En 2003, Broto-Levi-Oliver van introduir el concepte de grup p-local finit, el qual és una generalització dels espais classificadors de grups finits p-completats. Més tard, els mateixos autors van introduir també el concepte de grup p-local compacte, el qual és una generalització dels espais classificadors de grups de Lie p-completats i dels grups p-compactes. Mentre que el concepte de grup p-local finit exòtic està clarament definit, en el cas compacte hi ha vàries famílies de grups que donen lloc a grups p-locals compactes, desdibuixant així la noció d'exoticitat. En aquesta tesi construim nous exemples de grups p-locals finits exòtics per a cada p >= 5. A més, demostrem que aquests nous exemples són simples en el sentit de que no contenen cap subsistema normal propi no trivial. Llavors, desenvolupem la teoria dels límits de sistemes de fusió. Demostrem que, per a tota família de sistemes de fusió satisfent certes propietats de compatibiliat, podem construir un sistema de fusió relacionat sobre un grup p-toral discret. A més, provem que aquesta construcció del límit coincideix amb el límit directe des d'un punt de vista categòric sota hipòtesis de saturació. Utilitzant els nous exemples de grups p-locals finits per a p >= 5, així com també altres famílies descobertes per Broto-Levi-Oliver i Díaz-Ruiz-Viruel, apliquem la construcció del límit per a obtenir dos nous exemples de sistemes de fusió sobre grups p-torals discrets per a cada p >= 5 i un nou exemple per a p = 3. Un cop tenim els nous sistemes de fusió, generalitzem un criteri de saturació conegut per a grups p-locals finits al cas compacte. Llavors, utilitzem aquest criteri per demostrar la saturació dels nous exemples que hem creat, donant lloc així a nous exemples de grups p-locals compactes. Finalment, demostrem que tant el nou exemple de grup 3-local compacte com els dous nous exemples de grups p-locals compactes per a p >= 5 no es poden realitzar amb grups de Lie compactes ni amb grups p-compactes. / In 2003, Broto-Levi-Oliver introduced the concept of p-local finite group, which is a generalization for p-completed classifying spaces of finite groups. Later, the same authors introduced also the notion of p-local compact group, which is a generalization for p-completed classifying spaces of compact Lie groups and p-compact groups. While the concept of exotic p-local finite group is clearly defined, in the compact case there are several families of groups which give rise to p-local compact groups, blurring this way the notion of exoticness. In this thesis we construct new examples of exotic p-local finite groups for every p >= 5. Moreover, we prove that these new examples are simple in the sense that they contain no proper nontrivial normal subsystems. Then, we develop the theory of limits of fusion systems. We prove that, for any family of fusion systems satisfying certain compatibility properties, we can construct a related fusion system over a discrete p-toral group. Moreover, we prove that this limit construction coincides with the direct limit from a categorical point of view under saturation hypothesis. Using the new examples of p-local finite groups for p >= 5, as well as other families of examples discovered by Broto-Levi-Oliver and Díaz-Ruiz-Viruel, we apply the limit construction to produce two new examples of fusion systems over discrete p-toral groups for each p >= 5 and one new example for p = 3. Once we have the new saturated fusion systems, we generalize a saturation criterion known for p-local finite groups to the compact case. Then, we use this criterion to prove the saturation of the new examples we have created, giving rise in this way to new examples of p-local compact groups. Finally, we prove that neither the new example of 3-local compact group nor the new two examples of p-local compact groups for p >= 5 can be realized by compact Lie groups or by p-compact groups.

No description available.

Sea S la categoría de los conjuntos simpliciales , C una categoría pequeña y SC la categoría de los C-diagramas en S. Se estudian fibraciones en SC sobre un C-diagrama constante; estas fibraciones se pueden ver como un conjunto de fibraciones en S sobre el mismo espacio base cuyas aplicaciones entre los espacios totales estan determinadas por C (de tal forma que el diagrama de fibraciones resultante es conmutativo). Usando la estructura de categoría de modelos cofibrantemente generada sobre SC podemos generalizar algunos conceptos clásicos , como por ejemplo el de fibración minimal, producto cartesiano torcido o grupo estructural de un fibrado. Cuando C es una categoría con un número finito de objetos y en la que todo endomorfismo es isomorfismo, es decir una EI-categoría, se prueba el siguiente resultado de clasificación: TEOREMA: Sea F un C-diagrama sobre una EI-categoría con un número finito de objetos. Si B es un espacio conexo, el conjunto de clases de equivalencia fibra a fibra de fibraciones con base B y fibra F esta en correspondencia biyectiva con el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones entre el espacio base B y el espacio clasificador del monoide homotópico de autoequivalencias homotópicas del diagrama F. Como sabemos dada una fibración en S siempre es posible obtener una localización fibra a fibra de esta, aunque el mismo resultado no es cierto en general para el caso de funtores de colocalización y más especificamente en el caso de celularizaciones. Aplicando este teorema es posible determinar la existencia y unicidad de celularizaciones fibra a fibra, lo cual se estudia en términos de teoría de obstrucción. Adicionalmente es posible concluir otros resultados clásicos, como por ejemplo el relacionado con localizaciones fibra a fibra.

