No description available.

No description available.

The project aims to estimate the size of an elusive target population. The proposed model is developed to extend the Lincoln- Petersen estimator relying on a two-source situation and binary source/listing variables to non-binary source/listing variables. We consider a bivariate count variable where counts are used to summarize how often a unit was identified from source/list 1 and source/list 2. A mixture model is presented to model unobserved population heterogeneity. Independence of two sources is assumed by conditioning on a homogeneous component leading to discrete mixtures of bivariate, conditional independent Poisson model. The EM algorithm is discussed for maximum likelihood estimation. The model is selected on the basis of Bayesian Information Criterion (BIC). The gradient function is developed to detect candidates to be non parametric maximum likelihood estimator (NPMLE) and then incorporated into the EM algorithm leading to the EM algorithm with gradient function update. Since the gradient function exploits substantially the concavity of the likelihood, we assure that the resulting NPMLE is the global maximum. As an application, estimating the number of drug users in Bangkok, Thailand is examined using the proposed model. A likelihood framework is intrigued by exploring association between unconditional and conditional MLE. Profile mixture likelihood is utilized to tackle unconditional maximum likelihood. Confidence interval estimation for population size is derived based upon the profile mixture likelihood. To allow more flexibility in unobserved population heterogeneity, a continuous mixing distribution is incorporated into the model. We consider Gamma-mixtures of the Poisson distribution and propose two new estimators of the population size in the spirit of the maximum likelihood estimation and the Turing estimator based on the bivariate, independent Geometric model. Estimating associated variances of these estimators is addressed by means of the conditioning technique. The generalised Chao estimator is developed on the basis of the monotonicity of the power series densities. We formulate a lower bound estimator for the number of units belonging to a shared population. The proposed lower bound estimator is applied to estimate the size of a drug use population in which drug users take two drugs such as heroin and methamphetamine at the same time.

No description available.

Οι συζεύξεις εκφράζουν στην περίπτωση των διδιάστατων κατανομών τη συναρτησιακή σχέση της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής μιας διδιάστατης κατανομής με τις αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής των μονοδιάστατων περιθώριων κατανομών, όπου οι τελευταίες μας είναι πάντοτε γγωστές. Στην εργασία παρουσιάζονται κάποιες οικογένειες διδιάστατων κατανομών σε συνδυασμό με τα μέτρα συσχέτισης τους και ολοκληρώνεται με μια εφαρμογή. / -

Αρκετές φορές σε προβλήματα αξιοπιστίας, το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στην ουρά κατανομής του χρόνου ζωής. Συνήθως οι ουρές κατανομών ακόμη και των πλέον εύχρηστων κατανομών δεν υπολογίζονται με αναλυτικό τρόπο για αυτό χρησιμοποιούνται φράγματα. Υπολογιστικά εύχρηστα φράγματα είναι τα τύπου Lundberg. Απαραίτητο εργαλείο για τον προσδιορισμό φραγμάτων είναι ο ρυθμός ακαριαίου θανάτου. / -

Στις διακριτές κατανομές η εύρεση εκτιμητών μεγίστης πιθανοφάνειας παρουσιάζει δυσκολίες κυρίως όταν οι πιθανότητες δεν εκφράζονται με αναλυτικό τύπο και δίνονται αναγωγικά. Τέτοιες κλάσεις αποτελούν η συνέλιξη κατανομών και οι επιγενείς κατανομές. Στην παρούσα διπλωματική αντικείμενό μας είναι η παρουσίαση των ιδιοτήτων των εκτιμητών μεγίστης πιθανοφάνειας σε αυτές τις οικογένειες. Αποδεικνύεται ότι μια από τις εξισώσεις συμπίπτει με την εξίσωση που προέρχεται από τη μέθοδο των ροπών για τον δειγματικό μέσο. Έτσι σε περιπτώσεις κατανομών με δύο παραμέτρους, όπως η Charlier και η Neyman που παρουσιάζονται αναλυτικά, μόνο μια εξίσωση χρειάζεται να λυθεί επαναληπτικά για την εύρεση των εκτιμητών. Ο πληθυσμιακός μέσος επίσης αποτελεί τη βασική παράμετρο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα ορθογώνιο μετασχηματισμό των παραμέτρων της υπό μελέτη κατανομής. Η παραμετρικοποίηση αυτή εξαλείφει την υψηλή συσχέτιση μεταξύ των αρχικών παραμέτρων και επιτυγχάνει τη διάκριση όσον αφορά την πληροφορία που είναι σχετική με αυτές. Συγκεκριμένα παραδείγματα με τα οποία ασχοληθήκαμε είναι στις συνελίξεις δύο κατανομών η Delaporte καθώς και στις επιγενείς κατανομές η Hermite. / -

