A l’articulation de la théorie des nombres et de la didactique des mathématiques, notre recherche vise à étudier la question de la transposition du travail du mathématicien, via l’analyse de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants sur la recherche d’un même problème non résolu : la conjecture d’Erdös-Straus. Les analyses mathématiques et épistémologiques nous ont permis d’identifier différents aspects du travail du mathématicien et les éléments moteurs dans l’avancée de ses recherches. Cela nous a conduit à développer la notion de « geste » de la recherche pour décrire, analyser et mettre en perspective les processus de recherche des trois publics. Ces analyses ont mis en évidence les potentialités du problème pour créer une situation de recherche de problèmes en classe, plaçant les élèves dans une position proche de celle du mathématicien. Les analyses didactiques se sont appuyées sur la construction d’une telle situation puis sur sa mise à l’épreuve dans un contexte de laboratoire avec des élèves de terminale scientifique. Nous avons analysé finement les processus de recherche des élèves à l’aide des outils méthodologiques développés dans les analyses mathématiques et épistémologiques. Les analyses ont mis en évidence la richesse des procédures mises en oeuvre, un travail effectif dela dialectique entre les connaissances mathématiques et les heuristiques mobilisées, et selonles groupes, une mise en oeuvre de démarches de type expérimental, l’approfondissement de connaissances mathématiques notionnelles et une acquisition d’heuristiques expertes de recherche de problème non résolu. Elles montrent également la pertinence de la notion de «geste » de la recherche pour étudier la question de la transposition du travail des chercheurs. / Our thesis deals with the transposition of mathematician’s reserach activity in mathematical classroom, in the domain of number theory. Our research focuses on the study of a research process for researchers, pupils and students involved in the research of an unsolved problem: the Erdös-Straus conjecture. Our mathematical and epistemological analyses allow us to identify different aspects of the mathematician’s work and the elements for progress in his research. The notion of “gesture” is developed to describe, analyze and contextualize different research processes. This analysis reveals the potentiality of this problem to create a research situation in classroom, where pupils are in a position similar to the mathematician’s one. Didactical analyses are based on the construction of such a situation and its experimentation in laboratory. We study the research process of the students with the methodological tools developed in mathematical and epistemological analyses. This analysis shows several potentiality of this situation: a wealth of procedures implemented, effective work on the dialectical aspects of the mathematical research activity and implementation of experimental approach. The notion of “gesture” is relevant to consider the question of the transposition of mathematician’s work.

The purpose of this study was to explore solution strategies that can enhance the achievement of low-performing Grade 12 learners in the following mathematical aspects: finding the general term of a quadratic sequence, factorising third degree polynomials, determining the centre and radius of a circle, and calculating the angle between two lines. A convenience sample of twenty-five low-performing Grade 12 learners from a secondary school in Capricorn District of Limpopo Province participated in the study which adopted a repeated-measures research design. Learners were exposed to multiple solution strategies and data were collected using achievement tests. Findings indicated significant differences in learners‟ average scores due to the solution strategies used. In determining the general term of a quadratic sequence, learners‟ scores were significantly higher when they used formula and the table method than with the method of residues and solving simultaneous equations. Synthetic division made learners to achieve better scores than long division and equating coefficients in factorising third degree polynomials. The use of formulae to find the centre and radius of a circle made learners to have better achievement scores than completing the square. In calculating the angle between two lines learners‟ scores were better using formula and the cosine rule than using theorems. It was concluded that exposing low-performing Grade 12 learners to multiple solution strategies would enhance their achievement in the mathematical aspects explored in the study. Some of the solution strategies that made learners to achieve better results were not in the prescribed mathematics textbooks. The study therefore recommends that mathematics teaching should not be textbook-driven and that low-performing Grade 12 learners should not be regarded as beyond redemption. / Mathematics Education / M.Sc. (Mathematics, Science and Technology Education)

