Παρουσιάζεται το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης μεταβλητών, χωρίς περιορισμούς και με μη γραμμικούς περιορισμούς. Προτείνονται νέες μέθοδοι επίλυσης: 1) Ένας αλγόριθμος για την ελαχιστοποίηση συναρτήσεων χωρίς περιορισμούς, που στηρίζεται σε μια τροποποιημένη μονοδιάστατη μέθοδο διχοτόμησης. Η μέθοδος δεν απαιτεί υπολογισμό ή εκτίμηση Εσσιανής και εφαρμόζεται και σε προβλήματα, όπου οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης και των παραγώγων της δεν είναι γνωστές με απόλυτη ακρίβεια. 2) Δύο νέοι κωνικοί αλγόριθμοι για την χωρίς περιορισμούς ελαχιστοποίηση. Αυτοί οι αλγόριθμοι είναι βασισμένοι σε μια κωνική πρότυπη συνάρτηση, η μορφή της οποίας δεν περιλαμβάνει την Εσσιανή της. Στον πρώτο αλγόριθμο, η κωνική μέθοδος συνδυάζεται με ένα μη μονότονο line search τύπου Newton και το βήμα αναζήτησης των Barzilai και Borwein. Στον δεύτερο, χρησιμοποιείται για το line search η μέθοδος ελάττωσης διάστασης DROPT. Και στις δύο περιπτώσεις η κλασική κωνική μέθοδος επιταχύνεται σημαντικά. 3) Μια οικογένεια μεθόδων ελαχιστοποίησης με περιορισμούς, οι οποίες χρησιμοποιούν αντί για ένα διάνυσμα ανίχνευσης, μια καμπύλη ανίχνευσης και συγκεκριμένα μια γεωδαισιακή καμπύλη της επιφάνειας των περιορισμών. / In this work we present the problem of minimizing a continuously differentiable function of n variables under no constraints, as well as under nonlinear constraints. New methods for the solution of this problem are proposed. Namely 1) An algorithm for the unconstrained minimization of nonlinear functions, based on a modified one-dimentional bisection method. This method does not require an estimatoin of the Hessian and can be used for problems, where the objective function values as well as the gradient values are not known exactly. 2) Two new conic algorithms for unconstrained optimization. These algorithms are based on a conic model function, whose form does not include its Hessian. In the first algorithm, the conic method is combined with a non-monotone Newton type line search and the step of Barzilai and Borwein. In the second, we use a dimention reducing method for the line search. In both cases the clasic conic method is accelerated significantly. 3) A class of constrained optimization methods that use, instead of a search vector, the g4eodesic curve of the surface of the constraints.

Τα απόβλητα, που παράγονται από τα ελαιοτριβεία, τυροκομεία και βουστάσια είναι τα παραπροϊόντα της λειτουργίας τέτοιων μονάδων. Στην Ελλάδα οι δραστηριότητες αυτές έχουν σημαντικό οικονομικό και κοινωνικό αντίκτυπο, καθώς μεγάλο μέρος του πληθυσμού συμμετέχει ενεργά σε όλα τα στάδια της παραγωγής έχοντας σημαντικό οικονομικό όφελος. Ιδιαίτερα στην περίπτωση του ελαιολάδου η Ελλάδα αποτελεί την τρίτη μεγαλύτερη χώρα παραγωγής παγκοσμίως μετά την Ισπανία και την Ιταλία. Το κύριο πρόβλημα, που προκύπτει είναι η παραγωγή τεράστιων ποσοτήτων αποβλήτων, που με τα υψηλά οργανικά φορτία τους καθίστανται εξαιρετικά επικίνδυνα και η διαχείρισή τους πολύ δύσκολη. Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η τεχνική και οικονομική ανάλυση μιας μονάδας επεξεργασίας αυτών των αποβλήτων, όπου αυτά θα χρησιμοποιούνται ως πρώτη ύλη για την παραγωγή ενέργειας. Τα οφέλη μια τέτοιας μονάδας θα είναι πολύ μεγάλα καθώς τα απόβλητα πλέον δεν θα εναποτίθενται ανεξέλεγκτα στο περιβάλλον, μειώνοντας έτσι τη ρύπανση, ενώ μέσω της εξασφαλισμένης πώλησης της ηλεκτρικής και θερμικής ενέργειας και στερεού καυσίμου, που θα παράγονται στη μονάδα, η επένδυση θα καταστεί οικονομικά βιώσιμη. Η μονάδα θα λειτουργεί με βάση της διαδικασία της Αναερόβιας Συγχώνευσης οργανικών υποστρωμάτων, η οποία αποτελεί μία από τις βέλτιστες προτεινόμενες τεχνολογίες για την αποδόμηση υπολειμμάτων υψηλού οργανικού φορτίου με ελάχιστο τεχνολογικό ρίσκο. Επίσης, μέρος της εργασίας αποτελεί και η βελτιστοποίηση της δρομολόγησης των βυτιοφόρων οχημάτων, τα οποία θα συλλέγουν τα απόβλητα από τις μονάδες παραγωγής τους και θα τα συγκεντρώνουν στη μονάδα επεξεργασίας. Η βελτιστοποίηση αυτής της διαδικασίας έγινε μέσω ανάπτυξης κατάλληλου αλγορίθμου και επίλυσης