Dans la première partie de cette thèse, nous obtenons l’existence d’une densité et des estimées gaussiennes pour la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde. C’est une application du calcul de Malliavin et plus particulièrement d’une formule d’I. Nourdin et de F. Viens. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la simulation d’une équation aux dérivées partielles stochastique par une méthode probabiliste qui repose sur la représentation de l’équation aux dérivées partielles stochastique en terme d’équation différentielle doublement stochastique rétrograde, introduite par E. Pardoux et S. Peng. On étend dans ce cadre les idées de F. Zhang et E. Gobet et al. sur la simulation d’une équation différentielle stochastique rétrograde. Dans la dernière partie, nous étudions l’erreur faible du schéma d’Euler implicite pour les processus de diffusion et l’équation de la chaleur stochastique. Dans le premier cas, nous étendons les résultats de D. Talay et L. Tubaro. Dans le second cas, nous étendons les travaux de A. Debussche. / No English summary available.

On étudie une équation différentielle stochastique animée par un processus ponctuel de Poisson, qui modélise un changement continu de lénvironnement d'une population et la fixation stochastique de mutations bénéfiques pour compenser ce changement. La probabilité de fixation d'une mutation augmente dès que le retard phénotypique $X_t$ entre la population et l'optimum augmente. On suppose que les mutations favorables se fixent instantanément induisant un saut adaptatif. En premier lieu, on a étudié le comportement à long terme de la solution de cette équation sachant qu'on ne considère qu'un seul trait phénotypique de la population et on a trouvé les conditions sous lesquelles $X_t$ est récurrent (possibilité de survie) ou transient (extinction inévitable). Ensuite, on a généralisé nos résultats en considérant un vecteur de traits phénotypiques de la population, essentiellement dans $mathbb R^2$. A la fin, on introduit une limite des petits sauts pour caractériser et comprendre le cas récurrent. / We study a stochastic differential equation driven by a Poisson point process, which models continuous changes in a population's environment, as well as the stochastic fixation of beneficial mutations that might compensate for this change. The fixation probability of a given mutation increases as the phenotypic lag $X_t$ between the population and the optimum grows larger, and successful mutations are assumed to fix instantaneously (leading to an adaptive jump). First, we study the large time behavior of the solution of this SDE taking into consideration one phenotypic trait of the population and we find the conditions under which $X_t$ is recurrent (possibility of survival) or transient (doomed to exctinction).Then we generalize our results to the case of a phenotypic traits vector, essentially in $R^2$. Finally, we introduce a small jumps limit to characterize and understand the recurrent case.

Cette thèse est consacrée à l’étude du calcul fonctionnel non-anticipatif, qui est basé sur la notion de dérivée verticale d'une fonctionelle. Nous étendons le cadre classique de ce calcul à des fonctionnelles ne possédant pas de dérivée directionnelle classique. Dans la première partie, nous montrons comment une classe importante de fonctionelles, définie par une espérance conditionnelle, peuvent être approchées de façon systématique par des fonctionnelles régulières. Dans la deuxième partie, nous introduisons une notion de dérivée verticale faible qui couvre une plus grande classe de fonctionnelles, et notamment toutes les martingales locales. Dans la première partie, nous nous sommes intéressés à la représentation d'une espérance conditionnelle par une fonctionnelle non-anticipative. L'idée est d'approximer ces fonctionnelles par une suite des fonctionnelles régulières dans un certain sens. Cette approche fournit une façon systématique d'obtenir une approximation explicite de la représentation des martingales pour une grande famille de fonctionnelles Browniennes. Nous obtenons également un ordre de convergence explicite. Quelques applications au problème de la couverture dynamique sont données à la fin de cette partie.Dans la deuxième partie, nous étendons la notion de dérivée verticale pour des fonctionnelles qui n'admettent pas nécessairement de dérivée directionnelle. Cette notion nous permet également d'obtenir une caractérisation fonctionnelle d'une martingale locale par rapport à un processus de référence fixé, ce qui donne lieu à une notion de solution faible pour des équations aux dérivées partielles dépendant de la trajectoire. / This thesis focuses on various mathematical questions arising in the non-anticipative functional calculus, which is based on a notion of pathwise directional derivatives for functionals. We extend the scope and results of this calculus to functionals which may not admit such derivatives, either through approximations (Part I) or by defining a notion of weak vertical derivative (Part II). In the first part, we consider the representation of conditional expectations as non-anticipative functionals. We show that it is possible under very general conditions to approximate such functionals by a sequence of smooth functionals in an appropriate sense. This approach provides a systematic method for computing explicit approximations to martingale representations for a large class of Brownian functionals. We also derive explicit convergence rates of the approximations. These results are then applied to the problem of sensitivity analysis and dynamic hedging of (path-dependent) contingent claims. In the second part, we propose a concept of weak vertical derivative for non-anticipative functionals which may fail to possess directional derivatives. The definition of the weak vertical derivative is based on the notion of pathwise quadratic variation and makes use of the duality associated to the associated bilinear form. We show that the notion of weak vertical derivative leads to a functional characterization of local martingales with respect to a reference process, and allows to define a concept of pathwise weak solution for path-dependent partial differential equations.

