Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων και ειδικότερα στη βελτίωση των εκτιμητών του μέτρου της διασποράς για την αντίστροφη κανονική κατανομή IG(μ,λ), όπου μ είναι η παράμετρος θέσης, ενώ το λ είναι η παράμετρος κλίμακος και εκφράζει το αντίστροφο μέτρο της διασποράς. Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζονται κάποιοι χρήσιμοι, για την πορεία της μελέτης μας, ορισμοί και θεωρήματα, στο Κεφάλαιο 2 μελετάται το μοντέλο της αντίστροφης κανονικής κατανομής, δίνονται τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής και υπολογίζονται γνωστοί εκτιμητές για το μέτρο της διασποράς. Στο Κεφάλαιο 3, εξετάζεται το πρόβλημα εκτίμησης του μέτρου της διασποράς , τόσο ως προς την τετραγωνική συνάρτηση ζημίας , όσο και προς την συνάρτηση ζημίας εντροπίας . Υπό ορισμένες συνθήκες, αποδεικνύεται η μη αποδεκτικότητα, του βέλτιστου αναλλοίωτου εκτιμητή, κατασκευάζοντας καλύτερους εκτιμητές τύπου Stein [1964, Ann. Inst. Statist. Math.]. Η μέθοδος κατασκευής αυτών των εκτιμητών παρουσιάστηκε στην εργασία των N. Pal and B. Sinha [1989, Statistical data analysis and inference]. Στο Κεφάλαιο 4, και για το ίδιο πρόβλημα εκτίμησης που πραγματεύεται το προηγούμενο κεφάλαιο,κατασκευάζονται καλύτεροι εκτιμητές από το βέλτιστο αναλλοίωτο εκτιμητή χρησιμοποιώντας την μεθοδολογία των Brewster and Zidek [1974, Ann. Statist.]. Η μέθοδος κατασκευής αυτών των εκτιμητών παρουσιάζεται στην εργασία των B.MacGibbon and G.Shorrock [1997, Statist. Probab. Lett.]. / The present postgraduate thesis is placed among the area of Statistical Decision Theory and especially we give improved estimators of dispersion of an inverse Gaussian distribution IG(μ,λ), where μ is the mean and λ is a parameter, known as inverse measure of dispersion. In Chapter 1 are some useful definitions and theorems are presented, in Chapter 2 the model of inverse Gaussian distribution is studied, we give some properties of the model and known estimators for the measure of dispersion , are presented. In Chapter 3, we examine the problem of estimating the measure of dispersion under quadratic and entropy losses. Under certain conditions, we derive improved estimators (Stein [1964, Ann. Inst. Statist. Math.]) of the best affine equivariant estimator for . The method of construction of these estimators is presented in the paper of N. Pal and B. Sinha [ 1989, Statistical data analysis and inference ]. In Capital 4, and for the same problem of estimating , improved estimators of the best affine equivariant estimator are derived, using the methodology of Brewster and Zidek [1974, Ann. Statist. ]. This method of construction of these estimators is presented in the paper of B. MacGibbon and G. Shorrock [1997, Statist. Probab. Lett. ].

