Η ευρεία χρήση των διηλεκτρικών υγρών για μόνωση σε υψηλές τάσεις και ψύξη εξοπλισμού ισχύος οφείλεται στην μεγάλη τους διηλεκτρική αντοχή και θερμική αγωγιμότητα, σε σχέση με τα αέρια μονωτικά υλικά. Η ικανότητα τους να προσαρμόζονται σε πολύπλοκες γεωμετρίες σημαίνει ότι συχνά είναι πιο πρακτικά σε σχέση με τα στερεά μονωτικά, ενώ ταυτόχρονα μπορούν να παρέχουν προστασία σε αυτά αν χρησιμοποιηθούν συνδυαστικά. Αυτή η εργασία εστιάζει στον σχηματισμό καναλιών ιονισμού, γνωστά ως electrical streamers. Αυτά είναι αγώγιμα κανάλια χαμηλής πυκνότητας που σχηματίζονται σε περιοχές του λαδιού που καταπονούνται από ηλεκτρικά πεδία της τάξης των 1x103 kV/cm, ή ισχυρότερα. Μόλις δημιουργηθεί ένα τέτοιο κανάλι, έχει την τάση να επιμηκύνεται, αυξάνοντας από το σημείο δημιουργίας του προς ένα γειωμένο σημείο. Η έκταση της ανάπτυξης του streamer εξαρτάται από την φύση της ηλεκτρικής διέγερσης που το προκάλεσε. Αν η διέγερση συνεχίζει να υφίσταται, μπορεί να έχει σαν αποτέλεσμα το κανάλι να γεφυρώσει το διάκενο μεταξύ του σημείου από το οποίο προέρχεται και του γειωμένου σημείου. Όταν συμβεί αυτό, έχουμε τον σχηματισμό ηλεκτρικού τόξου και άρα συμβαίνει ηλεκτρική εκκένωση. Επομένως, σε αυτήν την εργασία αναπτύσσεται ένα μοντέλο που βασίζεται σε αυτόν τον μηχανισμό, και περιλαμβάνει εξισώσεις για τρεις διαφορετικούς ελεύθερους φορείς φορτίου, οι οποίοι είναι τα θετικά ιόντα, τα αρνητικά ιόντα, και τα ηλεκτρόνια. Χρησιμοποιείται η διάταξη ακίδα-πλάκα, η οποία εισάγεται στο COMSOL Multiphysics, το οποίο είναι ένα πακέτο λογισμικού που χρησιμοποιεί την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Δοκιμάζονται διαφορετικές κυματομορφές τάσης, και εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα για τα χαρακτηριστικά των streamer, όπως διαστάσεις, μορφή και ταχύτητα διάδοσης. / The widespread use of dielectric liquids for high voltage insulation and power apparatus cooling is due to their greater electrical breakdown strength and thermal conductivity, compared to gaseous insulators. Their ability to conform to complex geometries means that they are often of more practical use than solid insulators, while at the same time they can provide protection to them if used in combination. This work focuses on the formation of ionization channels, known as electrical streamers. These are low-density conductive structures that form in regions of oil that are over-stressed by electric fields on the order of 1x103 kV/cm or greater. Once a streamer forms it tends to elongate, growing from the point of initiation towards a grounding point. The extent of a streamer's development depends upon the nature of the electrical excitation which caused it. Sustained over-excitation can result in a streamer bridging the oil gap between its point of origin and ground. When this happens an arc will form and electrical breakdown will occur. Therefore, in this thesis, a model is developed, which is based on that mechanism, and includes equations for three different charge carriers, which are positive ions, negative ions and electrons. The geometry needle-plane is used, which is imported into COMSOL Multiphysics, which a finite element simulation suite. Various voltage excitations are being studied and useful conclusions are drawn concerning the characteristic of streamers, such as dimensions, size and propagation velocity.