The purpose of this study was to explore solution strategies that can enhance the achievement of low-performing Grade 12 learners in the following mathematical aspects: finding the general term of a quadratic sequence, factorising third degree polynomials, determining the centre and radius of a circle, and calculating the angle between two lines. A convenience sample of twenty-five low-performing Grade 12 learners from a secondary school in Capricorn District of Limpopo Province participated in the study which adopted a repeated-measures research design. Learners were exposed to multiple solution strategies and data were collected using achievement tests. Findings indicated significant differences in learners‟ average scores due to the solution strategies used. In determining the general term of a quadratic sequence, learners‟ scores were significantly higher when they used formula and the table method than with the method of residues and solving simultaneous equations. Synthetic division made learners to achieve better scores than long division and equating coefficients in factorising third degree polynomials. The use of formulae to find the centre and radius of a circle made learners to have better achievement scores than completing the square. In calculating the angle between two lines learners‟ scores were better using formula and the cosine rule than using theorems. It was concluded that exposing low-performing Grade 12 learners to multiple solution strategies would enhance their achievement in the mathematical aspects explored in the study. Some of the solution strategies that made learners to achieve better results were not in the prescribed mathematics textbooks. The study therefore recommends that mathematics teaching should not be textbook-driven and that low-performing Grade 12 learners should not be regarded as beyond redemption. / Mathematics Education / M.Sc. (Mathematics, Science and Technology Education)

Η παρούσα διδακτορική διατριβή επικεντρώνεται σε δύο ερευνητικά προβλήματα που αποτελούν τα αντικείμενα δύο ερευνητικών φάσεων. Στην Α΄ ερευνητική φάση, διάρκειας ενός έτους, ασχολείται με τη διερεύνηση μαθηματικών πρακτικών σε τρεις ομάδες τεχνικών του Οργανισμού Τηλεπικοινωνιών Ελλάδας αναζητώντας παράλληλα την ύπαρξη αμετάβλητων στοιχείων της μαθηματικής επιστήμης τα οποία διαπερνούν την ακαδημαϊκή και την παρούσα εργασιακή κοινότητα. Στη Β΄ ερευνητική φάση, διάρκειας οκτώ μηνών, εξετάζει κάτω και υπό ποιες προϋποθέσεις πέντε σπουδαστές ενός Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος που πραγματοποιούν την πρακτική τους άσκηση στον ίδιο Οργανισμό είναι σε θέση να αναγνωρίσουν τα αμετάβλητα αυτά στοιχεία. Στην Α΄ ερευνητική φάση η Θεωρία Δραστηριότητας των Vygotsky, Leont’ ev και των συνεχιστών του έργου τους, Engeström & Cole, αποτελεί τη θεωρητική βάση της εργασίας. Τα ερευνητικά δεδομένα προκύπτουν από εθνογραφικής φύσης παρατηρήσεις αλλά και συζητήσεις με τους συμμετέχοντες. Η μαθηματική δραστηριότητα που αναγνωρίσαμε στο χώρο εργασίας ήταν πολύπλοκη και πλούσια αλλά πλήρως ενταγμένη στο πλαίσιο αναφοράς της. Ειδικότερα, αναγνωρίσαμε και ταξινομήσαμε τα μαθηματικά εργαλεία τα οποία διαμεσολαβούσαν στις κεντρικές καθημερινές εργασιακές δραστηριότητες των τεχνικών και αναδείξαμε τους τρόπους με τους οποίους αυτά εμπλέκονταν με τα τεχνικής φύσης εργαλεία τους. Ταυτόχρονα αναγνωρίσαμε αμετάβλητα μαθηματικά στοιχεία στις μαθηματικές έννοιες, στο τρόπο κατανόησής τους από τους τεχνικούς και σε μαθηματικές διαδικασίες που οι ίδιοι χρησιμοποιούσαν για την επίτευξη των εργασιακών τους στόχων. Στην Β΄ ερευνητική φάση τα ερευνητικά δεδομένα προέρχονται από διερευνητικής και παρεμβατικής φύσης συνεντεύξεις με τους σπουδαστές και εθνογραφικές παρατηρήσεις. Μέσα από τις διερευνητικής φύσης συνεντεύξεις καταγράψαμε τις στάσεις των σπουδαστών ως μέλη της σπουδαστικής και της συγκεκριμένης εργασιακής κοινότητας και αναζητήσαμε μαθηματικές πρακτικές που ανέπτυξαν ως μαθητευόμενοι στην παρούσα εργασιακή τους κοινότητα. Οι μαθηματικές πρακτικές που ανέπτυξαν οι σπουδαστές, έστω και ασυνείδητα, είχαν άμεση εξάρτηση από τα εργαλεία και τους εργασιακούς στόχους της κάθε κοινότητας και αφορούσαν την ικανότητα οπτικοποίησης και την ανάγνωση και ερμηνεία σύνθετων οπτικών αναπαραστάσεων. Τέλος, μέσα από μια σειρά παρεμβατικής φύσης συνεντεύξεων αναλύσαμε με εργαλεία σημειωτικής τη δραστηριότητα που ανέπτυξαν οι ίδιοι σπουδαστές στην προσπάθεια ερμηνείας αυθεντικών αναπαραστάσεων με σκοπό τη σύνδεση κοινών μαθηματικών εννοιών που συναντώνται στην ακαδημαϊκή και στην παρούσα εργασιακή κοινότητα. Οι έννοιες αυτές αφορούσαν το θεσιακό σύστημα αρίθμησης και τη συναρτησιακή σχέση αντίστασης, μήκους, διαμέτρου χάλκινων καλωδίων. Καταλήγουμε, καταγράφοντας τα χαρακτηριστικά που προάγουν και αναστέλλουν, τη μεταφορά της γνώσης στο νέο κοινωνικό-πολιτισμικό πλαίσιο. Στο τέλος της διατριβής καταγράφονται και αναλύονται οι εκπαιδευτικές προεκτάσεις της έρευνας. / This dissertation thesis focuses on two different research problems carried out in two research phases. In the first research phase, lasting one year, it focuses on the exploration –identification of mathematical practices of three different groups of