Dans un contexte d'étude d'algorithmes de traitement radar, la section efficace radar (SER) d'une cible est souvent requise pour simuler le signal reçu à l'antenne. À haute fréquence, cette SER est avantageusement calculée à partir d'un ensemble de points brillants positionnés judicieusement dans l'espace. La construction d'un modèle adéquat de points brillants est faite en utilisant une approche par facettes. Dans cette approche, la cible est représentée par un ensemble de facettes triangulaires dont le centre représente la position d'un point brillant et dont la SER représente l'amplitude et la phase de ce point brillant. La SER globale de la cible est obtenue en faisant une somme vectorielle des SER de chaque facette. La SER d'une facette est calculée à l'aide d'une méthode analytique. L'objectif de ce travail était d'étudier différentes méthodes analytiques pour modéliser la SER des facettes d'une cible afin d'obtenir une SER globale précise pour la simulation d'un radar se déplaçant vers une cible. Les méthodes étudiées ont été l'optique physique (OP), l'optique physique modifiée pour le champ proche et finalement, la théorie physique de diffraction (TPD) utilisant le concept de la méthode des courants équivalents (MCE). Les résultats obtenus avec ces modèles ont été validés avec les SER d'une plaque et d'un cylindre ainsi qu'avec la SER dynamique d'un cylindre. La méthode utilisant l'OP a donné une bonne approximation de la SER malgré la simplicité de cette méthode. La méthode de l'OP modifiée pour le champ proche a aussi produit de bons résultats tout en améliorant la plage de prédiction dans le champ proche et en demeurant très efficace en calcul. La méthode de la TPD a fourni des prédictions légèrement meilleures que celles de l'OP modifiée mais elle a requis une plus grande puissance de calcul. Finalement, l'OP modifiée et la TPD ont démontré qu'elles étaient adéquates pour la simulation d'un radar se déplaçant vers une cible. / Within the framework of radar processing studies, the target radar cross section (RCS) is often required to simulate the received signal at an antenna. At high frequency, this RCS can be advantageously computed from a set of scattering points judiciously positioned in space. The construction of an adequate scattering-point model is done using a facet approach. In this approach, the target is modeled as a set of triangular facets whose center represents the location of a scattering point and whose RCS represents the amplitude and phase of the scattering point. The target global RCS is then obtained from a coherent sum of the RCS of each facet. The facet RCS is computed with an analytic method. The aim of this work was to investigate various analytic methods to model the target facet RCS to obtain an accurate global RCS for the simulation of a radar moving toward a target. The studied methods were the Physical Optics (PO), a refined physical optics formulation adapted for near field and, finally, the Physical Theory of Diffraction (PTD) using the concept of the method of equivalent current (MEC). The results obtained with these models were validated with the RCS s of a square plate and of a cylinder as well as with the dynamic RCS of a cylinder. The method using PO gave a good approximation of the RCS in spite of its low complexity. The near-field refined PO method also produced good results while improving the prediction range in the near field and being computer efficient. The PTD method provided predictions slightly better than those of the refined PO method but it required more Computing power. Finally, the refined-PO and PTD methods demonstrated they were adequate for the simulation of a radar moving toward a target.

Cette thèse effectuée au sein de l'IRSEEM s'inscrit dans le cadre du projet EPEA (EMC Platform for Embedded Applications) du pôle de compétitivité Aerospace Valley. L'objectif de ces travaux est le développement de méthodologies de modélisation des émissions rayonnées de composants électroniques. Les modèles doivent être génériques (i.e. applicable à toute sorte de composant), d'obtention facile et insérables dans des outils de simulation électromagnétique commerciaux. Un modèle capable de prédire les champs électrique et magnétique dans le demi-espace au-dessus d'un dispositif est développé dans un premier temps. Il est basé sur un réseau de sources équivalentes de type dipôles électrique et magnétique. Deux inversions de matrices au sens des moindres carrées permettent leur détermination. Le modèle est caractérisé en termes de robustesse vis-à-vis de perturbations dans les données d'entrée et est ensuite appliqué à plusieurs circuits (passifs et actifs) avec de bons résultats. L'insertion des modèles dans des simulateurs commerciaux est possible grâce à une réduction du nombre de sources. Ce modèle est ensuite utilisé pour deux applications CEM : tout d'abord, la prédiction du couplage entre un dispositif agresseur et une ligne de transmission par deux procédures différentes : une analytique et une seconde numérique, puis la prédiction des champs lointains. Finalement, une nouvelle méthode de modélisation pour recréer les champs électrique et magnétique dans l'espace entourant le dispositif est proposée et validée sur des cas simples.