Les travaux exposés dans cette thèse sont consacrés à l’étude de méthodesprécises pour approcher des équations différentielles stochastiques ou deséquations aux dérivées partielles (EDP) déterministes. La première parties’inscrit dans le cadre du développement de méthodes visant à corriger le biaisdans les processus de diffusion paramétrique. Trois modèles sont étudiés enparticulier : Ornstein-Uhlenbeck, Auto-régressif et Moyenne mobile. A l’issuede ce travail, plusieurs approximations de biais ont été proposées suivant deuxapproches : la première consiste en un développement de Taylor del’estimateur obtenu alors que la seconde s'appuie sur une expansionstochastique de celui-ci.La deuxième partie de cette thèse porte sur l’approximation de l’équation de lachaleur obtenue après changement de variables à partir du modèle de Black etScholes. En général, on préfère utiliser des méthodes implicites pour résoudredes EDP paraboliques mais depuis quelques années, les méthodes dites deRunge-Kutta explicites stabilisées, sont de plus en plus utilisées. Nousmontrons que l’utilisation de ce type de méthodes explicites et notamment lesschémas ROCK donnent de très bons résultats même si les conditions initialessont peu régulières, ce qui est le cas dans les modèles financiers / The work presented in this thesis is devoted to the study of precise methods forapproximating stochastic differential equations (SDE) or deterministic partialdifferential equations (PDE). The first part is devoted to the development ofbias correction methods in parametric diffusion processes. Three models arestudied in particular : Ornstein-Uhlenbeck, auto-regressive and Movingaverage. At the end of this work, several approximations of bias have beenproposed following two approaches : the first consists in a Taylor developmentof the obtained estimator while the second one relies on a stochastic expansionof the latter.The second part of this thesis deals with the approximation of the heatequation obtained after changing variables from the Black-Scholes model. Likethe vast majority of PDE, this equation does not have an exact solution, sosolutions must be approached using explicit or implicit time schemes. Itis often customary to prefer the use of implicit methods to solve parabolic PDEsuch as the heat equation, but in the past few years, the stabilized explicitRunge-Kutta methods which have the largest possible domains of stabilityalong the negative real axis, are increasingly used. We show that the useof this type of explicit methods and in particular the ROCK (Runge-Orthogonal-Chebyshev-Kutta) schemes give very good results even if the initial conditionsare not very regular, which is the case in the financial models

