Cette thèse concerne le problème de désocclusion d'images, au moyen des équations aux dérivées partielles. Dans la première partie de la thèse, la désocclusion est modélisée par un problème de Cauchy qui consiste à déterminer une solution d'une équation aux dérivées partielles avec des données aux bords accessibles seulement sur une partie du bord de la partie à recouvrir. Ensuite, on a utilisé des algorithmes de minimisation issus de la théorie des jeux, pour résoudre ce problème de Cauchy. La deuxième partie de la thèse est consacrée au choix des paramètres de régularisation pour des EDP d'ordre deux et d'ordre quatre. L'approche développée consiste à construire une famille de problèmes d'optimisation bien posés où les paramètres sont choisis comme étant une fonction variable en espace. Ceci permet de prendre en compte les différents détails, à différents échelles dans l'image. L'apport de la méthode est de résoudre de façon satisfaisante et objective, le choix du paramètre de régularisation en se basant sur des indicateurs d'erreur et donc le caractère à posteriori de la méthode (i.e. indépendant de la solution exacte, en générale inconnue). En outre, elle fait appel à des techniques classiques d'adaptation de maillage, qui rendent peu coûteuses les calculs numériques. En plus, un des aspects attractif de cette méthode, en traitement d'images est la récupération et la détection de contours et de structures fines. / Image inpainting refers to the process of restoring a damaged image with missing information. Different mathematical approaches were suggested to deal with this problem. In particular, partial differential diffusion equations are extensively used. The underlying idea of PDE-based approaches is to fill-in damaged regions with available information from their surroundings. The first purpose of this Thesis is to treat the case where this information is not available in a part of the boundary of the damaged region. We formulate the inpainting problem as a nonlinear boundary inverse problem for incomplete images. Then, we give a Nash-game formulation of this Cauchy problem and we present different numerical which show the efficiency of the proposed approach as an inpainting method.Typically, inpainting is an ill-posed inverse problem for it most of PDEs approaches are obtained from minimization of regularized energies, in the context of Tikhonov regularization. The second part of the thesis is devoted to the choice of regularization parameters in second-and fourth-order energy-based models with the aim of obtaining as far as possible fine features of the initial image, e.g., (corners, edges, … ) in the inpainted region. We introduce a family of regularized functionals with regularization parameters to be selected locally, adaptively and in a posteriori way allowing to change locally the initial model. We also draw connections between the proposed method and the Mumford-Shah functional. An important feature of the proposed method is that the investigated PDEs are easy to discretize and the overall adaptive approach is easy to implement numerically.

Linear Evolution Equations (LEE) have been studied extensively over many years. Their extension in the field of fractional calculus have been defined by Dαu(x, t) = Au(x, t), where α is the fractional order and Dα is a generalized differential operator. Two types of generalized differential operators were applied to the LEE in the state-of-the-art, producing the Riemann-Liouville and the Caputo time fractional evolution equations. However the extension of the new Caputo-Fabrizio derivative (CFFD) to these equations has not been developed. This work investigates existing fractional derivative evolution equations and analyze the generalized linear evolution equations with non-singular ker- nel derivative. The well-posedness of the extended CFFD linear evolution equation is demonstrated by proving the existence of a solution, the uniqueness of the existing solu- tion, and finally the continuous dependence of the behavior of the solution on the data and parameters. Extended evolution equations with CFFD are applied to kinetics, heat diffusion and dispersion of shallow water waves using MATLAB simulation software for validation purpose. / Mathematical Science / M Sc. (Applied Mathematics)