Les travaux présentés concernent l’étude du soudage hybride laser/MIG d’aciers de fortes épaisseurs pour deux configurations différentes : soudage monopasse d’acier inoxydable superduplex en chanfrein « Y » et soudage multipasse d’acier ferritique en chanfrein étroit. Une étude expérimentale a été réalisée visant la compréhension et l’investigation des mécanismes régis par le procédé, ainsi que la validation des résultats numériques des modèles développés (caractérisation du bain fondu et obtention de thermogrammes). Une recherche paramétrique a permis de déterminer les paramètres optimaux de soudage pour la configuration en chanfrein « Y ». L’étude numérique menée a pour objectif de déterminer l’histoire thermique des pièces soudées. Ses simulations numériques basées sur deux approches différentes ont été développées à l’aide du logiciel COMSOL Multiphysics. La première, dite approche par sources équivalentes, repose sur un calcul purement thermique, et la deuxième est basée sur un calcul thermohydraulique des écoulements dans le bain fondu avec prise en compte de la convection naturelle et de la thermocapillarité. La méthode des plans d’expériences numériques a été utilisée pour déterminer les paramètres analytiques des sources de chaleur équivalentes ainsi que des paramètres inconnus tels que les rendements des sources et les propriétés thermophysiques de la phase liquide intervenant dans le modèle multiphysique. L’analyse comparative entre résultats expérimentaux et numériques permettant de juger la qualité des modèles à reproduire les dimensions et la forme de la zone fondue et de valider le choix des hypothèses formulées, a fourni des résultats satisfaisants. / The present study is dedicated to hybrid laser/MIG welding of high thickness steels for two different configurations: one hybrid single pass welding of superduplex steel UR2507Cu with Y-shaped chamfer geometry and a multipass hybrid welding of ferritic steel 18MND5 in narrow gap. An experimental study was carried for understanding and investigation of mechanisms governed by the process and validation of numerical models results (characterization of the weld pool and thermocouples measurements). A parametric research allows the determination of the optimal welding parameters for the Y-shaped chamfer configuration. The numerical study aims to determine the thermal history in the solid part of the work piece. Those numerical simulations which are based on two different approaches were developed using the COMSOL Multiphysics software. The first, called equivalent heat sources approach, consists only in the resolution of the heat transfer problem, and the second one, is based on the resolution of heat transfer and fluid flow problem in the weld pool by taking into account the natural convection and thermocapillarity effect. A numerical exploratory designs method is used to identify the equivalent heat sources parameters as well as some unknown parameters such as the thermophysical properties of the metal liquid and the thermal efficiency involved in the thermohydraulic models. The comparative analysis between experimental and numerical results, which permits judging the models quality to reproduce the melted zone size and shape and to validate the assumptions choice, has provided satisfying results.

