Η συνεισφορά της παρούσας διατριβής επικεντρώνεται στην ανάπτυξη και στη Μαθηματική θεμελίωση νέων μεθόδων συζυγών κλίσεων για βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς και στη μελέτη νέων μεθόδων εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων και εφαρμογών τους. Αναπτύσσουμε δύο νέες μεθόδους βελτιστοποίησης, οι οποίες ανήκουν στην κλάση των μεθόδων συζυγών κλίσεων. Οι νέες μέθοδοι βασίζονται σε νέες εξισώσεις της τέμνουσας με ισχυρά θεωρητικά πλεονεκτήματα, όπως η προσέγγιση με μεγαλύτερη ακρίβεια της επιφάνεια της αντικειμενικής συνάρτησης. Επιπλέον, μία σημαντική ιδιότητα και των δύο προτεινόμενων μεθόδων είναι ότι εγγυώνται επαρκή μείωση ανεξάρτητα από την ακρίβεια της γραμμικής αναζήτησης, αποφεύγοντας τις συχνά αναποτελεσματικές επανεκκινήσεις. Επίσης, αποδείξαμε την ολική σύγκλιση των προτεινόμενων μεθόδων για μη κυρτές συναρτήσεις. Με βάση τα αριθμητικά μας αποτελέσματα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι νέες μέθοδοι έχουν πολύ καλή υπολογιστική αποτελεσματικότητα, όπως και καλή ταχύτητα επίλυσης των προβλημάτων, υπερτερώντας σημαντικά των κλασικών μεθόδων συζυγών κλίσεων. Το δεύτερο μέρος της διατριβής είναι αφιερωμένο στην ανάπτυξη και στη μελέτη νέων μεθόδων εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων. Προτείνουμε νέες μεθόδους, οι οποίες διατηρούν τα πλεονεκτήματα των κλασικών μεθόδων συζυγών κλίσεων και εξασφαλίζουν τη δημιουργία κατευθύνσεων μείωσης αποφεύγοντας τις συχνά αναποτελεσματικές επανεκκινήσεις. Επιπλέον, αποδείξαμε ότι οι προτεινόμενες μέθοδοι συγκλίνουν ολικά για μη κυρτές συναρτήσεις. Τα αριθμητικά αποτελέσματα επαληθεύουν ότι οι προτεινόμενες μέθοδοι παρέχουν γρήγορη, σταθερότερη και πιο αξιόπιστη σύγκλιση, υπερτερώντας των κλασικών μεθόδων εκπαίδευσης. Η παρουσίαση του ερευνητικού μέρους της διατριβής ολοκληρώνεται με μία νέα μέθοδο εκπαίδευσης νευρωνικών δικτύων, η οποία βασίζεται σε μία καμπυλόγραμμη αναζήτηση. Η μέθοδος χρησιμοποιεί τη BFGS ενημέρωση ελάχιστης μνήμης για τον υπολογισμό των κατευθύνσεων μείωσης, η οποία αντλεί πληροφορία από την ιδιοσύνθεση του προσεγγιστικού Eσσιανού πίνακα, αποφεύγοντας οποιαδήποτε αποθήκευση ή παραγοντοποίηση πίνακα, έτσι ώστε η μέθοδος να μπορεί να εφαρμοστεί για την εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων μεγάλης κλίμακας. Ο αλγόριθμος εφαρμόζεται σε προβλήματα από το πεδίο της τεχνητής νοημοσύνης και της βιοπληροφορικής καταγράφοντας πολύ καλά αποτελέσματα. Επίσης, με σκοπό την αύξηση της ικανότητας γενίκευσης των εκπαιδευόμενων δικτύων διερευνήσαμε πειραματικά και αξιολογήσαμε την εφαρμογή τεχνικών μείωσης της διάστασης δεδομένων στην απόδοση της γενίκευσης των τεχνητών νευρωνικών δικτύων σε μεγάλης κλίμακας δεδομένα βιοϊατρικής. / The contribution of this thesis focuses on the development and the Mathematical foundation of new conjugate gradient methods for unconstrained optimization and on the study of new neural network training methods and their applications. We propose two new conjugate gradient methods for unconstrained optimization. The proposed methods are based on new secant equations with strong theoretical advantages i.e. they approximate the surface of the objective function with higher accuracy. Moreover, they have the attractive property of ensuring sufficient descent independent of the accuracy of the line search, avoiding thereby the usual inefficient restarts. Further, we have established the global convergence of the proposed methods for general functions under mild conditions. Based on our numerical results we conclude that our proposed methods outperform classical conjugate gradient methods in both efficiency and robustness. The second part of the thesis is devoted on the study and development of new neural network training algorithms. More specifically, we propose some new training methods which preserve the advantages of classical conjugate gradient methods while simultaneously ensure sufficient descent using any line search, avoiding thereby the usual inefficient restarts. Moreover, we have established the global convergence of our proposed methods for general functions. Encouraging numerical experiments on famous benchmarks verify that the presented methods provide fast, stable and reliable convergence, outperforming classical training methods. Finally, the presentation of the research work of this dissertation is fulfilled with the presentation of a new curvilinear algorithm for training large neural networks which is based on the analysis of the eigenstructure of the memoryless BFGS matrices. The proposed method preserves the strong convergence properties provided