Este trabajo resume, de forma parcial, la investigaci¶on realizada durantemi periodo predoctoral. Esta investigaci¶on pertenece, de forma general,a la teor¶³a de ¶algebras de Banach conmutativas y ¶algebras uniformes y,en particular, se desarrolla principalmente en el ¶ambito de las ¶algebras defunciones anal¶³ticas acotadas en dominios de espacios de Banach ¯nito ein¯nito dimensionales.Las l¶³neas centrales de este trabajo son las siguientes:² Sucesiones de Interpolaci¶on para ¶Algebras Uniformes² Operadores de Composici¶on² Propiedades Topol¶ogicas de ¶Algebras de Funciones Anal¶³ticasLa investigaci¶on realizada sobre sucesiones de interpolaci¶on para ¶algebrasuniformes se puede dividir en dos partes: una gen¶erica en la que se propor-cionan algunos resultados de car¶acter general sobre sucesiones de interpo-laci¶on para ¶algebras uniformes, y una parte m¶as espec¶³¯ca, en que se tratansucesiones de interpolaci¶on para algunas ¶algebras de funciones anal¶³ticasacotadas. Estos puntos se tratan en los Cap¶³tulos 2 y 3. El estudio de oper-adores de composici¶on, principalmente sobre H1(BE), centra el contenidodel Cap¶³tulo 4. En este cap¶³tulo estudiaremos una descripci¶on del espectrode estos operadores y los llamados operadores de composici¶on de Radon-Nikod¶ym. Para ello, se har¶a uso de algunos resultados de interpolaci¶on delcap¶³tulo anterior. Con respecto a la tercera l¶³nea que hemos citado, estu-diaremos los llamados operadores de tipo Hankel en el cap¶³tulo 5. ¶Estosnos permitir¶an tratar el concepto de ¶algebra tight y las ¶algebras de Bour-gain de un subespacio de C(K), que est¶an estrechamente relacionadas conla propiedad de Dunford-Pettis. / The lines studied in this thesis are the following:² Interpolating Sequences for Uniform Algebras² Composition Operators² Topological Properties in Algebras of Analytic FunctionsAfter the preliminaries, the second chapter is devoted to the study ofinterpolating sequences on uniform algebras A. We ¯rst deal with the con-nection between interpolating sequences and linear interpolating sequences.Next, we deal with dual uniform algebras A = X¤. In this context, weprove ¯rst that c0¡linear interpolating sequences are linear interpolatingand then, we show that c0¡interpolating sequences are, indeed, c0¡linearinterpolating, obtaining that c0¡interpolating sequences (xn) ½ MA Xbecome linear interpolating. Finally, we provide a di®erent approach toprove that c0¡interpolating sequences are not c0¡linear interpolating viacomposition operators.We continue with the study of interpolating sequences for the algebrasof analytic functions H1(BE) and A1(BE) in the third chapter. The studyof interpolating sequences for H1 arises from the results of L. Carleson, W.K. Hayman and D. J. Newman. When we deal with general Banach spaces,we prove that the Hayman-Newman condition for the sequence of norms issu±cient for a sequence (xn) ½ BE¤¤ to be interpolating for H1(BE) if Eis any ¯nite or in¯nite dimensional Banach space. This is a consequence ofa stronger result :The Carleson condition for the sequence (kxnk) ½ D is su±cient for(xn) to be interpolating for H1(BE).Actually, the result holds for sequences in BE¤¤ thanks to the Davie-Gamelin extension.When we deal with A = A1(BE), the existence of interpolating se-quences for A was proved by J. Globevnik for a wide class of in¯nite-dimensional Banach spaces. We complete this study by proving the ex-istence of interpolating sequences for A1(BE) for any in¯nite-dimensionalBanach space E, characterizing the separability of A1(BE) in terms of the¯nite dimension of E.Finally, we study the metrizability of bounded subsets of MA when wedeal with A = Au(BE).In chapter 4 we deal with composition operators on H1(BE). First westudy the spectra of these operators. L. Zheng described the spectrumof some composition operators on H1. Her results where extended toH1(BE), E any complex Banach space, by P. Galindo, T. Gamelin andM. LindstrÄom for the power compact