αυτού με το υπολογιστικό πρόγραμμα General Algebraic Modeling System (GAMS), για τον υπολογισμό των βέλτιστων διαδρομών, των μεταφερόμενων φορτίων καθώς και του απαιτούμενου αριθμού βυτιοφόρων οχημάτων με βάση πάντα την ελαχιστοποίηση του κόστους μεταφοράς και συλλογής. / The produced wastes by olive mills, dairies and cow farms are by-products from the operation of such units. In Greece these activities have significant economic and social impact since a large part of the population actively participates in all stages of production having serious financial gain. Especially in the case of olive oil, Greece is the third largest producer worldwide after Spain and Italy. The main problem that arises is the production of huge quantities of wastes, which due to their high organic loads are extremely dangerous for the environment and public health while their management is quite difficult. The aim of this work is the technical and economic analysis of a plant processing these agroindustrial wastes, where they will be used as feedstock for energy and solid fuel (pellet) production. The benefits from the operation of such a plant are substantial since wastes will no longer be uncontrollably disposed in the environment, reducing pollution, while through the secured sale of the produced thermal and electric energy and solid fuel the overall investment will be economically viable and attractive to potential investors. Such a plant will be operated using the anaerobic co-digestion process, which is a biological process (included in European best practices) for the degradation of organic residues under conditions of oxygen absence, with minimum technological and economic risk. Furthermore, part of this work was devoted to the optimization of the vehicles routing, which will collect the wastes and will transfer them at the processing plant. The optimization of this process was carried out via developing an appropriate algorithm which was solved using the computer program General Algebraic Modeling System (GAMS). The algorithm calculates the best routes, the amount of wastes transferred and the required number of vehicles based always on minimizing the cost of transportation and collection.

Στη παρούσα εργασία θα εφαρμόσουμε τρεις διαφορετικές τεχνικές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην περίπτωση του καρκίνου του πνεύμονα στα πλαίσια της σύμμορφης θεραπείας. Πιο συγκεκριμένα θα γίνει σύγκριση των τεχνικών που αφορούν την εισαγωγή δύο πεδίων και τριών πεδίων. Στη περίπτωση των τριών πεδίων το τρίτο πεδίο στη μία τεχνική θα έχει μικρή βαρύτητα και στην άλλη τεχνική θα έχει μεγάλη βαρύτητα. Το σύστημα πλάνου θεραπείας που θα χρησιμοποιηθεί είναι το Εclipse. Αναλυτικότερα μετά την πραγματοποίηση των πλάνων θεραπείας για 51 ασθενείς θα μελετηθούν οι δόσεις που παίρνουν οι όγκοι καθώς επίσης και οι δόσεις που λαμβάνουν οι υγιείς ιστοί με τη βοήθεια των κατάλληλων διαγραμμάτων (DVH). Εκτός από αυτή τη παράμετρο θα αναλύσουμε το ποσοστό κάλυψης του όγκου. Τέλος θα γίνει η καταγραφή των αποτελεσμάτων και με τη βοήθεια της στατιστικής ανάλυση τους ,αλλά και αναλυτικής μελέτης των τιμών που θα προκύψουν από τα πλάνα θεραπείας των ασθενών, θα προχωρήσουμε στην διεξαγωγή των συμπερασμάτων για αυτές τις τεχνικές ακτινοβόλησης. / The aim of this study is the application of three different 3D conformal techniques which are used in the treatment of the lung cancer. Specifically, a comparison between these techniques is attempted. In the case in which three fields are used, in one case the third field has a low weight, but in the other case a high weight. The treatment planning system used for this study is the “Eclipse”. In more detail, after collecting the treatment plannings of 51 patients, a study of the doses absorbed by both the tumors and the health tissues is done through DVH. The percentage of coverage of PTV is further studied. Finally, all results, including those coming out of treatment plannings, are recorded and submitted to statistical analysis, and conclusions are reached about the efficacy of those radiation techniques.

