Οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι έχουν την προέλευσή τους από τη θεωρία αριθμών και από την αλγεβρική γεωμετρία στον 19ο αιώνα. Σήμερα είναι ιδιαίτερα σημαντικοί και έχουν ενδιαφέρουσα επίδραση στην αλγεβρική γεωμετρία και στην θεωρία αριθμών, χρησιμοποιώντας μεθόδους αντιμεταθετικής άλγεβρας. Εδώ περιγράφουμε τις βασικές μεθόδους και κάνουμε τα πρώτα βήματα σε αυτό το θέμα. Στο εξής όλοι οι δακτύλιοι θα είναι αντιμεταθετικοί, εκτός αν θεωρήσουμε κάτι άλλο. Το κεντρικό θέμα της αξιωματικής ανάπτυξης της γραμμικής άλγεβρας είναι ένας διανυσματικός χώρος επί ενός σώματος. Η αξιωματοποίηση της γραμμικής άλγεβρας, η οποία επιτεύχθηκε το 1920, μορφοποιήθηκε σε μια μεγάλη έκταση, από την επιθυμία να εισάγουμε γεωμετρικές έννοιες στη μελέτη συγκεκριμένων κλάσεων των συναρτήσεων στην ανάλυση. Κατ’ αρχάς, ασχοληθήκαμε αποκλειστικά με τους διανυσματικούς χώρους των πραγματικών αριθμών ή των μιγαδικών αριθμών. Η έννοια ενός module είναι μια άμεση γενίκευση ενός διανυσματικού χώρου. Η γενίκευση αυτή επιτυγχάνεται απλά αντικαθιστώντας το σώμα των συντελεστών διά ενός δακτυλίου. Ο ευκολότερος τρόπος για να ορίσουμε ένα module μπορούμε να πούμε ότι είναι ένα αλγεβρικό σύστημα το οποίο ικανοποιεί τα ίδια αξιώματα όπως ένας διανυσματικός χώρος εκτός του ότι οι συντελεστές ανήκουν σ’ ένα δακτύλιο R με μονάδα αντί ενός σώματος F. Αυτή η φαινομενικά σεμνή γενίκευση οδηγεί σε μια αλγεβρική δομή η οποία είναι μεγίστης σημασίας. Ιστορικά ο πρώτος δακτύλιος που μελετήθηκε ήταν ο δακτύλιος ℤ των ακεραίων, ο όρος “δακτύλιος” πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Hilbert (1897) στο “Zahlbericht” του για έναν δακτύλιο αλγεβρικών ακεραίων. Στο ℤ κάθε δακτύλιος είναι κύριος. Στην πραγματικότητα τα ιδεώδη είχαν πρώτα εισαχθεί (από Kummer) ως “ιδεώδεις αριθμοί” στους δακτυλίους αλγεβρικών ακεραίων οι οποίοι εστερούντο μοναδικής παραγοντοντοποίησης (unique factorization). Στο ℤ μπορούμε από δύο αριθμούς a,b να ορίσουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) αυτών, (a,b), το γινόμενό τους ab και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) αυτών, [a,b]. Αυτές οι πράξεις αντιστοιχούν σε πράξεις ιδεωδών σε κάθε δακτύλιο. / Commutative ring has its origins in number theory its origins in number theory and algebraic geometry in the 19th century. Today it is of particular importance in algebraic geometry, and there has been an interesting interaction of algebraic geometry and number theory, using the methods of commutative algebra. Here we can do no more than describe the basic techniques and take the first steps in the first steps in the subject. Throughout this chapter all rings will be commutative, unless otherwise stated. The central concept of the axiomatic development of linear algebra is that of a vector space over a field. The axiomatization of linear algebra, which was effected in the 1920’s, was motivated to a large extend by the desire to introduce geometric notions in the study of certain classes of functions in analysis. At first one dealt exclusively with vector spaces over the reals or the complexes. It soon became apparent that this restriction was rather artificial , since a large body of the results depended only on the solution of linear equations and thus were valid for arbitrary fields. This led to the study of vactor spaces over arbitrary fields and this is what presently constitutes linear algebra. The concept of a module is an immediate generalization of that of a vector