by the quasi-Newton direction while simultaneously it exploits the nonconvexity of the error surface through the computation of the negative curvature direction without using any storage and matrix factorization. Our numerical experiments have shown that the proposed method outperforms other popular training methods on famous benchmarks. Furthermore, for improving the generalization capability of trained ANNs, we explore the incorporation of several dimensionality reduction techniques as a pre-processing step. To this end, we have experimentally evaluated the application of dimensional reduction techniques for increasing the generalization capability of neural network in large biomedical datasets.

La capacité des robots mobiles à se localiser précisément par rapport à leur environnement est indispensable à leur autonomie. Pour ce faire, les robots exploitent les données acquises par des capteurs qui observent leur état interne, tels que centrales inertielles ou l’odométrie, et les données acquises par des capteurs qui observent l’environnement, telles que les caméras et les Lidars. L’exploitation de ces derniers capteurs a suscité le développement de solutions qui estiment conjointement la position du robot et la position des éléments dans l'environnement, appelées SLAM (Simultaneous Localization and Mapping). Pour gérer le bruit des données provenant des capteurs, les solutions pour le SLAM sont mises en œuvre dans un contexte probabiliste. Les premiers développements étaient basés sur le filtre de Kalman étendu, mais des développements plus récents utilisent des modèles graphiques probabilistes pour modéliser le problème d’estimation et de le résoudre grâce à techniques d’optimisation. Cette thèse exploite cette dernière approche et propose deux techniques distinctes pour les véhicules terrestres autonomes: une utilisant la vision monoculaire, l’autre un Lidar. L’absence d’information de profondeur dans les images obtenues par une caméra a mené à l’utilisation de paramétrisations spécifiques pour les points de repères qui isolent la profondeur inconnue dans une variable, concentrant la grande incertitude sur la profondeur dans un seul paramètre. Une de ces paramétrisations, nommé paramétrisation pour l’angle de parallaxe (ou PAP, Parallax Angle Parametrization), a été introduite dans le contexte du problème d’ajustement de faisceaux, qui traite l’ensemble des données en une seule étape d’optimisation globale. Nous présentons comment exploiter cette paramétrisation dans une approche incrémentale de SLAM à base de modèles graphiques, qui intègre également les mesures de mouvement du robot. Les Lidars peuvent être utilisés pour construire des solutions d’odométrie grâce à un recalage séquentiel des nuages de points acquis le long de la trajectoire. Nous définissons une couche basée sur les modèles graphiques au dessus d’une telle couche d’odométrie, qui utilise l’algorithme ICP (Iterative Closest Points). Des repères clefs (keyframes) sont définis le long de la trajectoire du robot, et les résultats de l’algorithme ICP sont utilisés pour construire un graphe de poses, exploité pour résoudre un problème d’optimisation qui permet la correction de l’ensemble de la trajectoire du robot et de la carte de l’environnement à suite des fermetures de boucle.Après une introduction à la théorie des modèles graphiques appliquée au problème de SLAM, le manuscrit présente ces deux approches. Des résultats simulés et expérimentaux illustrent les développements tout au long du manuscrit, en utilisant des jeux des données classiques et obtenus au laboratoire. / A strong requirement to deploy autonomous mobile robots is their capacity to localize themselves with a certain precision in relation to their environment. Localization exploits data gathered by sensors that either observe the inner states of the robot, like acceleration and speed, or the environment, like cameras and Light Detection And Ranging (LIDAR) sensors. The use of environment sensors has triggered the development of localization solutions that jointly estimate the robot position and the position of elements in the environment, referred to as Simultaneous Localization and Mapping (SLAM) approaches. To handle the noise inherent of the data coming from the sensors, SLAM solutions are implemented in a probabilistic framework. First developments were based on Extended Kalman Filters, while a more recent developments use probabilistic graphical models to model the estimation problem and solve it through optimization. This thesis exploits the latter approach to develop two distinct