Ce travail de recherche porte sur le problème de l'identification des sources de bruit en espace clos. La motivation principale était de proposer une technique capable de localiser et quantifier les sources de bruit à l'intérieur des véhicules industriels, d'une manière efficace en temps. Dans cette optique, la méthode pourrait être utilisée par les industriels à des fins de réduction de bruit, et donc construire des véhicules plus silencieux. Un modèle simplifié basé sur la formulation par sources équivalentes a été utilisé pour résoudre le problème. Nous montrerons que le problème est mal conditionné, dans le sens où il est très sensible face aux erreurs de mesure, et donc des techniques dites de régularisation sont nécessaires. Une étude détaillée de cette question, en particulier le réglage de ce qu'on appelle de paramètre de régularisation, a été important pour assurer la stabilité de la solution. En particulier, un critère de régularisation basé sur une approche bayésienne s'est montré très robuste pour ajuster le paramètre de régularisation de manière optimale. L'application cible concernant des environnements intérieurs relativement grands, nous a imposé des difficultés supplémentaires, à savoir: (a) le positionnement de l'antenne de capteurs à l'intérieur de l'espace; (b) le nombre d'inconnues (sources potentielles) beaucoup plus important que le nombre de positions de mesure. Une formulation par pondération itérative a ensuite été proposé pour surmonter les problèmes ci-dessus de manière à: (1) corriger pour le positionnement de l'antenne de capteurs dans l'habitacle ; (2) obtenir des résultats corrects en terme de quantification des sources identifiées. Par ailleurs, l'approche itérative nous a conduit à des résultats avec une meilleure résolution spatiale ainsi qu'une meilleure dynamique. Plusieurs études numériques ont été réalisées afin de valider la méthode ainsi que d'évaluer sa sensibilité face aux erreurs de modèle. En particulier, nous avons montré que l'approche est affectée par des conditions non-anéchoïques, dans le sens où les réflexions sont identifiées comme des vraies sources. Une technique de post-traitement qui permet de distinguer entre les chemins directs et réverbérants a été étudiée. La dernière partie de cette thèse porte sur des validations expérimentales et applications pratiques de la méthode. Une antenne sphérique constituée d'une sphère rigide et 31 microphones a été construite pour les tests expérimentaux. Plusieurs validations académiques ont été réalisées dans des environnements semi-anéchoïques, et nous ont illustré les avantages et limites de la méthode. Enfin, l'approche a été testé dans une application pratique, qui a consisté à identifier les sources de bruit ou faiblesses acoustiques à l'intérieur d'un bus. / This thesis is concerned with the problem of noise source identification in closed spaces. The main motivation was to propose a technique which allows to locate and quantify noise sources within industrial vehicles, in a time-effective manner. In turn, the technique might be used by manufacturers for noise abatement purposes such as to provide quieter vehicles. A simplified model based on the equivalent source formulation was used to tackle the problem. It was shown that the problem is ill-conditioned, in the sense that it is very sensitive to errors in measurement data, thus regularization techniques were required. A detailed study of this issue, in particular the tuning of the so-called regularization parameter, was of importance to ensure the stability of the solution. In particular, a Bayesian regularization criterion was shown to be a very robust approach to optimally adjust the regularization parameter in an automated way. The target application concerns very large interior environments, which imposes additional difficulties, namely: (a) the positioning of the measurement array inside the enclosure; (b) a number of unknowns ("candidate" sources) much larger than the number of measurement positions. An iterative weighted formulation was then proposed to overcome the above issues by: first correct for the positioning of the array within the enclosure and second iteratively solve the problem in order to obtain a correct source quantification. In addition, the iterative approach has provided results with an enhanced spatial resolution and dynamic range. Several numerical studies have been carried out to validate the method as well as to evaluate its sensitivity to modeling errors. In particular, it was shown that the approach is affected by non-anechoic conditions, in the sense that reflections are identified as "real" sources. A post-processing technique which helps to distinguish between direct and reverberant paths has been discussed. The last part of the thesis was concerned with experimental validations and practical applications of the method. A custom spherical array consisting of a rigid sphere and 31 microphones has been built for the experimental tests. Several academic experimental validations have been carried out in semi-anechoic environments, which illustrated the advantages and limits of the method. Finally, the approach was tested in a practical application, which consisted in identifying noise sources inside a bus at driving conditions.

