La tesis está organizada en doce capítulos, divididos en cinco partes. La Parte I comprende los primeros tres capítulos. En el Capítulo 1 damos una breve introducción a la teoría de las categorías y recordamos las técnicas de las teorías de torsión y de la localización de categorías de Grothendieck. Empezamos el Capítulo 2 introduciendo la categoría de los "casi-frames" y estudiamos algunas construcciones básicas en esta categoría; en la segunda parte del capítulo estudiamos las dimensiones de Krull y de Gabriel de los casi-frames. Usando el hecho que los retículos de sub-objectos de un objeto dado en una categoría de Grothendieck es un casi-frame, podemos re-definir las nociones clásicas de dimension de Krull y de Gabriel para estos objetos. En el Capítulo 3 damos una breve introducción a los grupos y módulos topológicos. En particular, enunciamos el Teorema de Dualidad de Pontryagin-Van Kampen y el Teorema de Inversión de Fourier; además damos una demostración completa de un caso particular del Teorema de Dualidad de Müller entre módulos discretos y estrictamente linealmente compactos. Le Parte II está dedicada al estudio de la entropía en un contexto categórico. En el Capítulo 4 introducimos la categoría de los semigroupos pre-normados y la categoría de las T-representaciones de un monoide T sobre una categoría dada. Entonces definimos y estudiamos una función de entropía en la categoría de las T-representaciones sobre la categoría de los semigrupos pre-normados, con mayor énfasis en el caso en que T es un grupo amenable. En el Capítulo 5 damos ejemplos de invariantes clásicos que se pueden obtener de forma funtorial usando la entropía de semigrupos pre-normados definida en el capítulo anterior. Finalmente en el Capítulo 6 demostramos un Teorema Puente que relaciona la entropía topológica de acciones sobre grupos localmente compactos abelianos con la entropía algebraica de la acción sobre el grupo dual. En la Parte III estudiamos el problema de la extensión de las funciones de longitud a clases de módulos sobre productos cruzados utilizando la entropía. En particular, en el Capítulo 7 demostramos un teorema que describe la estructura de todas las funciones de longitud de una categoría de Grothendieck con dimensión de Gabriel. En el Capítulo 8 definimos y estudiamos la L-entropía algebraica de un RfiG-módulo M por la izquierda, donde R en un anillo general, G en un grupo amenable numerable y L es una función de longitud. En la Parte IV aplicamos la teoría desarollada a lo largo de la tesis a algunas conjeturas clásicas de la teoría de representaciones de grupos: la \Surjunctivity Conjecture", la \L-Surjunctivity Conjecture", la \Stable Finiteness Conjecture" y la \Zero-Divisors Conjecture". En el Capítulo 9 describimos las conjeturas y algunas relaciones entre ellas, inducidas por la dualidad de Müller. En el Capítulo 10 nos centramos en el caso amenable de las conjeturas, utilizando la entropía topologica para demostrar la Surjunctivity Conjecture para grupos amenables. Además explotamos la L-entropía algebraica para estudiar una versión general de la Stable Finiteness Conjecture y de la Zero-Divisors Conjecture. En el Capítulo 11 nos centramos en el caso sóficio de la L-Surjunctivity Conjecture y de la Stable Finiteness Conjecture, reduciendo ambas conjeturas a un enunciado más general sobre endomorfismos de casi-frames. Esto nos permite extender los resultados conocidos hasta ahora sobre las dos conjeturas. La Parte V está dedicada al estudio de aproximaciones de modelos para el algebra homológica relativa. En particular, aplicamos las herramientas desarrolladas en los Capítulos 1 y 2 para generalizar y re-interpretar algunos resultados recientes de Chachólski, Neeman, Pitsch, y Scherer. / The thesis is organized in twelve chapters divided in five parts. Part I encompasses the first three chapters and consists mainly of background material. In Chapter 1 we provide the necessary background in general category theory and we recall the machinery of torsion theories and localization of Grothendieck categories. We start Chapter 2 introducing the category of quasi-frame and we study the basic constructions in this category. In the second part of the chapter we study the Krull and the Gabriel dimension of quasi-frames. Using the fact that the poset of sub-objects of a given object in a Grothendieck category is a quasi-frame, we re-obtain the classical notions of Krull and Gabriel dimension for such objects. In Chapter 3 we provide the necessary background in topological groups and modules. In particular, we state the Pontryagin-Van Kampen Duality Theorem and the Fourier Inversion Theorem, furthermore we give a complete proof of a particular case of the Mülcer Duality Theorem between discrete and strictly linearly compact modules. Part II is devoted to the study of entropy in a categorical setting. In Chapter 4 we introduce the category of pre-normed semigroups and the category of left T-representations of a monoid T over a given category. Then, we introduce and study an entropy function in the category of left T-representations over the category of normed-semigroups, with particular emphasis on the case when T is an amenable group. Chapter 5 consist of a series of examples of classical invariants that can be obtained functorially using the entropy of pre-normed semigroups. Finally, in Chapter 6 we prove a Bridge Theorem that connects the topological entropy of actions on locally compact Abelian groups to the algebraic