Τις τελευταίες δεκαετίες κυρίως λόγω της εμφάνισης των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει μεταβληθεί η φυσιογνωμία της στατιστικής επιστήμης και οι εφαρμογές της έχουν επεκταθεί σε πολλούς τομείς, αφού έγινε εύκολη και σύντομη επεξεργασία μεγάλου όγκου δεδομένων. Αυτές οι νέες συνθήκες στατιστικών αναλύσεων οδήγησαν τους στατιστικούς στην εξέλιξη πολλών θεωρητικών μεθόδων. Μια μεγάλη ενότητα αυτών των μεθόδων είναι η Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση, που αποτελεί μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα κατεύθυνση της στατιστικής επιστήμης. Για να έχουμε το τελικό προιόν από μια έρευνα πρέπει να προκύψει μετά από ένα σύνολο μετρήσεων που θα γίνει σε ένα σύνολο πειραμάτων. Με τις συνήθεις όμως στατιστικές αναλύσεις εξετάζεται κάθε φορά και όχι η συνισταμένη δράση αυτών ταυτόχρονα. Έτσι πρέπει να καταφύγουμε στην Πολυμεταβλητή Ανάλυση. Η Πολυμεταβλητή Ανάλυση ασχολείται με στατιστικές μεθόδους συλλογής, περιγραφής και ανάλυσης δεδομένων που αποτελούνται από μετρήσεις πολλών μεταβλητών σε ένα πλήθος ατόμων ή γενικότερων πειραματικών μονάδων. Σε αυτήν την εργασία θα δούμε τις τεχνικές και τα αποτελέσματα, ώστε να αναπτύξουμε τεχνικές για την ανάλυση δεδομένων. Ο στόχος μου θα είναι να παρουσιάσω μια πλήρη στατιστική ανάλυση του στοιχείου που βασίζεται σε ταυτόχρονες δηλώσεις εμπιστοσύνης. Ένα από τα κεντρικά μηνύματα της πολυμεταβλητής ανάλυσης είναι ότι οι p - μεταβλητές πρέπει να αναλυθούν από κοινού. Επομένως θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πολυμεταβλητούς ελέγχους υποθλεσεων, οι οποίοι θα εξετάζουν όλο το διάνυσμα κάθε παρατήρησης και όχι μεμονωμένες μεταβλητές. Επιπλέον, θα δούμε τη μέθοδο της Πολυμεταβλητής Ανάλυσης Διακύμανσης, η οποία αποτελεί γενίκευση της Μονομεταβλητής Ανάλυσης Διακύμανσης, όταν εξετάζουμε περισσότερες από μια μεταβλητές. Άποτελεί λοιπόν μια μέθοδο ελέγχου του αν οι μέσοι δυο ή περισσοτέρων ομάδων διαφέρουν και γενικεύοντας σε περιπτώσεις πολλών παραγόντων, αν οι παράγοντες αυτοί επιδρούν στη μέση τιμή ( μιλώντας πια για διάνυσμα μέσων τιμών. Πολλά πράγματα που ισχύουν στη Μονομεταβλητή περίπτωση μεταφέρονται με ανάλογο τρόπο και στην Πολυμεταβλητή περίπτωση, όπως για παράδειγμα η διάσπαση της συνολικής διακύμανσης στη μεταξύ των ομάδων και εντός των ομάδων διακύμανση. / --

Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στο επιστημονικό πεδίο της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων και αποσκοπεί στην εκτίμηση της μέσης τιμής ενός πληθυσμού, ο οποίος επιλέγεται από δύο κανονικούς πληθυσμούς με άγνωστες μέσες τιμές και κοινή γνωστή διασπορά ως προς το τετραγωνικό σφάλμα και ως προς την ασύμμετρη συνάρτηση ζημίας LINEX. Η μελέτη του προβλήματος της εκτίμησης της μέσης τιμής ενός πληθυσμού ως προς το τετραγωνικό σφάλμα, παρουσιάστηκε στην εργασία του Dahiya(1974) ενώ το αντίστοιχο πρόβλημα ως προς την ασύμμετρη συνάρτηση ζημίας LINEX μελετήθηκε από τους Parsian and Farsipour(1999). Στην παρούσα εργασία, έγινε μια προσπάθεια σύγκρισης των αποτελεσμάτων της συνάρτησης μεροληψίας καθώς και της συνάρτησης κινδύνου προκειμένου να διαπιστωθεί ο βέλτιστος εκτιμητής. Η εύρεση εκτιμητών της μέσης τιμής από επιλεγμένο κανονικό πληθυσμό προϋποθέτει τη γνώση βασικών μαθηματικών εργαλείων. Κρίνεται, λοιπόν, αναγκαίο να μελετήσουμε βασικές έννοιες της Μαθηματικής Στατιστικής, οι οποίες θα μας βοηθήσουν να επιτύχουμε το στόχο μας. Στο Κεφάλαιο 1 παρατίθενται βασικοί ορισμοί και θεωρήματα της Μαθηματικής Στατιστικής. Στο Κεφάλαιο 2, περιλαμβάνεται η συνήθης εκτίμηση των παραμέτρων θέσεως από δύο κανονικούς πληθυσμούς με κοινή, γνωστή διασπορά. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε τους εκτιμητές της μέσης τιμής του επιλεγμένου κανονικού πληθυσμού, τους οποίους πρότεινε ο Ram.C Dahiya(1974) καθώς και τις αντίστοιχες συναρτήσεις μεροληψίας. Στο Κεφάλαιο 4 γίνεται εκτενής ανάλυση των εκτιμητών μέσης τιμής από κανονικούς πληθυσμούς, τους οποίους πρότειναν οι Parsian and Farsipour(1999) καθώς και οι αντίστοιχες συναρτήσεις μεροληψίας. Στο Κεφάλαιο 5 παραθέτουμε τη συνάρτηση κινδύνου για καθένα από τους εκτιμητές των Parsian and Farsipour(1999) καθώς και αριθμητικά αποτελέσματα για το μέσο τετραγωνικό σφάλμα των εκτιμητών που προτάθηκαν στην εργασία του Dahiya(1974). / --

Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία μελετήθηκε ο τρόπος κατασκευής νανοσωλήνων TiO2 .Επίσης ερευνήθηκαν κάποιοι παράμετροι που επηρεάζουν την γεωμετρία τους όπως είναι η τάση, ο χρόνος και οι ηλεκτρολύτες. Αρχικά στο πρώτο κεφάλαιο αναλύθηκε εκτενέστερα η νανοτεχνολογία η οποία σχετίζεται με την κατανόηση και τον έλεγχο της ύλης, σε διαστάσεις 1 έως 100 nm. Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε μια πλήρη ταξινόμηση των νανοϋλικών καθώς και η εφαρμογή τους στην αεροναυπηγική στην ιατρική και ως ηλιακές κυψελίδες. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην ηλεκτροχημική ανοδίωση, μια από τις πιο γνωστές μεθόδους για την σύνδεση και παραγωγή νανοσωλήνων, αλλά και για την κατασκευή νάνο-επιφανειών. Επιπλέον αναφέρονται όλα τα συστατικά που χρησιμοποιούνται στη μέθοδο αυτή αλλά και όσα πρέπει να γνωρίζουμε για τους ηλεκτρολύτες. Στη συγκεκριμένη διπλωματική εργασία το υλικό με το οποίο ασχοληθήκαμε, μελετήσαμε και επεξεργαστήκαμε ήταν το τιτάνιο, το οποίο αναλύεται στο τρίτο κεφάλαιο. Το Τιτάνιο είναι ένα παραδοσιακό μέταλλο με πολύ καλές ιδιότητες μηχανικές αλλά και φυσικές έχοντας αρκετές εφαρμογές σε πάρα πολλούς τομείς όπως στην αυτοκινητοβιομηχανία, στην ιατρική, στη χημική βιομηχανία και στη ναυπηγική. Έπειτα στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις κατανομές που χρησιμοποιήσαμε στην διπλωματική αυτή όπως είναι η κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss και στην Weibull κατανομή. Οι κατανομές αυτές ήταν το εργαλείο για να μπορέσουμε να ερμηνεύσουμε αλλά και να κατανοήσουμε πλήρως τα αποτελέσματα μας. Στο κεφάλαιο πέντε παρουσιάζεται αναλυτικά η διαδικασία διεξαγωγής των πειραμάτων μας, αλλά και πλήρης ανάλυση και σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Τέλος στο κεφάλαιο έξι αναλύονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τα πειράματα για την παρούσα διπλωματική εργασία. / In the present master thesis the construction route of TiO2 nanotubes were studied. A variety of parameters, that affect their geometry such as voltage, time and electrolytes. was investigated. Ιn the first Chapter become report in the nanotechnology which is related to the conception and control of material in dimension 1 to 100nm. Then, a complete categorization of nano-materials is carried out. Also we talked about the applications of these to the field of aeronautical, medicine and solar cells. In the second chapter we analysed in detail the electrochemical anodizing, one of the most well-known procedures for the connection and production of nanotubes but also for the construction of nano-surfaces. Furthermore, all the materials used for this method are mentioned as well as everything we need to know about electrolytes. In the present master thesis the material which we worked on, studied and processed was titanium which is analyzed in the third chapter. Titanium is a traditional metal having excellent mechanical and physical properties that make it useful in many applications such as car industry, medicine, chemical industry and shipbuilding. In the fourth chapter there is a reference to the master thesis used during the dissertation such as the normal distribution or Gaussian distribution and Weibull distribution. These distributions were considered the tool that enabled us to explain and fully understand our results. Chapter five presents the analytical procedure to conduct our experiments and thorough analysis and discussion of our results. Finally, in chapter six the results derived from the experiments in the present master thesis are analyzed.