L'ÉVALUATION ET LA GESTION DU BRUIT CONSTITUENT AUJOURD'HUI UNE PRÉOCCUPATION MAJEURE DES POUVOIRS PUBLICS, QUI S'EST CONCRÉTISÉE AU NIVEAU EUROPÉEN PAR L'ADOPTION DE LA DIRECTIVE 2002/49/CE. UN MODÈLE D'INGÉNIERIE EUROPÉEN EST EN COURS D'ÉLABORATION. AFIN DE FACILITER SON UTILISATION, UNE MÉTHODE SIMPLIFIÉE POUR MESURER LES DONNÉES D'ÉMISSION DANS CHAQUE PAYS SERAIT LA BIENVENUE. PARALLÈLEMENT À CE BESOIN, LES SEULS INDICATEURS MOYENNÉS (LDEN , LNIGHT ) TROUVENT LEUR LIMITE EN MILIEU URBAIN. UNE MODÉLISATION PLUS FINE PERMETTRAIT AUSSI DE CALCULER DES INDICATEURS ACOUSTIQUES PLUS PERTINENTS. CE TRAVAIL A POUR OBJECTIF DE MODÉLISER LES VÉHICULES (PRINCIPALEMENT ÉTENDUS) PAR DES SOURCES PONCTUELLES ÉQUIVALENTES. ON S'INTÉRESSE TOUT D'ABORD À LA MESURE DE LA HAUTEUR DE SOURCE ÉQUIVALENTE À L'AIDE DE DEUX MICROPHONES. UN DÉVELOPPEMENT SPÉCIFIQUE EST PROPOSÉ POUR LES SOURCES LARGE BANDE, AINSI QU'UN MODÈLE SIMPLIFIÉ POUR LA PRISE EN COMPTE DU MOUVEMENT. UNE NOUVELLE MÉTHODE PLUS GÉNÉRALE EST ENSUITE DÉVELOPPÉE. ELLE PERMET DE CALCULER LE NOMBRE DE SOURCES PONCTUELLES ÉQUIVALENTES, LEUR POSITION ET LEUR SPECTRE, À PARTIR DE LA SIGNATURE AU PASSAGE EN NM MICROPHONES (NM ÉTANT TYPIQUEMENT 3 À 4). SI LA DIRECTIVITÉ DES SOURCES EST CONNUE, ELLE PEUT ÊTRE PRISE EN COMPTE. DES VALIDATIONS EXPÉRIMENTALES SONT ENCORE NÉCESSAIRES. LES DÉVELOPPEMENTS ENVISAGEABLES LES PLUS PROMETTEURS SONT : LA POSSIBILITÉ D'OPTIMISER LA DIRECTIVITÉ DES SOURCES PONCTUELLES ÉQUIVALENTES, L'ADAPTATION DES MODÈLES FRÉQUENTIELS EXISTANTS (RUDNICK ET RASMUSSEN) À DES SOURCES LARGE BANDE EN MOUVEMENT.

L'essor de l'informatique et des techniques d'intelligence artificielle a conduit ces dernières années à un développement sans précédent des procédés d'optimisation automatique qui peuvent aujourd'hui prendre en compte des dizaines de paramètres de conception. En particulier, les méthodes évolutionnistes ont connu depuis le début des années soixante une croissance exponentielle et s'affirment peu à peu comme les techniques les plus robustes : d'une part, elles permettent de localiser l'optimum d'une fonction dans l'espace des paramètres sans avoir recours aux dérivées de la fonction par rapport à ces paramètres ; d'autre part elles ne se laissent pas piéger par un optimum local et réussissent le plus souvent à déterminer l'optimum global de la fonction considérée. Cependant, la traduction d'un problème d'optimisation réel avec tous ses aspects (performance "pure" mais aussi sensibilité, facilité de fabrication, prix de revient, ...) sous forme d'une fonction à optimiser n'est pas toujours une chose simple. Dès lors, le concepteur apprécie lorsqu'il étudie l'un des aspects d'être conduit à plusieurs possibilités (plus ou moins parfaites suivant cet aspect là) plutôt qu'à une solution unique. Les méthodes génétiques multimodales ou méthodes de nichage offrent des perspectives intéressantes en permettant la localisation de solutions optimales multiples, aussi bien locales que globales. Notre travail est centré sur la caractérisation de ces nouvelles techniques d'optimisation numériques. Chaque méthode a été testée de façon classique à partir de fonctions mathématiques ainsi que sur des problèmes d'électromagnétisme et sur un procédé très original de conception de formes optimales d'électrodes. Nous décrivons une nouvelle approche pour des systèmes 2D-plan ou axisymétriques, où la forme de l'électrode est identifiée à une ligne équipotentielle obtenue par optimisation du positionnement et de la valeur d'un certain nombre de charges fictives.