Nous nous intéressons à des équations différentielles stochastiques obtenues en perturbant par un bruit blanc des équations différentielles ordinaires admettant N orbites périodiques asymptotiquement stables. Nous construisons une chaîne de Markov à temps discret et espace d’états continu appelée application de Poincaré aléatoire qui hérite du comportement métastable du système. Nous montrons que ce processus admet exactement N valeurs propres qui sont exponentiellement proches de 1 et nous donnons des expressions pour ces valeurs propres et les fonctions propres associées en termes de fonctions committeurs dans les voisinages des orbites périodiques. Nous montrons également que ces valeurs propres sont bien séparées du reste du spectre. Chacune de ces valeurs propres exponentiellement proche de 1 est également reliée à un temps d’atteinte de ces voisinages. De plus, les N valeurs propres exponentiellement proches de 1 et fonctions propres à gauche et à droite associées peuvent être respectivement approchées par des valeurs propres principales, des distributions quasi-stationnaires, et des fonctions propres principales à droite de processus tués quand ils atteignent ces voisinages. Les preuves reposent sur une représentation de type Feynman–Kac pour les fonctions propres, la transformée harmonique de Doob, la théorie spectrale des opérateurs compacts et une propriété de type équilibré détaillé satisfaite par les fonctions committeurs. / We consider stochastic differential equations, obtained by adding weak Gaussian white noise to ordinary differential equations admitting N asymptotically stable periodic orbits. We construct a discrete-time,continuous-space Markov chain, called a random Poincaré map, which encodes the metastable behaviour of the system. We show that this process admits exactly N eigenvalues which are exponentially close to 1,and provide expressions for these eigenvalues and their left and right eigenfunctions in terms of committorfunctions of neighbourhoods of periodic orbits. We also provide a bound for the remaining part of the spectrum. The eigenvalues that are exponentially close to 1 and the right and left eigenfunctions are well-approximated by principal eigenvalues, quasistationary distributions, and principal right eigenfunctions of processes killed upon hitting some of these neighbourhoods. Each eigenvalue that is exponentially close to 1is also related to the mean exit time from some metastable neighborhood of the periodic orbits. The proofsrely on Feynman–Kac-type representation formulas for eigenfunctions, Doob’s h-transform, spectral theory of compact operators, and a recently discovered detailed balance property satisfied by committor functions.

Ce travail de thèse a pour objet l'étude de modèles markoviens qui résultent de la prise en compte d'incertitudes dans des systèmes possédant une dynamique hybride : entrées bruitées, dynamique mal connue, ou évènements aléatoires par exemple. De tels modèles, parfois qualifiés de Systèmes Hybrides Stochastiques (SHS), sont utilisés principalement en automatique et en recherche opérationnelle.<br /><br />Nous introduisons dans la première partie du mémoire la notion de processus diffusif par morceaux, qui fournit un cadre théorique général qui unifie les différentes classes de modèles "hybrides" connues dans la littérature. Différents aspects de ces modèles sont alors envisagés, depuis leur construction mathématique (traitée grâce au théorème de renaissance pour les processus de Markov) jusqu'à l'étude de leur générateur étendu, en passant par le phénomène de Zénon.<br /><br />La deuxième partie du mémoire s'intéresse plus particulièrement à la question de la "propagation de l'incertitude", c'est-à-dire à la manière dont évolue la loi marginale de l'état au cours du temps. L'équation de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) usuelle est généralisée à diverses classes de processus diffusifs par morceaux, en particulier grâce aux notions d'intensité moyenne de sauts et de courant de probabilité. Ces résultats sont illustrés par deux exemples de modèles multidimensionnels, pour lesquels une résolution numérique de l'équation de FPK généralisée a été effectuée grâce à une discrétisation en volumes finis. La comparaison avec des méthodes de type Monte-Carlo est également discutée à partir de ces deux exemples.