case. In this work, the authors alsodeal with the non power compact case for Hilbert spaces. Inspired by themand using some interpolating results, we provide a general theorem whichdescribes the spectrum of H1(BE) for general Banach spaces. In partic-ular, we prove that conditions on this theorem are satis¯ed by the n¡foldproduct space Cn, completing the description of ¾(CÁ) in this case, whichwas an open question.Next, we study the class of Radon-Nikod¶ym composition operators fromH1(BE) to H1(BF ). We characterize these operators in terms of the As-plund property.Chapter 5 deals with properties related to Hankel-type operators. Theconcept of tight algebra is related to these operators and was introducedby B. Cole and T. Gamelin. They proved that A(Dn) is not tight on itsspectrum for n ¸ 2. We present a new approach to this result extendingit to algebras Au(BE) for Banach spaces E = C £ F endowed with thesupremum norm.In addition, we show that H1(BE) is never tight on its spectrum re-gardless the Banach space E.Hankel-type operators are also closely related to the Dunford-Pettis prop-erty through the so-called Bourgain algebras introduced by J. A. Cima andR. M. Timoney. We prove that the Bourgain algebras of A(Dn) as a sub-space of C( ¹D n) are themselves.

Uno de los problemas fundamentales de la Teoría de Caracteres es la Conjetura de McKay. La Conjetura de McKay afirma que si G un grupo finito, p un primo, y P un p-subgrupo de Sylow de G, entonces existe una biyección entre el conjunto $Irr_{p'}(G)$ de los caracteres complejos irreducibles de G de grado no divisible por p y el conjunto $Irr_{p'}(N)$, donde N es el normalizador de P en G. En general, no se conocen correspondencias canónicas entre estos dos conjuntos, incluso cuando G es resoluble. Sin embargo, bajo ciertas condiciones, sí se han encontrado correspondencias canónicas. En concreto, se han encontrado correspondencias canónicas entre estos dos conjuntos bajo las siguientes hipótesis: (1) G es resoluble y |G:N| es impar (M. Isaacs, 1973). (2) G es p-resoluble y N=P (G. Navarro, 2003). (3) G es resoluble y |N| es impar (A. Turull, 2008). Nuestros dos principales teoremas de la tesis son extender los casos (2) y (3) bajo hipótesis más generales; en concreto, cuando G es p-resoluble (sin exigir que N sea igual a P), y cuando G resoluble (sin exigir ninguna condición adicional sobre |G:N| o |N|). Sea $\Phi_{1_{G^0}}$ el carácter proyectivo indescomponible principal de G (respecto del primo p). Denotamos por $Irr_{p'}(\Phi_{1_{G^0}})$ al conjunto de constituyentes irreducibles del carácter proyectivo indescomponible principal de G de grado no divisible por p. Demostramos que el siguiente teorema es cierto. TEOREMA A Sea G un grupo finito p-resoluble, P un p-subgrupo de Sylow de G, y N el normalizador de P en G. Entonces, existe una biyección canónica $\Gamma$ de $Irr_{p'}(\Phi_{1_{G^0}})$ a $Irr_{p'}(\Phi_{1_{N^0}})$, tal que si $\chi$ es un carácter en $Irr_{p'}(\Phi_{1_{G^0}})$, entonces $\Gamma(\chi)$ es el único constituyente irreducible de la restricción de $\chi$ a N que tiene grado no divisible por p Esta nueva biyección $\Gamma$ coincide exactamente con la biyección de Navarro cuando N=P, y cumple una serie de propiedades. Consideramos ahora el conjunto $IBr_{2'}(G)$ de caracteres de p-Brauer irreducibles de G de grado impar. Demostramos el siguiente resultado: TEOREMA D Sea G un grupo finito resoluble, P un p-subgrupo de Sylow de G, y N el normalizador de P en G. Entonces existe una biyección canónica entre $IBr_{2'}(G)$ y $IBr_{2'}(N)$. Esta biyección también cumple una serie de propiedades (que no enunciaremos aquí). / One of the fundamental problems in Character Theory is the McKay Conjecture. The McKay Conjecture asserts that if G is a finite group, p is a prime and P is a Sylow p-subgroup of G, then there exists a bijection between the set $Irr_{p'}(G)$ of the irreducible complex characters of G of degree not divisible by p and the set $Irr_{p'}(N)$, where