techniques for autonomous ground vehicles: oneusing monocular vision, the other one using LIDAR. The lack of depth information in camera images has fostered the use of specific landmark parametrizations that isolate the unknown depth in one variable, concentrating its large uncertainty into a single parameter. One of these parametrizations, named Parallax Angle Parametrization, was originally introduced in the context of the Bundle Adjustment problem, that processes all the gathered data in a single global optimization step. We present how to exploit this parametrization in an incremental graph-based SLAM approach in which robot motion measures are also incorporated. LIDAR sensors can be used to build odometry-like solutions for localization by sequentially registering the point clouds acquired along a robot trajectory. We define a graphical model layer on top of a LIDAR odometry layer, that uses the Iterative Closest Points (ICP) algorithm as registration technique. Reference frames are defined along the robot trajectory, and ICP results are used to build a pose graph, used to solve an optimization problem that enables the correction of the robot trajectory and the environment map upon loop closures. After an introduction to the theory of graphical models applied to SLAM problem, the manuscript depicts these two approaches. Simulated and experimental results illustrate the developments throughout the manuscript, using classic and in-house datasets.

Cette thèse s'intéresse à la conception optimale d'un système d'autopartage de type one-way avec stations. Les problèmes abordés traitent de deux aspects structurels importants : le dimensionnement optimal du système (nombre de places de parking, de véhicules, de relocalisation de véhicules, etc.) et la localisation adéquate des stations. Bien que le management ou pilotage en temps réel du service ne soit pas l'objet de cette étude, certains aspects pertinents (relocalisation de véhicules, nombre de jockeys) ont toutefois été intégrés aux modèles. L'approche mathématique utilise des objets de la théorie des graphes pour représenter les systèmes dans le temps et les problèmes sont résolus grâce à la programmation linéaire en nombre entiers. L'objectif est d'identifier la structure du service permettant de capturer le plus de demandes possibles. L'introduction de véhicules électriques et de la puissance de charge en station sont étudiés dans un modèle dédié. Les expérimentations s'appuient sur des données réalistes, générées aléatoirement. Nous nous intéressons particulièrement aux pistes d'amélioration des temps de calculs et de réduction des graphes. Une heuristique gloutonne permettant d'identifier rapidement une solution réalisable est en particulier proposée. Enfin, une étude de dimensionnement des batteries confirme que des capacités deux fois inférieures à celles actuellement sur le marché sont viable dans le contexte urbain actuel. / This thesis focuses on the optimal design of one-way station-based carsharing systems. We consider the system design through two structural aspects: the optimal system dimensioning (number of parking places, vehicles, battery capacities, etc.) and the identification of appropriate stations’ locations. Although the addressed problems do not directly concern the system management, some relevant aspects (like vehicle relocation operations) are nonetheless part of the models. The modelling approach uses graph theory to represent the system dynamics over time and various optimization models (ILPs and MILPs) are proposed. The objective is to deduce an optimal shape of the whole system (number of vehicles, parking places, jockeys, stations’ locations, etc.) allowing to capture the maximum number of estimated time-dependent requests. Electric vehicles and power supply are also included in an enhanced model version and context related constraints ensure the integrity of the whole model. The optimization allows to study the impact of different power supply technologies and settle the minimal autonomy a shared vehicle necessitate in this environment. Models are applied to realistic case studies, using both random generated data and real estimated outputs of simulation tools. Strategies including vehicle relocation operations managed by jockeys (employees of the carsharing operator) are considered. We propose some graph simplifications reducing the problem size and leading to greatly improve solver capabilities as well as computation times. A greedy heuristic helping to quickly find feasible solutions and initialize the solver is also proposed and illustrated.

