Les équations de Navier-Stokes linéarisées sont utilisées dans l’industrie aéronautique pour l’optimisation de forme aérodynamique, l’aéroélasticité et l’aéroacoustique. Deux axes ont été suivis pour accélérer et rendre plus robuste la résolution de ces équations. Le premier est l’amélioration de la méthode itérative de résolution de systèmes linéaires utilisée, et le deuxième la formulation du schéma numérique conduisant à ce système linéaire. Dans cette première partie, l’extension de l’algorithme GMRES avec déflation spectrale à des systèmes à plusieurs seconds membres a été testée sur des cas tests industriels. L’amélioration du préconditionnement de la méthode GMRES par l’utilisation d'une méthode de Schwarz additive avec préconditionneur ILU(k) a permis une accélération du temps de résolution allant jusqu’à un facteur dix, ainsi que la convergence de cas jusqu’alors impossibles à résoudre. La deuxième partie présente d’abord un travail sur la stabilisation SUPG du schéma élément fini utilisé. La forme proposée de la matrice de stabilisation, dite complète, a donné des résultats encourageants en non-linéaire qui ne se sont pas transposés en linéarisé. Une étude sur les conditions aux limites de Dirichlet clôt cette partie. Une méthode algébrique d’imposition de conditions non homogènes sur des variables non triviales du calcul, qui a permis l’application industrielle à l’aéroacoustique, y est détaillée. De plus, la preuve est apportée que le caractère transparent d’une condition de Dirichlet homogène sur toutes les variables s’explique par le schéma SUPG. / The linearized Navier-Stokes equations are solved at Dassault Aviation within numerical simulations for aerodynamic shape optimisation, flutter calculations and aeroacoustics. In order to improve the robustness and efficiency of the Navier-Stokes solver, this thesis followed two complementary paths. The first is work on the iterative methods used to solve linear systems, and the second is the improvement of the numerical scheme underlying these linear systems. In the first part, the extension to multiple right-hand sides of the GMRES algorithm with spectral deflation was tested on industrial test cases. The use of the ILU(k) preconditioner within an additive Schwarz method led to a reduction of the time needed to solve the systems with GMRES by a factor ten. It also enabled the convergence of some numerically very difficult cases which could not be solved by the software available before this thesis. The second part of the manuscript begins with work on the SUPG method used to stabilise the finite element scheme. A new way of computing the stabilisation matrix gave promising results on non-linear cases, which were however not observed for linear cases. A study on Dirichlet boundary conditions concludes this part. An algebraic method to impose non homogeneous Dirichlet boundary conditions on non-trivial variables is introduced. It enables the use, in an industrial context, of linearized Navier-Stokes for aeroacoustics. Moreover, the transparent behaviour of a homogeneous Dirichlet boundary conditions on all variables is proved to be due to the SUPG stabilisation.

Receiver operating characteristic (ROC) curves are widely used for evaluating classifier performance, having been applied to e.g. signal detection, medical diagnostics and safety critical systems. They allow examination of the trade-offs between true and false positive rates as misclassification costs are varied. Examination of the resulting graphs and calcu- lation of the area under the ROC curve (AUC) allows assessment of how well a classifier is able to separate two classes and allows selection of an operating point with full knowledge of the available trade-offs. In this thesis a multi-objective evolutionary algorithm (MOEA) is used to find clas- sifiers whose ROC graph locations are Pareto optimal. The Relevance Vector Machine (RVM) is a state-of-the-art classifier that produces sparse Bayesian models, but is unfor- tunately prone to overfitting. Using the MOEA, hyper-parameters for RVM classifiers are set, optimising them not only in terms of true and false positive rates but also a novel measure of RVM complexity, thus encouraging sparseness, and producing approximations to the Pareto front. Several methods for regularising the RVM during the MOEA train- ing process are examined and their performance evaluated on a number of benchmark datasets demonstrating they possess the capability to avoid overfitting whilst producing performance equivalent to that of the maximum likelihood trained RVM. A common task in bioinformatics is to identify genes associated with various genetic conditions by finding those genes useful for classifying a condition against a baseline. Typ- ically, datasets contain large numbers of gene expressions measured in relatively few sub- jects. As a result of the high dimensionality and sparsity of examples, it can be very easy to find classifiers with near perfect training accuracies but which have poor generalisation capability. Additionally, depending on the condition and treatment involved, evaluation over a range of costs will often be desirable. An MOEA is used to identify genes for clas- sification by simultaneously maximising the area under the ROC curve whilst minimising model complexity. This method is illustrated on a number of well-studied datasets and ap- plied to a recent bioinformatics database resulting from the current InChianti population study. Many classifiers produce “hard”, non-probabilistic classifications and are trained to find a single set of parameters, whose values are inevitably uncertain due to limited available training data. In a Bayesian framework it is possible to ameliorate the effects of this parameter uncertainty by averaging over classifiers weighted by their posterior probabil- ity. Unfortunately, the required posterior probability is not readily computed for hard classifiers. In this thesis an Approximate Bayesian Computation Markov Chain Monte Carlo algorithm is used to sample model parameters for a hard classifier using the AUC as a measure of performance. The ability to produce ROC curves close to the Bayes op- timal ROC curve is demonstrated on a synthetic dataset. Due to the large numbers of sampled parametrisations, averaging over them when rapid classification is needed may be impractical and thus methods for producing sparse weightings are investigated.

