Nous décrivons une procédure numérique pour le recalage d'IRM cérébrales 3D. Le problème d'appariement est abordé à travers la distinction usuelle entre le modèle de déformation et le critère d'appariement. Le modèle de déformation est celui de l'anatomie computationnelle, fondé sur un groupe de difféomorphismes engendrés en intégrant des champs de vecteurs. Le décalage entre les images est évalué en comparant les lignes de niveau de ces images, représentées par un courant différentiel dans le dual d'un espace de champs de vecteurs. Le critère d'appariement obtenu est non local et rapide à calculer. On se place dans l'ensemble des difféomorphismes pour rechercher une déformation reliant les deux images. Pour cela, on minimise le critère en suivant le principe de l'algorithme sous-optimal. L'efficacité de l'algorithme est renforcée par une description eulérienne et périodique du mouvement. L'algorithme est appliqué pour le recalage d'images IRM cérébrale 3d, la procédure numérique menant à ces résultats est intégralement décrite. Nos travaux concernent aussi l'analyse des propriétés de l'algorithme. Pour cela, nous avons simplifié l'équation représentant l'évolution de l'image et étudié l'équation simplifiée en utilisant la théorie des solutions de viscosité. Nous étudions aussi le problème de détection de rupture dans la variance d'un signal aléatoire gaussien. La spécificité de notre modèle vient du cadre infill, ce qui signifie que la distribution des données dépend de la taille de l'échantillon. L'estimateur de l'instant de rupture est défini comme le point maximisant une fonction de contraste. Nous étudions la convergence de cette fonction et ensuite la convergence de l'estimateur associé. L'application la plus directe concerne l'estimation de changement dans le paramètre de Hurst d'un mouvement brownien fractionnaire. L'estimateur dépend d'un paramètre p > 0 et nos résultats montrent qu'il peut être intéressant de choisir p < 2. / We present a numerical procedure for the matching of 3D MRI. The problem of image matching is addressed through the usual distinction between the deformation model and the matching criterion. The deformation model is based on the theory of computational anatomy and the set of deformations is a group of diffeomorphisms generated by integrating vector fields. The discrepancy between the two images is evaluated through comparisons of level lines represented by a differential current in the dual of a space of vector fields. This representation leads to a quickly computable non-local criterion. Then, the optimisation method is based on the minimization of the criterion following the idea of the so-called sub-optimal algorithm. We take advantage of the eulerian and periodical description of the algorithm to get an efficient numerical procedure. This algorithm can be used to deal with 3d MR images and numerical experiences are presented. In an other part, we focus on theoretical properties of the algorithm. We begin by simplifying the equation representing the evolution of the deformed image and we use the theory of viscosity solutions to study the simplified equation. The second issue we are interested in is the change-point estimation for a gaussian sequence with change in the variance parameter. The main feature of our model is that we work with infill data and the nature of the data can evolve jointly with the size of the sample. The usual approach suggests to introduce a contrast function and using the point of its maximum as a change-point estimator. We first get an information about the asymptotic fluctuations of the contrast function around its mean function. Then, we focus on the change-point estimator and more precisely on the convergence of this estimator. The most direct application concerns the detection of change in the Hurst parameter of a fractional brownian motion. The estimator depends on a parameter p > 0, generalizing the usual choice p = 2. We present some results illustrating the advantage of a parameter p < 2.

