM est réalisée en utilisant la méthode de la différenceéquations. En conséquence , nous obtenons l' IM exprimée en série de Laurent ,où D est la dimension de l'espace - temps , la multiplication d'un facteur qui prend entenir compte de la limite souple de l'intégrale en D dimensions . / The thesis concerns the NNLO mixed QCD-EW corrections to the Drell-Yan (DY)production of Z andW bosons, via the following reactions: pp(p) Z+X to l + Xand pp to W + X to l + X. This is a fundamental process for an accurate testof the Standard Model (SM) at hadron colliders, since it has a large cross section, aclean experimental signature. In particular, the Drell-Yan production of Ws is important for an accuratedetermination (via transverse mass and pT distributions) of the W mass, mW, aninput parameter of the model. Because of all these reasons, an accurate and reliable theoretical prediction forthe cross section and the distributions of the Drell-Yan production mechanism, thatmeans control on the higher-order perturbative corrections, is demanded for physicsstudies at hadron colliders. In this thesis, we study the mixed QCD-EW corrections to Drell-Yan processes at the NNLO. From a technical point of view, the calculation of such a set of corrections would involve the calcu-lation of very complicated Feynman diagrams, The biggest contribution comes from the diagrams in which the decaying particle(Z or W boson) is nearly on-shell. Using the Cutkosky rules, we can re-write the integration over the phase-space of theinterference terms (one-loop 2 to 2 diagrams interfered with the tree-level 2 to 2 andtree 2 to 3 diagrams squared) in terms of a combination of integrals with propaga-tors having the right causality prescription and propagators with the opposite one.These integrals can be treated in the same way as the virtual corrections. This reduction is done using the \Laporta Algorithm", based onthe Integration-by-Parts Identities. The calculation of the MIs is performed using the method of differentialequations. As a result, we get the MIs expressed as a Laurent series ,where D is the dimension of the space-time, multiplying a factor which takes intoaccount the soft limit of the integral in D dimensions.

Le pseudo-groupe de Malgrange d'un champ de vecteurs défini sur une variété est la sous-pro-variété de l'espace des jets de biholomorphismes locaux de cette variété obtenue en prenant la clôture de Zariski des flots du champ de vecteurs. Une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 définit un champ de vecteurs sur une variété de dimension 3. Le pseudogroupe de Malgrange de ce dernier est de type différentiel d'ordre inférieur ou égal à 2. Une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 est dite irréductible si ses solutions générales ne peuvent pas être exprimées à l'aide de solutions d'équations algébriques, différentielles linéaires ou différentielles d'ordre 1. Si le type différentiel du pseudo-groupe de Malgrange d'une équation d'ordre 2 est exactement 2 alors cette dernière est irréductible. Nous donnons plusieurs définitions du pseudo-groupe de Malgrange d'un champ de vecteurs équivalentes à la définition originale donnée par Bernard Malgrange. La définition du premier paragraphe nous permet d'appliquer un théorème de semi-continuité de la dimension des clôtures de Zariski des feuilles d'un feuilletage holomorphe de Philippe Bonnet. Nous obtenons le résultat suivant concernant les équations différentielles ordinaires dépendant de paramètres. Si le type différentiel du pseudo-groupe de Malgrange de l'équation spécialisée en une valeur des paramètres est à exactement 2 alors il en sera de même pour les pseudo-groupes de Malgrange de l'équation spécialisée en des valeurs générales des paramètres. Une première application de ce résultat est de redémontrer l'irréductibilité des équations de Painlevé pour des valeurs générales des paramètres. Une seconde application est de déterminer complètement les pseudo-groupes de Malgrange de ces équations pour des valeurs générales des paramètres. Les définitions du pseudo-groupe de Malgrange et les résultats de spécialisations s'adaptent aux équations aux q-différences. En appliquant ces résultats aux équations de Painlevé discrètes, nous obtenons le pseudo-groupe de Malgrange de ces dernières pour des valeurs générales des paramètres. / The Malgrange pseudogroup of a vector field on a variety is the sub-pro-variety of the jet space of local biholomorphisms of this variety obtained by taking the Zariski closure of the flow of the vector field. A second-order ordinary differential equation defines a vector field on a variety of dimension 3. The differential type of the Malgrange pseudogroup of this one is at most 2. A second-order ordinary differential equation is said to be irreductible if its general solutions can not be expressed using solutions of algebraic equations, linear differential equations or differential equations of order 1. If the differential type of the Malgrange pseudogroup of a second-order differential equation is exactly 2 then the latter is irreductible. We give several definitions of the Malgrange pseudogroup of a vector field which are equivalent to the original definition given by Bernard Malgrange. The definition of the first paragraph leads us to apply a semi-continuity theorem of the dimension of the Zariski closure of the leaves of a holomorphic foliation given by Philippe Bonnet. We obtain the following result about the ordinary differential equations which depend on parameters. If the differential type of the Malgrange pseudogroup of the equation specialized in one value of parameters is exactly two then it will be the same for the Malgrange pseudogroup of the equation specialized in a general value of parameters. A first application of this result is an other proof of the irreductibility of the Painlevé equations for general value of parameters. A second application is to fully determined the Malgrange pseudogroups of this equations for general value of parameters. The definitions of the Malgrange pseudogroup of a vector field and the specialisation results can be adapted the q-difference equations. By applying this results to the discret Painlevé equations, we fully determined the Malgrange pseudogroup of the latters for general value of parameters.