entropy of the action induced on the dual group. Part III is devoted to the study of length functions and to apply the machinery of entropy to extend length functions to crossed products. Indeed, in Chapter 7 we prove a general structure theorem for length functions of Grothendieck categories with Gabriel dimension. In Chapter 8 we define the algebraic L-entropy of a left RfiG-module M, where R is a general ring and G is a countable amenable group and L is a suitable length function. In Part IV we apply the theory developed in the three previous parts to some classical conjectures in group representations: the Surjunctivity Conjecture, the L-Surjunctivity Conjecture, the Stable Finiteness Conjecture and the Zero-Divisors Conjecture. Using the Müller Duality Theorem we can clarify some relations among these conjectures. In Chapter 10 we concentrate on the amenable case of the above conjectures. In particular, we show how to use topological entropy to prove the Surjunctivity Conjecture for amenable groups and we use the algebraic L-entropy to study (general versions of) the Stable Finiteness and the Zero-Divisors Conjectures. In Chapter 11 we concentrate on the sofic case of the L-Surjunctivity and of the Stable Finiteness Conjectures. In particular, we reduce both conjectures to a more general statement about endomorphisms of quasi-frames. This allows us to generalize the known results on both conjectures. Finally, Part V is devoted to the study of model approximations for relative homological algebra. In particular, we apply the machinery introduced in Chapters 1 and 2 to extend and reinterpret some recent results of Chachfiolski, Neeman, Pitsch, and Scherer.

No description available.

In this thesis we study the geography of irregular complex projective (or compact Kähler) varieties, paying special attention to the existence of fibrations. The thesis is divided into two parts. In the first one we consider irregular varieties of arbitrary dimension, looking for bounds for the Hodge numbers in the absence of fibrations. In first place, by truncating the BGG complex of the variety (an object recently introduced by Lazarsfeld and Popa), we get lower bounds on the partial Euler characteristics. In order to improve these first results, we define the higher-rank derivative complexes (generalizing the derivative complex introduced by Green and Lazarsfeld). We study their exactness by means of the Eagon-Northcott complexes, and we obtain some inequalities between the Hodge numbers of varieties admitting some kind of subspaces of 1-forms (¿non-degenerate subspaces¿). In the case of subvarieties of Abelian varieties, the existence of non-degenerate subspaces of any dimension allows us to obtain better inequalities than in the general case. In the case of h^(2,0), a different method gives a much better result. In fact, the bound is much stronger, and the only hypothesis needed is the non-existence of higher irrational pencils (a priori, less restrictive than the existence of non-degenerate subspaces). To close, using the Grassmannian BGG complex (a generalization of the BGG complex that aggregates all the higher-rank derivative complexes) and computing the Chern classes of its last cokernel, we recover the same bound for h^(2,0) using the general results mentioned in the previous paragraph. In the second part, the scope is restricted to surfaces fibred over a curve. We look for upper bounds for the relative irregularity in terms of properties of the general fibre, in the spirit of the inequality obtained by Xiao for non-isotrivial fibrations over a rational curve. Xiao conjectured the same inequality to hold for fibrations over any base, but Pirola found a counterexample. After that, a corrected conjecture was proposed. The result obtained in this thesis is a bound depending on the genus and the Clifford index of a general fibre, which coincides with the corrected conjecture in the case of maximal Clifford index. We have used several techniques in our proof. On the one hand, the ¿adjoint images¿ play a crucial role. The adjoint images were introduced by Collino and Pirola to study infinitesimal deformations of smooth curves, and generalized later by Pirola and Zucconi to higher-dimensional varieties. In this thesis we construct the ¿global adjoint map¿, which allows to find subspaces with vanishing adjoint image assuming that the kernel of the infinitesimal deformation has dimension (at least) half the genus of the cruve. More generally, the global adjoint map can also be defined for infinitesimal deformations of irregular varieties of any dimension, and allows to find numerical conditions that guarantee the existence of subspaces with vanishing adjoint. On the other hand, we have extended to arbitrary (one-dimensional) families of curves some well-stablished concepts of infinitesimal deformations, related with the bicanonical embedding of the curve. As the global adjoint map, some of these constructions can also be extended to families of irregular varieties of arbitrary dimension. Finally, all these previous constructions lead to a structural result for fibrations supported on a relatively rigid divisor. With this result we can treat some cases of the conjecture of Xiao. The remaining cases are solved using an inequality for the rank of an infinitesimal deformation in terms of a supporting divisor (its degree and the dimension of its complete linear series). This inequality, which we reprove, is originally due to Ginensky.