La réduction du bruit des transports est devenue un enjeu majeur dans nos sociétés. En raison de la réduction du bruit de moteur, le bruit de contact pneumatique / chaussée est aujourd'hui la principale source du bruit de trafic en conditions normales de conduite. Dans ce contexte, le but du présent travail est de comprendre et de contrôler les mécanismes de rayonnement du pneumatique, ceci en concevant des outils de prédiction efficients pour la propagation du bruit pneumatique / chaussée au dessus de surfaces d'impédances arbitraires. <br />Le rayonnement du pneumatique est modélisé à l'aide de la méthode des Sources Equivalentes. Malgré des limitations en basses fréquences dues au caractère bi–dimensionel du modèle, calculs et mesures indiquent que cet outil convient bien au rayonnement au–dessus de surface totalement réfléchissantes. Les effets de sol induits par des surfaces absorbantes n'est réalisée que de manière approchée. Un modèle d'effets de sol dus à un plan d'impédance donnée est donc dévelopé pour des sources de directivité arbitraire. Cette technique est essentiellement une alternative aux méthodes dites des équations intégrales. Par ailleurs, la solution exacte du problème est présentée. <br />Basé sur les deux outils de prédiction précédents, un modèle iteratif est dévelopé pour le rayonnement d'un pneumatique au–dessus de surfaces dont l'impédance est arbitraire. Des comparaisons avec des mesures d'amplification sonore due à l'effet dièdre montrent que ce modèle est efficient pour des surfaces absorbantes homogènes et inhomogènes. A l'aide de ce nouvel outil, une étude paramétrique examine les tendances du rayonnement du pneumatique au–dessus de chaussées absorbantes. <br />Le présent travail apporte de nouveaux éléments en matière de rayonnement de pneumatique / chaussée; il contribue en outre à l'étude des possibilités de réduction du bruit de trafic, notamment en utilisant des chaussées dites “silencieuses”.

Cette thèse porte sur la modélisation des ondes élastodynamiques dans deux situations particulières qui pénalisent les méthodes numériques utilisées pour simuler ces phénomènes. Dans la première partie, on se place dans le cas où les ondes de pression (ondes P) se propagent à une vitesse beaucoup plus grande que celle des ondes de cisaillement (ondes S). Les modèles numériques utilisés habituellement pour traiter cette configuration sont pénalisés par la plus petite vitesse qui dicte le choix du pas du schéma. Nous proposons ici un schéma qui découple numériquement, dans le volume, les ondes P et les ondes S, pour deux types de conditions de bord en utilisant la décomposition du déplacement en potentiels de Lamé, en deux dimensions. Les conditions aux limites de Dirichlet homogènes, qui sont des conditions essentielles pour la formulation classique en déplacement, deviennent des conditions naturelles, mais non standard, pour la formulation en potentiels qui se présente comme un système de deux équations d'ondes couplées par les conditions aux limites. Cette formulation préserve une énergie équivalente à l'énergie élastodynamique. Nous construisons un schéma éléments finis en espace et utilisons un thêta-schéma en temps sur les termes de bord afin de ne pas pénaliser la CFL et mener à une condition sur le pas de temps indépendante des termes de couplage au bord. Ce schéma préserve une énergie discrète. Le cas des conditions de surface libre mène à des instabilités. Nous les avons traitées comme des perturbations des conditions de Dirichlet, ce qui permet d'obtenir de bons résultats dans le domaine fréquentiel mais donne naissance à de sévères instabilités après discrétisation en temps. La seconde partie de la thèse est consacrée à la construction, l'analyse et la validation de conditions de transmission effectives (CTE) à travers une couche mince de matériau homogène et isotrope d'épaisseur constante h. Ici, la finesse de la couche affecte les schémas explicites usuels car le maillage de la couche avec des éléments suffisamment petits entraîne une diminution analogue du pas de temps critique via la condition CFL, tandis que l'on espère avec les CTE obtenir un pas de temps indépendant de l'épaisseur de la couche. Une analyse complète du cas de la bande