space. One obtains the generalization by simply replacing the underlying field by any ring.In the first place, one learns from experience that the internal logical structure of mathematics strongly urges the pursuit of such ‘natural’ generalizations. These often result in an improved insight into the theory which led to them in the first place. The easiest way to define a module is to say that it is an algebraic system that satisfies the same axioms as a vector space except that the scalars come from a ring R with a 1 instead of from a field F. This seemingly modest generalization leads to an algebraic structure that is of the greatest importance. We use here the term R-module, it being understood that the scalars are written on the left. Historically the first ring to studied was the ring Z of integers, the term ‘ring’ was first used by Hilbert (1897) in his ‘Zahlbericht’ for a ring of algebraic integers. In Z every ideal is principal, in fact ideals were first introduced (by Kummer) as ‘ideal numbers’ in rings of algebraic integers which lacked unique factorization. In Z we can from any two numbers a,b form their highest common factor (HCF, also greatest common divisor, GCD) (a,b), their product ab and their least common multiple (LCM) [a,b]. These operations correspond to operations on ideals in any ring. Valuation theory may be described as the study of divisibility (in commutative rings) in its purest form, but that is only one aspect. The general formulation leads to the introduction of topological concepts like completion, which provides a powerful tool. It also emphasizes the parallel with the absolute value on the real and complex numbers. After the initial definitions we shall prove the essential uniqueness of the absolute value on R and C, and go on to describe the p-adic numbers, before looking at simple cases of the extension problem.

- / -

Ο Δείκτης της Νότιας Κύμανσης (Southern Oscillation Index, SOI) περιγράφει την ατμοσφαιρική κυκλοφορία στον τροπικό Α. Ειρηνικό Ωκεανό σε σχέση με το παγκόσμιας κλιματικής σημασίας φαινόμενο ΕΝSO (El Niño-Southern Oscillation). Μετά τα τέλη της δεκαετίας του 1970, βρέθηκε ότι η ισχυρότερη αρνητική φάση του Δείκτη της Νότιας Κύμανσης των τελευταίων 150 ετών συμπίπτει με την ισχυρότερη θετική φάση του Δείκτη της Βορειοατλαντικής Κύμανσης (North Atlantic Oscillation Index, ΝΑΟΙ) των τελευταίων 180 ετών. Μάλιστα, η ανάλυση της συσχέτισης μεταξύ των Δεικτών της Νότιας και της Βορειοατλαντικής Κύμανσης την περίοδο 1950-2007 εμφάνισε, αλλά μόνο μετά το 1978, μια στατιστικά σημαντική σχέση ανάμεσα στις 20 ισχυρότερες αρνητικές φάσεις των τριμήνων Σεπτεμβρίου-Νοεμβρίου του Δείκτη της Νότιας Κύμανσης και των χειμερινών (Δεκεμβρίου-Φεβρουαρίου) φάσεων του Δείκτη της Βορειοατλαντικής Κύμανσης που χρονικά ακολούθησαν. Παρόμοια, οι 20 ισχυρότερες θετικές φάσεις των τριμήνων Οκτωβρίου-Δεκεμβρίου και Νοεμβρίου-Ιανουαρίου του Δείκτη της Νότιας Κύμανσης την περίοδο 1950-2007 παρουσίασαν, μετά τα τέλη της δεκαετίας του 1970, μια στατιστικά σημαντική συσχέτιση με τις χειμερινές (Δεκεμβρίου-Φεβρουαρίου) φάσεις του Δείκτη της Βορειοατλαντικής Κύμανσης που ακολούθησαν. Οι σχέσεις αυτές συνέπεσαν με μειωμένη χειμερινή βροχόπτωση στην Α. Μεσόγειο. Εάν οι σχέσεις μεταξύ των Δεικτών της Νότιας και της Βορειοατλαντικής Κύμανσης διατηρηθούν και στο μέλλον, επιτρέπουν, με βάση τη φθινοπωρινή φάση του Δείκτη της Νότιας Κύμανσης, τη δυνατότητα πρόγνωσης της χειμερινής βροχόπτωσης στις περιοχές που