Les travaux de cette thèse portent sur des méthodes de volumes finis sur maillages quelconque pour la discrétisation de problèmes d'évolution non linéaires modélisant le transport de contaminants en milieu poreux et les écoulements diphasiques.Au Chapitre 1, nous étudions une famille de schémas numériques pour la discrétisation d'une équation parabolique dégénérée de convection-reaction-diffusion modélisant le transport de contaminants dans un milieu poreux qui peut être hétérogène et anisotrope. La discrétisation du terme de diffusion est basée sur une famille de méthodes qui regroupe les schémas de volumes finis hybrides, de différences finies mimétiques et de volumes finis mixtes. Le terme de convection est traité à l'aide d'une famille de méthodes qui s'appuient sur les inconnues hybrides associées aux interfaces du maillage. Cette famille contient à la fois les schémas centré et amont. Les schémas que nous étudions permettent une discrétisation localement conservative des termes d'ordre un et d'ordre deux sur des maillages arbitraires en dimensions d'espace deux et trois. Nous démontrons qu'il existe une solution unique du problème discret qui converge vers la solution du problème continu et nous présentons des résultats numériques en dimensions d'espace deux et trois, en nous appuyant sur des maillages adaptatifs.Au Chapitre 2, nous proposons un schéma de volumes finis hybrides pour la discrétisation d'un problème d'écoulement diphasique incompressible et immiscible en milieu poreux. On suppose que ce problème a la forme d'une équation parabolique dégénérée de convection-diffusion en saturation couplée à une équation uniformément elliptique en pression. On considère un schéma implicite en temps, où les flux diffusifs sont discrétisés par la méthode des volumes finis hybride, ce qui permet de pouvoir traiter le cas d'un tenseur de perméabilité anisotrope et hétérogène sur un maillage très général, et l'on s'appuie sur un schéma de Godunov pour la discrétisation des flux convectifs, qui peuvent être non monotones et discontinus par rapport aux variables spatiales. On démontre l'existence d'une solution discrète, dont une sous-suite converge vers une solution faible du problème continu. On présente finalement des cas test bidimensionnels.Le Chapitre 3 porte sur un problème d'écoulement diphasique, dans lequel la courbe de pression capillaire admet des discontinuité spatiales. Plus précisément on suppose que l'écoulement prend place dans deux régions du sol aux propriétés très différentes, et l'on suppose que la loi de pression capillaire est discontinue en espace à la frontière entre les deux régions, si bien que la saturation de l'huile et la pression globale sont discontinues à travers cette frontière avec des conditions de raccord non linéaires à l'interface. On discrétise le problème à l'aide d'un schéma, qui coïncide avec un schéma de volumes finis standard dans chacune des deux régions, et on démontre la convergence d'une solution approchée vers une solution faible du problème continu. Les test numériques présentés à la fin du chapitre montrent que le schéma permet de reproduire le phénomène de piégeage de la phase huile. / In Chapter 1 we study a family of finite volume schemes for the numerical solution of degenerate parabolic convection-reaction-diffusion equations modeling contaminant transport in porous media. The discretization of possibly anisotropic and heterogeneous diffusion terms is based upon a family of numerical schemes, which include the hybrid finite volume scheme, the mimetic finite difference scheme and the mixed finite volume scheme. One discretizes the convection term by means of a family of schemes which makes use of the discrete unknowns associated to the mesh interfaces, and contains as special cases an upwind scheme and a centered scheme. The numerical schemes which we study are locally conservative and allow computations on general multi-dimensional meshes. We prove that the unique discrete solution converges to the unique weak solution of the continuous problem. We also investigate the solvability of the linearized problem obtained during Newton iterations. Finally we present a number of numerical results in space dimensions two and three using nonconforming adaptive meshes and show experimental orders of convergence for upwind and centered discretizations of the convection term.In Chapter 2 we propose a finite volume method on general meshes for the numerical simulation of an incompressible and immiscible two-phase flow in porous media. We consider the case that it can be written as a coupled system involving a degenerate parabolic convection-diffusion equation for the saturation together with a uniformly elliptic equation for the global pressure. The numerical scheme, which is implicit in time, allows computations in the case of a heterogeneous and anisotropic permeability tensor. The convective fluxes, which are non monotone with respect to the unknown saturation and discontinuous with respect to the space variables, are discretized by means of a special Godunov scheme. We prove the existence of a discrete solution which converges, along a subsequence, to a solution of the continuous problem. We present a number of numerical results in space dimension two, which confirm the efficiency of the numerical method.Chapter 3 is devoted to the study of a two-phase flow problem in the case that the capillary pressure curve is discontinuous with respect to the space variable. More precisely we assume that the porous medium is composed of two different rocks, so that the capillary pressure is discontinuous across the interface between the rocks. As a consequence the oil saturation and the global pressure are discontinuous across the interface with nonlinear transmission conditions. We discretize the problem by means of a numerical scheme which reduces to a standard finite volume scheme in each sub-domain and prove the convergence of a sequence of approximate solutions towards a weak solution of the continuous problem. The numerical tests show that the scheme can reproduce the oil trapping phenomenon.

