In chapter 3 of this thesis, I discuss in some detail the historical development of energy localization, emphasizing the particular physical concepts which are important for the understanding of this phenomenon. Furthermore, I describe the mathematical concepts of a discrete breather and homoclinic orbits, which are intimately connected between them and constitute the main object of study of this dissertation. / -

Cette thèse est consacrée à l'étude des algèbres de Hecke carquois et de certaines généralisations des algèbres d'Iwahori-Hecke. Dans un premier temps, nous montrons deux résultats concernant les algèbres de Hecke carquois, dans le cas où le carquois possède plusieurs composantes connexes puis lorsqu'il possède un automorphisme d'ordre fini. Ensuite, nous rappelons un isomorphisme de Brundan-Kleshchev et Rouquier entre algèbres d'Ariki-Koike et certaines algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. D'une part nous en déduisons qu'une équivalence de Morita importante bien connue entre algèbres d'Ariki-Koike provient d'un isomorphisme, d'autre part nous donnons une présentation de type Hecke carquois cyclotomique pour l'algèbre de Hecke de G(r,p,n). Nous généralisons aussi l'isomorphisme de Brundan-Kleshchev pour montrer que les algèbres de Yokonuma-Hecke cyclotomiques sont des cas particuliers d'algèbres de Hecke carquois cyclotomiques. Finalement, nous nous intéressons à un problème de combinatoire algébrique, relié à la théorie des représentations des algèbres d'Ariki-Koike. En utilisant la représentation des partitions sous forme d'abaque et en résolvant, via un théorème d'existence de matrices binaires, un problème d'optimisation convexe sous contraintes à variables entières, nous montrons qu'un multi-ensemble de résidus qui est bégayant provient nécessairement d'une multi-partition bégayante. / This thesis is devoted to the study of quiver Hecke algebras and some generalisations of Iwahori-Hecke algebras. We begin with two results concerning quiver Hecke algebras, first when the quiver has several connected components and second when the quiver has an automorphism of finite order. We then recall an isomorphism of Brundan-Kleshchev and Rouquier between Ariki-Koike algebras and certain cyclotomic quiver Hecke algebras. From this, on the one hand we deduce that a well-known important Morita equivalence between Ariki--Koike algebras comes from an isomorphism, on the other hand we give a cyclotomic quiver Hecke-like presentation for the Hecke algebra of type G(r,p,n). We also generalise the isomorphism of Brundan-Kleshchev to prove that cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras are particular cases of cyclotomic quiver Hecke algebras. Finally, we study a problem of algebraic combinatorics, related to the representation theory of Ariki-Koike algebras. Using the abacus representation of partitions and solving, via an existence theorem for binary matrices, a constrained optimisation problem with integer variables, we prove that a stuttering multiset of residues necessarily comes from a stuttering multipartition.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats concernant le contrôle et la stabilisation d'équations dispersives étudiées sur un intervalle borné. Pour commencer, nous étudions la stabilisation interne du système de Gear-Grimshaw, qui est un système de deux équations de Korteweg-de-Vries (KdV) couplées. Nous obtenons une décroissance exponentielle de l'énergie totale associée au modèle en introduisant une fonction de Lyapunov convenable. Nous prouvons aussi des résultats de contrôlabilité à zéro et exacte pour l'équation de Korteweg-de Vries avec un contrôle distribué à support dans un sous-intervalle du domaine. Pour la contrôlabilité à zéro du système linéarisé, nous utilisons l'approche classique basée sur la dualité qui ramène le problème à l'étude d'une inégalité d'observabilité qui, dans ce travail, est établie à l'aide d'une inégalité de Carleman. Ensuite, utilisant des fonctions plateau, nous prouvons un résultat de contrôlabilité exacte. Dans les deux cas, le résultat concernant le système non linéaire est obtenu à l'aide d'un argument de point fixe. Enfin, dans la lignée du résultat de contrôlabilité au bord obtenu par L. Rosier pour KdV, nous prouvons que le système linéaire de Boussinesq de type KdV-KdV est exactement contrôlable lorsque des contrôles sont appliqués au bord. Notre méthode repose sur l'utilisation de multiplicateurs et l'approche de la dualité mentionnée ci-dessus. Lorsqu'un mécanisme d'amortissement est introduit au bord, nous montrons que le système non linéaire est aussi exactement contrôlable et que l'énergie associée au modèle décroit exponentiellement / This work is devoted to prove a series of results concerning the control and stabilization properties of dispersive models posed on a bounded interval. Initially, we study the internal stabilization of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations (KdV), the so-called Gear-Grimshaw system. Defining a convenient Lyapunov function we obtain the exponential decay of the total energy associated to the model. We also prove results of null and exact controllability for the Korteweg-de Vries equation with a control acting internally on a subset of the domain. In the case of the null controllability for the linear model, we use a classical duality approach which reduces the problem to the study of an observability inequality that, in this work, is proved by means of a Carleman inequality. Then, making use of cut-off functions, the exact controllability is also investigated. In both cases, the result for the nonlinear system is obtained by means of fixed-point argument. Finally, in view of the result of the boundary controllability obtained by L. Rosier for the KdV equation, we prove that the linear Boussinesq system of KdV-KdV type is exactly controllable when the controls act in the boundary conditions. Our analysis is performed using multipliers and the duality approach mentioned above. Adding a damping mechanism in the boundary, it is proved that the nonlinear system is also exactly controllable and that the energy associated to the model decays exponentially