επηρεάζονται από τη Βορειοατλαντική Κύμανση (ΝΑΟ) (για περιοχές της Ελλάδας ακόμη και με πιθανότητα 90%). Αναλύθηκε η ετήσια κατά πάχος προσαύξηση του βλαστού σε δένδρα χαλεπίου (Pinus halepensis subsp. halepensis) και τραχείας (Pinus halepensis subsp. brutia) πεύκης από τη θερμο-μεσογειακή ζώνη βλάστησης των νήσων Ζακύνθου, Σκύρου, Σάμου και Κρήτης (Ιεράπετρα). Το πλάτος των αυξητικών δακτυλίων τους βρέθηκε πολύ ευαίσθητο στις μεταβολές της βροχόπτωσης και εμφάνισε στατιστικά σημαντική συσχέτιση με το μέσο όρο της μέσης ετήσιας βροχόπτωσης 37 μετεωρολογικών σταθμών της Α. Μεσογείου. Οι αυξητικοί δακτύλιοι κατέδειξαν, επίσης, ότι η ετήσια βροχόπτωση στην Α. Μεσόγειο μετά το 1970 εμφάνισε τη σημαντικότερη μείωση τουλάχιστον των τελευταίων 200 ετών. Η μείωση της αύξησης των δένδρων συμπίπτει χρονικά με την πρόσφατη αύξηση της θερμοκρασίας του πλανήτη. Συμφωνεί, δε, με την πρόβλεψη, μέσω των κλιματικών μοντέλων, της Διακυβερνητικής Επιτροπής για την Kλιματική Aλλαγή (Intergovernmental Panel on Climate Change, IPCC, 2007) ότι στη Μεσόγειο αναμένεται σημαντική μείωση των βροχοπτώσεων λόγω περαιτέρω αύξησης της θερμοκρασίας του πλανήτη, πράγμα που παρατηρήθηκε στο πρόσφατο παρελθόν. Τίθεται, επίσης, το ερώτημα εάν οι πρόσφατες διασυνδέσεις μεταξύ των Δεικτών της Νότιας και της Βορειοατλαντικής Κύμανσης (που σχετίζονται με την πρόσφατη μείωση της βροχόπτωσης στην Α. Μεσόγειο) συνδέονται και με την αύξηση της θερμοκρασίας του πλανήτη. Κατά τις υγρές περιόδους του 20ου αιώνα (620-760 mm μέση ετήσια βροχόπτωση) η ετήσια αύξηση των δένδρων στις περιοχές μελέτης καθορίστηκε σε μεγάλο βαθμό από βροχοπτώσεις που σημειώθηκαν εντός λίγων εβδομάδων ή μηνών πριν ή και κατά την έναρξη της αυξητικής περιόδου. Όμως, κατά την ξηρότερη περίοδο που καταγράφηκε (1990-96, 480 mm μέση ετήσια βροχόπτωση) η αύξηση εξαρτήθηκε από βροχόπτωση 3-4 ετών πριν, συμπεριλαμβανομένου του έτους σχηματισμού του δακτυλίου. Αυτό δείχνει ότι το νερό από βαθύτερα στρώματα του εδάφους, συσσωρευμένο από βροχοπτώσεις προηγούμενων ετών, κατέστη ιδιαιτέρως σημαντικό καθώς η ξηρασία εντάθηκε. Αυτή η διαδικασία πρέπει να σχετίζεται με το βαθύ ριζικό σύστημα των πεύκων. Όμως, μια σειρά ξηρών ετών μπορεί να εξαντλήσει τα υπόγεια «αποθέματα υγρασίας». Στην περίπτωση αυτή τα πεύκα μπορεί να φτάσουν πολύ κοντά στα όρια της επιβίωσης τους, ακόμη και να ξεραθούν. Τέτοια περιστατικά καταγράφηκαν στη νήσο Σάμο και στην Αχαΐα (Πελοπόννησο), όπου ακόμη και 80-χρονα πεύκα ξεράθηκαν στο τέλος των καλοκαιριών του 2000 και 2007. Με βάση το σενάριο Α1B-SRES (IPCC 2007), η μέση ετήσια βροχόπτωση στην περιοχή μελέτης προβλέπεται να μειωθεί την περίοδο 2090-2099 ακόμη και κατά 30% σε σχέση με τα επίπεδα του 1980-1999, φτάνοντας τα 390 mm. Τα επίπεδα αυτά βροχόπτωσης είναι πολύ χαμηλότερα από την οριακή τιμή των 480 mm που προσδιορίστηκε ως κρίσιμη για τους μελετηθέντες πληθυσμούς πεύκων (Pinus) στο να επιβιώσουν υπό ξηρασία στηριζόμενοι σε βαθύτερα αποθέματα υγρασίας. Συνεπώς, εάν τέτοιες συνθήκες επικρατήσουν κατά τον 21ο αιώνα, θα αυξηθεί σημαντικά ο κίνδυνος καταστροφής των δασών της θερμο-μεσογειακής ζώνης βλάστησης. Επίσης, με τη συνδυασμένη επίδραση αυξημένων θερινών θερμοκρασιών και πυρκαγιών θα μεγαλώσει και ο κίνδυνος ερημοποίησης. / The Southern Oscillation Index (SOI) describes atmospheric circulation in the eastern tropical pacific related to ENSO (El Niño-Southern Oscillation), a phenomenon of global climatic significance. After the late 1970s, SOI’s strongest negative phase in 150 year was found to coincide with the strongest positive phase of the North Atlantic Oscillation Index (NAOI) in 180 years. Correlation analysis between SOI and NAOI during 1950-2007 revealed a statistically significant connection between the 20 strongest negative phases of the Sept.