Aquesta tesi doctoral tracta sobre C*-àlgebres i els seus invariants de Teoria K. Ens hem centrat principalment en l’estructura d’una classe de C*-àlgebres anomenada camps continus i l’estudi d’un dels seus invariants: el semigrup de Cuntz. Més concretament, analitzem el següent: (1)- Estructura dels camps continus : A la literatura hi ha dos exemples que donen una idea clara sobre la complexitat dels camps continus de C*-àlgebres. El primer va ser construït per M. Dadarlat i G. A. Elliott al 2007 i és un camp continu A sobre l’interval unitat amb fibres mútuament isomorfes, Teoria K no finitament generada i que no és localment trivial enlloc. El segon exemple mostra que, fins i tot quan la Teoria K de les fibres s’anul·la, el camp pot ser no trivial enlloc si l’espai base té dimensió infinita (Dadarlat, 2009). Veient aquests exemples és natural preguntar-se quina és l’estructura dels camps continus d’àlgebres de Kirchberg sobre un espai de dimensió finita, amb fibres mútuament isomorfes i Teoria K finitament generada. Tractem aquesta qüestió al Capítol 2 de la memòria. (2)- El semigrup de Cuntz de camps continus : Per a C*-àlgebres de dimensió baixa sense obstruccions cohomològiques, una descripció del seu semigrup de Cuntz, a través d’avaluació puntual, s’ha obtingut en termes de funcions semicontínues sobre l’expectre que prenen valors en els enters positius estesos (Robert, 2009). Per camps més generals la clau està en descriure l’aplicació següent: _: Cu(A) ! Q x2X Cu(Ax) donada per _hai = (ha(x)i)x2X; on Cu(Ax) és el semigrup de Cuntz de la fibra Ax. En el Capítol 3 de la memòria, l’aplicació _ s’estudia en el cas que X tingui dimensió petita i totes les fibres de la C(X)-àlgebra A no són necessàriament isomorfes entre sí. Més concretament, demostrem que és possible recuperar el semigrup de Cuntz d’una classe adequada de camps continus com el semigrup de seccions globals de tx2XCu(Ax) a X. Això s’utilitza posteriorment per reescriure un resultat de classificació degut a Dadarlat, Elliott i Niu (2012) utilitzant un sol invariant en comptes d’un feix de grups. (3)-Funcions de dimensió en una C*-algebra : L’estudi de funcions de dimensió va ser iniciat per Cuntz a 1978, i desenvolupat posteriorment per Blackadar i Handelman al 1982. En el seu article van aparèixer dues preguntes naturals: decidir si l’espai afí de funcions de dimensió és un símplex, i si també el conjunt de funcions de dimensió semicontínues inferiorment és dens a l’espai de totes les funcions de dimensió. En el Capítol 4 calculem el rang estable d’algunes classes de camps continus i això ens ajuda a provar que les dues conjectures anteriors tenen resposta afirmativa per camps continus A sobre espais de dimensió 1 i amb hipòtesis febles en les seves fibres. / This thesis deals with C*-algebras and their K-theoretical invariants. We have mainly focused on the structure of a class of C*-algebras called continuous fields, and the study of one of its invariants, the Cuntz semigroup. More concretely, we analyse the following: (1)-Structure of Continuous Fields of C*-algebras : In the literature there are two examples which clearly give an idea about the complexity of continuous field C*-algebras. The first one was constructed by M. Dadarlat and G. A. Elliott in 2007, and it is a continuous field C*- algebra A over the unit interval with mutually isomorphic fibers, with non-finitely generated K-theory and such that it is nowhere locally trivial. The second example shows that, even if the K-theory of the fibers vanish, the field can be nowhere locally trivial if the base space is infinite-dimensional (Dadarlat, 2009). From the above examples, it is natural to ask which is the structure of continuous fields of Kirchberg algebras over a finite-dimensional space with mutually isomorphic fibers and finitely generated K-theory. This question has been adressed in Chapter 2 of the memoir. (2)-The Cuntz semigroup of continuous field C*-algebras : For commutative C*-algebras of lower dimension where there are no cohomological obstructions, a description of their Cuntz semigroup via point evaluation has been obtained in terms of (extended) integer valued lower semicontinuous functions on their spectrum (Robert, 2009). For more general continuous fields, the key is to describe the map : Cu(A) ! Q x2X Cu(Ax) given by hai = (ha(x)i)x2X; where Cu(Ax) is the Cuntz semigroup of the fiber Ax. In Chapter 3 of the memoir, the map is studied in the case when X has low dimension and all the fibers of the C(X)-algebra A are not necessarily mutually isomorphic. Concretely, we prove that it is possible to recover the Cuntz semigroup of a suitable class of continuous fields as the semigroup of global sections of tx2XCu(Ax) to X. This is further used to rephrase a classification result by Dadarlat, Elliott and Niu (2012) by using a single invariant instead of a sheaf of groups. (3)-Dimension Functions on a C*-algebra : The study of dimension functions on C -algebras was started by Cuntz in 1978, and further developed by B. Blackadar and D. Handelman in 1982. In the latter article, two natural questions arised: to decide whether the affine space of dimension functions is a simplex, and also whether the set of lower semicontinuous dimension functions is dense in the space of all dimension functions. In Chapter 4 we compute the stable rank of some class of continuous field C*-algebras, which helps us to move on to show that the above two conjectures have affirmative answers for continuous fields A over one-dimensional spaces and with mild assumptions on their fibers.