We describe Employees Provident Funds (EPF) Malaysia. We explain about Defined Contribution and Defined Benefit Pension Funds and examine their similarities and differences. We also briefly discuss and compare EPF schemes in four Commonwealth countries. A family of Stochastic Programming Models is developed for the Employees Provident Fund Malaysia. This is a family of ex-ante decision models whose main aim is to manage, that is, balance assets and liabilities. The decision models comprise Expected Value Linear Programming, Two Stage Stochastic Programming with recourse, Chance Constrained Programming and Integrated Chance Constraints Programming. For the last three decision models we use scenario generators which capture the uncertainties of asset returns, salary contributions and lump sum liabilities payments. These scenario generation models for Assets and liabilities were developed and calibrated using historical data. The resulting decisions are evaluated with in-sample analysis using typical risk adjusted performance measures. Out- of- sample testing is also carried out with a larger set of generated scenarios. The benefits of two stage stochastic programming over deterministic approaches on asset allocation as well as the amount of borrowing needed for each pre-specified growth dividend are demonstrated. The contributions of this thesis are i) an insightful overview of EPF ii) construction of scenarios for assets returns and liabilities with different values of growth dividend, that combine the Markov population model with the salary growth model and retirement payments iii) construction and analysis of generic ex-ante decision models taking into consideration uncertain asset returns and uncertain liabilities iv) testing and performance evaluation of these decisions in an ex-post setting.

En optimisation les conditions d’optimalité jouent un rôle primordial pour détecter les solutions optimales et leur étude occupe une place significative dans la recherche actuelle. Afin d’exprimer adéquatement des conditions d’optimalité les chercheurs ont introduit diverses notions de dérivées généralisées non seulement pour des fonctions non lisses, mais aussi pour des fonctions à valeurs ensemblistes, dites applications multivoques ou multifonctions. Cette thèse porte sur l’application des deux nouveaux concepts de dérivées généralisées: les ensembles variationnels de Khanh-Tuan et les approximations de Jourani-Thibault, aux problèmes d’optimisation multiobjectif et aux problèmes d’équilibre vectoriel. L’enjeu principal est d’obtenir des conditions d’optimalité du premier et du second ordre pour les problèmes ayant des données multivoques ou univoques non lisses et pas forcément continues, et des conditions assurant l’unicité des solutions dans les problèmes d’équilibre vectoriel. / Optimality conditions for nonsmooth optimization have become one of the most important topics in the study of optimization-related problems. Various notions of generalized derivatives have been introduced to establish optimality conditions. Besides establishing optimality conditions, generalized derivatives also is an important tool for studying the local uniqueness of solutions. During the last three decades, these topics have been being developed, generalized and applied to many elds of mathematics by many authors all over the world. The purpose of this thesis is to investigate the above topics. It consists of ve chapters. In Chapter 1, we develop elements of calculus of variational sets for set-valued mappings, which were recently introduced in Khanh and Tuan (2008). Most of the usual calculus rules, from chain and sum rules to rules for unions, intersections, products and other operations on mappings, are established. As applications we provide a direct employment of sum rules to establishing an explicit formula for a variational set of the solution map to a parametrized variational inequality in terms of variational sets of the data. Furthermore, chain rules and sum or product rules are also used to prove optimality conditions for weak solutions of some vector optimization problems. In Chapter 2, we propose notions of higher-order outer and inner radial derivatives of set-valued maps and obtain main calculus rules. Some direct applications of these rules in proving optimality conditions for particular optimization problems are provided. Then, we establish higher-order optimality necessary conditions and sufficient ones for a general set-valued vector optimization