-Nov. SOI and the following winter’s (Dec.-Feb.) NAOI phases only after 1978. Similarly, the 20 strongest positive phases of the Oct.-Dec. and Nov.-Jan. SOI of 1950-2007 produced a statistically significant correlation with the following winter’s (Dec.-Feb.) NAOI phases after the late 1970s. Such relationships coincided with reduced winter precipitation in the eastern Mediterranean. If these SOI-NAOI connections hold, the possibility exists to forecast winter precipitation conditions in regions effected by NAO from the previous autumn’s SOI state (with even a 90% accuracy for regions of Greece). Annual radial stem increment was analysed in Pinus halepensis subsp. halepensis and Pinus halepensis subsp. brutia trees for Thermo-Mediterranean vegetation zones of the Greek islands of Zakinthos, Skiros, Samos and Crete (Ierapetra). Tree-ring width was found to be very sensitive to precipitation and produced a statistically significant correlation with annual rainfall from mean of 37 meteorological stations of the eastern Mediterranean. Tree-rings also indicated that annual rainfall reached its lowest values in nearly 200 years after the 1970s. This reduction in growth coincides with recent global warming. Thus, it is in line with IPCC (2007) climate model projections’ that the Mediterranean will experience a significant decline in precipitation as global warming progresses, as was the case in the recent past. It also raises the question whether recent SOI-NAOI links (involved in the recent decline in precipitation in the eastern Mediterranean) are also connected to global warming. During moist periods of the 20th century (ca. 620-720 mm average annual precipitation) annual tree growth in the regions under investigation was largely controlled by rainfall during a few weeks or months before or during the beginning of the growing season. In contrast, during the driest period on record (1990-1996; 480 mm average annual precipitation) growth depended on rainfall of 3-4 years before, including the year of tree ring formation. This suggests that water from deeper ground, accumulated during rainfall of previous years and became increasingly important as drought intensified. Deep rooting must be involved in such a process. However, a series of dry years may exhaust deeper ground “moisture reserves”. In this case pines may be pushed very close to their survival limits and can even be desiccated. Such incidents were recorded in Samos and Achaia (Peloponnesus) of Greece where pines died in late summer 2000 and 2007, including some 80-year-old trees. Mean annual precipitation for the studied area in 2090-2099 is projected to decrease by even 30% compared to 1980-99 levels, based on Α1B-SRES (IPCC 2007), reaching 390 mm. These levels of rainfall are far bellow the threshold of 480 mm determined as critical for the investigated populations of Pinus to survive drought by relying on deeper moisture reserves. Thus, if such conditions persist during the 21st century they will contribute to the risk of devastation for Thermo-Mediterranean zone forests. Combined with higher summer temperatures and fire outbreaks the risk of desertification will also increase.