mince rectiligne est donnée en deux et trois dimensions. Les conditions obtenues sont stables via la conservation d'une énergie et l'ordre de l'erreur d'approximation par rapport à l'épaisseur de la couche pour les conditions d'ordre 2 est de O(h^3). Des résultats numériques sont présentés pour les configurations bi et tridimensionnelles, ils valident les résultats de stabilité, d'estimation d'erreur et de conditions de stabilité de schémas en temps proposés, qui sont des modifications du schéma explicite utilisé en l'absence de couche mince. Enfin, le traitement d'une couche curviligne est effectué dans le cas bidimensionnel. Sa stabilité est à nouveau vérifiée par conservation d'énergie et des résultats numériques sont également présentés.

Cette thèse porte sur la modélisation des ondes élastodynamiques dans deux situations particulières qui pénalisent les méthodes numériques utilisées pour simuler ces phénomènes. Dans la première partie, on se place dans le cas où les ondes de pression (ondes P) se propagent à une vitesse beaucoup plus grande que celle des ondes de cisaillement (ondes S). Les modèles numériques utilisés habituellement pour traiter cette configuration sont pénalisés par la plus petite vitesse qui dicte le choix du pas du schéma. Nous proposons ici un schéma qui découple numériquement, dans le volume, les ondes P et les ondes S, pour deux types de conditions de bord en utilisant la décomposition du déplacement en potentiels de Lamé, en deux dimensions. Les conditions aux limites de Dirichlet homogènes, qui sont des conditions essentielles pour la formulation classique en déplacement, deviennent des conditions naturelles, mais non standard, pour la formulation en potentiels qui se présente comme un système de deux équations d’ondes couplées par les conditions aux limites. Cette formulation préserve une énergie équivalente à l'énergie élastodynamique. Nous construisons un schéma éléments finis en espace et utilisons un thêta-schéma en temps sur les termes de bord afin de ne pas pénaliser la CFL et mener à une condition sur le pas de temps indépendante des termes de couplage au bord. Ce schéma préserve une énergie discrète. Le cas des conditions de surface libre mène à des instabilités. Nous les avons traitées comme des perturbations des conditions de Dirichlet, ce qui permet d'obtenir de bons résultats dans le domaine fréquentiel mais donne naissance à de sévères instabilités après discrétisation en temps. La seconde partie de la thèse est consacrée à la construction, l'analyse et la validation de conditions de transmission effectives (CTE) à travers une couche mince de matériau homogène et isotrope d'épaisseur constante h. Ici, la finesse de la couche affecte les schémas explicites usuels car le maillage de la couche avec des éléments suffisamment petits entraîne une diminution analogue du pas de temps critique via la condition CFL, tandis que l'on espère avec les CTE obtenir un pas de temps indépendant de l'épaisseur de la couche. Une analyse complète du cas de la bande mince rectiligne est donnée en deux et trois dimensions. Les conditions obtenues sont stables via la conservation d'une énergie et l'ordre de l'erreur d'approximation par rapport à l'épaisseur de la couche pour les conditions d'ordre 2 est de O(h^3). Des résultats numériques sont présentés pour les configurations bi et tridimensionnelles, ils valident les résultats de stabilité, d'estimation d'erreur et de conditions de stabilité de schémas en temps proposés, qui sont des modifications du schéma explicite utilisé en l'absence de couche mince. Enfin, le traitement d'une couche curviligne est effectué dans le cas bidimensionnel. Sa stabilité est à nouveau vérifiée par conservation d'énergie et des résultats numériques sont également présentés. / This work is dedicated to the modelling of elastodynamic waves in two particular situations for which standard numerical methods experience difficulties. In the first part, the case where the velocity of the pressure waves (P waves) is much greater than the velocity of the shear waves (S waves) is studied. When applied to this situation, standard explicit time-stepping methods are hampered by the fact that the mesh size is dictated by the smallest