Dado un espacio topológico punteado A, E. Dror-Farjoun introduce en 1995 la noción de A-homotopía, donde A y sus suspensiones juegan el mismo papel que las esferas en homotopía clásica. Por tanto se definen los grupos de A-homotopía de un espacio punteado X como las clases de homotopía de aplicaciones definidas desde las suspensiones de A a X. La idea de CW-complejo es sustituida por la de espacio A-celular, i.e., un espacio construido mediante ciertos colímites homotópicos punteados de A de manera iterada. El concepto de aproximación celular es remplazada por la de aproximación A-celular, esto es, un espacio A-celular CWAX junto con una aplicación natural CWAX → X que induce una equivalencia entre los espacios de aplicaciones punteadas map*(A, CWAX) y map*(A, X), y por tanto un isomorfismo en grupos de A-homotopía. Sea p un número primo. En este trabajo estudiamos la A-celularización, donde A es un espacio clasificador del tipo BZ/pm, BZ/p∞ o un producto de estos, de dos familias de espacios: los espacios ΣBZ/p-acíclios salvo p-completación, y los espacios clasificadores de grupos p-locales compactos. En el primer caso vemos que la A-celularización de un espacio ΣBZ/p-acíclio salvo p-completación 1-conexo X es equivalente a la fibra homotópica de la racionalización X^p → (X^p)Q. Como ejemplos tenemos los espacios de lazos infinitos y las torres de Postnikov 1-conexos con segundo grupo de homotopía de torsión. En el segundo caso, dado un grupo p-local compacto (S, F , L ), para el estudio de la celularización de |L |^p definimos el núcleo de una aplicación f : |L |^p → Y^p como el subgrupo de S formado por los elementos x tales que la restricción de f al espacio clasificador del grupo generado por x es homotópicamente trivial. Demostramos que, bajo ciertas hipótesis sobre |L |^p, si el núcleo de cierta aplicación determinante en el cálculo de la celularización es todo el p-grupo S, entonces la A-celularización de |L |^p es equivalente a la fibra homotópica de la racionalización |L |^p → (|L |^p)Q . En el caso finito somos un más precisos, demostrando que si (S, F , L ) es un grupo p-local finito entonces |L |^p es BZ/pm -celular si y solamente si dicho núcleo es igual al mínimo subgrupo de S fuertemente cerrado que contiene toda la pi-torsión para i ≤ m. En el caso de un grupo de Lie compacto y conexo probamos que existe un entero no negativo m0 tal que para todo m ≥ m0 la (BZ/p∞ x BZ/pm)-celularización de BG^p es equivalente a la fibra homotópica de la racionalización BG^p → (BG^p)Q. / Given a pointed topological space A, in 1995 E. Dror-Farjoun introduced the notion of A-homotopy, where A and its suspensions play the same role of the spheres in classical homotopy. Therefore the A-homotopy groups of a pointed space X are defined as the homotopy classes of maps from the suspensions of A to X. The idea of CW-complex is replaced by the one of A-cellular space, i.e., a space constructed by certain iterated homotopy colimits from A. The concept of cellular approximation is replaced by the A-cellular approximation, this is, a space A-cellular CWAX together with a natural map CWAX → X which induces an equivalence in the mapping spaces map*(A, CWAX) and map*(A, X), and hence an isomorphism in A-homotopy groups. Let p be a prime. In this work we study the A-cellularization, where A is a classifying space of type BZ/pm, BZ/p∞, or a product of these, of two families of spaces: the ΣBZ/p-acyclic spaces up to p-completion and the classifying spaces of p-local compact groups. In the first case we prove that the A-cellularization of a 1-connected ΣBZ/p-acyclic space up to p-completion X is equivalent to the homotopy fibre of the rationalization X^p → (X^p)Q.. Examples include the 1-connected infinite loop spaces and Postnikov pieces whose second homotopy group is a torsion group. In the second case, given a p-local group compact (S, F , L ), for the study of the A-cellularization of |L |^p, we define the kernel of a map f : |L |^p → Y^ as the subgroup of S formed by the elements x which the restriction of f to the classifying space of the group generated by x is null-homotopic. Under certain assumptions on |L |^p, we show that if the kernel of a certain map, which is determinant in the computation of the A-cellularization, is the p-group S, then the A-cellularization of |L |^p is the homotopy fibre of the rationalization |L |^p → (|L |^p)Q. In the finite case we are more precise, we prove that if (S, F , L ) is a finite p- local group, then |L |^p is BZ/pm-cellular if and only if the kernel of this map is equal to the minimal strongly F -closed subgroup in S that contains all the pi-torsion for i ≤ m. In the case of a compact Lie group, we prove that there is a non-negative integer m0 such that for all m ≥ m0, the (BZ/p∞ x BZ/pm)-cellularization of BG^p is equivalent to the homotopy fibre of the rationalization BG^p → (BG^p)Q.