Mελετάται η μίξη δύο συνεχών κατανομών με αύξοντα ρυθμό αποτυχίας και δίνονται συνθήκες για να έχει η μίξη φθίνοντα ρυθμό αποτυχίας. Όταν η μία από τις δύο κατανομές της μίξης είναι η εκθετική γίνεται αντιστροφή του ρυθμού αποτυχίας. Στην περίπτωση της μίξης δύο κανονικών κατανομών παρουσιάζεται ο τρόπος που συνδέεται το πλήθος των κορυφών της πυκνότητας με τον ρυθμό αποτυχίας της μίξης. Mελετάται επίσης, η μονοτονία του ρυθμού αποτυχίας διακριτών κατανομών χρησιμοποιώντας τον λόγο δύο διαδοχικών πιθανοτήτων και δίδεται μία συνθήκη για να έχει η μίξη δύο διακριτών κατανομών φθίνοντα ρυθμό αποτυχίας όταν η μία από τις δύο κατανομές της μίξης είναι η γεωμετρική. Τέλος, χρησιμοποιώντας τον λόγο διαδοχικών πιθανοτήτων, μελετούμε την μονοτονία του ρυθμού αποτυχίας για διδιάστατες διακριτές κατανομές. / The mixture of two continuous distributions, with increasing failure rates, is considered and the necessary conditions to have decreasing failure rate (DFR) are given. When one of these distributions is the Exponential, reversal of the failure rate is observed. In the case of two normal distributions the failure rate is associated with the number of modes. It is also considered the failure rate for discrete distributions in regard with the ratio of two consecutive probabilities. A condition to have DFR is given when one of the distributions of the mixture is the geometric. Finally, we make use of the ratio of two consecutive probabilities to study the failure rate for bivariate discrete distributions.

Οι δείκτες αποτελεσματικότητας μιας διαδικασίας μετρούν τον βαθμό στον οποίο μια διαδικασία, που βρίσκεται σε στατιστική ισορροπία, παράγει προϊόντα τα οποία ικανοποιούν τις προδιαγραφές του πελάτη. Στη διπλωματική αυτή εργασία δίνονται οι ορισμοί διαφόρων τέτοιων δεικτών που έχουν προταθεί από τη βιβλιογραφία, για μονοδιάστατες και διδιάστατες μεταβλητές, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή. Παρουσιάζονται οι ιδιότητες καθώς και οι σχέσεις μεταξύ των δεικτών αυτών και αναλύονται τα μειονεκτήματα και τα πλεονεκτήματα της χρήσης τους. Δίνονται εκτιμητές κάποιων δεικτών και ιδιότητες αυτών όπως αναμενόμενη τιμή, διασπορά, συνάρτηση πυκνότητας. Κατασκευάζονται επίσης διαστήματα εμπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τους εκτιμητές των δεικτών. Τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές των δεικτών αποτελεσματικότητας στη βιομηχανία. / Process capability indices are intended to provide single-number assessment of the capability, of a process in statistical control, to produce items that meet the customer΄s specifications. We present the definitions of various such indices that have been proposed for univariate and bivariate normal distributions. We refer to their properties, the relations among them and the weaknesses or benefits from their use. Estimators of the indices are considered and their properties such as expected value, variance and probability density function are derived. Confidence intervals and tests of hypothesis are constructed for their estimators. Finally, numerical examples and applications of process capability indices in industry are presented.