N is the normalizer of P in G. In general, no canonical correspondences between these two sets are known, even when G is solvable. However, under certain conditions, canonical correspondences have been found. Specifically, canonical correspondences between these two sets have been found under the following hypotheses: (1) G is solvable and |G:N| is odd (M. Isaacs, 1973). (2) G is p-solvable and N=P (G. Navarro, 2003). (3) G is solvable and |N| is odd (A. Turull, 2008). The two main theorems of this thesis manage to extend the cases (2) and (3) under more general hypotheses; specifically, when G is p-solvable (without requiring N to be equal to P), and when G is solvable (with no additional hypotheses on |G:N| or |N|).

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La tesis está organizada en doce capítulos, divididos en cinco partes. La Parte I comprende los primeros tres capítulos. En el Capítulo 1 damos una breve introducción a la teoría de las categorías y recordamos las técnicas de las teorías de torsión y de la localización de categorías de Grothendieck. Empezamos el Capítulo 2 introduciendo la categoría de los "casi-frames" y estudiamos algunas construcciones básicas en esta categoría; en la segunda parte del capítulo estudiamos las dimensiones de Krull y de Gabriel de los casi-frames. Usando el hecho que los retículos de sub-objectos de un objeto dado en una categoría de Grothendieck es un casi-frame, podemos re-definir las nociones clásicas de dimension de Krull y de Gabriel para estos objetos. En el Capítulo 3 damos una breve introducción a los grupos y módulos topológicos. En particular, enunciamos el Teorema de Dualidad de Pontryagin-Van Kampen y el Teorema de Inversión de Fourier; además damos una demostración completa de un caso particular del Teorema de Dualidad de Müller entre módulos discretos y estrictamente linealmente compactos. Le Parte II está dedicada al estudio de la entropía en un contexto categórico. En el Capítulo 4 introducimos la categoría de los semigroupos pre-normados y la categoría de las T-representaciones de un monoide T sobre una categoría dada. Entonces definimos y estudiamos una función de entropía en la categoría de las T-representaciones sobre la categoría de los semigrupos pre-normados, con mayor énfasis en el caso en que T es un grupo amenable. En el Capítulo 5 damos ejemplos de invariantes clásicos que se pueden obtener de forma funtorial usando la entropía de semigrupos pre-normados definida en el capítulo anterior. Finalmente en el Capítulo 6 demostramos un Teorema Puente que relaciona la entropía topológica de acciones sobre grupos localmente compactos abelianos con la entropía algebraica de la acción sobre el grupo dual. En la Parte III estudiamos el problema de la extensión de las funciones de longitud a clases de módulos sobre productos cruzados utilizando la entropía. En particular, en el Capítulo 7 demostramos un teorema que describe la estructura de todas las funciones de longitud de una categoría de Grothendieck con dimensión de Gabriel. En el Capítulo 8 definimos y estudiamos la L-entropía algebraica de un RfiG-módulo M por la izquierda, donde R en un anillo general, G en un grupo amenable numerable y L es una función de longitud. En la Parte IV aplicamos la teoría desarollada a lo largo de la tesis a algunas conjeturas clásicas de la teoría de representaciones de grupos: la \Surjunctivity Conjecture", la \L-Surjunctivity Conjecture", la \Stable Finiteness Conjecture" y la \Zero-Divisors Conjecture". En el Capítulo 9 describimos las conjeturas y algunas relaciones entre ellas, inducidas por la dualidad de Müller. En el Capítulo 10 nos centramos en el caso amenable de las conjeturas, utilizando la entropía topologica para demostrar la Surjunctivity Conjecture para grupos amenables. Además explotamos la L-entropía algebraica para estudiar una versión general de la Stable Finiteness Conjecture y de la Zero-Divisors Conjecture. En el Capítulo 11 nos centramos en el