problem with inequality constraints. Chapter 3 is devoted to using first and second-order approximations, which were introduced by Jourani and Thibault (1993) and Allali and Amaroq (1997), as generalized derivatives, to establish both necessary and sufficient optimality conditions for various kinds of solutions to nonsmooth vector equilibrium problems with functional constraints. Our rst-order conditions are shown to be applicable in many cases, where existing ones cannot be applied. The second-order conditions are new. In Chapter 4, we consider nonsmooth multi-objective fractional programming on normed spaces. Using rst and second-order approximations as generalized derivatives, rst and second-order optimality conditions are established. For sufficient conditions no convexity is needed. Our results can be applied even in innite dimensional cases involving innitely discontinuousmaps. In Chapter 5, we establish sufficient conditions for the local uniqueness of solutions to nonsmooth strong and weak vector equilibrium problems. Also by using approximations, our results are valid even in cases where the maps involved in the problems suffer innite discontinuity at the considered point.

Répondant à un besoin grandissant de standardisation et d’adaptabilité pour les systèmes pyrotechniques, nous présentons au travers de ce travail un nouveau concept de leurre infrarouge intelligent, contrôlable à l’aide d’un système d’initiation électronique miniature embarqué. Notre solution innovante se décompose en trois blocs fonctionnels distincts : (1) un bloc d’éjection pyrotechnique contrôlable intégrant trois charges d’éjection dans une seule pièce plastique métallisée, (2) un bloc appelé fonction terminale, constitué d’un pain pyrotechnique infrarouge structuré, couplé à un étage de micro-initiation à base de nano-thermites, adressable et basse énergie, et (3) un bloc de contrôle, connecté et autonome, répondant au STANAG 4187 qui commande l’armement et la mise à feu des fonctions pyrotechniques. Au cours de ce travail, nous avons développé un code de balistique intérieure à paramètres globaux et un superviseur d’optimisation, capable de simuler n’importe quel système à effet mortier, et un code de régression géométrique basé sur la méthode level-set,capable de modéliser la combustion de n’importe quel pain solide multicomposition, compartimenté ou structuré, allumé séquentiellement ou simultanément en plusieurs points.Nous avons montré théoriquement, puis validé expérimentalement, qu’il était possible de contrôler finement la réaction de combustion des pains pyrotechniques IR grâce à un allumage séquentiel de ces derniers, ce qui représente une innovation importante en pyrotechnie. Nous avons validé expérimentalement, qu’il était possible de contrôler la vitesse d’éjection de leurres IR grâce à un allumage partiel d’impulseurs plastroniques. Ce travail a abouti à l’intégration des différents blocs fonctionnels dans un démonstrateur représentatif d’un leurre infrarouge intelligent et miniature : CASSIS. / Answering a growing need for standardization and adaptability in pyrotechnics, we hereby present a smart and safe pyrotechnical infrared (IR) flare electronically controllable through an embedded miniature initiation system. The countermeasure has been designed to fit within a 1”×1”×8” standard cartridge, and consists of three distinct blocks, which are mechanically and electronically interconnected: (1) a pyrotechnical ejection block integrating three ejection charges in a single metalized plastic casing, (2) a micro-initiation stage comprising nanothermite-based micro-initiators and a structured pyrotechnic loaf, (3) a STANAG 4187 compatible electronic control, command and power management block.Throughout this work, we developed a lumped parameter internal ballistics model for the ejection, and conducted a response surface methodology study to extract optimal design parameters. We developed a geometric regression script, based on level set techniques, to model the combustion of multicomponent, sequentially-initiated, partially inerted pyrotechnic loafs. We demonstrated, theoretically then experimentally, that we could control the combustion of IR pyrotechnic loaves using sequential initiation, and that we could control the ejection velocity of IR flares using multipoint mortar ejectors.This work resulted in integrating said technological block in a functional 1’’1’’8’’ controllable, autonomous safe and smart infrared flare demonstrator, CASSIS.