Cette thèse est consacrée à la modélisation des tsunamis. La vie de ces vagues peut être conditionnellement divisée en trois parties: génération, propagation et inondation. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la génération de ces vagues extrêmes. Dans cette partie du mémoire, nous examinons les différentes approches existantes pour la modélisation, puis nous en proposons d'autres. La conclusion principale à laquelle nous sommes arrivés est que le couplage entre la sismologie et l'hydrodynamique est actuellement assez mal compris.<br /> <br />Le deuxième chapitre est dédié essentiellement aux équations de Boussinesq qui sont souvent utilisées pour modéliser la propagation d'un tsunami. Certains auteurs les utilisent même pour modéliser le processus d'inondation (le run-up). Plus précisement, nous discutons de l'importance, de la nature et de l'inclusion des effets dissipatifs dans les modèles d'ondes longues.<br /> <br />Dans le troisième chapitre, nous changeons de sujet et nous nous tournons vers les écoulements diphasiques. Le but de ce chapitre est de proposer un modèle simple et opérationnel pour la modélisation de l'impact d'une vague sur les structures côtières. Ensuite, nous discutons de la discrétisation numérique de ces équations avec un schéma de type volumes finis sur des maillages non structurés.<br /> <br />Finalement, le mémoire se termine par un sujet qui devrait être présent dans tous les manuels classiques d'hydrodynamique mais qui ne l'est pas. Nous parlons des écoulements viscopotentiels. Nous proposons une nouvelle approche simplifiée pour les écoulements faiblement visqueux. Nous conservons la simplicité des écoulements potentiels tout en ajoutant la dissipation. Dans le cas de la profondeur finie nous incluons un terme correcteur dû à la présence de la couche limite au fond. Cette correction s'avère être non locale en temps. Donc, la couche limite au fond apporte un certain effet de mémoire à l'écoulement.

Afin d'étudier le comportement des organes de robinetterie, notamment des soupapes de sûreté à ressort, en conditions accidentelles, on s'est intéressé à la simulation des écoulements avec autovaporisation. Ces écoulements diphasiques sont susceptibles d'être rencontrés dans toute installation industrielle utilisant des liquides sous pression. Dans le cas de l'ouverture d'une soupape, la dynamique du clapet est particulièrement sensible aux variations de la pression sous celui-ci. Il est donc indispensable de pouvoir simuler précisément des transitoires très rapides. Cette recherche a été menée selon deux axes : 1°) La modélisation physique du mécanisme de vaporisation par dépressurisation. 2°) La simulation numérique des modèles dans le cas d'écoulements fortement instationnaires. D'un point de vue physique, deux modèles d'autovaporisation ont été étudiés ; le modèle homogène relaxé (HRM), proposé par Bilicki et al., et le modèle développé par Jones et al.. Ils supposent tous les deux l'égalité des pressions et des vitesses dans les phases liquide et gazeuse, et que la vapeur apparaît dans les conditions de saturation. Une comparaison des résultats de ces modèles a été effectuée dans le cas d'écoulements stationnaires, en s'appuyant sur les données expérimentales mesurées sur la boucle Super Moby-Dick du Commissariat à l'Energie Atomique (CEA) de Grenoble. Concernant l'aspect numérique, Il est à noter que les systèmes d'équations obtenus sont inconditionnellement hyperboliques, mais non conservatifs dans le cas unidimensionnel, à cause de la présence des termes de variation de la section en espace et en temps. Des schémas numériques de type Volumes Finis ont donc été développés pour prendre en compte la présence de termes sources raides, et l'utilisation de lois d'état complexes pour des fluides réels. Une attention particulière a été portée sur le calcul des conditions aux limites. Trois schémas numériques ont été testés, VFROE en variables non conservatives, le schéma de Rusanov, et une version modifiée du schéma de Roe. Une étude comparative détaillée des performances de chaque schéma a été menée pour des écoulements instationnaires et stationnaires gazeux, liquides et diphasiques. Elle met en évidence que le schéma VFROE-ncv est le plus précis, et que le schéma de Rusanov est le plus robuste. Une stratégie combinant ces deux schémas est donc envisagée.

