動態規劃是一種專門用來解決最適化的數學方法，其觀念源自於Bellman (1962)，他提出了動態規劃的最佳原則，然而動態規劃問題不見得有封閉解(closed form solution)，即使其存在，求解過程往往也相當困難且複雜。Vigna & Haberman (2001)用動態規劃方式找出最佳的投資策略並分析確定提撥制(defined contribution)下的財務風險；本研究擬以Vigna & Haberman (2001)的模型為基礎，提出解決動態規劃問題的數值方法。 Vigna & Haberman (2001)推導出確定提撥退休金制度下離散時間的最適投資策略封閉解，透過該模型，我們可以比較本研究所建議的方法與真正封閉解的差異，證實本研究所建議的方法的確可以提供動態規劃問題一個接近且有效率的數值解法。接著根據Yvonne C.(2002、2003)的抽樣方法，希望在進行模擬時，能找出模擬情境的特性並對這些情境進行抽樣，藉此減少情境數以增加電腦運算的效率。最後應用在Vigna & Haberman (2001)的修正模型以及Haberman & Vigna (2002)的模型上，說明了本研究所建議的數值方法也適用在各類型的動態規劃上，包含理論封閉解不存在以及求解非常複雜的問題。

在本篇論文中，我們主要是探討有邊界值的二次微分一積分方程式的解的存在性及唯 一性的問題。在LAKSHRNIKANTHAN 和KHAVANIN的“二次微分一積分方程式及單調法“ （THE METHOD OF MIXED MONOTONY AND SECOND ORDER INTEGRO-DIFFERENTIAL SYSTE M, ANAL.２８（１９８８），１９９－２０６）中，他們利用到混合單調法的技巧： 將不具有任何單調性質的函數擴充到一混合單調函數（亦即此函數對某些變數是單調 非遞減，而對另外某些變數是單調非遞增），然後利用其上解及下解（UPPER, LOWER SOLUTION）來生成兩個單調數列，而此二單調數列具有同時均勻的收斂到原方程式的 解的性質，而完成其存在性，其唯一性則是利用最大原則法（MAXIMUM PRINCIPLE ） ，而完成了他們對二次微分一積分方程式的解的探討。 在上述中，我們認為作者給予擴充函數的性質太強了，故我們對條件放寬，允許它不 是混合單調函數，而另外給了較弱的限制條件，此時我們與證明方法有了改變，我們 用到了SCHAUDER的定點定理（FIXED POINT THEOREM ）：若Ｔ是一區間映到相同區間 的緊緻運算子（COMPACT OPERATOR），則存在一點Ｘ使得Ｔ（Ｘ）＝Ｘ。於是解便可 得到，其唯一性亦是利用最大原則法得到。 最後，我們必須確定我們所使用的擴充函數確實存在，所以我們給了一個關於擴充函 數存在的充分條件來保證它的確存在，而不只是一種理想函數而已。到此，再加上一 些數值結果，我們就完成了整篇的論文。

本論文是以探討積分微分方程數值解的問題為主。此文中吾人皆先對問題本身做分析 ，討論其存在解，然後再用有限元素法，對連續性的問題做分解，使其變為一非線性 的方程組。而後藉由同倫（HOMOTOPY）法來解此非線性方程組。最後吾人可得到當區 間分割得愈小，真實解與數值解的誤差會愈小。也就是吾人所用之方法，為一個收斂 的方法。 本文共分兩部分，第一部分中，吾人討論一維的微分積分方程在有限區間的問題。於 此部分中，我們分了６個章節。第一節中，給了關於此問題的簡單介紹，並給序一些 必需的假設。第二節中，吾人可得到在第一節的假設下，假如原問題有真實解的話， 那麼此真實解絕對值的極大值（SUPREMUM）必不大於某個大於零的常數。第三節中， 吾人討論原方程的存在解，而證此存在解是經由LERAY-SCHAUDER DEGREE 定理得來的 。且在更強的條件下，會有存在唯一解。更而證明假如原來問題中函數不滿足所給予 的假設，那麼可經由修正（MODIFIED）原來的問題，也可得到原問題存在有解。第四 節中，對原來的方程，經由變分法（VARIATIONAL ）的方法，把它變成一非線性的方 程組，而在某些條件下，吾人亦可得到此方程組有解。第五節中，吾人討論此非線性 方程組的數值解。並可得知，當區間分割的愈小，此數值解會更趨近實實的解。第六 節中，吾人給予平滑的多項式子空間來逼近真實解，結果可得到假如每個區間以（ｋ ＋１）個點的LAGRANGE多項式來做內插（INTERPOLATION ），可知其收斂速度為O(Hk (big O),h 是分割區間的最大距離。 第二部分中，吾人所討論的是二維以上的積分微分方程在有界區域的問題，於此部分 中討論的與第一部分中類似，探討其存在，數值解等等問題。 最後吾人並給予一些例子，來加以印證我們所得到的結果。

動態規劃的問題並不一定都存在封閉解(closed form solution)，即使存在，其過程往往也相當繁雜。本研究擬以 Gerrard & Haberman (2004) 的模型為基礎，並使用逼近動態規劃理論解的數值方法來求解，此方法參考自黃迪揚(2009)，其研究探討在有無封閉解的動態規劃下，使用此數值方法求解可以得到 逼近解。本篇嘗試延伸其方法，針對不同類型的限制，做更多不同的變化。Gerrard & Haberman (2004)推導出退休後投資於風險性資產與無風險性資產之最適投資策略封閉解， 本研究欲將模型投資之兩資產衍生至三資產，分別投資在高風險資產、中風險資產與無風險資產，實際市場狀況下禁止買空賣空的情況與風險趨避程度限制資產投資比例所造成的影響。並探討兩資產與三資產下的投資結果，並加入不同的目標函數:使用控制變異數的限制式來降低破產機率、控制帳戶差異部位讓投資更具效率性。雖然加入這些限制式會導致目標函 數過於複雜，但是用此數值方法還是可以得出逼近解。 / Dynamic Programming’s solution is not always a closed form. If it do exist, the solution of progress may be too complicated. Our research is based on the investing model in Gerrard & Haberman (2004), using the numerical solution by Huang (2009) to solve the dynamic programming problem. In his research, he found out that whether dynamic programming problem has the closed form, using the numerical solution to solve the problems, which could get similar result. So in our research, we try to use this solution to solve more complicate problems. Gerrard & Haberman (2004) derived the closed form solution of optimal investing strategy in post retirement investment plan, investing in risky asset and riskless asset. In this research we try to invest in three assets, investing in high risk asset, middle risk asset and riskless asset. Forbidden short buying and short selling, how risk attitude affect investment behavior in risky asset and riskless asset. We also observe the numerical result of 2 asset and 3 asset, using different objective functions : using variance control to avoid ruin risk, consideration the distance between objective account and actual account to improve investment effective. Although using these restricts may increase the complication of objective functions, but we can use this numerical solution to get the approximating solution.