caso sóficio de la L-Surjunctivity Conjecture y de la Stable Finiteness Conjecture, reduciendo ambas conjeturas a un enunciado más general sobre endomorfismos de casi-frames. Esto nos permite extender los resultados conocidos hasta ahora sobre las dos conjeturas. La Parte V está dedicada al estudio de aproximaciones de modelos para el algebra homológica relativa. En particular, aplicamos las herramientas desarrolladas en los Capítulos 1 y 2 para generalizar y re-interpretar algunos resultados recientes de Chachólski, Neeman, Pitsch, y Scherer. / The thesis is organized in twelve chapters divided in five parts. Part I encompasses the first three chapters and consists mainly of background material. In Chapter 1 we provide the necessary background in general category theory and we recall the machinery of torsion theories and localization of Grothendieck categories. We start Chapter 2 introducing the category of quasi-frame and we study the basic constructions in this category. In the second part of the chapter we study the Krull and the Gabriel dimension of quasi-frames. Using the fact that the poset of sub-objects of a given object in a Grothendieck category is a quasi-frame, we re-obtain the classical notions of Krull and Gabriel dimension for such objects. In Chapter 3 we provide the necessary background in topological groups and modules. In particular, we state the Pontryagin-Van Kampen Duality Theorem and the Fourier Inversion Theorem, furthermore we give a complete proof of a particular case of the Mülcer Duality Theorem between discrete and strictly linearly compact modules. Part II is devoted to the study of entropy in a categorical setting. In Chapter 4 we introduce the category of pre-normed semigroups and the category of left T-representations of a monoid T over a given category. Then, we introduce and study an entropy function in the category of left T-representations over the category of normed-semigroups, with particular emphasis on the case when T is an amenable group. Chapter 5 consist of a series of examples of classical invariants that can be obtained functorially using the entropy of pre-normed semigroups. Finally, in Chapter 6 we prove a Bridge Theorem that connects the topological entropy of actions on locally compact Abelian groups to the algebraic entropy of the action induced on the dual group. Part III is devoted to the study of length functions and to apply the machinery of entropy to extend length functions to crossed products. Indeed, in Chapter 7 we prove a general structure theorem for length functions of Grothendieck categories with Gabriel dimension. In Chapter 8 we define the algebraic L-entropy of a left RfiG-module M, where R is a general ring and G is a countable amenable group and L is a suitable length function. In Part IV we apply the theory developed in the three previous parts to some classical conjectures in group representations: the Surjunctivity Conjecture, the L-Surjunctivity Conjecture, the Stable Finiteness Conjecture and the Zero-Divisors Conjecture. Using the Müller Duality Theorem we can clarify some relations among these conjectures. In Chapter 10 we concentrate on the amenable case of the above conjectures. In particular, we show how to use topological entropy to prove the Surjunctivity Conjecture for amenable groups and we use the algebraic L-entropy to study (general versions of) the Stable Finiteness and the Zero-Divisors Conjectures. In Chapter 11 we concentrate on the sofic case of the L-Surjunctivity and of the Stable Finiteness Conjectures. In particular, we reduce both conjectures to a more general statement about endomorphisms of quasi-frames. This allows us to generalize the known results on both conjectures. Finally, Part V is devoted to the study of model approximations for relative homological algebra. In particular, we apply the machinery introduced in Chapters 1 and 2 to extend and reinterpret some recent results of Chachfiolski, Neeman, Pitsch, and Scherer.