La traducció basada en la sintaxi va sorgir en l'àmbit de la traducció automàtica dels llenguatges naturals. Els sistemes han de modelar les transformacions d'arbres, reordenar parts d'oracions, ser simètrics i posseir propietats com la componibilitat o simetria. Existeixen diverses maneres de definir transformacions d'arbres: gramàtiques síncrones, transductors d'arbres i bimorfismes d'arbres. Les gramàtiques síncrones fan tot tipus de rotacions, però les propietats matemàtiques són més difícils de provar. Els transductors d'arbres són operacionals i fàcils d'implementar, però les classes principals no són tancades sota la composició. Els bimorfismes d'arbres són difícils d'implementar, però proporcionen una eina natural per provar componibilitat o simetria. Per millorar el procés de traducció, les gramàtiques síncrones es relacionen amb els bimorfismes d'arbres i amb els transductors d'arbres. En aquesta tesi es duu a terme un ampli estudi de la teoria i les propietats dels sistemes de traducció dirigides per la sintaxi, des d'aquestes tres perspectives molt diferents que es complementen perfectament entre si: com a dispositius generatius (gramàtiques síncrones), com a màquines acceptadores (transductors) i com a estructures algebraiques (bimorfismes). S'investiguen i comparen al nivell de la transformació d'arbres i com a dispositius que defineixen translacions. L'estudi es centra en bimorfismes, amb especial èmfasi en les seves aplicacions per al processament del llenguatge natural. També es proposa una completa i actualitzada visió general sobre les classes de transformacions d'arbres definits per bimorfismes, vinculant-los amb els tipus coneguts de gramàtiques síncrones i transductors d'arbres. Provem o recordem totes les propietats interessants que les esmentades classes posseeixen, millorant així els coneixements matemàtics previs. A més, s'exposen les relacions d'inclusió entre les principals classes de bimorfismes mitjançant un diagrama Hasse, com a dispositius de traducció i com a mecanismes de transformació d'arbres. / La traducción basada en la sintaxis surgió en el ámbito de la traducción automática de los lenguajes naturales. Los sistemas deben modelar las transformaciones de árboles, reordenar partes de oraciones, ser simétricos y poseer propiedades como la composición o simetría. Existen varias maneras de definir transformaciones de árboles: gramáticas síncronas, transductores de árboles y bimorfismos de árboles. Las gramáticas síncronas hacen todo tipo de rotaciones, pero las propiedades matemáticas son más difíciles de probar. Los transductores de árboles son operacionales y fáciles de implementar pero las clases principales no son cerradas bajo la composición. Los bimorfismos de árboles son difíciles de implementar, pero proporcionan una herramienta natural para probar composición o simetría. Para mejorar el proceso de traducción, las gramáticas síncronas se relacionan con los bimorfismos de árboles y con los transductores de árboles. En esta tesis se lleva a cabo un amplio estudio de la teoría y las propiedades de los sistemas de traducción dirigidas por la sintaxis, desde estas tres perspectivas muy diferentes que se complementan perfectamente entre sí: como dispositivos generativos (gramáticas síncronas), como máquinas aceptadores (transductores) y como estructuras algebraicas (bimorfismos). Se investigan y comparan al nivel de la transformación de árboles y como dispositivos que definen translaciones. El estudio se centra en bimorfismos, con especial énfasis en sus aplicaciones para el procesamiento del lenguaje natural. También se propone una completa y actualizada visión general sobre las clases de transformaciones de árboles definidos por bimorfismos, vinculándolos con los tipos conocidos de gramáticas síncronas y transductores de árboles. Probamos o recordamos todas las propiedades interesantes que tales clases poseen, mejorando así los previos conocimientos matemáticos. Además, se exponen las relaciones de inclusión entre las principales clases de bimorfismos a través de un diagrama Hasse, como dispositivos de traducción y como mecanismos de transformación de árboles. / Syntax-based machine translation was established by the demanding need of systems used in practical translations between natural languages. Such systems should, among others, model tree transformations, re-order parts of sentences, be symmetric and possess composability or forward and backward application. There are several formal ways to define tree transformations: synchronous grammars, tree transducers and tree bimorphisms. The synchronous grammars do all kind of rotations, but mathematical properties are harder to prove. The tree transducers are operational and easy to implement, but closure under composition does not hold for the main types. The tree bimorphisms are difficult to implement, but they provide a natural tool for proving composability or symmetry. To improve the translation process, synchronous grammars were related to tree bimorphisms and tree transducers. Following this lead, we give a comprehensive study of the theory and properties of syntax-directed translation systems seen from these three very different perspectives that perfectly complement each other: as generating devices (synchronous grammars), as acceptors (transducer machines) and as algebraic structures (bimorphisms). They are investigated and compared both as tree transformation and translation defining devices. The focus is on bimorphisms as they only recently got again into the spotlight especially given their applications to natural language processing. Moreover, we propose a complete and up-to-date overview on tree transformations classes defined by bimorphisms, linking them with well-known types of synchronous grammars and tree transducers. We prove or recall all the interesting properties such classes possess improving thus the mathematical knowledge on synchronous grammars and/or tree transducers. Also, inclusion relations between the main classes of bimorphisms both as translation devices and as tree transformation mechanisms are given for the first time through a Hasse diagram. Directions for future work are suggested by exhibiting how to extend previous results to more general classes of bimorphisms and synchronous grammars.

