Thesis (MSc (Mathematics))--University of Stellenbosch, 2010. / ENGLISH ABSTRACT: This thesis is a study of a generalisation, due to R. Harte (see [9]), of Fredholm theory in the context of bounded linear operators on Banach spaces to a theory in a Banach algebra setting. A bounded linear operator T on a Banach space X is Fredholm if it has closed range and the dimension of its kernel as well as the dimension of the quotient space X/T(X) are finite. The index of a Fredholm operator is the integer dim T−1(0)−dimX/T(X). Weyl operators are those Fredholm operators of which the index is zero. Browder operators are Fredholm operators with finite ascent and descent. Harte’s generalisation is motivated by Atkinson’s theorem, according to which a bounded linear operator on a Banach space is Fredholm if and only if its coset is invertible in the Banach algebra L(X) /K(X), where L(X) is the Banach algebra of bounded linear operators on X and K(X) the two-sided ideal of compact linear operators in L(X). By Harte’s definition, an element a of a Banach algebra A is Fredholm relative to a Banach algebra homomorphism T : A ! B if Ta is invertible in B. Furthermore, an element of the form a + b where a is invertible in A and b is in the kernel of T is called Weyl relative to T and if ab = ba as well, the element is called Browder. Harte consequently introduced spectra corresponding to the sets of Fredholm, Weyl and Browder elements, respectively. He obtained several interesting inclusion results of these sets and their spectra as well as some spectral mapping and inclusion results. We also convey a related result due to Harte which was obtained by using the exponential spectrum. We show what H. du T. Mouton and H. Raubenheimer found when they considered two homomorphisms. They also introduced Ruston and almost Ruston elements which led to an interesting result related to work by B. Aupetit. Finally, we introduce the notions of upper and lower semi-regularities – concepts due to V. M¨uller. M¨uller obtained spectral inclusion results for spectra corresponding to upper and lower semi-regularities. We could use them to recover certain spectral mapping and inclusion results obtained earlier in the thesis, and some could even be improved. / AFRIKAANSE OPSOMMING: Hierdie tesis is ‘n studie van ’n veralgemening deur R. Harte (sien [9]) van Fredholm-teorie in die konteks van begrensde lineˆere operatore op Banachruimtes tot ’n teorie in die konteks van Banach-algebras. ’n Begrensde lineˆere operator T op ’n Banach-ruimte X is Fredholm as sy waardeversameling geslote is en die dimensie van sy kern, sowel as di´e van die kwosi¨entruimte X/T(X), eindig is. Die indeks van ’n Fredholm-operator is die heelgetal dim T−1(0) − dimX/T(X). Weyl-operatore is daardie Fredholm-operatore waarvan die indeks gelyk is aan nul. Fredholm-operatore met eindige styging en daling word Browder-operatore genoem. Harte se veralgemening is gemotiveer deur Atkinson se stelling, waarvolgens ’n begrensde lineˆere operator op ’n Banach-ruimte Fredholm is as en slegs as sy neweklas inverteerbaar is in die Banach-algebra L(X) /K(X), waar L(X) die Banach-algebra van begrensde lineˆere operatore op X is en K(X) die twee-sydige ideaal van kompakte lineˆere operatore in L(X) is. Volgens Harte se definisie is ’n element a van ’n Banach-algebra A Fredholm relatief tot ’n Banach-algebrahomomorfisme T : A ! B as Ta inverteerbaar is in B. Verder word ’n Weyl-element relatief tot ’n Banach-algebrahomomorfisme T : A ! B gedefinieer as ’n element met die vorm a + b, waar a inverteerbaar in A is en b in die kern van T is. As ab = ba met a en b soos in die definisie van ’n Weyl-element, dan word die element Browder relatief tot T genoem. Harte het vervolgens spektra gedefinieer in ooreenstemming met die versamelings van Fredholm-, Weylen Browder-elemente, onderskeidelik. Hy het heelparty interessante resultate met betrekking tot insluitings van die verskillende versamelings en hulle spektra verkry, asook ’n paar spektrale-afbeeldingsresultate en spektraleinsluitingsresultate. Ons dra ook ’n verwante resultaat te danke aan Harte oor, wat verkry is deur van die eksponensi¨ele-spektrum gebruik te maak. Ons wys wat H. du T. Mouton en H. Raubenheimer verkry het deur twee homomorfismes gelyktydig te beskou. Hulle het ook Ruston- en byna Rustonelemente gedefinieer, wat tot ’n interessante resultaat, verwant aan werk van B. Aupetit, gelei het. Ten slotte stel ons nog twee begrippe bekend, naamlik ’n onder-semi-regulariteit en ’n bo-semi-regulariteit – konsepte te danke aan V. M¨uller. M¨uller het spektrale-insluitingsresultate verkry vir spektra wat ooreenstem met bo- en onder-semi-regulariteite. Ons kon dit gebruik om sekere spektrale-afbeeldingsresultate en spektrale-insluitingsresultate wat vroe¨er in hierdie tesis verkry is, te herwin, en sommige kon selfs verbeter word.