Ce travail s’inscrit dans le domaine de l’ordonnancement à base de programmation par contraintes. Dans ce cadre, la contrainte de ressource la plus fréquemment rencontrée est la cumulative, qui permet de modéliser des processus se déroulant de manière parallèle.Nous étudions dans cette thèse la contrainte cumulative en nous aidant d’outils rarement utilisés en programmation par contraintes (analyse polyédrale, dualité de la programmation linéaire, dualité de la géométrie projective) et proposons deux contributions pour le domaine.Le renforcement cumulatif est un moyen de générer des contraintes cumulatives redondantes plus serrées, de manière analogue à la génération de coupes en programmation linéaire entière. Il s'agit ici de l'un des premiers exemples de contrainte globale redondante.Le Raisonnement Énergétique est une propagation extrêmement puissante pour la contrainte cumulative, avec jusque-là une complexité élevée en O(n^{3}). Nous proposons un algorithme qui calcule cette propagation avec une complexité O(n^{2}log n), ce qui constitue une amélioration significative de cet algorithme connu depuis plus de 25 ans. / This work falls in the scope of constraint-based scheduling. In this framework, the most frequently encountered resource constraint is the cumulative, which enables the modeling of parallel processes.In this thesis, we study the cumulative constraint with the help of tools rarely used in constraint programming (polyhedral analysis, linear programming duality, projective geometry duality) and propose two contributions for the domain.Cumulative strengthening is a means of generating tighter redundant cumulative constraints, analogous to the generation of cuts in integer linear programming. This is one of the first examples of a redundant global constraint.Energy Reasoning is an extremely powerful propagation for cumulative constraint, with hitherto a high complexity of O(n^{3}). We propose an algorithm that computes this propagation with a O(n^{2}log n) complexity, which is a significant improvement of this algorithm known for more than 25 years.

Estimation of Distribution Algorithms (EDAs) belong to the class of population based optimisation algorithms. They are motivated by the idea of discovering and exploiting the interaction between variables in the solution. They estimate a probability distribution from population of solutions, and sample it to generate the next population. Many EDAs use probabilistic graphical modelling techniques for this purpose. In particular, directed graphical models (Bayesian networks) have been widely used in EDA. This thesis proposes an undirected graphical model (Markov Random Field (MRF)) approach to estimate and sample the distribution in EDAs. The interaction between variables in the solution is modelled as an undirected graph and the joint probability of a solution is factorised as a Gibbs distribution. The thesis describes a model of fitness function that approximates the energy in the Gibbs distribution, and shows how this model can be fitted to a population of solutions to estimate the parameters of the MRF. The estimated MRF is then sampled to generate the next population. This approach is applied to estimation of distribution in a general framework of an EDA, called Distribution Estimation using Markov Random Fields (DEUM). The thesis then proposes several variants of DEUM using different sampling techniques and tests their performance on a range of optimisation problems. The results show that, for most of the tested problems, the DEUM algorithms significantly outperform other EDAs, both in terms of number of fitness evaluations and the quality of the solutions found by them. There are two main explanations for the success of DEUM algorithms. Firstly, DEUM builds a model of fitness function to approximate the MRF. This contrasts with other EDAs, which build a model of selected solutions. This allows DEUM to use fitness in variation part of the evolution. Secondly, DEUM exploits the temperature coefficient in the Gibbs distribution to regulate the behaviour of the algorithm. In particular, with higher temperature, the distribution is closer to being uniform and with lower temperature it concentrates near some global optima. This gives DEUM an explicit control over the convergence of the algorithm, resulting in better optimisation.