EN CASTELLANO:La localización es una técnica bien conocida en álgebra conmutativa y geometría algebraica. Muchas de las propiedades formales de las localizaciones de módulos son compartidas por otras transformaciones de naturaleza parecida definidas en otros contextos. Este hecho ha conducido a una axiomatización del concepto de funtor de localización en categorías arbitrarias, con una terminología similar a la del álgebra.La implementación de la localización en topología algebraica tuvo sus raíces en los trabajos de Serre y Adams, y se comenzó a formalizar principalmente gracias a las contribuciones de Sullivan y Quillen.Las localizaciones homológicas fueron la vía principal de transporte a la homotopía estable, así como la herramienta principal para el cálculo de los grupos de homotopía estables de las esferas durante muchos años.En las dos últimas décadas ha ido aumentando cada vez más el uso de técnicas del álgebra conmutativa en homotopía estable. La teoría de homotopía estable se centra en el estudio de los espectros y captura una parte esencial de las propiedades homotópicas de los espacios, prescindiendo de los fenómenos peculiares que se dan en dimensiones concretas. El tratamiento axiomático de la categoría estable utilizando el lenguaje de categorías de modelos y categorías trianguladas ha dado lugar a nuevas categorías estables, como la categoría de los espectros simétricos o la categoría de los S-módulos, que permiten trasladar fielmente diversas técnicas y construcciones del álgebra conmutativa a la categoría estable, y trabajar con "espectros anillo" y "espectros módulo" de la misma manera que con sus análogos algebraicos.El objetivo principal de esta memoria es el estudio de los funtores de localización en homotopía estable, centrándose fundamentalmente en las estructuras algebraicas que se conservan bajo la acción de estos funtores. Uno de los resultados centrales de este trabajo establece que bajo hipótesis apropiadas, los funtores de localización en la categoría homotópica estable conservan álgebras sobre opéradas. En particular, transforman espectros anillo en espectros anillo, y espectros módulo sobre un anillo en espectros módulo sobre el mismo espectro anillo (o incluso sobre el localizado de ese espectro). / Localization is a well-known technique in commutative algebra and algebraic geometry. Many of the formal properties of localization of modules are shared by other transformations of similar nature defined in different contexts. This fact has led to an axiomatization of the concept of localization functor in arbitrary categories, with a terminology similar to the one used in algebra.The implementation of localization in algebraic topology had its roots in the work of Serre and Adams, and it begun to formalize thanks to the contributions of Sullivan and Quillen.Homological localizations were the main connection to stable homotopy and a key tool for the computation of the stable homotopy groups of the spheres for many years.In the last two decades the use of commutative algebra techniques in stable homotopy has increased considerably. Stable homotopy theory is focused on the study of spectra and captures an essential part of the homotopical properties of spaces, by forgetting particular phenomena occurring in concrete dimensions. The axiomatic treatment of the stable category using the language of model categories and triangulated categories has produced new stable categories, such as the category of symmetric spectra or the category of S-modules. These new categories allow to translate different techniques and constructions from commutative algebra to the stable category, and to work with "ring spectra" and "module spectra" in the same way as with their algebraic counterparts.The main objective of this thesis is the study of localization functors in stable homotopy and the algebraic structures that these functors preserve. One of the central results of this work states that, under suitable conditions, localization functors in the stable homotopy category preserve algebras over operads. In particular, they send ring spectra to ring spectra, and modules over a ring spectrum to modules over the same ring spectrum (or even over the localization of the ring).