Local electricity markets can be defined broadly as 'future electricity market designs involving domestic customers, demand-side response and energy storage'. Like current deregulated electricity markets, these localised derivations present specific stochastic optimisation problems in which the dynamic and random nature of the market is intertwined with the physical needs of its participants. Moreover, the types of contracts and constraints in this setting are such that 'games' naturally emerge between the agents. Advanced modelling techniques beyond classical mathematical finance are therefore key to their analysis. This thesis aims to study contracts in these local electricity markets using the mathematical theories of stochastic optimal control and games. Chapter 1 motivates the research, provides an overview of the electricity market in Great Britain, and summarises the content of this thesis. It introduces three problems which are studied later in the thesis: a simple control problem involving demand-side management for domestic customers, and two examples of games within local electricity markets, one of them involving energy storage. Chapter 2 then reviews the literature most relevant to the topics discussed in this work. Chapter 3 investigates how electric space heating loads can be made responsive to time varying prices in an electricity spot market. The problem is formulated mathematically within the framework of deterministic optimal control, and is analysed using methods such as Pontryagin's Maximum Principle and Dynamic Programming. Numerical simulations are provided to illustrate how the control strategies perform on real market data. The problem of Chapter 3 is reformulated in Chapter 4 as one of optimal switching in discrete-time. A martingale approach is used to establish the existence of an optimal strategy in a very general setup, and also provides an algorithm for computing the value function and the optimal strategy. The theory is exemplified by a numerical example for the motivating problem. Chapter 5 then continues the study of finite horizon optimal switching problems, but in continuous time. It also uses martingale methods to prove the existence of an optimal strategy in a fairly general model. Chapter 6 introduces a mathematical model for a game contingent claim between an electricity supplier and generator described in the introduction. A theory for using optimal switching to solve such games is developed and subsequently evidenced by a numerical example. An optimal switching formulation of the aforementioned game contingent claim is provided for an abstract Markovian model of the electricity market. The final chapter studies a balancing services contract between an electricity transmission system operator (SO) and the owner of an electric energy storage device (battery operator or BO). The objectives of the SO and BO are combined in a non-zero sum stochastic differential game where one player (BO) uses a classic control with continuous effects, whereas the other player (SO) uses an impulse control (discontinuous effects). A verification theorem proving the existence of Nash equilibria in this game is obtained by recursion on the solutions to Hamilton-Jacobi-Bellman variational PDEs associated with non-zero sum controller-stopper games.

Les systèmes descripteurs incertains sont convenables pour la représentation des incertitudes d’un modèle, du comportement impulsif et des contraintes algébriques entre les variables d’état. Ils peuvent décrire bien plus de phénomènes qu’un système dynamique standard, mais, en conséquence, l’analyse des systèmes descripteurs incertains est aussi plus complexe. Des recherches sont menées de façon à réduire le degré de conservatisme dans l’analyse des systèmes descripteurs incertains. L’utilisation des fonctions de Lyapunov qui sont en mesure de générer des conditions nécessaires et suffisantes pour une telle évaluation y figurent. Les fonctions de Lyapunov polynomiales homogènes font partie de ces classes, mais elles n’ont jamais été employées pour les systèmes descripteurs incertains. Dans cette thèse, nous comblons ce vide dans la littérature en étendant l’usage des fonctions de Lyapunov polynomiales homogènes du cas incertain standard vers les systèmes descripteurs incertains. / Uncertain descriptor systems are a convenient framework for simultaneously representing uncertainties in a model, as well as impulsive behavior and algebraic constraints. This is far beyond what can be depicted by standard dynamic systems, but it also means that the analysis of uncertain descriptor systems is more complex than the standard case. Research has been conducted to reduce the degree of conservatism in the analysis of uncertain descriptor systems. This can be achieved by using classes of Lyapunov functions that are known to be able to provide necessary and sufficient conditions for this evaluation. Homogeneous polynomial Lyapunov functions constitute one of such classes, but they have never been employed in the context of uncertain descriptor systems. In this thesis, we fill in this scientific gap, extending the use of homogeneous polynomial Lyapunov functions from the standard uncertain case for the uncertain descriptor one.