technicians of the Greek Telecommunication Organization. In parallel, it investigates the existence of invaried mathematical elements that are crossing the academic and the current workplace community. In the second research face, lasting eight months, it investigates how and whether five students of a Technological Educational Institute who were doing their practicum in this setting could recognize these invariant mathematical elements. In the first research phase, the theoretical framework is guided by Vygotsky and Leont’ev work on Activity theory and their followers, Engeström & Cole. Our data are coming from ethnographic observations and discussions with the participants. The mathematical activity we identified was complex and rich but completely contextual. Especially, we recognized and categorized the mediated mathematical tools in technicians’ central workplace activities and we were showing off how these are interrelated with their physical mediated tools. At the same time we recognized invariant mathematical elements in the category of mathematical concepts, the meanings the technicians attributed to these concepts and in the category of mathematical processes they were using in order to achieve their workplace goals. In the second research phase, our data are coming from eexploratory and intervention interviews with the students and ethnographic observations. In the exploratory interviews we recorded their experiences and their attitudes as members of the academic and the workplace community and we identified mathematical practices they developed as apprentice members of this community. Τhe main mathematical practices the students developed, mainly unconsciously, were attached to the tools and the goals of the workplace community and referring to visualization and reading and interpreting complex visual representations. Finally, through the intervention interviews, we analyzed with the help of semiotic tools the activity the same students developed in order to interpret mathematical objects that are common to the academic and workplace community. The mathematical objects were referring to the place value concept and the functional relation between the resistance, the length and the diameter of the copper wires. In the conclusion, we recorded the characteristics that support and block students’ transfer of knowledge in their new socio-cultural context. In the end of the thesis we discuss and analyze the educational implications of our findings.

Σκοπός της παρούσης έρευνας είναι η μελέτη της συνεισφοράς που μπορεί να έχει η διδασκαλία μέσω επίλυσης προβλήματος στην κατανόηση των ανισώσεων και στην ανάπτυξη της ικανότητας μοντελοποίησης από μαθητές της Β΄ Γυμνασίου. Σχεδιάστηκε ένα οιονεί πείραμα που αφορούσε τη διαφοροποιημένη διδασκαλία του κεφαλαίου των ανισώσεων σε δύο τμήματα 17 μαθητών (πειραματική ομάδα και ομάδα ελέγχου). Αξιολογήθηκαν η κατάκτηση του γνωστικού αντικειμένου και η ικανότητα μοντελοποίησης-επίλυσης μιας κατάστασης-προβλήματος μέσω γραπτής δοκιμασίας, ενώ διενεργήθηκαν και συνεντεύξεις. Παράλληλα σκοπός μας ήταν η διερεύνηση της ικανότητας μοντελοποίησης-επίλυσης μιας κατάστασης-προβλήματος ενός ευρύτερου δείγματος μαθητών Β΄ Γυμνασίου, σχολείων αγροτικής, ημιαστικής και αστικής περιοχής. Πραγματοποιήθηκε επισκόπηση σε ένα δείγμα 39, 48 και 53 μαθητών αντίστοιχα, οι οποίοι κλήθηκαν να αντιμετωπίσουν γραπτώς μια κατάσταση-πρόβλημα, ενώ επίσης διενεργήθηκαν συνεντεύξεις. Από την ποσοτική και ποιοτική ανάλυση των αποτελεσμάτων προκύπτει ότι οι μαθητές μεσαίας επίδοσης είναι αυτοί που κυρίως επωφελήθηκαν από την διδασκαλία μέσω επίλυσης προβλήματος. Επιβεβαιώθηκε η διάκριση τεσσάρων επιπέδων ανάπτυξης στην ικανότητα δόμησης και χρήσης μαθηματικών μοντέλων από μέρους των μαθητών, ενώ κατέστησαν εμφανείς οι μεγάλες δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι τελευταίοι στην ανωτέρω διαδικασία. / The purpose of this research is to study the contribution of teaching through problem solving, in understanding inequalities and in the development of modeling capacity by students of the 2nd high school. A quasi-experiment was designed on differentiated instruction of inequalities in two classes of 17 students (experimental and control group). The achievement of the knowledge object and the ability to resolve a problem situation through mathematical modeling, were assessed by means of a written test and interviews. At the same time, our aim was to investigate the modeling capacity of a larger sample of 2nd high school students, of rural, suburban and urban schools. A survey was carried out in a sample of 39, 48 and 53 students respectively, who were invited to address a problem situation in writing, while interviews were also conducted. The quantitative and qualitative analysis of the results shows that medium performance students were the ones who largely benefited from the “teaching through problem solving” approach. The identification of four levels in the development of constructing and using mathematical models was confirmed, while became apparent major problems faced by the students in the above process.