Ma thèse porte sur la configuration dynamique de réseaux de communication radio vérifiant un certain nombre de contraintes (ou objectifs) et l'utilisation, si possible optimale, de l'ensemble des fréquences disponibles à un instant donné. C'est un problème NP-difficile dont l'enjeu économique est important pour l'entreprise TDF. J'ai construit et mis en œuvre des méta-heuristiques hybrides originales pour résoudre ce type de problème et assurer la meilleure qualité de service (QoS) possible. Les fréquences étant une denrée rare et chère, on peut se demander si, pendant un certain temps, une seule fréquence ne suffirait pas pour couvrir les besoins d'un secteur géographique donné. Ceci permettrait d'utiliser les autres fréquences pour d'autres applications. C'est le principe de base des réseaux SFN (Single Frequency Network) qui nécessitent l'optimisation des délais de transmission, le regroupement de certains émetteurs pour construire un tel réseau et le choix de la fréquence à allouer. Du point de vue informatique, il s'agit de réaliser simultanément plusieurs optimisations. La structure d'un réseau SFN doit être ajustable au cours du temps. J'ai développé un logiciel qui réalise ces opérations, à savoir : - sélection des émetteurs pour construire des réseaux (i.e. plaques) SFN, - optimisation des écarts de transmission dans chaque SFN, - choix de la meilleure fréquence possible pour chaque SFN. Les performances de ces algorithmes sont comparées avec la QoS des plans de fréquences utilisés en France et des pays voisins. Les résultats obtenus sont encourageants. / The purpose of my thesis is the dynamic construction of radio communication networks subject to multiple constraints and the optimal (if possible) use of the set of available frequencies at time t. This is an NP-Hard problem with important economical issues. I have designed and used original hybrid meta-heuristics for solving this kind of problems and providing the best possible QoS. Frequencies are rare and expansive therefore we can ask if a single frequency would not be enough, for a while, in order to cover the needs of a given geographical area. This would allow the use of the remaining frequencies for other applications. This is the principle of Single Frequency Networks (SFN) which necessitate the simultaneous optimization of transmission delays, of the allocated frequency and of their design. I have designed an original and e_cient software which performs these operations. We give experimental results for real benchmarks provided by TDF.

Le besoin de se déplacer est un besoin fondamental dans la vie de tous les jours. Avec l’extension continue des zones urbaines, l’augmentation de la population et l’amélioration du niveau de vie des citoyens, le nombre de voitures ne cesse d’augmenter. Ceci étant, la plupart des transports publics proposés aujourd’hui obéissent à des règles qui manquent de souplesse et qui incluent rarement le caractère dynamique, en temps et en espace, de la demande. Cela réduit ainsi l’attractivité de ces services et les rendant même parfois difficilement supportables. De ce fait, la majorité des usagers utilisent encore leur propre véhicule. Ce grand nombre de véhicules, qui est en augmentation continue sur les réseaux routiers, provoque de nombreux phénomènes de congestion induisant une surconsommation de carburant, des émissions inutiles de gaz à effet de serre et une perte de temps importante. Pour y remédier, nous proposons dans cette thèse de nouveaux systèmes de déplacement des usagers avec différents modèles d’optimisation pour la mobilité partagée (covoiturage et taxis-partagés) ainsi que la combinaison de la mobilité partagée avec les transports publics. Les expérimentations sont réalisées sur de vrais réseaux routiers ainsi que sur des données réelles. Ces nouveaux systèmes améliorent considérablement la qualité de service des systèmes classiques existants en termes de coût et de flexibilité tout en ayant un temps de calcul raisonnable. / The travelling is a fundamental part of everyday life. The continuous expansion of urban areas combined with the population increasing and the improvement of life standards increases the need of mobility and the use of private cars. Furthermore, the majority of public transportations are subject to rules lacking of flexibility and rarely taking into account the dynamic context. The attractiveness of public transportation is therefore reduced and, as a consequence, its financial support, resulting in a further deterioration of the public services quality and flexibility. Therefore, the majority of users still use their own vehicles. The number of vehicles is continuously increasing on road networks causing important phenomena of congestion, high fuel consumption and emissions of greenhouse gases, time loss. This unpleasant situation forces communities to consider alternative solutions for the mobility such as ride-sharing, an interesting alternative to solo car use. The overall objective of this thesis is to propose new travel systems for users through the introduction of optimization models for shared mobility (ride-sharing and taxi-sharing) and the combination of shared mobility and public transportation. The computational experiments are carried out on real road networks and real data. Our numerical results show the effectiveness of our approach, which improves the quality of service compared to the traditional systems in terms of cost and flexibility. The running time remains reasonable to allow using our framework in real-time transportation applications.