Dans la première partie de cette thèse, nous obtenons l’existence d’une densité et des estimées gaussiennes pour la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde. C’est une application du calcul de Malliavin et plus particulièrement d’une formule d’I. Nourdin et de F. Viens. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la simulation d’une équation aux dérivées partielles stochastique par une méthode probabiliste qui repose sur la représentation de l’équation aux dérivées partielles stochastique en terme d’équation différentielle doublement stochastique rétrograde, introduite par E. Pardoux et S. Peng. On étend dans ce cadre les idées de F. Zhang et E. Gobet et al. sur la simulation d’une équation différentielle stochastique rétrograde. Dans la dernière partie, nous étudions l’erreur faible du schéma d’Euler implicite pour les processus de diffusion et l’équation de la chaleur stochastique. Dans le premier cas, nous étendons les résultats de D. Talay et L. Tubaro. Dans le second cas, nous étendons les travaux de A. Debussche. / No English summary available.

Les voies de signalisation cellulaires permettent aux cellules de percevoir et d'échanger de l'information sous la forme de signaux chimiques. Un tel signal génère une réponse de la cellule au travers des étapes cruciales de réception et transduction. Différents types de protéines sont organisés dans une cascade de réactions de proche en proche qui relaient le signal de l'extérieur vers l'intérieur de la cellule, notamment au travers de la membrane. Les protéines de signalisation sont restreintes à des compartiments avec des degrés de liberté différents, et diffusent soit dans la membrane cellulaire qui est bidimensionnelle, soit dans le cytoplasme qui est en trois dimensions. De plus, au sein même de ces espaces, leurs distributions respectives sont hétérogènes. Or l'étude de la dynamique des voies de signalisation repose classiquement sur des modèles mathématiques supposant une homogénéité de distribution spatiale. Nous avons développé des modèles de réactions biochimiques entre populitions de molécules oú l'état et la position de chaque molécule sont caractérisés. La diffusion et les interactions entre molécules simulées sont reproduites sur la base de processus stochastiques issus de la biophysique. Ceci permet de recréer des distributions spatiales et des modes de diffusion hétérogènes tels qu'observés en biologie et d'étudier leur effet sur la dynamique de la signalisation en simulation. L'exploitation des modèles a été menée sur les différentes étapes de signalisation. Premièrement, l'étude a porté sur l'interaction entre un ligand dans le milieu extracellulaire et des récepteurs membranaires fixes. Lorsque les récepteurs forment des grappes au lieu d'être répartis uniformément, cela provoque une perte de sensibilité globale de l'étage de réception. Deuxièmement, l'analyse a été poursuivie au niveau de l'étage de transduction entre les récepteurs et un effecteur au niveau de la membrane. Là aussi, une distribution en grappe plutôt qu'uniforme des récepteurs provoque une perte de sensibilité. Enfin, l'étude s'est portée sur un modèle intégrant un mécanisme de diffusion non-homogène en mettant en interaction des récepteurs mobiles et leur substrat membranaire. Lorsque des zones restreintes de diffusion ralentie sont définies sur la membrane, deux effets opposés apparaissent sur la dynamique de transduction : un phénomène d'amplification si le ralentissement affecte les deux protéines, et un phénomène de perte de sensibilité si seuls les récepteurs sont ralentis. Globalement, les résultats illustrent comment les hétérogénéités spatiales modifient les distributions de collision et d'évènements de réaction dans le temps et l'espace à l'échelle microscopique, et comment cela se traduit par un effet sur la dynamique globale de la voie de signalisation à l'échelle macroscopique.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Les neurosciences computationnelles consistent en l’étude du système nerveux par la modélisation et la simulation. Plus le modèle sera proche de la réalité et plus les ressources calculatoires exigées seront importantes. La question de la complexité et de la précision est un problème bien connu dans la simulation. Les travaux de recherche menés dans le cadre de cette thèse visent à améliorer la simulation de modèles mathématiques représentant le comportement physique et chimique de récepteurs synaptiques. Les modèles sont décrits par des équations différentielles ordinaires (EDO), et leur résolution passe par des méthodes numériques. Dans le but d’optimiser la simulation, j’ai implémenté différentes méthodes de résolution numérique des EDO. Afin de faciliter la sélection du meilleur algorithme de résolution numérique, une méthode nécessitant un minimum d’information a été proposée. Cette méthode permet de choisir l’algorithme qui optimise la simulation. La méthode a permis de démontrer que la dynamique d’un modèle de récepteur synaptique influence plus les performances des algorithmes de résolution que la structure cinétique du modèle lui-même. De plus, afin de caractériser des comportements pathogènes, une phase d’optimisation est réalisée. Cependant, certaines valeurs de paramètres rendent le modèle instable. Une étude de stabilité a permis de déterminer la stabilité du modèle pour des paramètres fournis par la littérature, mais également de remonter à des contraintes de stabilité sur les paramètres. Le respect de ces contraintes permet de garantir la stabilité des modèles étudiés, et donc de garantir le succès de la procédure permettant de rendre un modèle pathogène. / Computational Neuroscience consists in studying the nervous system through modeling and simulation. It is to characterize the laws of biology by using mathematical models integrating all known experimental data. From a practical point of view, the more realistic the model, the largest the required computational resources. The issue of complexity and accuracy is a well known problem in the modeling and identification of models. The research conducted in this thesis aims at improving the simulation of mathematical models representing the physical and chemical behavior of synaptic receptors. Models of synaptic receptors are described by ordinary differential equations (ODE), and are resolved with numerical procedures. In order to optimize the performance of the simulations, I have implemented various ODE numerical resolution methods. To facilitate the selection of the best solver, a method, requiring a minimum amount of information, has been proposed. This method allows choosing the best solver in order to optimize the simulation. The method demonstrates that the dynamic of a model has greater influence on the solver performances than the kinetic scheme of the model. In addition, to characterize pathogenic behavior, a parameter optimization is performed. However, some parameter values lead to unstable models. A stability study allowed for determining the stability of the models with parameters provided by the literature, but also to trace the stability constraints depending to these parameters. Compliance with these constraints ensures the stability of the models studied during the optimization phase, and therefore the success of the procedure to study pathogen models.