Les écoulements diphasiques jouent un rôle prépondérant dans les moteurs-fusées à ergols liquides cryogéniques, équipant par exemple les lanceurs de la famille Ariane. L'étude expérimentale de tels engins propulsifs étant complexe et onéreuse, disposer d'outils numériques à même de simuler fidèlement leur fonctionnement se révèle être un objectif aussi important qu'ambitieux. La difficulté majeure réside dans le caractère fortement multi-échelles du problème, si bien qu’aucune approche numérique existante n'est capable à elle seule de décrire parfaitement l'ensemble des échelles liquides. Partant de ce constat, les travaux présentés dans cette thèse visent à mettre en place une stratégie de couplage entre des modèles bien adaptés aux différentes topologies d'écoulement diphasique, et ce dans le cadre de la plateforme logicielle multi-physique CEDRE développée par l'ONERA. La démarche adoptée consiste précisément à coupler un modèle à interface diffuse de type ``4 équations'' pour les zones à phases séparées, et un modèle cinétique eulérien pour la phase dispersée, rendant ainsi possible la description de l’atomisation primaire. Par ailleurs, les conditions sévères qui règnent dans les moteurs cryotechniques, où de forts gradients de température, vitesse et densité sont rencontrés, mettent à l'épreuve la robustesse des méthodes numériques. Une nouvelle méthode MUSCL multipente pour maillages non structurés généraux a ainsi été développée, permettant d’améliorer la robustesse et la précision des schémas de discrétisation spatiale. L’ensemble de la stratégie de couplage est finalement appliquée à la simulation du banc Mascotte de l'ONERA pour la combustion cryotechnique. / Two-phase flows play a significant role for the proper functioning of cryogenic liquid-propellant rocketengines, such as those that equip the launchers of the Ariane family. Since the experimental investigationof such propulsion devices is complex and expensive, developing numerical tools able to accuratelysimulate their functioning, is a crucial but nonetheless ambitious objective. The major difficulty is due tothe multiscale nature of the problem, as a result of which there is currently no numerical approach ableto perfectly describe all the liquid scales on its own. Based on this observation the work presented in thisthesis aims at setting up a coupling strategy between models well-adapted to each two-phase flowtopology, in the framework of the ONERA’s multiphysics CEDRE software. The approach adoptedprecisely consists in coupling a 4-equation diffuse interface model for the separated phases and aeulerian kinetic model for the dispersed phase, thus making it possible to describe primary atomization.Besides, the harsh conditions within cryogenic rocket engines, where large temperature, velocity anddensity gradients are encountered, severely challenge the robustness of numerical methods. A newmultislope MUSCL method for general unstructured meshes is thus developed in order to improve therobustness and accuracy of space discretization schemes. The whole coupling strategy is finally appliedto the numerical simulation of the ONERA’s Mascotte test bench for cryogenic combustion research.

L’injection directe à haute pression du carburant dans les moteurs à combustion interne permet une atomisation compacte et efficace. Dans ce contexte, la simulation numérique de l’injection est devenue un outil fondamental pour la conception industrielle. Cependant,l’écoulement du carburant liquide dans une chambre occupée initialement par l’air est un écoulement diphasique très complexe ; elle implique une très large gamme d’échelles. L’objectif de cette thèse est d’apporter de nouveaux éléments de modélisation et de simulation afin d’envisager une simulation prédictive de ce type d’écoulement avec un coût de calcul abordable dans un contexte industriel. En effet, au vu du coût de calcul prohibitif de la simulation directe de l’ensemble des échelles spatiales et temporelles, nous devons concevoir une gamme de modèles d’ordre réduit prédictifs. En outre, des méthodes numériques robustes, précises et adaptées au calcul de haute performance sont primordiales pour des simulations complexes.Cette thèse est dédiée au développement d’un modèle d’ordre réduit Eulérien capable de capter tant la polydispersiond’un brouillard de goutte dans la zone dispersée,que la dynamique de l’interface dans le régime de phases séparées. En s’appuyant sur une extension des méthodes de moments d’ordre élevé à des moments fractionnaires qui représentent des quantités géométriques de l’interface, et sur l’utilisation de variables géométrique sen sous-échelle dans la zone où l’interface gaz-liquide ne peut plus être complètement résolue, nous proposons une approche unifiée où un ensemble de variables géométriques sont transportées et valides dans les deux régimes d’écoulement [...]. / Direct fuel injection systems are widely used in combustionengines to better atomize and mix the fuel withthe air. The design of new and efficient injectors needsto be assisted with predictive simulations. The fuel injectionprocess involves different two-phase flow regimesthat imply a large range of scales. In the context of thisPhD, two areas of the flow are formally distinguished:the dense liquid core called separated phases and thepolydisperse spray obtained after the atomization. Themain challenge consists in simulating the combinationof these regimes with an acceptable computational cost.Direct Numerical Simulations, where all the scales needto be solved, lead to a high computational cost for industrialapplications. Therefore, modeling is necessaryto develop a reduced order model that can describe allregimes of the flow. This also requires major breakthroughin terms of numerical methods and High PerformanceComputing (HPC).This PhD investigates Eulerian reduced order models todescribe the polydispersion in the disperse phase andthe gas-liquid interface in the separated phases. First,we rely on the moment method to model the polydispersionin the downstream region of the flow. Then,we propose a new description of the interface by usinggeometrical variables. These variables can provide complementaryinformation on the interface geometry withrespect to a two-fluid model to simulate the primary atomization.The major contribution of this work consistsin using a unified set of variables to describe the tworegions: disperse and separated phases. In the case ofspherical droplets, we show that this new geometricalapproach can degenerate to a moment model similar toEulerian Multi-Size Model (EMSM). However, the newmodel involves fractional moments, which require somespecific treatments. This model has the same capacityto describe the polydispersion as the previous Eulerianmoment models: the EMSM and the multi-fluid model.But, it also enables a geometrical description of the interface...].