La réalité des marchés économiques impose des contraintes aux entreprises manufacturières qui sont de plus en plus difficiles à réaliser, comme la diversification des produits, l'amélioration de leur qualité, la réduction des coûts et la diminution des retards. Ces contraintes sont satisfaites par une meilleure organisation des systèmes de fabrication en utilisant les ressources techniques existantes. Notre présente thèse met l’accent sur deux contributions majeures, la première consiste à modéliser différents cas du système industriel (Système de production simple, système d’assemblage, système de désassemblage) en intégrant des politiques de maintenance adéquates. La deuxième contribution repose sur l’évaluation des risques de pertes de profit d’une décision prise suite à l’optimisation des différents systèmes industriels étudiés. Trois différents problèmes industriels sont étudiés, le premier concerne le développement des méthodes d’évaluation de risque de perte de profit résultant du choix d'un algorithme d’optimisation pour résoudre un problème de planification conjointe de production et de maintenance. Pour atteindre nos objectifs, nous commençons par calculer les plans de production et de maintenance en utilisant différents algorithmes d’optimisation. En outre, nous proposons des modèles analytiques pour quantifier le risque de perte de profit résultant des retours de produits et de la prise en compte des durées de réparation de pannes non nulles. Cette étude fournit des informations sur les algorithmes d’optimisations les plus efficaces pour les problématiques rencontrés pour aider et orienter les décideurs dans l'analyse et l'évaluation de leurs décisions. La deuxième problématique concerne l'optimisation de la planification du système d'assemblage à deux niveaux. Un modèle mathématique est développé pour incorporer une planification de l'approvisionnement pour les systèmes d'assemblage à deux niveaux dont les délais d’approvisionnement et les pannes du système sont stochastiques. La planification de maintenance optimale obtenue est utilisée dans l'évaluation des risques afin de trouver la période seuil de réparation qui réduit les pertes de profit. La troisième problématique étudiée concerne l’optimisation de la planification dans le cadre d’assemblage à base de désassemblage des produits usagés en tenant compte de la dégradation du système de production. Un modèle analytique est développé pour envisager le désassemblage, la remise à neuf des produits usagés qui contribuent à l’assemblage des produits finis. En effet, ces derniers peuvent être constitués de composants neufs ou remis à neuf. Une politique de maintenance est séquentiellement intégrée pour réduire l'indisponibilité du système. Le but de cette étude est d'aider les décideurs, dans certaines conditions, à choisir le processus le plus rentable pour satisfaire le client et qui peut également s'adapter aux risques potentiels qui peuvent perturber le système de désassemblage-assemblage. Le risque lié aux périodes de réparation du système est discuté, ce qui a un impact sur la prise de décision managériale / The reality of the economic markets places constraints on manufacturing companies that are increasingly difficult to achieve, such as product diversification, quality improvement, cost reduction and fewer delays. These constraints are satisfied by a better organization of manufacturing systems using existing technical resources. Our thesis focuses on two major contributions, the first is to model different industrial systems (simple production system, assembly system, disassembly system) by integrating maintenance policies. The second contribution is based on risk assessment of profit loss following a decision taken after an optimization of an industrial system. Three different industrial problems are studied; the first concerns the development of risk assessment methods of profit loss resulting from the choice of an optimization algorithm to solve a problem of joint production and maintenance