Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται η πιθανογεννήτρια του αριθμού των απογόνων της ν-oστης γενιάς μια κλαδωτής ανέλιξης ως το πηλίκο των πιθανογεννήτριων δύο γεωμετρικών κατανομών. Στην βιβλιογραφία, με εξαίρεση δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις (πηλίκα πιθανογεννητριών αρνητικής διωνυμικής με γεωμετρική, Kemp, 1979, και γεωμετρικής με Poisson Jayasree and Swamy, 2006), δεν έχει μελετηθεί το γενικότερο πρόβλημα των συνθηκών που επιτρέπουν το πηλίκο δύο πιθανογεννητριών να είναι η πιθανογεννήτρια μιας διακριτής μη αρνητικής τυχαίας μεταβλητής. Εδώ δίνονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τα αντίστοιχα πηλίκα πιθανογεννητριών κατανομών από την οικογένεια Katz ή την οικογένεια Sundt and Jewell με την γεωμετρική κατανομή. Μελετάται επίσης και το πηλίκο απείρως διαιρετών κατανομών με την Poisson και παρουσιάζονται αναλυτικά τέτοια παραδείγματα. Διάφορες ιδιότητες των κατανομών που προκύπτουν εξετάζονται και γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων. Στη συνέχεια, παρουσίαζεται μια διδιάστατη κλαδωτή ανέλιξη, δίνεται αναλυτικός τύπος για την πιθανογεννήτρια της από κοινού συνάρτησης κατανομής του πλήθους των δύο ειδών απογόνων της ν-oστης γενιάς, και αποδεικνύεται ότι αυτή μπορεί να γραφεί ως το πηλίκο των πιθανογεννήτριων δύο διδιαστάτων γεωμετρικών κατανομών. Μελετούμε γενικότερα το αντίστοιχο πρόβλημα για διδιάστατες τ.μ. και εξετάζουμε τις ικανές συνθήκες στις περιπτώσεις πηλίκου πιθανογεννητριών της διδιάστατης αρνητικής διωνυμικής με τη διδιάστατη γεωμετρική και της διδιάστατης αρνητικής διωνυμικής με τη διδιάστατη Poisson. Παρουσιάζονται αναγωγικές και αναλυτικές σχέσεις για τις πιθανότητες και τις παραγοντικές ροπές και μελετάται η μορφή των πιθανογεννητριών τόσο των περιθωρίων όσο και των δεσμευμένων κατανομών που προκύπτουν. / In this master thesis we observe, that the probability generating function of the number of the descendants of the n-th generation in a branching process, can be represented as the ratio of the probability generating functions (p.g.f.) of two geometric distributions. In the literature, with the exception of two particular cases (ratio of negative binomial with geometric, Kemp, 1979, and geometric with Poisson, Jayasree and Swamy, 2006), the general problem, for the conditions that allow the ratio of two p.g.f.’s to be the p.g.f. of a discrete non-negative random variable (r.v.), has not been considered. Here, are given the necessary and sufficient conditions for the ratios of the p.g.f. of a distribution from the Katz or the Sundt and Jewell family with the p.g.f. of a Geometric distribution. The ratio of an infinitely divisible r.v. with a Poisson r.v. is also studied and various such examples are presented in detail. Properties of these distributions are given and also parameters estimators are provided. In the sequel, a bivariate branching process is considered and the explicit form for the p.g.f. of the number of two type descendants in the n-th generation is derived. It is proved, that it can be written as the ratio of the p.g.f.’s of two bivariate geometric distributions. The sufficient conditions in the cases of the ratio of the bivariate negative binomial distribution with the bivariate geometric distribution and the bivariate negative binomial distribution with the bivariate Poisson distribution are examined. Recurrence relations and the explicit form of the probabilities and the factorial moments are given and the form of the p.g.f.’s for the marginals and the conditional distributions are studied.

Mελετάται η μίξη δύο συνεχών κατανομών με αύξοντα ρυθμό αποτυχίας και δίνονται συνθήκες για να έχει η μίξη φθίνοντα ρυθμό αποτυχίας. Όταν η μία από τις δύο κατανομές της μίξης είναι η εκθετική γίνεται αντιστροφή του ρυθμού αποτυχίας. Στην περίπτωση της μίξης δύο κανονικών κατανομών παρουσιάζεται ο τρόπος που συνδέεται το πλήθος των κορυφών της πυκνότητας με τον ρυθμό αποτυχίας της μίξης. Mελετάται επίσης, η μονοτονία του ρυθμού αποτυχίας διακριτών κατανομών χρησιμοποιώντας τον λόγο δύο διαδοχικών πιθανοτήτων και δίδεται μία συνθήκη για να έχει η μίξη δύο διακριτών κατανομών φθίνοντα ρυθμό αποτυχίας όταν η μία από τις δύο κατανομές της μίξης είναι η γεωμετρική. Τέλος, χρησιμοποιώντας τον λόγο διαδοχικών πιθανοτήτων, μελετούμε την μονοτονία του ρυθμού αποτυχίας για διδιάστατες διακριτές κατανομές. / The mixture of two continuous distributions, with increasing failure rates, is considered and the necessary conditions to have decreasing failure rate (DFR) are given. When one of these distributions is the Exponential, reversal of the failure rate is observed. In the case of two normal distributions the failure rate is associated with the number of modes. It is also considered the failure rate for discrete distributions in regard with the ratio of two consecutive probabilities. A condition to have DFR is given when one of the distributions of the mixture is the geometric. Finally, we make use of the ratio of two consecutive probabilities to study the failure rate for bivariate discrete distributions.