Η εκπόνηση της συγκεκριμένης Μεταπτυχιακής Εργασίας, εξετάζει, καταρχήν, την έννοια της πιθανότητας και τις βασικές ιδιότητές της, όπως την τυχαία μεταβλητή και τη συνάρτηση κατανομής. Παράλληλα όμως, παρουσιάζει στοιχεία βασικών διακριτών και συνεχών κατανομών, όπως της κανονικής, της ομοιόμορφης, της Poisson, και άλλων κατανομών της γραμμικής στατιστικής. Στη συνέχεια, αναφέρεται στις βασικές έννοιες της περιγραφικής στατιστικής, όπως οργάνωση και γραφική αναπαράσταση στατιστικών δεδομένων, ομαδοποίηση παρατηρήσεων, ιστόγραμμα συχνοτήτων, καθώς και περιγραφικά μέτρα γραμμικών δεδομένων. Κυρίως, όμως, η παρούσα μελέτη αποτελεί μία γενική επισκόπηση των στατιστικών μεθόδων παρουσίασης και ανάλυσης των περιοδικών δεδομένων. Με τον όρο "περιοδικά δεδομένα", εννοούμε τυχαίες διευθύνσεις και κατευθύνσεις προσανατολισμού. Η παρουσίασης των τυχαίων γωνιών, των γραφικών αναπαραστάσεων των περιοδικών δεδομένων καθώς και των περιγραφικών μέτρων - μέτρα θέσεως, διασποράς, λοξότητας, κυρτώσεως - θα μας οδηγήσουν σε μία καλύτερη προσέγγιση, κατανόηση των περιοδικών κατανομών. Επιπλέον, θα παρουσιαστούν αναλυτικά οι βασικές περιοδικές κατανομές, ομοιόμορφη και Von Mises κατανομή. Όμως, θα εξεταστούν και άλλες κατανομές μονοκόρυφες ή πολυκόρυφες, όπως οι περιελιγμένες κατανομές , η συνημίτονο και η καρδιοειδής κατανομή, οι λοξές κατανομές κ.ά. Τέλος, η εργασία θα αναφερθεί σε μία οικογένεια συμμετρικών περιοδικών κατανομών που προτάθηκε από τον κύριο Παπακωνσταντίνου και αποτελεί επέκταση της καρδιοειδούς κατανομής,σύμφωνα με εργασία των επιστημόνων Toshihiro Abe,Arthur Pewsey,Kunio Shimizu, παρέχοντας σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με άλλες οικογένειες κατανομών. / The preparation of this thesis examines, in principle,the concept of probability and its basic properties, such as the random variable and distribution function and presents data of basic discrete and continuous distributions, including normal, uniform, the Poisson, and other distributions of linear statistics. Then it refers to the basic concepts of descriptive statistics, such as the organization and the graphic representation of statistical data, grouping observations Frequency histogram as well as descriptive measures of linear data. Mostly, though, this study represents an overview of statistic methods of presentation and analysis of periodic data. By the term "periodic data" we mean random addresses and directions orientation. The presentation of random angles, graphic representations of periodic data and descriptive measures - measures of location, dispersion, skewness and kurtosis - will lead us to a better approach and understanding of periodic distributions. Furthermore, we present in detail the basic periodic distributions, the uniform and the Von Mises distribution. But other unimodal and multimodal distributions will be examined such as wrapped distributions, the cosine and cardioid distribution, skewed distributions, etc. Finally, this thesis will mention a family of symmetric periodic distributions proposed by Mr. Papakonstantinou and an extension of the cardioid distribution, according to the paper published by the scientists Toshihiro Abe,Arthur Pewsey and Kunio Shimizu, where significant advantages are provided over other families of distributions.