velocity. We develop a numerical scheme that uncouples the body S-waves and P-waves by exploiting the well-known representation of elastodynamic states in terms of Lamé potentials. Formulations are derived and analysed for the 2-D case, where both potentials are scalar functions. Homogeneous essential Dirichlet boundary conditions lead to non-standard natural conditions for our potential-based formulation. A system of two wave equations, coupled by two boundary conditions, is obtained. This formulation is energy-preserving. A discretization approach involving finite elements in space and a theta-scheme in time applied to the boundary unknowns inside the domain is proposed, so that the « natural » time step for each wave speed can be used. This scheme is shown to be also energy-preserving. The case of Neumann boundary conditions is also addressed. These conditions are treated as perturbations of the Dirichlet case, an approach which yields good results in the time-harmonic case while giving rise to severe instabilities in the time-discrete transient case. The second part of this thesis is concerned with the design, analysis, numerical approximation and implementation of effective transmission conditions (ETCs) for the propagation of elastic waves through a thin elastic layer with small uniform thickness h which is embedded in a reference elastic medium, under transient conditions, with both materials assumed to have isotropic properties. Here, the thinness of the layer has an adverse effect on usual explicit schemes, since meshing the layer with small elements will induce a corresponding reduction of the critical time step through a CFL condition, whereas it is expected that the layer-less CFL condition will remain valid if the layer is modelled using ETCs. First, a complete analysis is given in the case of a planar elastic layer, applicable to two- and three-dimensional situations. The stability of the proposed second-order ETC is established as the result of energy preservation, while the approximation error on the transmission solution is shown to be of order O(h^3) in energy norm. Numerical experiments, performed for two- and three-dimensional configurations, validate the theoretical findings on stability, approximation error and stability conditions of time-stepping schemes that are natural modifications of the explicit scheme used in the absence of a thin layer. Then, ETCs are also derived for the case of a curvilinear layer embedded in a two-dimensional elastic medium. Their stability is again proven as resulting from energy preservation and the theoretical results are illustrated with numerical experiments.

Cette thèse introduit et étudie une nouvelle classe de schémas de Boltzmann sur réseau appelés schémas à vitesse relative. Les schémas de Boltzmann sur réseau visent à approcher des problèmes de nature macroscopique en mimant la dynamique microscopique d’équations cinétiques du type Boltzmann. L’algorithme calcule des distributions de particules évoluant au travers de deux phases de transport et de relaxation, les particules se déplaçant en les noeuds d’un réseau cartésien en espace. Les schémas de Boltzmann à plusieurs temps de relaxation (ou schéma MRT de d’Humières), dont la relaxation im- plique un ensemble de moments combinaison linéaire polynomiale des distributions, constituent le cadre initial de la thèse. Les schémas à vitesse relative sont une extension de ces schémas de d’Humières. Ils sont inspirés du schéma cascade de Geier apportant davantage de stabilité que les schémas de d’Hu- mières pour des régimes peu visqueux des équations de Navier-Stokes. La différence avec ces schémas se situe au niveau de la relaxation : elle utilise un ensemble de moments relatifs à un paramètre champ de vitesse fonction du temps et de l’espace. Cette différence se matérialise par une matrice de tran- sition des moments fixes (les schémas de d’Humières correspondent à un paramètre champ de vitesse nul) aux moments mobiles. La structure algébrique de cette matrice est étudiée. Le schéma cascade est ensuite traduit comme un schéma à vitesse relative pour un nouvel ensemble de polynômes définissant les moments. L’étude de la consistance des schémas à vitesse relative par la méthode