Το βασικό θέμα της διπλωματικής εργασίας είναι η χρήση μεταευρετικών τεχνικών για την επίλυση ενός συνδυαστικού προβλήματος βελτιστοποίησης. Πιο συγκεκριμένα, ένας μεταευρετικός αλγόριθμος προσομοιωμένης ανόπτησης δημιουργήθηκε προκειμένου να αποκτηθεί το ελάχιστο κόστος λειτουργίας ενός κυκλικού δικτύου διανομής νερού. Η προσομοιωμένη ανόπτηση είναι μία στοχαστική μέθοδος βελτιστοποίησης που μπορεί να ανταποκριθεί καλά σε μεγάλης κλίμακας προβλήματα βελτιστοποίησης διακριτής ή συνδυαστικής μορφής, αλλά στο πρόβλημα που επιλύθηκε Αρχικά παρουσιάζονται τα χαρακτηριστικά και τα επιμέρους στοιχεία των δικτύων διανομής νερού μαζί με τους νόμους της φυσικής που τα διέπουν. Ειδικότερη προσοχή δίνεται στο πιο ακριβό στοιχείο, την αντλία. Στη συνέχεια παρουσιάζεται το EPANET, ένα πακέτο λογισμικού για τη μοντελοποίηση δικτύων ύδρευσης, μαζί με το programmers toolkit που θα επιτρέψει την αλληλεπίδραση μεταξύ Java και του λογισμικού μοντελοποίησης του δικτύου. Στο 6ο κεφάλαιο μία εφαρμογή προτείνεται, ο στόχος της οποίας είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους και της κατανάλωσης της ηλεκτρικής ενέργειας. Η εφαρμογή μετά δοκιμάζεται στο πρόβλημα Van Zyl, ένα δίκτυο διανομής νερού μικρής κλίμακας που είναι κατάλληλο για δοκιμές εξαιτίας του γεγονότος ότι πολλές διαμορφώσεις προγράμματος λειτουργίας αντλιών είναι έγκυρες, παρέχοντας έτσι μία μεγάλη ποικιλία προγραμμάτων λειτουργίας. Η μέθοδος της προσομοιωμένης ανόπτησης παρουσιάζεται στη συνέχεια σταδιακά και τα αποτελέσματα απεικονίζονται με τη βοήθεια πινάκων και σχεδιαγραμμάτων. Το τελευταίο κεφάλαιο συζητά γενικά συμπεράσματα που αφορούν νέα πεδία προς αναζήτηση τα οποία θα μπορούσαν να βελτιώσουν τις μεθόδους βελτιστοποίησης των προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού αντλιών δικτύων ύδρευσης / The main topic of this diploma thesis is the use of metaheuristics for solving a combinatorial optimization problem. In particular, a simulated annealing metaheuristic was developed to obtain the least cost operation of a looped water distribution network. Simulated annealing is a stochastic optimization method that can work well for large-scale optimization problems that are cast in discrete or combinatorial form, and with the problem solved. First of all water distribution systems’ characteristics and components are stated along with the laws of physics that govern them. Particular attention is given to the most expensive component of all, the pump. Then, EPANET, a public domain, water distribution system modeling software package is presented along with the programmers’ toolkit that will enable the interaction between Java and the network modeling software. In Chapter 6, one application is proposed, whose goal is to minimize electricity cost and consumption. The application will then be tested on the Van Zyl Test Problem, a water distribution system of small scale that is well suited for testing due to the fact that many pump configurations are valid, providing a vast range of configurations. The method of simulated annealing is then presented gradually, and the results will be depicted with the help of plots and tables. The final chapter also discusses general conclusions concerning new fields for research that could improve the optimization techniques for pump scheduling problems.