Σε προβλήματα ερμηνείας βιολογικών δεδομένων όπου οι υπό μελέτη μονάδες εμφανίζονται κατά συστάδες (cluster) τυχαίου μεγέθους και πλήθους, ιδιαίτερο ρόλο παίζουν οι επιγενείς κατανομές. Συγκεκριμένα ως επιγενής Poisson κατανομή μπορεί να παρασταθεί κάθε μονοδιάστατη διακριτή κατανομή η οποία είναι άπειρα διαιρετή. Έχει μελετηθεί, η περίπτωση στην οποία η κατανομή του μεγέθους της συστάδας (csd) είναι μια γενικευμένη (εισάγεται νέα παράμετρος) εξαρτώμενη μεγέθους (gsb) λογαριθμική κατανομή. Παίρνοντας τα όρια αυτής της παραμέτρου ως οριακές κατανομές προκύπτουν η ΝΝΒD και η Pόlya-Aeppli. Στη παρούσα διπλωματική μελετάται η κατανομή που προκύπτει όταν ως csd χρησιμοποιείται η gsb μιας οιασδήποτε κατανομής. Δίνεται η πιθανογεννήτρια και προσδιορίζονται οι ασυμπτωτικές κατανομές στη γενικότερη περίπτωση. Μελετώνται επίσης, οι ιδιότητες της κατανομής και δίνονται εκτιμητές με τις μεθόδους των ροπών και της μέγιστης πιθανοφάνειας. Ειδικότερα, παρουσιάζεται η περίπτωση της ακρότμητης Poisson που δίνει ως οριακές κατανομές τις Νeyman και Thomas και προσομοιώνονται δεδομένα. Εξάγονται επίσης, ως ειδική περίπτωση των γενικών τύπων, τα αποτελέσματα που έχουν αποδειχθεί για τη λογαριθμική κατανομή. Στη συνέχεια αναπτύσσονται αντίστοιχα γενικευμένα διδιάστατα μοντέλα τέτοιων κατανομών. Δίνονται επίσης οι περιθώριες και οι δεσμευμένες κατανομές τους, υπολογίζονται οι ροπές, και χρήσιμες σχέσεις για τα διδιάστατα μοντέλα. Τέλος, παρουσιάζονται ειδικές περιπτώσεις, όπως οι Sum-Symmetric Power-Series και δίνονται εφαρμογές των διδιαστάτων κατανομών που μελετήθηκαν. / In biological data interpretation domains, where the units we exam come along as clusters of random size and number, generalized distributions have a very major role. In particular, every univariate discrete distribution that is infinite divisible can be formed like a generalized Poisson distribution. The case where the cluster-size distribution is a generalized (a new parameter has been inserted) size-biased log-series distribution has been studied. Taking the limits of this parameter, as limited cases we have the NNBD and Polya-Aeppli distribution. In this diplomatic work, we study the distribution which arises when as a csd we use the gsb of a random distribution. We give the pgf and we see the asymptotic distributions in the general case. We also see the attributes of the distribution and we give estimators with the method of moments and maximum likelihood estimators. Specially, we report the case of Truncated Poisson, which gives Neyman and Thomas as limiting cases and we simulate some data. Likewise, we also see the results that have been proofed for the Log-Series distribution as a special case of the general formulas. Then, we see correspond generalized Bivariate models of these distributions. We also give the marginals and the conditional distributions, we find the moments and some useful relations about the Bivariate models. Final, we present special cases, like Sum-Symmetric Power-Series and we give applications of the Bivariate distributions that we saw. In biological data interpretation domains, where the units we exam come along as clusters of random size and number, generalized distributions have a very major role. In particular, every univariate discrete distribution that is infinite divisible can be formed like a generalized Poisson distribution. The case where the cluster-size distribution is a generalized (a new parameter has been inserted) size-biased log-series distribution has been studied. Taking the limits of this parameter, as limited cases we have the NNBD and Polya-Aeppli distribution. In this diplomatic work, we study the distribution which arises when as a csd we use the gsb of a random distribution. We give the pgf and we see the asymptotic distributions in the general case. We also see the attributes of the distribution and we give estimators with the method of moments and maximum likelihood estimators. Specially, we report the case of Truncated Poisson, which gives Neyman and Thomas as limiting cases and we simulate some data. Likewise, we also see the results that have been proofed for the Log-Series distribution as a special case of the general formulas. Then, we see correspond generalized Bivariate models of these distributions. We also give the marginals and the conditional distributions, we find the moments and some useful relations about the Bivariate models. Final, we present special cases, like Sum-Symmetric Power-Series and we give applications of the Bivariate distributions that we saw.

Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται η πιθανογεννήτρια του αριθμού των απογόνων της ν-oστης γενιάς μια κλαδωτής ανέλιξης ως το πηλίκο των πιθανογεννήτριων δύο γεωμετρικών κατανομών. Στην βιβλιογραφία, με εξαίρεση δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις (πηλίκα πιθανογεννητριών αρνητικής διωνυμικής με γεωμετρική, Kemp, 1979, και γεωμετρικής με Poisson Jayasree and Swamy, 2006), δεν έχει μελετηθεί το γενικότερο πρόβλημα των συνθηκών που επιτρέπουν το πηλίκο δύο πιθανογεννητριών να είναι η πιθανογεννήτρια μιας διακριτής μη αρνητικής τυχαίας μεταβλητής. Εδώ δίνονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τα αντίστοιχα πηλίκα πιθανογεννητριών κατανομών από την οικογένεια Katz ή την οικογένεια Sundt and Jewell με την γεωμετρική κατανομή. Μελετάται επίσης και το πηλίκο απείρως διαιρετών κατανομών με την Poisson και παρουσιάζονται αναλυτικά τέτοια παραδείγματα. Διάφορες ιδιότητες των κατανομών που προκύπτουν εξετάζονται και γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων. Στη συνέχεια, παρουσίαζεται μια διδιάστατη κλαδωτή ανέλιξη, δίνεται αναλυτικός τύπος για την πιθανογεννήτρια της από κοινού συνάρτησης κατανομής του πλήθους των δύο ειδών απογόνων της ν-oστης γενιάς, και αποδεικνύεται ότι αυτή μπορεί να γραφεί ως το πηλίκο των πιθανογεννήτριων δύο διδιαστάτων γεωμετρικών κατανομών. Μελετούμε γενικότερα το αντίστοιχο πρόβλημα για διδιάστατες τ.μ. και εξετάζουμε τις ικανές συνθήκες στις περιπτώσεις πηλίκου πιθανογεννητριών της διδιάστατης αρνητικής διωνυμικής με τη διδιάστατη γεωμετρική και της διδιάστατης αρνητικής διωνυμικής με τη διδιάστατη Poisson. Παρουσιάζονται αναγωγικές και αναλυτικές σχέσεις για τις πιθανότητες και τις παραγοντικές ροπές και μελετάται η μορφή των πιθανογεννητριών τόσο των περιθωρίων όσο και των δεσμευμένων κατανομών που προκύπτουν. / In this master thesis we observe, that the probability generating function of the number of the descendants of the n-th generation in a branching process, can be represented as the ratio of the probability generating functions (p.g.f.) of two geometric distributions. In the literature, with the exception of two particular cases (ratio of negative binomial with geometric, Kemp, 1979, and geometric with Poisson, Jayasree and Swamy, 2006), the general problem, for the conditions that allow the ratio of two p.g.f.’s to be the p.g.f. of a discrete non-negative random variable (r.v.), has not been considered. Here, are given the necessary and sufficient conditions for the ratios of the p.g.f. of a distribution from the Katz or the Sundt and Jewell family with the p.g.f. of a Geometric distribution. The ratio of an infinitely divisible r.v. with a Poisson r.v. is also studied and various such examples are presented in detail. Properties of these distributions are given and also parameters estimators are provided. In the sequel, a bivariate branching process is considered and the explicit form for the p.g.f. of the number of two type descendants in the n-th generation is derived. It is proved, that it can be written as the ratio of the p.g.f.’s of two bivariate geometric distributions. The sufficient conditions in the cases of the ratio of the bivariate negative binomial distribution with the bivariate geometric distribution and the bivariate negative binomial distribution with the bivariate Poisson distribution are examined. Recurrence relations and the explicit form of the probabilities and the factorial moments are given and the form of the p.g.f.’s for the marginals and the conditional distributions are studied.

