在這篇論文中，我們利用值分布的理論探討有理函數、純函數與半純函數共值的問題及唯一性。同時，我們詳細證明某些已知的結果，並且得到一些性質。 / In this thesis, we study the the unicity of rational, entire and meromorphic functions which share common values. Also, we provide more detail proofs of some known results in the literature and obtain some further properties in these aspects.

在這篇論文裡，我們利用值分佈的理論來探討半純函數的值分佈，以及半純函數與其導數的共值問題。

本研究以94.2.5發布的職業學校群科課程(一般科目數學領域)數學暫行綱要之教材為背景，主要目的在探討高職學生處理「線型函數相關特徵概念」問題時的錯誤類型及造成學生犯錯的原因。 本研究採用紙筆測驗與面談相互配合的方式進行，藉由自編之「線型函數相關特徵概念的運算及應用之測驗」調查學生的錯誤情形，再經由面談的過程進一步了解學生解題時的想法與錯誤之原因。本研究之研究樣本為台北市某私立高職之高一學生，有效樣本共230人。 研究結果發現，學生在斜率相關題型之解題表現主要是受到「斜角的概念」、「直線的傾斜度與傾斜方向」影響；在截距相關題型之解題表現主要是受到的「截距的概念」、「線型函數代數式 中係數 、 與直線斜率、截距間的關係混淆」影響；在解線型函數代數式運算的題目時，主要的錯誤導因於「平移概念混淆」、「混淆線型函數代數式與方程式的關係」以及演算過程的錯誤。 至於學生發生錯誤的主要原因有誤用資料、誤釋語文、不合邏輯的推論、扭曲的定理或定義、未驗證之解答、技術上的錯誤。最後根據本研究結果加以討論，並提出若干建議，希望能提供數學教師教學之參考。

在這篇論文裡，我們探討半純函數指定兩個值之相關問題。特別地，我們探討純函數指定0-1集，同時，我們論證了有關離散型複數數列之一些有趣的結果，利用它們得到關於指定0-1集純函數存在性的必要條件。 / In this thesis, we study meromorphic functions with two prescribed values. Especially, entire functions with prescribed zero-one sets. Also, we develop the growth criterion for discrete complex sequences and obtain some interesting results. Using the order of discrete sequences, we obtain a necessary condition for the existence of entire functions with prescribed zero-one set.

在這篇論文裡，我們利用值分佈理論來探討兩個半純函數何時會相等，進而了解兩個半純函數滿足某一函數方程時，其關係為何。最後，我們探討兩個半純函數共四個少函數且擁有少量的極點之相關性質。 / In this thesis, we use the theory of value distribution to study the uniqueness problems of two meromorphic functions and the relation of two meromorphic functions satisfying some functional equations. Also we prove some uniqueness results on two meromorphic functions with few poles sharing four small functions.

本文的主旨是利用對射函數的方法,證明圓周上2n個點成功配對問題的解是Catalan數.所以必須找一個也是Catalan數的事物來和本問題對應,這裡找的是n個節點的二元數.我們先造一個由成功配對應射到二元數的函數,再證明此函數是一對一且映成,既為對射函數,則我們就可以知道成功配對的解是Catalan數.然後再將問題推廣到3n個點,甚至到kn個點的情形,以得到一般的問題解.

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在現代資產定價的研究中，短期利率扮演一個很重要的角色。短期利率模型中最重要的一類是連續時間的擴散模型(continuous-time diffusion model)。這些模型有一個特性：假設已知利率的動態過程，亦即對利率模型的漂移項及擴散項作特定函數型態假設，而並無完整的經濟理論說明為何如此設定。我們知道不同的利率模型設定會推導出不同的商品評價公式，因此任意函數型態的模型一旦設定偏誤太大，勢必對評價公式的準確性造成很大的影響。有鑑於此，近幾年來利用無母數統計方法來估計利率模型的文獻與日具增。因為利用無母數統計方法可以減少對利率模型的任意設定。 基於對短期利率模型任意參數設定的懷疑，以及欲探究台灣短期利率的動態過程究竟為何種型態，因此本文以Stanton(1997)的無母數統計法利率模型，以台灣貨幣市場30天期的商業本票利率資料作實證分析。而為了更清楚了解無母數法利率模型的表現，本文亦採用CKLS (1992)所發展的估計方法，以一般化動差法(Generalized method of moment, GMM)估計九個有參數利率模型，將所得到結果與無母數法的利率模型比較。最後，我們利用估計出的無母數利率模型來建構利率期間結構，並與實際資料作比較。 本文實證結果發現，台灣短期利率的動態過程不管是漂移項或擴散項函數皆呈現非線性型態，且漂移項函數呈現負斜率的均數回歸(mean reverting)現象，而擴散項函數大致是隨利率水準愈大而其數值亦愈大。因此若以非線性、具有均數回歸且擴散項是遞增的函數式來設定利率模型的參數，應該較能刻劃台灣短期利率動態過程。另外，從有參數模型的實證結果發現，漂移項或擴散項函數，只要其中一項設定有誤，不僅會使該項的預測能力變差，亦連帶會影響另一項的預測能力，進而也會影響模型的整體表現。這意味著以無母數方法來估計利率模型有其必要性。最後，我們利用無母數法利率模型所估計的利率期間結構與實際的資料比較，發現估計結果還算不錯。

在這篇論文裡，我們主要有兩部分。首先，我們給了一類新的素有理函數，接下來，我們整理了一個有理函數分解的反例，並討論了Weierstrass p-函數的素性。 / In this thesis, our primary objective here is two parts. First, we give a new class of prime rational functions. Next, we study an example in the factorization of the rational functions and the primeness of the Weierstrass p-function.