planning. To achieve our goals, we start by calculating production and maintenance plans using different optimization algorithms. In addition, we propose analytical models to quantify the risk of profit loss resulting from product returns and of repair times. This study provides information on the most effective optimization algorithms for the problems encountered to help and guide decision-makers in the analysis and evaluation of their decisions. The second problem concerns the optimization of two-level assembly system planning. A mathematical model is developed to incorporate supply planning for two-level assembly system with stochastic lead times and failures. The optimal maintenance planning obtained is used in the risk assessment to find the threshold repair period that reduces the profit loss. The third problem studied concerns the optimization of disassembly system of returned products (used or end of life products), remanufacturing and assembly of finished products taking into account the degradation of the production system. An analytical model is developed to consider disassembly, remanufacturing of returned products that contribute to the assembly of finished products. Indeed, the latter may consist of new or remanufactured components. A maintenance policy is sequentially integrated to reduce the unavailability of the system. The goal of this study is to help decision makers, under certain conditions, choose the most cost-effective process to satisfy the customer and who can also adapt to the potential risks that can disrupt the disassembly-remanufacturing-assembly system. The risk associated with system repair periods is discussed, which has an impact on managerial decision-making

Les problèmes d’optimisation discrète sont pour beaucoup difficiles à résoudre, depar leur nature combinatoire. Citons par exemple les problèmes de programmationlinéaire en nombres entiers. Une approche couramment employée pour les résoudreexactement est l’approche de Séparation et Évaluation Progressive. Une approchedifférente appelée « Resolution Search » a été proposée par Chvátal en 1997 pourrésoudre exactement des problèmes d’optimisation à variables 0-1, mais elle restemal connue et n’a été que peu appliquée depuis.Cette thèse tente de remédier à cela, avec un succès partiel. Une première contributionconsiste en la généralisation de Resolution Search à tout problème d’optimisationdiscrète, tout en introduisant de nouveaux concepts et définitions. Ensuite,afin de confirmer l’intérêt de cette approche, nous avons essayé de l’appliquer enpratique pour résoudre efficacement des problèmes bien connus. Bien que notrerecherche n’ait pas abouti sur ce point, elle nous a amené à de nouvelles méthodespour résoudre exactement les problèmes d’affectation généralisée et de localisationsimple. Après avoir présenté ces méthodes, la thèse conclut avec un bilan et desperspectives sur l’application pratique de Resolution Search. / The combinatorial nature of discrete optimization problems often makes them difficultto solve. Consider for instance integer linear programming problems, which arecommonly solved using a Branch-and-Bound approach. An alternative approach,Resolution Search, was proposed by Chvátal in 1997 for solving 0-1 optimizationproblems, but remains little known to this day and as such has seen few practicalapplications.This thesis attempts to remedy this state of affairs, with partial success. Itsfirst contribution consists in the generalization of Resolution Search to any discreteoptimization problem, while introducing new definitions and concepts. Next, wetried to validate this approach by attempting to solve well-known problems efficientlywith it. Although our research did not succeed in this respect, it lead usto new methods for solving the generalized assignment and uncapacitated facilitylocation problems. After presenting these methods, this thesis concludes with asummary of our attempts at practical application of Resolution Search, along withfurther perspectives on this matter.