Στη παρούσα διπλωματική εργασία ασχολούμαστε με την αποδοτική επίλυση ταινιακών και γενικών, αραιών γραμμικών συστημάτων σε παράλληλες αρχιτεκτονικές μέσω της οικογένειας αλγορίθμων Spike. Ζητούμενο είναι η βελτίωση (μείωση) του χρόνου επίλυσης μέσω τεχνικών επίλυσης γραμμικών συστημάτων με πολλά δεξιά μέλη. Πιο συγκεκριμένα, επικεντρωνόμαστε στην επίλυση της εξίσωσης μητρώου $AX=F$ (1) όπου $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ είναι το μητρώο συντελεστών και το οποίο είναι αραιό ή/και ταινιακό, $F\in \mathbb{R}^{n\times s}$ είναι ένα μητρώο με $s$ στήλες το οποίο ονομάζεται μητρώο δεξιών μελών και $X\in \mathbb{R}^{n\times s}$ είναι η λύση του συστήματος. Μια σημαντική μέθοδος για την παράλληλη επίλυση της παραπάνω εξίσωσης, είναι η μέθοδος Spike και οι παραλλαγές της. Η μέθοδος Spike βασίζεται στη τεχνική διαίρει και βασίλευε και αποτελείται από δυο φάσεις: α) επίλυση ανεξάρτητων υπο-προβλημάτων τοπικά σε κάθε επεξεργαστή, και β) επίλυση ενός πολύ μικρότερου προβλήματος το οποίο απαιτεί επικοινωνία μεταξύ των επεξεργαστών. Οι δύο φάσεις συνδυάζονται ώστε να παραχθεί η τελική λύση $X$. Η συνεισφορά της διπλωματικής εργασίας έγκειται στην επιτάχυνση της οικογένειας αλγορίθμων Spike για την επίλυση της εξίσωσης (1) μέσω της μελέτης, το σχεδιασμό και την υλοποίηση νέων, περισσότερο αποδοτικών αλγοριθμικών σχημάτων τα οποία βασίζονται σε τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων με πολλά δεξιά μέλη. Αυτά τα νέα αλγοριθμικά σχήματα έχουν ως στόχο τη βελτίωση του χρόνου επίλυσης των γραμμικών συστημάτων καθώς και άλλα οφέλη όπως η αποδοτικότερη χρήση μνήμης. / In this thesis we focus on the efficient solution of general banded and general sparse linear systems on parallel architectures by exploiting the Spike family of algorithms. The equation of interest can be written in matrix form as $ AX = F $ (1) where $ A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n} $ is the coefficient matrix, which is also sparse and / or banded, $ F \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times s} $ is a matrix with $ s $ columns called matrix of the right hand sides and $ X \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times s} $ is the solution of the system. An important method for the parallel solution of the above equation, is the Spike method and its variants. The Spike method is based on the divide and conquer technique and consists of two phases: a) solution of local, independent sub-problems in each processor, and b) solution of a much smaller problem which requires communication among the processors. The two phases are combined to produce the final solution $ X $. The contribution of this thesis is the acceleration of the Spike method for the solution of the matrix equation in (1) by studying, designing and implementing new, more efficient algorithmic schemes which are based on techniques used for the effective solution of linear systems with multiple right hand sides. These new algorithmic schemes were designed to improve the solving time of the linear systems as well as to provide other benefits such as more efficient use of memory.

Ce mémoire de thèse est consacrée à l'étude des problèmes d'évolution où la dynamique est régi par l'opérateur de diffusion de sous-gradient. Nous nous intéressons à deux types de problèmes d'évolution. Le premier problème est régi par un opérateur local de type Leray-Lions avec un domaine borné. Dans ce problème, l'opérateur est maximal monotone et ne satisfait pas la condition standard de contrôle de la croissance polynomiale. Des exemples typiques apparaît dans l'étude de fluide non-Neutonian et aussi dans la description de la dynamique du flux de sous-gradient. Pour étudier le problème nous traitons l'équation dans le contexte de l'EDP non linéaire avec le flux singulier. Nous utilisons la théorie de gradient tangentiel pour caractériser l'équation d'état qui donne la relation entre le flux et le gradient de la solution. Dans le problème stationnaire, nous avons l'existence de la solution, nous avons également l'équivalence entre le problème minimisation initial, le problème dual et l'EDP. Dans l'équation de l'évolution, nous proposons l'existence, l'unicité de la solution. Le deuxième problème est régi par un opérateur discret. Nous étudions l'équation d'évolution discrète qui décrivent le processus d'effondrement du tas de sable. Ceci est un exemple typique de phénomènes auto-organisés critiques exposées par une slope critique. Nous considérons l'équation d'évolution discrète où la dynamique est régie par sous-gradient de la fonction d'indicateur de la boule unité. Nous commençons par établir le modèle, nous prouvons existence et l'unicité de la solution. Ensuite, en utilisant arguments de dualité nous étudions le calcul numérique de la solution et nous présentons quelques simulations numériques. / This thesis is devoted to the study of evolution problems where the dynamic is governed by sub-gradient diffusion operator. We are interest in two kind of evolution problems. The first problem is governed by local operator of Leray-Lions type with a bounded domain. In this problem, the operator is maximal monotone and does not satisfied the standard polynomial growth control condition. Typical examples appears in the study of non-Neutonian fluid and also in the description of sub-gradient flows dynamics. To study the problem we handle the equation in the context of nonlinear PDE with singular flux. We use the theory of tangential gradient to characterize the state equation that gives the connection between the flux and the gradient of the solution. In the stationary problem, we have the existence of solution, we also get the equivalence between the initial minimization problem, the dual problem and the PDE. In the evolution one, we provide the existence, uniqueness of solution and the contractions. The second problem is governed by a discrete operator. We study the discrete evolution equation which describe the process of collapsing sandpile. This is a typical example of Self-organized critical phenomena exhibited by a critical slop. We consider the discrete evolution equation where the dynamic is governed by sub-gradient of indicator function of the unit ball. We begin by establish the model, we prove existence and uniqueness of the solution. Then by using dual arguments we study the numerical computation of the solution and we present some numerical simulations.