En aquesta tesi estudiem versions refinades del problema invers de la teoria de Galois sobre el cos Q dels racionals, que s'obtenen quan prefixem determinades condicions de ramificació. Ens plantejem, per exemple, les següents qüestions per a un grup finit G :(a)Quin és el mínim natural ram(G) per la qual existeix alguna extensió de Galois de Q ramificada només en ram(G) primers i amb grup de Galois isomorf a G ?(b)Donat un conjunt finit de primers racionals S, existeix alguna realització de G com a grup de Galois d'una extensió de Q no ramificada en S?(c)Existeix alguna extensió de Galois moderadament ramificada i amb grup de Galois Gal(F/Q) isomorf a G?Com a eines utilitzades, destaquem la teoria de cossos de classes, la teoria dels polígons de Newton (aritmètics) i l'especialització d'extensions galoisianes de Q(T) (Teorema d'irreductibilitat de Hilbert,.)Abordem la pregunta (a) per a alguns grups resolubles finits (que sempre admeten resposta afirmativa a (b) i (c)).Per a un l-grup finit G qualsevol (l primer senar), afitem ram(G) per una constant explícita menor o igual que la suma dels nombres de generadors dels factors de la sèrie central inferior de G. A més, generalitzem aquesta fita als grups nilpotents finits d'ordre senar. El punt de partida per a obtenir aquests resultats és la demostració que dóna Serre del Teorema de Scholz-Reichardt.Per a un grup diedral generalitzat G qualsevol, la teoria de cossos de classes d'anell de cossos quadràtics ens permet demostrar que G es realitza com a grup de Galois d'una extensió de Q ramificada en d(G) primers finits. Assumint la validesa de la Hipótesi (H) de Schinzel obtenim el valor de ram(D-sub 2n), per a qualsevol n.Estudiem les qüestions (b) i (c) per a certs grups finits no resolubles. Per al grup alternat A-sub n, considerem primer les realitzacions galoisianes obtingudes com a cossos de descomposició de trinomis racionals. Obtenim caracteritzacions per a l'existència d'aquestes extensions amb diversos comportaments de ramificació prefixats en un conjunt finit de primers. En particular, concloem que (per alguns n) els trinomis no ens permeten respondre a les preguntes (b) i (c) per a G = A-sub n. Sí obtenim resposta (afirmativa) a aquests problemes a partir d'una construcció de Mestre. Demostrem que, per a tot conjunt natural n i tot conjunt finit de primers S, sempre existeixen polinomis mònics de grau n amb coeficients enters, totalment reals, amb grup de Galois A-sub n i discriminant no divisble per cap primer de S.Per als grups de Mathieu M-sub 11 i M-sub 12 i el grup Aut(M-sub22), demostrem l'existència d'especialitzacions moderadament ramificades de realitzacions galoisianes regulars conegudes sobre Q(T). Els exemples triats provenen de construccions obtingudes per l'anomenat mètode de la rigidesa que, segons un suggeriment de Birch, habitualment hauria de donar lloc (per especialització)a extensions de Q salvatgement ramificades. Finalment, considerem problemes d'immersió galoisiana. Demostrem que sempre es pot conservar l'existència d'especializacions moderadament ramificades en resoldre (pròpiament) problemes d'immersió central finits sobre Q(T). Això ens permet respondre afirmativament a la qüestió (c), per a tot grup G extensió central finita d'algun dels grups següents: grups alternats, grups simètrics i els grups de Mathieu M-sub 11 i M-sub 12.Demostrem també que, si K és un cos de característica 0 i G és un grup extensió central finita de A-sub n (n és diferent de 4, 6, 7), aleshores tota extensió de K amb grup de Galois G s'obté per especialització d'alguna realització galoisiana regular de G sobre K(T) (propietat d'aixecament aritmètic). Com a conseqüència d'una generalització d'aquest resultat, G es realitza com a grup de Galois d'alguna extensió de Q en la qual els primers d'un conjunt finit qualsevol prefixat descomponen completament.

DE LA TESIS:El problema objeto de esta memoria tiene su origen en la clásica formula del género para curvas algebraicas planas. Dicha formula expresa el género (efectivo) de una curva algebraica plana en función de su género virtual (o aritmético según algunos autores) y de un término dependiente de las singularidades de la curva.Es bien sabido que los géneros virtual y efectivo de una curva no singular coinciden, de modo que el género efectivo de una curva cualquiera, al ser un invariante birracional, puede entenderse como el género virtual de su modelo no singular. Si se escribe la fórmula del género en la forma g = p + delta donde "g" es el género efectivo y "p" el género virtual, "delta" puede interpretarse como la diferencia entre el género virtual del modelo no singular y el de la propia curvaEl mismo problema puede considerarse para superficies algebraicas si bien el proceso de desingularización de una superficie no es tan sencillo como el de una curva: siguiendo a Zariski, sabemos que puede alcanzarse un modelo no singular de una superficie "S" mediante sucesivas normalizaciones y transformaciones cuadráticas centradas en puntos múltiples. Aun en el caso de una superficie normal, al efectuar una transformación cuadrática centrada en un punto múltiple, puede obtenerse una superficie no normal (por existir una curva múltiple en el primer entorno, por ejemplo). Parece pues justificado realizar un estudio de la variación experimentada por el género virtual en el proceso de normalización y tal es el tema de esta tesis.