An investigation into the impact of generalised maximum entropy solutions on the study of queues with or without arrival balking and their applications to congestion management in communication networks Keywords: Queues, Balking, Maximum Entropy (ME) Principle, Global Balance (GB), Queue Length Distribution (QLD), Generalised Geometric (GGeo), Generalised Exponential (GE), Generalised Discrete Half Normal (GdHN), Congestion Management, Packet Dropping Policy (PDP) Generalisations to links between discrete least biased (i.e. maximum entropy (ME)) distribution inferences and Markov chains are conjectured towards the performance modelling, analysis and prediction of general, single server queues with or without arrival balking. New ME solutions, namely the generalised discrete Half Normal (GdHN) and truncated GdHN (GdHNT) distributions are characterised, subject to appropriate mean value constraints, for inferences of stationary discrete state probability distributions. Moreover, a closed form global balance (GB) solution is derived for the queue length distribution (QLD) of the M/GE/1/K queue subject to extended Morse balking, characterised by a Poisson prospective arrival process, i.i.d. generalised exponential (GE) service times and finite capacity, K. In this context, based on comprehensive numerical experimentation, the latter GB solution is conjectured to be a special case of the GdHNT ME distribution. ii Owing to the appropriate operational properties of the M/GE/1/K queue subject to extended Morse balking, this queueing system is applied as an ME performance model of Internet Protocol (IP)-based communication network nodes featuring static or dynamic packet dropping congestion management schemes. A performance evaluation study in terms of the model’s delay is carried out. Subsequently, the QLD’s of the GE/GE/1/K censored queue subject to extended Morse balking under three different composite batch balking and batch blocking policies are solved via the technique of GB. Following comprehensive numerical experimentation, the latter QLD’s are also conjectured to be special cases of the GdHNT. Limitations of this work and open problems which have arisen are included after the conclusions.

Cette thèse porte sur l'étude de la modélisation et estimation de la dépendance des portefeuilles de risques et l'estimation du risque agrégé. Dans le Chapitre 2, nous proposons une nouvelle méthode pour estimer les quantiles de haut niveau pour une somme de risques. Elle est basée sur l'estimation du rapport entre la VaR de la somme et la VaR du maximum des risques. Nous utilisons des résultats sur les fonctions à variation régulière. Nous comparons l'efficacité de notre méthode avec quelques estimations basées sur la théorie des valeurs extrêmes, sur plusieurs modèles. Notre méthode donne de bons résultats lors de l'approximation de la VaR à des niveaux élevés lorsque les risques sont fortement dépendants et au moins l'un des risques est à queue épaisse. Dans le Chapitre 3, nous proposons une procédure d'estimation pour la distribution d'un risque agrégé basée sur la copule échiquier. Elle permet d'obtenir de bonnes estimations à partir d'un petit échantillon de la loi multivariée et une connaissance complète des lois marginales. Cette situation est réaliste pour de nombreuses applications. Les estimations peuvent être améliorées en incluant dans la copule échiquier des informations supplémentaires (sur la loi d'un sous-vecteur ou sur des probabilités extrêmes). Notre approche est illustrée par des exemples numériques. Finalement, dans le Chapitre 4, nous proposons un estimateur de la mesure spectrale basé sur l'estimation à noyau de la densité de la mesure spectrale d'une distribution à variation régulière bivariée. Une extension de notre méthode permet d'estimer la mesure spectrale discrète. Certaines propriétés de convergence sont obtenues / This thesis comprises three essays on estimation methods for the dependence between risks and its aggregation. In the first essay we propose a new method to estimate high level quantiles of sums of risks. It is based on the estimation of the ratio between the VaR (or TVaR) of the sum and the VaR (or TVaR) of the maximum of the risks. We use results on regularly varying functions. We compare the efficiency of our method with classical ones, on several models. Our method gives good results when approximating the VaR or TVaR in high levels on strongly dependent risks where at least one of the risks is heavy tailed. In the second essay we propose an estimation procedure for the distribution of an aggregated risk based on the checkerboard copula. It allows to get good estimations from a (quite) small sample of the multivariate law and a full knowledge of the marginal laws. This situation is realistic for many applications. Estimations may be improved by including in the checkerboard copula some additional information (on the law of a sub-vector or on extreme probabilities). Our approach is illustrated by numerical examples. In the third essay we propose a kernel based estimator for the spectral measure density of a bivariate distribution with regular variation. An extension of our method allows to estimate discrete spectral measures. Some convergence properties are obtained