The global competitive environment and the growing demand for personalised products have increased the interest of companies in producing similar product models on the same assembly line. Companies are forced to make significant structural changes to rapidly respond to diversified demands and convert their existing single-model lines into mixed-model lines in order to avoid unnecessary new line construction cost for each new product model. Mixed-model assembly lines play a key role in increasing productivity without compromising quality for manufacturing enterprises. The literature is extensive on assembling small-sized products in an intermixed sequence and assembling large-sized products in large volumes on single-model lines. However, a mixed-model parallel two-sided line system, where two or more similar products or similar models of a large-sized product are assembled on each of the parallel two-sided lines in an intermixed sequence, has not been of interest to academia so far. Moreover, taking model sequencing problem into consideration on a mixed-model parallel two-sided line system is a novel research topic in this domain. Within this context, the problem of simultaneous balancing and sequencing of mixed-model parallel two-sided lines is defined and described using illustrative examples for the first time in the literature. The mathematical model of the problem is also developed to exhibit the main characteristics of the problem and to explore the logic underlying the algorithms developed. The benefits of utilising multi-line stations between two adjacent lines are discussed and numerical examples are provided. An agent-based ant colony optimisation algorithm (called ABACO) is developed to obtain a generic solution that conforms to any model sequence and it is enhanced step-by-step to increase the quality of the solutions obtained. Then, the algorithm is modified with the integration of a model sequencing procedure (where the modified version is called ABACO/S) to balance lines by tracking the product model changes on each workstation in a complex production environment where each of the parallel lines may a have different cycle time. Finally, a genetic algorithm based model sequencing mechanism is integrated to the algorithm to increase the robustness of the obtained solutions. Computational tests are performed using test cases to observe the performances of the developed algorithms. Statistical tests are conducted through obtained results and test results establish that balancing mixed-model parallel two-sided lines together has a significant effect on the sought performance measures (a weighted summation of line length and the number of workstations) in comparison with balancing those lines separately. Another important finding of the research is that considering model sequencing problem along with the line balancing problem helps algorithm find better line balances with better performance measures. The results also indicate that the developed ABACO and ABACO/S algorithms outperform other test heuristics commonly used in the literature in solving various line balancing problems; and integrating a genetic algorithm based model sequencing mechanism into ABACO/S helps the algorithm find better solutions with less amount of computational effort.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l’optimisation conjointe de forme et d’anisotropie pour les structures surfaciques. Nous nous focalisons dans un premier temps sur l’analyse de ces structures minces modélisées par des coques. Le modèle utilisé pour décrire le comportement mécanique est celui de Naghdi communément utilisé pour les coques modérément épaisses et qui permet de prendre en compte l’effet transverse de déformation. La discrétisation par méthode éléments finis est réalisée avec des éléments Lagrange standards de classe C0. Nous considerons la simulation d’assemblage de coques en utilisant la méthode des éléments finis avec joint (mortier). Cette méthode est flexible, elle est adaptée à l’utilisation de maillages localement raffinés et/ou non-conformes, c'est-à-dire non coïncidents. La deuxième partie se consacre à la définition d’un paramétrage pour la conception optimale de champ d’anisotropie. Notre approche se base sur l’utilisation conjointe du formalisme polaire pour représenter le tenseur d’élasticité et le principe isogéométrique permettant de paramétrer les champs d’anisotropie par des