En un trabajo no publicado y con vistas a la teoría de cuerpos de clases, J. Tate modificó los grupos "o" de cohomología de un grupo finito G con coeficientes en un G-módulo A, de tal manera que los nuevos grupos obtenidos, los grupos de cohomología de Tate, se pueden combinar en una sola sucesión H(q)(G,A) (-infinito menor que q menor que +infinito), la sucesión derivada completa de G.Bajo un aspecto puramente matemático, la cohomología de Tate presenta dos ventajas: a) es "calculable" a partir de una resolución completa W(q) (-infinito menor que q menor que +infinito) de G (complejo de Tate; existen grupos finitos G -entre ellos todos los cíclicos y cuaterniónicos generalizados- para los cuales H(G,A) es periódica para todo G-módulo A, es decir existe un n natural tal que, para todo i, H(i)(G,A) es más o menos igual a H(i+n)(G,A). Estos grupos, a los que llamaremos periódicos, fueron caracterizados por E. Artin y J. Tate ([1], XII.1). Resulta de esta caracterización que la categoría de los grupos periódicos no es muy vasta, ya que todo p-subgrupo de un grupo periódico G ha de ser forzosamente cíclico o cuaterniónico generalizado, para todo p primo divisor del orden de G. En este trabajo, de naturaleza fundamentalmente topológica, presentamos algunos resultados que conciernen a espacios sobre los que opera un grupo finito, el grupo fundamental del espacio orbital. Para ello realizamos previamente un estudio puramente algebraico de los p-períodos de un grupo p-periódico.Esta memoria está distribuida en tres capítulos. El capítulo 1 agrupa todas las definiciones agrupa todas las definiciones y resultados sobre cohomología de Tate, que necesitamos, así como los teoremas de caracterización de la periodicidad. El capítulo 2 es también de naturaleza puramente algebraica y contiene algunos resultados de Swan y los teoremas que obtenemos referentes a los p-períodos de un grupo p-periódico. El capítulo 3 es estrictamente topológico y, además de la sucesión espectral de Swan, contiene, entre otros, los teoremas topológicos que se deducen como aplicación de los resultados del capítulo 2.

Els convertidors commutats de potència són solucions apropiades per subministrar energia a dispositius electrònics per la seva elevada eficiència i reduït cost. El seu ús extensiu en les últimes dècades ha motivat els investigadors a millorar els seus dissenys i aprofundir en la comprensió del seu comportament el qual, com la majoria de dispositius electrònics de potència, presenta dinàmiques no lineals. Recentment, han aparegut equipaments electrònics que disposen de múltiples càrregues com són els PDA, telèfons mòbils, MP3... Freqüentment, aquestes aplicacions necessiten múltiples alimentacions amb doble polaritat. Els convertidors amb inductor únic i múltiples sortides, Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO), han esdevingut solucions per subministrar energia a dispositius de baixa potència, com pantalles LCD, i per carregar bateries ja que l'ús d'un sol inductor redueix significativament la mida del convertidor. La inherent naturalesa commutada d'aquests sistemes classifica la seva dinàmica dins el camp de sistemes d'estructura variable, Variable Structure Systems (VSS), els quals també es coneixen com a sistemes suaus a trams, Piecewise Smooth (PWS) systems. Atès que la teoria clàssica per a sistemes suaus no pot explicar completament el seu comportament, en els últims anys s'han dirigit molts esforços cap a la recerca de les propietats de la dinàmica no suau en diferent camps d'aplicació. Aquesta tesi aprofundeix en la caracterització de convertidors SIMIMO, que ens permetrà provar la seva viabilitat. Es proposen dues estratègies de control basades en el conegut control PWM (Pulse Width Modulation). En la primera alternativa, el control ens permet regular un convertidor amb dues entrades i dues sortides (Two-Input Two-Output , SITITO), amb polaritats oposades. En aquest cas, les dues senyals moduladores necessàries són generades sincronitzadament i per aquest motiu, en aquesta tesi ens referirem a aquesta estratègia de control PWM com a SPC (Single Phase Control) en contraposició amb la segona alternativa, la qual serà anomenada IC (Interleaved Control), capaç de regular un número generalitzat de sortides. Aquest control està basat en l'ús de diverses senyals moduladores, tantes com a sortides, les quals s'han desfasat progressivament. La dinàmica dels convertidors SIMIMO, al igual que els convertidors bàsics contínua - contínua, exhibeix una rica varietat de fenòmens, els quals engloben des de bifurcacions suaus, com són les bifurcacions de doblament de període (period doubling bifurcation), Saddle-Node o Hopf, fins a bifurcacions no suaus. Un cop verificada l'existència de dinàmica estable quan els paràmetres s'han seleccionatapropiadament, aquesta tesi aborda la recerca de models amb els quals analitzar la complexa dinàmica dels convertidors en un rang ampli de paràmetres. Es proposen i analitzen alguns models que s'utilitzen complementàriament: els anomenats averaged models, amb els quals es pot analitzar la dinàmica lenta, i els models discrets, capaços de detectar les inestabilitats degudes a la dinàmica ràpida. A més a més, alguns d'aquest models seran definits i analitzats. La seva utilitat s'ha provat no només en la predicció de la estabilitat, sinó també en la caracterització de bifurcacions no suaus presents en el circuit. Es demostra que senzills sistemes lineals a trams de dimensió ú proporcionen expressions analítiques per a les condicions d'estabilitat y existència de punts fixos. Per finalitzar, es desenvolupen mapes de dimensió més elevada per tal d'incrementar la precisió de les prediccions obtingudes mitjançat els averaged models i els models discrets. L'anàlisi discreta del convertidor