Για την επίλυση προβλημάτων πολλαπλών πεδίων / πολλαπλών φυσικών έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές στη βιβλιογραφία. Οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές είναι μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση για την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Υποθέτοντας κάποιες αρχικές τιμές στις διεπαφές του προβλήματος, οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές επιλύουν επαναληπτικά τα υποπροβλήματα και χαλαρώνουν τις τιμές στις διεπαφές έως ότου επιτευχθεί σύγκλιση. Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των μεθόδων αυτών είναι ότι οι ρυθμοί σύγκλισής τους εξαρτώνται μόνο από τις παραμέτρους των ίδιων των προβλημάτων, τις παραμέτρους που σχετίζονται με την ανάλυση των προβλημάτων σε υποπροβλήματα και τις παραμέτρους που σχετίζονται με τον τελεστή που εφαρμόζεται στις διεπαφές. Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία παρουσιάζεται μια νέα υλοποίηση μιας μεθόδου χαλάρωσης στις διεπαφές, της μεθόδου GEO. Η GEO βασίζεται σε έναν απλό μηχανισμό γεωμετρικής διόρθωσης και δρα επαναληπτικά, ώστε να χαλαρώσει τις τιμές στις διεπαφές. Πιο συγκεκριμένα, προσθέτει στις παλιές τιμές των διεπαφών έναν γεωμετρικά σταθμισμένο συνδυασμό των κανονικών παραγώγων των οριακών σημείων των γειτονικών πεδίων. Η υλοποίηση της μεθόδου GEO γίνεται στην πλατφόρμα FEniCS, η οποία είναι μια συλλογή ελεύθερου λογισμικού για την αυτοματοποιημένη, αποδοτική υλοποίηση διαφορικών εξισώσεων. Η υλοποίηση πραγματοποιείται με τρόπο τέτοιο που ο χρήστης να μπορεί εύκολα να ορίζει τις ιδιότητες των πεδίων του προβλήματος (όπως, γεωμετρία του προβλήματος, τελεστής μερικής διαφορικής εξίσωσης, οριακές συνθήκες, συνθήκες διεπαφών). Στο παρασκήνιο γίνεται η δημιουργία ή / και η βελτιστοποίηση των πλεγμάτων (τριγωνικά στοιχεία) για κάθε πεδίο του προβλήματος, η επίλυση των τοπικών προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων και η εμφάνιση των υπολογισμένων τιμών για το πρόβλημα συνολικά και για τις διεπαφές. Η κυριότερη πρόκληση της υλοποίησης είναι η πρόσβαση στις τιμές των λύσεων στις διεπαφές και η εισαγωγή των χαλαρωμένων τιμών πίσω στα υποπροβλήματα για να αποτελέσουν τις οριακές συνθήκες των υποπροβλημάτων. Πραγματοποιούνται πειράματα σε προβλήματα-μοντέλα, ώστε να ελεγχθεί η εφαρμοσιμότητα και η σύγκλιση της μεθόδου. Στη συνέχεια, υλοποιείται μια παράλληλη έκδοση της μεθόδου και πραγματοποιούνται συγκριτικά πειράματα απόδοσης. Η παράλληλη υλοποίησή μας αποδεικνύεται πολύ χρήσιμη, ειδικά για μεγάλα προβλήματα. / Several approaches have been suggested in the literature for the solution of multiphysics / multidomain problems. Interface Relaxation (IR) methods are an interesting approach for the solution of these problems. Assuming initial guesses on the interfaces of the original problem, IR methods iteratively solve the subproblems and relax for new values on the interfaces until convergence is succeeded. Their main advantages are that their rates of convergence only depend on the parameters of the problem itself, the parameters related to its decomposition into subproblems and the parameters related to the operator imposed on the interfaces. In the present master thesis a new implementation of an IR method named GEO is presented. GEO is based on a simple geometric correction mechanism and acts iteratively so as to relax the values of the solution on the interfaces. In particular, it adds to the old interface values a geometrically weighted combination of the normal boundary derivatives of the adjacent subdomains. In this thesis GEO is implemented in FEniCS. The FEniCS project is a collection of free software for automated, efficient solution of differential equations. In order to evaluate the GEO implementation, it is applied on two different PDE problems with the same differential equation and boundary conditions and different domains. FEniCS methods are used to specify the problem's subdomains properties (i.e. geometry, PDE operator and boundary/interface conditions). They are also used to generate and/or refine meshes (triangular elements) for each subdomain, solve the local PDE problems and show the computed results in the global domain and on the interfaces. Getting values of the solutions on the interface (boundaries of the subproblems) and passing the new relaxed values back to the subproblems as updated values for the boundary conditions is the main challenge of the IR methodology implementation. Experiments are performed for 2-dimensional elliptic partial differential model problems with partitions in multiple subdomains and the results are examined in terms of the method's applicability and convergence. A parallel implementation of the GEO method using FEniCS is also presented, as well as its performance comparison to the serial implementation. The parallel implementation proves to be really useful, especially for large problems.