Un logiciel pour les solutions formelles d'équations différentielles linéaires d'ordre 2 au voisinage de points singuliers est présenté. Pour les équations d'ordre quelconque on donne une version modifiée de l'algorithme de newton. Un algorithme permettant d'obtenir une base de solutions asymptotiques d'une équation récurrente linéaire à coefficients polynomiaux est ensuite présenté. Ceci mène à l'étude des systèmes linéaires aux différences à coefficients séries de factorielles

Soit $\mathcal{W}(d)$ un $d$-tissu non singulier du plan implicitement présenté par une équation différentielle $F(x,y,y')=0$, et de connexion associée $(E,\nabla)$. De nouveaux invariants de $\mathcal{W}(d)$ sont mis à jour ; en particulier, on montre que $(E,\nabla)$ est entièrement déterminé par la connaissance d'une $1$-forme fondamentale et du polynôme de linéarisation du tissu.\esp Nous indiquons également comment la courbure de la connexion rend compte de la linéarisation du tissu. En étudiant la trace de la courbure de la connexion, on montre que le fibré déterminant de $(E,\nabla)$ est isomorphe au produit tensoriel des fibrés en droites associés aux $3$-tissus extraits. Nous donnons ensuite une caractérisation géométrique des tissus de trace nulle, en généralisant la construction de l'hexagone de Thomsen. En outre, on présente un procédé explicite de détermination du rang de $\mathcal{W}(d)$ pour $d$ quelconque, à partir des seuls coefficients de $F$. En application, nous retrouvons des résultats connus en géométrie des tissus, et indiquons des perspectives nouvelles, notamment pour l'étude des tissus exceptionnels.

Nous utilisons trois discrétisations connues pour leur localisation fréquentielle et spatiale: les bases d'ondelettes, les paquets d'ondelettes et les bases de cosinus locaux. Nous avons construit et programmé deux algorithmes: --- pour l'équation parabolique non-linéaire $\Delta(u)+\1e^(c*u)=f$ avec $f$ présentant une singularité, notre algorithme calcule la compression optimale en dimension 1 et 2, avec résultats numériques pour la dimension 1. --- pour l'équation intégrale oscillante correspondant à la Combined Integral Field Equation qui est en rapport avec le problème de diffraction des ondes (Helmholtz) par un obstacle régulier 2D, lorsque la longueur d'onde diminue vers $0$. Les trois discrétisations ci-dessus sont testées, et nous étudions sa bonne compressibité dans une analyse précise des obstacles à la compression menée de manière asymptotique. Des résultats originaux, montrant que N degrés de liberté par longueur d'onde suffisent à hautes fréquences, ont été démontrés, et les matrices résultant de ce seuillage ont été étudiées, illustrations et preuves à l'appui.