SITITO governat per cadascuna d'aquestes estratègies ha revelat que la dinàmica por ser modelada per un sistema lineal a trams en un rang específic de paràmetres. Fins on sabem, la bibliografia proporcionada sobre mapes PWL inclou tant mapes continus com discontinus, encara que limitats a dos trams. Per tant, aquesta tesi contribueix en el camp de la dinàmica no suau amb el desenvolupament de les propietats d'un mapa de tres trams. Respecte al control IC, s'ha obtingut una anàlisi general de la seva estabilitat per a un convertidor SIMIMO amb un nombre genèric de càrregues. L'estudi de l'estabilitat del model discret de dimensió ú ha revelat l'existència d'un tipus de bifurcació no suau la qual ha estat classificada con una non-smooth pitchfork atesa l'aparició de nous punts fixos després de produir-se la bifurcació. Una anàlisi més detallada de models discrets de dimensions més elevades, associa aquesta bifurcació a una Neimark-Sacker. Finalment, aquesta tesi també inclou alguns resultats experimentals obtinguts amb un prototip d'un convertidor SITITO, per tal de validar els escenaris trobats en l'anàlisi del comportament dinàmic del convertidor regulat per les dues estratègies de control. / Switching power converters are known to be appropriate solutions to supply energy to electronic devices owing to their high efficiency and low cost. Their extensive use in the last decades has motivated researches to improve their designs and to go deeply into the comprehension of their behavior which, like most power electronic devices, exhibit nonlinear dynamics. More recently, electronic equipments containing multiple loads have been arisen such as PDA, mobile phones, MP3... These applications frequently require multiple supplies with different polarities. Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO) switching dc-dc converters are becoming as solutions to supply low power devices as LCD displays and to charge batteries due to the significant reduction of size because the use of a single inductor. The inherent switching nature of these systems classifies their dynamics into the field of Variable Structure Systems (VSS), which are also known as Piecewise Smooth (PWS) systems. Due to the fact that their dynamics cannot be completely explained with the classical smooth theory, in the last years a lot of effort has been addressed towards the research on a theory of non-smooth dynamics motivated by different fields of application. This dissertation deals with the dynamical characterization of SIMIMO converters, which can help us to prove their viability. Two strategies of control, both of them based on the widely used Pulse Width Modulation (PWM) control, are discussed. In the first alternative, the control is used to regulate a Two-Input Two-Output (SITITO) converter with opposite polarity. The two required modulate signals are generated synchronizely. This strategy of PWM control is called in this work Single Phase Control (SPC) in contrast to a second strategy, which is noted here as Interleaved Control (IC), capable of driving a generalized single inductor multiple-input multiple-output converters. This control is based on the use of various modulating signals, equal to the number of outputs, which are progressively time delayed. The dynamics of the SIMIMO converters, just like of the basic dc-dc converters, presents a rich variety of nonlinear phenomena, which covers from smooth bifurcations, such as period doubling, Saddle-Node or Hopf bifurcations, to non-smooth bifurcations. After proving the existence of stable dynamics if appropriate parameters are selected, this dissertation will deal with the investigation of models to analyze the complex dynamics of the converter in a wide range of parameters. Several models are proposed and analyzed in this work. Averaged models, from which slow scale instability condition can be determined, and discrete-time models, able to prove fast scale instabilities, are used in a complementary way. Besides this, several approaches of these models will be established and validated. Their usefulness will be proved not only in the prediction of the stability, but also in the characterization of the non-smooth bifurcations presents in this converter. It will be shown that simple one-dimensional Piecewise-Linear (PWL) models provide analytical expressions for the stability and existence conditions of fixed points of the discrete-time models. Furthermore, higher dimensional maps are developed to improve the accuracy of the predictions obtained by means of one-dimensional maps and averaged models. The discrete-time analysis of a SITITO converter driven by each of the two strategies of control has revealed that its dynamics can be modeled by a PWL with three trams in a specific range of parameters. To our best knowledge, the literature on PWL maps includes continuous and discontinuous maps but is limited to two trams. Therefore, this dissertation is a contribution in the field of non-smooth dynamics in base to the unfolding of specific dynamics of three-piece maps. Concerning the IC control, a generalized analysis of the stability is obtained for a SIMIMO converter with a generic number of loads. The stability analysis of the one-dimensional model has revealed the existence of a type of non-smooth bifurcation, which has been classified in this dissertation as a non-smooth pitchfork owing to the appearance of two new fixed points after undergoing the bifurcation. Detailed analysis in higher dimensional maps associates this bifurcation to a Neimark-Sacker, whose existence cannot be predicted by averaged models. This dissertation also includes some experimental results obtained with a SITITO dc-dc converter prototype, to validate some of the scenarios found in the analysis.