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In this thesis we study a sporadic simple group M ( 22 ) of order 64,561,751, 6 54,400 = 2 17 .39.5 2.7. .1.13 . defined by 13. Fischer [3]. In chapter I most of the material needed from other sources is presented. For example, in §1 we outline results from the paper "Finite groups generated by 3-trallspositions" recently written by B. Fischer [3]. * In chapter II we deal with the calculation of the character tables of PSU(5,2), P8U(6,2), PSΩ+(6,3) PSΩ(7,3) and M(22). In chapter III a characterization of M(22) by the structure of the centralizer of' one of' its involutions is given. The involution is not the involution central in the Sylow 2-subgroup but is a 3-transposition.

En el primer capítulo se introduce la función $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ como aproximación de la función zeta de Riemann y se pondrá de relieve una de sus principales propiedades, que es la de ser una función entera de tipo exponencial de clase C. Se presenta, utilizando la noción de distribución de Levinson, una demostración de la densidad de ceros de este tipo de funciones distinta a la obtenida por los autores de [41]. Se dará también, con la condición de existencia de ceros sobre el eje imaginario, una fórmula sobre la distribución de dichos ceros. Después, se presentan algunos resultados sobre el número de ceros dentro de rectángulos de aproximaciones de la función zeta de Riemann y se expone cómo el uso de la función $H_{n}(z)$ permite obtener una fórmula precisa del número de ceros dentro de ciertos rectángulos. En el segundo capítulo se demuestra que para unas ciertas aproximaciones de la zeta de Riemann, es decir, las sumas parciales, hay densidad de las partes reales de sus ceros simples dentro de intervalos incluidos en sus bandas críticas. Los resultados de este capítulo aparecen en [14]. En el tercer capítulo se propone, utilizando aritmética y funciones completamente multiplicativas, un método para transportar una propiedad topológica de ceros de ciertos polinomios exponenciales, llamados polinomios de Dirichlet. Se utiliza el teorema de equivalencia de Bohr, muy conocido para las series de Dirichlet. Se demuestra que se puede aplicar este resultado a los polinomios de Dirichlet, lo cual nos da un método explícito para construir polinomios obteniendo la propiedad requerida y formando, al mismo tiempo, clases de equivalencia. En el cuarto capítulo, después de haber introducido el tema de las cuerdas fractales no reticulares, se demuestran conjeturas expuestas por Michel Lapidus y Machiel van Frankenhuysen en [30], relacionadas con la densidad de las partes reales de ceros de polinomios de Dirichlet asociados a dichas cuerdas. Se puede encontrar estos resultados en [13]. En el último capítulo se exponen algunos resultados sobre la relación entre los polinomios de Dirichlet y las ecuaciones en diferencias de tipo neutro. Demostramos un resultado de inestabilidad para dichas ecuaciones y, utilizando el resultado anterior, se propone la creación de clases de equivalencias de ecuaciones en diferencias inestables. Al final de cada capítulo, se presentan algunos temas abiertos que podrían ser desarrollados en el futuro. / In the first one we introduce the function $H_{n}(z)=1+2^{iz}+3^{iz}+...+n^{iz}$ as an approximation of the Riemann's zeta function and we focus on one of its most important properties, which is to be an entire function of exponential type of $\mathcal{C}$ class. We present, using the Levinson's notion of distribution, a demonstration of the density of the zeros of such functions. This proof is different to the authors one (see [41]). We also give a formula of the distribution of zeros on the imaginary axis (if they exist). Then, we show some results on the number of zeros in rectangles of approximations of the Riemann's zeta function and we will show how the use of the function $H_{n}(z)$ gives us a precise formula on the number of zeros in some specific rectangles. In the second chapter we prove that for some particular approximations of the Riemann's zeta functions, i. e., the partial sums, there is density in the real parts of its simple zeros in some intervals of their respective critical strips. The results of this chapter can be found in [14]. In the third chapter, using arithmetic and completely multiplicative functions, we offer a method to carry a topological property of the zeros of some exponential polynomials named Dirichlet polynomials. We use the Bohr-equivalence theorem which is usually used for Dirichlet series. We show that we can use it for Dirichlet poynomials too and we obtain an explicit method to construct polynomials with the desired property. In the fourth chapter we introduce the notion of nonlattice fractal strings and then we prove the conjetures of Michel Lapidus and Machiel van Frankenhuysen (see [30]), which have a relation with the density of the real parts of the zeros of Dirichlet polynomials associated to such strings. These results appear in [13]. In the last chapter we present some results on the relation between Dirichlet polynomials and differential equations in differences of neutral type. We prove a result on unstability for such equations and using the previous result we will create some equivalent classes of differential equations with unstability. At the end of each chapter, we present some open problems which could be further developed in future research.