Στην παρούσα διατριβή επεκτείνουμε και γενικεύουμε γνωστές κατανομές ροών. Για το σκοπό αυτό μελετούμε κατανομές απλών σχηματισμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εμφύτευσης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Με την ίδια μεθοδολογική προσέγγιση μελετούμε τόσο τις μεταβλητές διωνυμικού τύπου, όσο και τις αντίστοιχες χρόνου αναμονής. Στο Πρώτο Κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια ανασκόπηση της ερευνητικής δουλειάς των τελευταίων δεκαετιών σε κατανομές ροών. Στο Δεύτερο Κεφάλαιο μελετούμε κατανομές απλών σχηματισμών, οι οποίες αποτελούν επεκτάσεις και γενικεύσεις κατανομές ροών. Η μελέτη αυτή γίνεται στην περίπτωση που οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες. Η υπόθεση αυτή αντικαθίσταται στο Τρίτο Κεφάλαιο από τη γενικότερη υπόθεση δοκιμών που παρουσιάζουν Μαρκοβιανή εξάρτηση πρώτης τάξης και κάτω από αυτό το νέο πλαίσιο μελετούνται κατανομές χρόνου αναμονής. Στο Τέταρτο Κεφάλαιο παρουσιάζεται μια ανασκόπηση των συνεχόμενων συστημάτων στη Θεωρία Αξιοπιστίας. Στη συνέχεια εισάγονται και μελετούνται δύο νέα συστήματα, τα αποία οποία επεκτείνουν και γενικεύουν γνωστά συνεχόμενα συστήματα. Στο Πέμπτο Κεφάλαιο γενικεύεται ένα κλασικό πρόβλημα περιορισμένης χωρητικότητας, το οποίο αναφέρεται συχνά στη Θεωρία Ροών και μας απασχολεί συχνά στο Πρώτο Κεφάλαιο. Νέα αποτελέσματα της διατριβής αυτής δημοσιεύονται στις εργασίες των Dafnis et al. (2007), Dafnis and Philippou (2010), Dafnis et al. (2010a), Dafnis et al. (2010b) και Dafnis et al. (2010c). / In the present Ph.D. thesis we extend and generalize well-known runs' distributions. For this purpose, we study exact distributions of simple patterns using the Markov chain embedding technique. Both binomial-type and waiting-time random variables are treated. In Chapter 1, we review known results on distributions of runs presented over the last decades. In Chapter 2, we study distributions of simple patterns, which extend and generalize distributions of runs. The trials are considered to be independent. This assumption is replaced by the more general one of first order dependence. Under this new framework, waiting time distributions are studied in chapter 3. In Chapter 4, we first review the research on consecutive systems in Reliability Theory. Then, we introduce and study two new systems which are generalizations of consecutive systems extensively studied in literature. Finally, in Chapter 5, a well-known restricted occupancy problem, applicable to the Theory of Runs and often met in Chapter 1, is generalized. New results of the thesis are published in the papers of Dafnis et al. (2007), Dafnis and Philippou (2010), Dafnis et al. (2010a), Dafnis et al. (2010b) and Dafnis et al. (2010c).