This PhD thesis is the result of our research on duality theory and completions for partially ordered sets. A first main aim of this dissertation is to propose different kind of topological dualities for some classes of partially ordered sets and a second aim is to try to use these dualities to obtain completions with nice properties. To this end, we intend to follow the line of the classical dualities for bounded distributive lattices due to Stone and Priestley. Thus, we will need to consider a notion of distributivity on partially ordered sets. Also we propose a topological duality for the class of all partially ordered sets and we use this duality to study some properties of partially ordered sets like its canonical extension, order-preserving maps and the extensions of n-ary maps that are order-preserving in each coordinate. Moreover, to attain these aims we will study the partially ordered sets from an algebraic point of view. / Esta tesis doctoral es el resultado de nuestra investigación sobre la teoría de la dualidad y completaciones de conjuntos parcialmente ordenados. Un primer objetivo general de este trabajo es proponer diferentes tipos de dualidades topológicas para algunas clases de conjuntos parcialmente ordenados y un segundo objetivo es tratar de utilizar estas dualidades para obtener diferentes completaciones con buenas propiedades. Para este fin, nos proponemos seguir la línea de las dualidades clásicas para retículos distributivos acotados debidas a Stone y a Priestley. Por lo tanto, necesitaremos considerar una noción de distributividad sobre conjuntos parcialmente ordenados. También proponemos una dualidad topológica para la clase de todos los conjuntos parcialmente ordenados y usamos esta dualidad para estudiar algunas propiedades de los conjuntos parcialmente ordenados como su extensión canónica, funciones que preservan orden y las extensiones de funciones n-arias que preservan orden en cada coordenada. Por otra parte, para alcanzar estos objetivos vamos a estudiar los conjuntos parcialmente ordenados desde un punto de vista algebraico.

This dissertation revolves around the idea of linear interference alignment (IA) for a network consisting of several mutually interfering transmitter-receiver pairs, which is commonly known as interference channel. In particular, we consider the case where nodes are equipped with multiple antennas and exploit the spatial dimension to perform interference alignment. This work explores the problem of linear spatial domain interference alignment in three different facets. Our first contribution is to analyze the conditions, i.e., number of antennas, users and streams, under which IA is feasible. For this task, we distinguish between systems in which each user transmits a single stream of information (single-beam systems) and those in which multiple streams per user are transmitted (multi-beam systems). For single-beam systems, we show that the problem admits a closed-form solution with a time-complexity that is linear in the number of users. For multi-beam systems, we propose a numerical feasibility test that completely settles the question of IA feasibility for arbitrary networks and is shown to belong to the bounded-error probabilistic polynomial time (BPP) complexity class. The second contribution consists in generalizing the aforementioned feasibility results to characterize the number of existing IA solutions. We show that different IA solutions can exhibit dramatically different performances and, consequently, the number of solutions turns out to be an important metric to evaluate the ability of a system to improve its performance in terms of sum-rate or robustness while maintaining perfect IA. Finally, our contributions conclude with the design of two algorithms for the computation of IA solutions. / Esta tesis gira en torno a la idea de alineado de interferencias (interference alignment, IA) lineal en redes donde varios pares transmisor-receptor se comunican simultáneamente; escenario conocido como canal de interferencia. En particular, se considera el caso en el que cada nodo (ya sea transmisor o receptor) está equipado con varias antenas y hace uso de la dimensión espacial para llevar a cabo el citado alineado de interferencias. En esta tesis se explora el problema del alineado de interferencias en el dominio espacial desde tres puntos de vista diferentes. En primer lugar, se analizan las condiciones (número de antenas, usuarios y flujos de información) bajo las cuales el alineado de interferencias es posible. Para esta tarea, se distingue entre sistemas en los que cada usuario envía uno o múltiples flujos de información. En el primer caso, se demuestra que el problema admite una solución cerrada que puede ser evaluada con complejidad lineal en el número de usuarios. En el segundo caso, se propone un test numérico que da una respuesta concluyente al problema y muestra que el problema pertenece a la clase de complejidad BPP. En segundo lugar, los resultados anteriores son generalizados para calcular el número de soluciones existentes. En ocasiones, no sólo interesa determinar si el problema de alineado de interferencias tiene solución o no, sino que es interesante conocer cuántas soluciones existen. En esta tesis se muestra que diferentes soluciones pueden exhibir resultados dramáticamente diferentes. Por consiguiente, el número de soluciones actúa como una métrica de diversidad que refleja la capacidad de una red para mejorar su rendimiento en términos de tasa suma, robustez o cualquier otra métrica. Por último, se proponen dos algoritmos para la obtención de soluciones de alineado de interferencias.