fonctions de type B-splines. La dernière partie est dédiée à l’optimisation conjointe de forme et de propriétés matériaux. Le nombre de paramètres d’optimisation dans l’approche proposée est maîtrisée puisque les paramètres d’optimisation sontles coordonnées des points de contrôle. Nous considérons principalement pour l’optimisation un critère detype compliance. / This thesis tackles the problem of the shape and anisotropy optimization of shell structures. The first part of this work focuses on the analysis of the shell model. The mechanical behavior of the structure is described using the Naghdi’s shell model which allows to take into account the transverse shear deformation. This model is typically used for shallow shells. We use a standard Lagrange C0 finite elements discretization and we numerically simulate the shell assemblings by means of the mortar technique. This approach enables the application of local refinements and the use of nonconforming mesh discretizations. The second part of this thesis aims at defining an effective parameterization for the optimal design of the shell’s distributed elastic properties. The method adopted is based on the joint use of a polar formalism to represent the elastic tensor and an isogeometric technique for the parameterization of the elastic tensor fields by CAD-based functions such as B-splines. The number of design variables thus only depends on the control points coordinates making the approach numerically manageable. The last part is devoted to the joint optimization of both the material properties and shape of the shell using the structure compliance as objective function.

Les travaux de cette thèse portent sur les prédérivées d'applications multivoques et la théorie de l'optimisation. Dans un premier temps, nous établissons des résultats d'existence de différents types de prédérivées pour certaines classes d'applications. Spécialement, pour des applications multivoques possédant certaines propriétés de convexité. Par la suite, nous appliquons ces résultats dans le cadre de la théorie de l'optimisation multivoque en établissant des conditions nécessaires et des conditions suffisantes d'optimalité. Sous des hypothèses de convexité, nous établissons des résultats naturels propres aux minimiseurs en optimisation convexe. Ensuite, nous appliquons quelques uns de nos résultats théoriques à un modèle de l'économie du bien-être en établissant notamment une équivalence entre les allocations optimales faibles de Pareto du modèle économique et les minimiseurs faibles d'un problème d'optimisation multivoque associé. D'autre part, en utilisant certaines notions d'intérieur généralisé existant dans la littérature, nous discutons dans un cadre unifié divers concepts de minimiseurs relaxés. En vue d'étudier leur stabilité, nous introduisons une topologie sur des espaces vectoriels ordonnés dont découle une notion de convergence nous permettant de définir deux concepts de convergence variationnelle qui sont ensuite utilisés pour établir la stabilité supérieure et la stabilité inférieure des ensembles de minimiseurs relaxés considérés dans ce travail. / This work is devoted to the study of prederivatives of set-valued maps and the theory of optimization. First, we establish results regarding the existence of several kinds of prederivatives for some classes set-valued maps. Specially for set-valued maps enjoying convexity properties. Subsequently, we apply our results in the framework of set optimization by establishing both necessary and sufficient optimality conditions, involving such prederivatives, for set optimization problems. Under convexity assumptions, we prove some natural results fitting the paradigm of minimizers in convex optimization. Then, we apply some of our theoretical results to a model of welfare economics by establishing in particular an equivalence between the weak Pareto optimal allocations of the model and the weak minimizes of a set optimization problem associated. Taking adventadge of several generalized interiority notions existing in the literature, we discuss in a unified way corresponding notions of relaxed minimizers In order to establish stability results, we introduce a topology on vector ordered spaces from which we derive a concept of convergence that we use to define two concepts of variational convergence that allow us to study both the upper and the lower stability of sets of relaxed minimizers we consider.