Στόχος της διπλωματικής αυτής είναι η παρουσίαση τεχνικών στα πλαίσια της Διαχείρισης Ραδιοπόρων με σκοπό την βελτιστοποίηση της παρεχόμενης υπηρεσίας (QoS), σε δίκτυα κινητής τηλεφωνίας 3ης γενιάς. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στα δίκτυα κινητών επικοινωνιών και μια ιστορική αναδρομή. Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια επισκόπηση της τεχνολογίας του CDMA και γίνεται καταγραφή και ανάλυση τεχνικών RRM. Στο σύστημα UMTS είναι αφιερωμένο ολόκληρο το δεύτερο κεφάλαιο. Το UMTS εξετάζεται από πλευράς αρχιτεκτονικής και πρωτοκόλλων. Το handover ως βασικό στοιχείο της Διαχείρισης Ραδιοπόρων μελετάται στο τρίτο κεφάλαιο. Ιδιαίτερη αναφορά και μελέτη γίνεται για το Soft Handover, ως το βασικό Handover του συστήματος WCDMA, που χρησιμοποιείται προκειμένου να διασφαλιστεί η απαιτούμενη υπηρεσία. Στο τέταρτο κεφάλαιο περνάμε στην multicast μετάδοση. Σε αυτή την περίπτωση εξετάζουμε την αποδοτική επιλογή καναλιού (Efficient Channel Selection), με στόχο την διασφάλιση του ίδιου QoS για όσο το δυνατόν περισσότερους χρήστες κάνοντας την καλύτερη δυνατή διαχείριση των πόρων του συστήματος. Τέλος το πέμπτο κεφάλαιο αφιερώνεται στην συνολική παρουσίαση των συμπερασμάτων που έχουν εξαχθεί στα προηγούμενα κεφάλαια. / -

Υλοποίηση ενός υπολογιστικού πακέτου στο Matlab, υλοποιώντας αλγορίθμους για βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς με δυνατότητες επέκτασης.Επιπλέον παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο και γίνεται αξιολόγηση του πακέτου μέσω περίπου 30 συναρτήσεων δοκιμών και δίνονται τα αποτελέσματα. / Construction of a software in Matlab, with algorithms for uncostrained optimization with expansion abilities. Moreover we present the theory and we evaluate it throught almost 30 test functions giving the results.

Στην διατριβή αυτή εξετάζεται η αποδοτικότητα αλγορίθμων υπολογιστικής νοημοσύνης σε προβλήματα αριθμητικής βελτιστοποίησης, αναπτύσσονται τροποποιήσεις και βελτιώσεις των μεθόδων και εισάγεται ένα νέο σχήμα της μεθόδου Βελτιστοποίησης με Σμήνος Σωματιδίων, το οποίο ενοποιεί διαφορετικές εκδόσεις της συνδυάζοντας τα χαρακτηριστικά τους, μαζί με την θεωρητική ανάλυσή του. / The main goal of this thesis was the investigation of the performance of computational intelligence algorithms on numerical optimization problems, the development of modifications and improvements of the algorithms, as well as the development of a new scheme of the Particle Swarm Optimization algorithm that harnesses its main variants, along with its theoretical analysis.