Die vorliegende Arbeit ist der Untersuchung von Operatorfolgen gewidmet, die typischerweise bei der Anwendung von Approximationsverfahren auf stetige lineare Operatoren entstehen. Dabei stehen die Stabilität der Folgen sowie das asymptotische Verhalten gewisser Charakteristika wie Normen, Konditionszahlen, Fredholmeigenschaften und Pseudospektren im Mittelpunkt. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Entwicklung der Theorie für Operatoren auf Banachräumen. Hierbei bildet ein dafür geeigneter Konvergenzbegriff, die sogenannte P-starke Konvergenz, den Ausgangspunkt, welcher das Studium der gewünschten Eigenschaften in einer erstaunlichen Allgemeinheit gestattet. Die erzielten Resultate kommen, neben einer Reihe weiterer Anwendungen, insbesondere für das Projektionsverfahren für banddominierte Operatoren zum Einsatz.

Die vorliegende Arbeit ist der Untersuchung von Operatorfolgen gewidmet, die typischerweise bei der Anwendung von Approximationsverfahren auf stetige lineare Operatoren entstehen. Dabei stehen die Stabilität der Folgen sowie das asymptotische Verhalten gewisser Charakteristika wie Normen, Konditionszahlen, Fredholmeigenschaften und Pseudospektren im Mittelpunkt. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Entwicklung der Theorie für Operatoren auf Banachräumen. Hierbei bildet ein dafür geeigneter Konvergenzbegriff, die sogenannte P-starke Konvergenz, den Ausgangspunkt, welcher das Studium der gewünschten Eigenschaften in einer erstaunlichen Allgemeinheit gestattet. Die erzielten Resultate kommen, neben einer Reihe weiterer Anwendungen, insbesondere für das Projektionsverfahren für banddominierte Operatoren zum Einsatz.

Nous nous intéressons à des équations différentielles stochastiques obtenues en perturbant par un bruit blanc des équations différentielles ordinaires admettant N orbites périodiques asymptotiquement stables. Nous construisons une chaîne de Markov à temps discret et espace d’états continu appelée application de Poincaré aléatoire qui hérite du comportement métastable du système. Nous montrons que ce processus admet exactement N valeurs propres qui sont exponentiellement proches de 1 et nous donnons des expressions pour ces valeurs propres et les fonctions propres associées en termes de fonctions committeurs dans les voisinages des orbites périodiques. Nous montrons également que ces valeurs propres sont bien séparées du reste du spectre. Chacune de ces valeurs propres exponentiellement proche de 1 est également reliée à un temps d’atteinte de ces voisinages. De plus, les N valeurs propres exponentiellement proches de 1 et fonctions propres à gauche et à droite associées peuvent être respectivement approchées par des valeurs propres principales, des distributions quasi-stationnaires, et des fonctions propres principales à droite de processus tués quand ils atteignent ces voisinages. Les preuves reposent sur une représentation de type Feynman–Kac pour les fonctions propres, la transformée harmonique de Doob, la théorie spectrale des opérateurs compacts et une propriété de type équilibré détaillé satisfaite par les fonctions committeurs. / We consider stochastic differential equations, obtained by adding weak Gaussian white noise to ordinary differential equations admitting N asymptotically stable periodic orbits. We construct a discrete-time,continuous-space Markov chain, called a random Poincaré map, which encodes the metastable behaviour of the system. We show that this process admits exactly N eigenvalues which are exponentially close to 1,and provide expressions for these eigenvalues and their left and right eigenfunctions in terms of committorfunctions of neighbourhoods of periodic orbits. We also provide a bound for the remaining part of the spectrum. The eigenvalues that are exponentially close to 1 and the right and left eigenfunctions are well-approximated by principal eigenvalues, quasistationary distributions, and principal right eigenfunctions of processes killed upon hitting some of these neighbourhoods. Each eigenvalue that is exponentially close to 1is also related to the mean exit time from some metastable neighborhood of the periodic orbits. The proofsrely on Feynman–Kac-type representation formulas for eigenfunctions, Doob’s h-transform, spectral theory of compact operators, and a recently discovered detailed balance property satisfied by committor functions.

The aim of this thesis is to give a mathematical framework for scattering of electromagnetic waves by rough surfaces. We prove that the Maxwell transmission problem with a weakly Lipschitz interface,in finite energy norms, is well posed in Fredholm sense for real frequencies. Furthermore, we give precise conditions on the material constants ε, μ and σ and the frequency ω when this transmission problem is well posed. To solve the Maxwell transmission problem, we embed Maxwell’s equations in an elliptic Dirac equation. We develop a new boundary integral method to solve the Dirac transmission problem. This method uses a boundary integral operator, the rotation operator, which factorises the double layer potential operator. We prove spectral estimates for this rotation operator in finite energy norms using Hodge decompositions on weakly Lipschitz domains. To ensure that solutions to the Dirac transmission problem indeed solve Maxwell’s equations, we introduce an exterior/interior derivative operator acting in the trace space. By showing that this operator commutes with the two basic reflection operators, we are able to prove that the Maxwell transmission problem is well posed. We also prove well-posedness for a class of oblique Dirac transmission problems with a strongly Lipschitz interface, in the L_2 space on the interface. This is shown by employing the Rellich technique, which gives angular spectral estimates on the rotation operator.