Arnold a démontré l'existence de solutions quasipériodiques dans le problème planétaire à trois corps plan, sous réserve que la masse de deux des corps, les planètes, soit petite par rapport à celle du troisième, le Soleil. Cette condition de petitesse dépend de façon cachée de la largeur d'analyticité de l'hamiltonien du problème, dans des coordonnées transcendantes. Hénon ex- plicita un rapport de masses minimal nécessaire à l'application du théorème de Arnold. L'objectif de cette thèse sera de donner une condition suffisante sur les rapports de masses. Une première partie de mon travail consiste à estimer cette largeur d'analyticité, ce qui passe par l'étude précise de l'équation de Kepler dans le complexe, ainsi que celle des singularités complexes de la fonction perturbatrice. Une deuxième partie consiste à mettre l'hamiltonien sous forme normale, dans l'optique d'une application du théorème KAM (du nom de Kolmogorov-Arnold-Moser). Il est nécessaire d'étudier le hamiltonien séculaire pour le mettre sous une forme normale adéquate. On peut alors quantifier la non-dégénérescence de l'hamiltonien séculaire, ainsi qu'estimer la perturbation. Enfin, il faut démontrer une version quantitative fine du théorème KAM, inspirée de Pöschel, avec des constantes explicites. A l'issue de ce travail, il est montré que le théorème KAM peut être appliqué pour des rapports de masses entre planètes et étoile de l'ordre de 10^(-85). / Arnold showed the existence of quasi-periodic solutions in the plane planetary three-body prob- lem, provided that the mass of two of the bodies, the planets, is small compared to the mass of the third one, the Sun. This smallness condition depends in a sensitive way on the analyticity widths of the Hamiltonian of the three-body problem, expressed with the help of some tran- scendental coordinates. Hénon gave a minimal ratio of masses necessary to the application of Arnold’s theorem. The main objective of this thesis is to determine a sufficient condition on this ratio. A first part of this work consists in estimating these analyticity widths, which requires a precise study of the complex Kepler equation, as well as the complex singularities of the disturb- ing function. A second part consists in reworking the Hamiltonian to put it under normal form, in order to apply the KAM theorem (KAM standing for Kolmogorov-Arnold-Moser). In this aim, it is essential to work with the secular Hamiltonian to put it under a suitable normal form. We can then quantify the non-degeneracy of the secular Hamiltonian, as well as estimate the perturbation. Finally, it is necessary to derive a quantitative version of the KAM theorem, in order to identify the hypotheses necessary for its application to the plane three-body problem. After this work, it is shown that the KAM theorem can be applied for a ratio of masses that is close to 10^(−85) between the planets and the star.

Cette thèse est consacrée, d'une part, à l'étude d'existence de solutions pour des problèmes d'évolution et, d'autre part, à la stabilité de la propriété de prox-régularité ensembliste. Nous étudions dans la première partie des processus de rafle de Moreau perturbés et discontinu du premier et du second ordre. L'ensemble mouvant est prox-régulier dans un espace de Hilbert réel quelconque et sa variation est contrôlé par une mesure de Radon. Des applications à la théorie de la complémentarité et à celle des inéquations variationnelles sont présentées. Dans la seconde partie, on donne des conditions suffisantes assurant la prox-régularité d'ensembles décrit par des contraintes non nécessairement lisses sous forme d'inégalités et/ ou d'égalités et plus généralement d'ensembles de solutions d'équations généralisées. On y développe également des conditions vérifiables assurant la préservation de la prox-régularité vis-à-vis d'opérations ensemblistes : les cas de l'intersection, d'image directe, de pré-image, d'union et projection sur un sous-espace sont considérés. / In this dissertation, we study, on the one hand, the existence of solutions for some evolution problems and, on the other hand, the stability of prox-regularity under set operations. The first topic is devoted to first and second order nonconvex perturberd Moreau's sweeping processes in infinite dimensional framework. The moving set is assumed to be prox-regular and moved in a bounded variation way. Applications to the theory of complementarity problems and evolution variational inequalities are given. In the other topic, we first give verifiable sufficient conditions ensuring the prox-regularity of constrained sets and more generally for solution sets of generalized equations. We also develop the preservation of prox-regularity under set operations as intersection, direct image, inverse image, union and projection along a vector space.