Η χρήση μετροπρογραμμάτων για την μέτρηση της επίδοσης και της απόδοσης συστημάτων αρχιτεκτονικής πολλαπλών επεξεργαστικών στοιχείων και συστημάτων λογισμικού για την υποστήριξη εκτέλεσης παράλληλων εφαρμογών πάνω σε πολυεπεξεργαστικές πλατφόρμες, είναι μία έγκυρη και ευρέως διαδεδομένη μέθοδος. Μάλιστα για την τυποποίηση τέτοιων προγραμμάτων, μεγάλες και παγκοσμίως αναγνωρισμένες ερευνητικές ομάδες, έχουν προτείνει και έχουν παραλληλοποιήσει συλλογή μετροπρογραμμάτων, ως αποτέλεσμα πολυετούς εμπειρίας και έρευνας. Οι πιο γνωστές συλλογές μετροπρογραμμάτων είναι τα SPEC, NAS και SPLASH. Όμως αν και οι κώδικες αυτών των συλλογών ετροπρογραμμάτων είναι διαθέσιμοι στην επιστημονική κοινότητα, δεν είναι δυνατόν να καλύπτουν πλήρως τις ανάγκες των ερευνητικών ομάδων παγκοσμίως που ασχολούνται με την έρευνα και την ανάπτυξη συστημάτων λογισμικού για την υποστήριξη παράλληλων εφαρμογών πάνω σε πολυεπεξεργαστικές πλατφόρμες. Η παρούσα διπλωματική, επιχειρεί τη μελέτη, την ανάλυση και την παραλληλοποίηση δύο σύνθετων ακολουθιακών εφαρμογών που θα χρησιμοποιηθούν ως μετροπρογράμματα για την αξιολόγηση συστημάτων υποστήριξης παράλληλων εφαρμογών. Οι πλατφόρμες υποστήριξης παράλληλων εφαρμογών αναπτύσσονται στο Εργαστήριο Πληροφοριακών Συστημάτων Υψηλών Επιδόσεων (ΕΠΣΥΕ). Η διπλωματική αποτελείται από την παρουσίαση και την ανάλυση μεθόδων βελτιστοποίησης εφαρμογών. Αναφέρεται σε βελτιώσεις μονοεπεξεργαστικών συστημάτων, που συνήθως συντελούνται με την αλλαγή κώδικα για την καλύτερη εκμετάλλευση των πόρων του συστήματος, και από την προσαρμογή ή και την αλλαγή των ακολουθιακών αλγορίθμων για παράλληλες αρχιτεκτονικές συστημάτων SMP. Στη συνέχεια επιχειρούμε την βελτιστοποίηση και την παραλληλοποίηση δύο εφαρμογών τις οποίες θα χρησιμοποιεί η ομάδα παρλλαλήλων συστημάτων του εργαστηρίου ΕΠΣΥΕ για την αξιολόγηση του λογισμικού που αναπτύσσει στα πλαίσια των ερευνητικών της δραστηριοτήτων. Η μία εφαρμογή είναι από το χώρο της Ιατρικής και αφορά τον υπολογισμό του απαιτούμενου ποσοστού ακτινοβολίας για την ακτινοθεραπεία όγκων. Η δεύτερη εφαρμογή είναι από το χώρο της μοριακής χημείας και αναφέρεται στον υπολογισμό της κίνησης των μορίων, αερίων εγκλωβισμένων σε μάζες στερεών σωμάτων. Τέλος παραθέτουμε τις μετρήσεις των βελτιστοποιημένων και παραλληλοποιημένων εφαρμογών και τις βελτιώσεις που επιτυγχάνουν. Η προσπάθεια βελτιστοποίησης και προσαρμογής των συγκεκριμένων αλλά και επιπλέον εφαρμογών σε υπάρχουσες αλλά και σε νέες αρχιτεκτονικές θα συνεχιστεί, με στόχο την απόκτηση της απαιτούμενης τεχνογνωσίας για την βελτιστοποίηση και παραλληλοποίηση δικών μας εφαρμογών/μετροπρογραμμάτων, που θα χρησιμοποιούμε για την αξιολόγηση των πλατφορμών που αναπτύσσουμε για την υποστήριξη παράλληλης και ταυτόχρονης επεξεργασίας. / The use of benchmarks for the measurement of the effectiveness and performance of computer systems with multiple processors and of software systems that support parallel execution of applications on those platforms is a valid and widespread method. In fact, towards the standardization of such programs large and worldwide acknowledged research teams have proposed and parallelized a collection of benchmarks which are the result of many years of experience and research. The most known collections of such benchmarks are these of SPEC, NASH and SPLASH. Although the codes of this collection of benchmarks are in the disposal of the scientific community, they could not possibly fully cover the needs of the scientific teams all over the world that work in the field of research and development of software systems that support parallel applications the multiprocessor platforms. This thesis is an effort to study, analyze and parallelize two complex sequential applications that will be used as benchmarks for the evaluation of parallel application support systems. The platforms supporting parallel applications are developed in the High Performance Computer Laboratory in Patra (HPClab). This thesis includes a presentation and analyses of the optimization methods for parallel applications. It refers to improvements which are usually the result of changes in the programming code, in order to achieve optimal utilization of the given system resources. These improvements may also derive from the adjustment or even the change of the sequential algorithms for parallel SMP system architectures. What will follow, will be an attempt to optimize and parallelize two applications that will be used by the HPClab team in order to evaluate the software developed in the content of its research activity. The first application comes from the scientific field of medicine and regards the computation of the required amount of radiation applied for the cure of cancer. The second one comes from the scientific field of engineer chemistry and regards the computation of molecule movement of gases enclosed in solid objects. Finally, the measurements for the optimized and parallelized applications and the improvements achieved will be presented. The attempt to optimize and adjust these applications as well as others, will continue to be developed in the framework of existent and platforms, with the goal to attain the necessary know how for the optimization and parallelization of our own applications/benchmarks which will be used for the evaluation of the platforms developed and for the support of parallel applications.