des équations équivalentes est un point central de la thèse. Les équations limites pour un nombre arbitraire de dimen- sions et de vitesses sont dérivées et illustrées sur des exemples tels que le D2Q9 pour les équations de Navier-Stokes. Ces équations équivalentes sont également un outil pour prédire la stabilité des schémas grâce à l’analyse des termes de diffusion et dispersion. La dernière partie traite de la stabilité suivant le choix du paramètre champ de vitesse. Nous sommes particulièrement intéressés en les deux choix de paramètre nul (d’Humières) et la vitesse du fluide (cascade). Le schéma D2Q9 pour les équations de Navier-Stokes est étudié numériquement par une méthode de Von Neumann puis appuyé sur des cas tests non linéaires. La stabilité des schémas relatifs à la vitesse du fluide est dépendante du choix des polynômes définissant les moments. L’amélioration la plus notable se produit si les polynômes du schéma cascade sont choisis. Nous étudions enfin les stabilités théorique et numérique d’un schéma bidimensionnel minimal. Le contexte physique est la simulation d’une équation d’advection diffusion linéaire. Le choix de la vitesse d’advection comme paramètre champ de vitesse annule certains termes de dispersion des équations équivalentes contrairement aux schémas de d’Humières. Ceci se traduit par un meilleur comportement en termes de stabilité pour de grandes vitesses, appuyé théoriquement à l’aide d’une notion de stabilité à poids. / In this PhD thesis, a new class of lattice Boltzmann schemes called relative velocity schemes is introduced and studied. The purpose of lattice Boltzmann schemes is to approximate problems of macroscopic nature using the microscopic dynamic of Boltzmann type kinetic equations. They compute particle distributions through two phases of transport and relaxation, the particles moving on the nodes of a cartesian lattice. The multiple relaxation times schemes---MRT of d'Humières---, whose relaxation uses a set of moments, linear combinations of the particle distributions, constitutes the initial framework of the thesis. The relative velocity schemes extend the MRT d'Humières schemes. They originate from the cascaded automaton of Geier which provides more stability for the low viscosity regime of the Navier-Stokes equations. Their difference with the d'Humières schemes is carried by the relaxation : a set of moments relative to a velocity field parameter function of space and time is used. This difference is represented by a shifting matrix sending the fixed moments---The d'Humières schemes are associated with a zero velocity field parameter---On the relative moments. The algebraic structure of this matrix is studied. The cascaded automaton is then interpreted as a relative velocity scheme for a new set of polynomials defining the moments. The consistency study of the relative velocity schemes with the equivalent equations method is a keypoint of the thesis. These equations are derived for an arbitrary number of dimensions and velocities. They are then illustrated on examples like the D2Q9 scheme for the Navier-Stokes equations. These equivalent equations are also a tool to predict the stability behaviour of the schemes by analysing their diffusion and dispersion terms. In a last part, the stability according to the velocity field parameter is studied. Two cases especially interest us : a parameter equal to zero---D'Humières schemes---And equal to the fluid velocity---Cascaded automaton. The D2Q9 scheme for the Navier-Stokes equations is numerically studied with a linear Von Neumann analysis and some non linear test cases. The stability of the relative velocity schemes depends on the choice of the polynomials defining the moments. The most important improvement occurs if the polynomials of the cascaded automaton are chosen. We finally study the theoretical and numerical stability of a minimal bidimensional scheme for a linear advection diffusion equation. If the velocity field parameter is chosen equal to the advection velocity, some dispersion terms of the equivalent equations vanish unlike the d'Humières scheme. This implies a better stability behaviour for high velocities, characterized thanks to theoretical weighted stability notion.