In this thesis we study the geography of irregular complex projective (or compact Kähler) varieties, paying special attention to the existence of fibrations. The thesis is divided into two parts. In the first one we consider irregular varieties of arbitrary dimension, looking for bounds for the Hodge numbers in the absence of fibrations. In first place, by truncating the BGG complex of the variety (an object recently introduced by Lazarsfeld and Popa), we get lower bounds on the partial Euler characteristics. In order to improve these first results, we define the higher-rank derivative complexes (generalizing the derivative complex introduced by Green and Lazarsfeld). We study their exactness by means of the Eagon-Northcott complexes, and we obtain some inequalities between the Hodge numbers of varieties admitting some kind of subspaces of 1-forms (¿non-degenerate subspaces¿). In the case of subvarieties of Abelian varieties, the existence of non-degenerate subspaces of any dimension allows us to obtain better inequalities than in the general case. In the case of h^(2,0), a different method gives a much better result. In fact, the bound is much stronger, and the only hypothesis needed is the non-existence of higher irrational pencils (a priori, less restrictive than the existence of non-degenerate subspaces). To close, using the Grassmannian BGG complex (a generalization of the BGG complex that aggregates all the higher-rank derivative complexes) and computing the Chern classes of its last cokernel, we recover the same bound for h^(2,0) using the general results mentioned in the previous paragraph. In the second part, the scope is restricted to surfaces fibred over a curve. We look for upper bounds for the relative irregularity in terms of properties of the general fibre, in the spirit of the inequality obtained by Xiao for non-isotrivial fibrations over a rational curve. Xiao conjectured the same inequality to hold for fibrations over any base, but Pirola found a counterexample. After that, a corrected conjecture was proposed. The result obtained in this thesis is a bound depending on the genus and the Clifford index of a general fibre, which coincides with the corrected conjecture in the case of maximal Clifford index. We have used several techniques in our proof. On the one hand, the ¿adjoint images¿ play a crucial role. The adjoint images were introduced by Collino and Pirola to study infinitesimal deformations of smooth curves, and generalized later by Pirola and Zucconi to higher-dimensional varieties. In this thesis we construct the ¿global adjoint map¿, which allows to find subspaces with vanishing adjoint image assuming that the kernel of the infinitesimal deformation has dimension (at least) half the genus of the cruve. More generally, the global adjoint map can also be defined for infinitesimal deformations of irregular varieties of any dimension, and allows to find numerical conditions that guarantee the existence of subspaces with vanishing adjoint. On the other hand, we have extended to arbitrary (one-dimensional) families of curves some well-stablished concepts of infinitesimal deformations, related with the bicanonical embedding of the curve. As the global adjoint map, some of these constructions can also be extended to families of irregular varieties of arbitrary dimension. Finally, all these previous constructions lead to a structural result for fibrations supported on a relatively rigid divisor. With this result we can treat some cases of the conjecture of Xiao. The remaining cases are solved using an inequality for the rank of an infinitesimal deformation in terms of a supporting divisor (its degree and the dimension of its complete linear series). This inequality, which we reprove, is originally due to Ginensky.

We investigate the character theory of Ore extensions and its applications to the study of Hopf algebras.

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