Η μεταπτυχιακή αυτή διπλωματική εργασία στοχεύει στην παρουσίαση κάποιων από τις δημοφιλέστερες μεθόδους βελτιστοποίησης μη γραμμικών συναρτήσεων. Εξετάζεται σε κάθε περίπτωση τόσο το θεωρητικό υπόβαθρο, όσο και η πρακτική λειτουργικότητα της εκάστοτε μεθόδου, τα είδη των προβλημάτων όπου επιτυγχάνεται η μέγιστη αποτελεσματικότητα, λεπτομέρειες σχετικά με το ρυθμό σύγκλισης, καθώς και κάποια συγκριτικά ως προς τις προαναφερθείσες μεθόδους σχόλια. Αρχικά υπενθυμίζονται βασικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στην πορεία της επισκόπησης των μεθόδων. Ακολούθως, γίνεται εκτενής αναφορά στις πλέον διαδεδομένες τετραγωνικές μεθόδους μονοδιάστατης βελτιστοποίησης, πιο συγκεκριμένα στις μεθόδους Μέγιστης Μείωσης, Newton, Διχοτόμησης, Fibonacci και Αναζήτησης Χρυσής Τομής. Τις μεθόδους κλίσης ακολουθούν οι μέθοδοι συζυγών κατευθύνσεων, που επιχειρούν ταχύτερη σύγκλιση και μείωση της πολυπλοκότητας. Στη συνέχεια περιγράφονται μέθοδοι μεταβλητής μετρικής, όπως η τροποποιημένη μέθοδος Newton, η Secant και ένας συνδυασμός των μεθόδων Μέγιστης Μείωσης και Newton. Η εργασία ολοκληρώνεται με την παρουσίαση μη τετραγωνικών προτύπων, όπως οι Καμπυλόγραμμες Τροχιές, η μέθοδος Jacobson-Oksman καθώς και Κωνικές Μέθοδοι. / This master course essay presents some of the most popular non-linear optimization methods. It refers both to the theory and the practice of each method, describes when each method is most efficient to be used, offers some convergence information and provides some comments about the comparison of the methods. Firstly, there is a reference of basic optimization theory which is followed by a detailed description of the most widely known quadratic optimization methods, such as Steepest Descent, Newton, Interval Halving, Fibonacci and Golden Section Search. Next section refers to Conjugate Direction methods which tend to be more efficient and converge faster. These are followed by Quasi-Newton methods, such as variations of the Newton method, Secant and a combination of Steepest Descent and Newton. Finally, some non-quadratic methods are presented, such as Jacobson-Oksman method and conic methods.

Το Βασικό κομμάτι της εργασίας είναι ένα πρόγραμμα με γραφικό περιβάλλον γραμμένο στο Matlab για την επίλυση προβλημάτων Βελτιστοποίησης χωρίς περιορισμούς χρησιμοποιώντας αλγορίθμους. / The main subject of this diploma is a program with graphical environment written in Matlab for solving Optimization problems without restrictions using algorithms. The first part of the diploma, has the theory that is necessary for understanding the problem of Optimization, definitions and theorems. The second part contains the description of the algorithms: Steepest Descent, Conjugate Gradient (Hestenes-Stiefel formula, Polak-Ribiere formula, Fletcher-Reeves formula, Powell formula), Newton-Raphson, Quasi-Newton (SR1, DFP, BFGS). A few information are given for the programming language of Matlab. Also there is a chapter in the paper which contains information about the functions of the program. The user can choose the function, the initial point, the precision, the algorithm and the interval for the graphics. The results of the program are the points of algorithm, the value of the function, and the graphics for one, two or more variables. Lastly there are five functions for testing the algorithms and the program.