Nous nous intéressons dans cette thèse à certains modèles mathématiques permettant une description de systèmes ouverts classiques et quantiques. Dans l'étude de ces systèmes en interaction avec un environnement, nous montrons que la dynamique induite par l'environnement sur le système donne lieu à l'apparition de bruits. Dans une première partie de la thèse, dédiée aux systèmes classiques, le modèle décrit est le schéma d'interactions répétées. Etant à la fois hamiltonien et markovien, ce modèle en temps discret permet d'implémenter facilement la dissipation dans des systèmes physiques. Nous expliquons comment le mettre en place pour des systèmes physiques avant d'en étudier la limite en temps continu. Nous montrons la convergence Lp et presque sûre de l'évolution de certains systèmes vers la solution d'une équation différentielle stochastique, à travers l'étude de la limite de la perturbation d'un schéma d'Euler stochastique. Dans une seconde partie de la thèse sur les systèmes quantiques, nous nous intéressons dans un premier temps aux actions d'environnements quantiques sur des systèmes quantiques aboutissant à des bruits classiques. A cette fin, nous introduisons certains opérateurs unitaires appelés « classiques », que nous caractérisons à l'aide de variables aléatoires dites obtuses. Nous mettons en valeur comment ces variables classiques apparaissent naturellement dans ce cadre quantique à travers des 3-tenseurs possédant des symétries particulières. Nous prouvons notamment que ces 3-tenseurs sont exactement ceux diagonalisables dans une base orthonormée. Dans un second temps, nous étudions la limite en temps continu d'une variante des interactions répétées quantiques dans le cas particulier d'un système biparti, c'est-à-dire composé de deux systèmes isolés sans interaction entre eux. Nous montrons qu'à la limite du temps continu, une interaction entre ces sous-systèmes apparaît explicitement sous forme d'un hamiltonien d'interaction; cette interaction résulte de l'action de l'environnement et de l'intrication qu'il crée / This dissertation is dedicated to some mathematical models describing classical and quantum open systems. In the study of these systems interacting with an environment, we particularly show that the dynamics induced by the environment leads to the appearance of noises. In a first part of this thesis, devoted to classical open systems, the repeated interaction scheme is developed. This discrete-time model, being Hamiltonian and Markovian at the same time, has the advantage to easily implement the dissipation in physical systems. We explain how to set this scheme up in some physical examples. Then, we investigate the continuous-time limit of these repeated interactions. We show the Lp and almost sure convergences of the evolution of the system to the solution of a stochastic differential equation, by studying the limit of a perturbed Stochastic Euler Scheme. In a second part of this dissertation on quantum systems, we characterize in a first work classical actions of a quantum environment on a quantum system. In this study, we introduce some “classical” unitary operators representing these actions and we highlight a strong link between them and some random variables, called obtuse random variables. We explain how these random variables are naturally connected to some 3-tensors having some particular symmetries. We particularly show that these 3 tensors are exactly the ones that are diagonalizable in some orthonormal basis. In a second work of this part, we study the continuous-time limit of a variant of the repeated interaction scheme in a case of a bipartite system, that is, a system made of two isolated systems not interaction together. We prove that an explicit Hamiltonian interaction between them appears at the limit. This interaction is due to the action of the environment and the entanglement between the two systems that it creates

Dans ce travail, on propose un nouveau package Sim.DiffProc pour la simulation des processus de diffusion, muni d'une interface graphique (GUI), sous langage R. Le développement de l'outil informatique (logiciels et matériels) ces dernières années, nous a motivé de réaliser ce travail. A l'aide de ce package, nous pouvons traiter beaucoup de problèmes théoriques difficiles liée à l'utilisation des processus de diffusion, pour des recherches pratiques, tels que la simulation numérique trajectoires de la solution d'une ÉDS. Ce qui permet à beaucoup d'utilisateurs dans différents domaines à l'employer comme outil sophistiqué à la modélisation de leurs problèmes pratiques. Le problème de dispersion d'un polluant, en présence d'un domaine attractif que nous avons traité dans ce travail en est un bon exemple. Cet exemple montre l'utilité et l'importance pratique des processus de diffusion dans la modélisation simulation de situations réelles complexes. La fonction de densité de la variable aléatoire tau(c) "instant de premier passage" de la frontière de domaine d'attraction peut être utilisée pour déterminer le taux de concentration des particules polluantes à l'intérieur du domaine. Les études de simulation et les analyses statistiques mises en application à l'aide du package Sim.DiffProc, se présentent efficaces et performantes, comparativement aux résultats théoriques explicitement ou approximativement déterminés par les modèles de processus de diffusion considérés.