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τις ηλεκτρικές διασπάσεις διηλεκτρικών. Είναι γνωστό ότι η ηλεκτρική διάσπαση των διηλεκτρικών επέρχεται μέσω της ανάπτυξης λεπτών καναλιών πλάσματος(streamers – leaders). Η πειραματική μελέτη των μηχανισμών διάσπασης και κυρίως η οπτική παρατήρηση των διαδοχικών φάσεων της εκκένωσης οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η διάδοση στο χώρο τόσο των streamers όσο και των leaders παρουσιάζει έντονα στοχαστικά και fractal χαρακτηριστικά. Η διαπίστωση αυτή οδήγησε την κοινότητα των επιστημόνων στη ανάπτυξη των λεγόμενων στοχαστικών μοντέλων διάσπασης διηλεκτρικών τα οποία παρουσιάζουν πλεονεκτήματα σε σχέση με τα φυσικά μοντέλα που είχαν αναπτυχθεί μέχρι τότε. Στα πλαίσια της εργασίας παρουσιάζονται τα κυριότερα στοχαστικά μοντέλα όπως το NPW από τα αρχικά των Niemeyer , Pietronero και Wiesmann, το μοντέλο FFC, το μοντέλο Δανίκα καθώς και το μοντέλο biller το οποίο μάλιστα χρησιμοποιήθηκε έπειτα στην υλοποίηση του προγράμματος. Επίσης γίνονται αναφορές στον τρόπο που διαδίδονται οι streamers στο χώρο καθώς και στον τρόπο δημιουργίας ηλεκτρονικών στοιβάδων σε ομογενές Η.Π κάτι το οποίο είναι απαραίτητο για την καλύτερη κατανόηση του θέματος Όπως αναφέρθηκε οι δενδρίτες αποτελούν ουσιαστικά fractal σχήματα. Η έννοια του fractal μας είναι γνωστή από το χώρο των μαθηματικών ωστόσο στη παρούσα εργασία γίνεται μια σχετικά λεπτομερής αναφορά στα fractal, σε ιδιότητες που τα χαρακτηρίζουν όπως η αυτό-ομοιότητα και η μη ακέραια διάσταση για παράδειγμα. Ωστόσο κύριος στόχος της διπλωματικής αποτελεί όπως αναφέρει και ο τίτλος της άλλωστε η ανάπτυξη προγράμματος μέσω του οποίου θα μπορεί να υπολογίζεται η fractal διάσταση ενός δενδρίτη. Η fractal διάσταση ενός fractal ουσιαστικά είναι το μέγεθος που το διαφοροποιεί από τα υπόλοιπα fractals και δηλώνει το βαθμό της πολυπλοκότητας του. Όσο πιο μεγάλη είναι αυτή η μη ακέραια διάσταση τόσο μεγαλύτερη πολυπλοκότητα υπάρχει. Το πρόγραμμα γράφτηκε σε c++ και ουσιαστικά είναι σε θέση να διαβάζει μια fractal εικόνα και να μπορεί να υπολογίζει την fractal διάστασή της μέσω της box counting μεθόδου. Η προαναφερθείσα μέθοδος δεν είναι η μόνη αλλά αυτή αποφασίστηκε από κοινού με τον Δρ Χαραλαμπάκο Βασίλειο λόγω της σχετικής ευκολίας της εφαρμογής της αλλά και της ευρύτερης αποδοχής που λαμβάνει. Κάποιες άλλες μέθοδοι υπολογισμού παρουσιάζονται στα πλαίσια της εργασίας στις οποίες γίνεται και η κατηγοριοποίηση αν μιλούμε για διδιάστατη fractal εικόνα ή τρισδιάστατη(πραγματικού δενδρίτη). Το γεγονός ότι συναντούμε αρκετά διαφορετικά αποτελέσματα στον υπολογισμό της fractal διάστασης ανάλογα με το ποια μέθοδο χρησιμοποιούμε γεννά το ερώτημα ποια μέθοδος είναι η κατάλληλη σε κάθε εφαρμογή κάτι το οποίο δεν βρίσκει απάντηση στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας. / The current graduate thesis is about the electrical break of dielectrics. It is well known that electrical breaks are followed by thin channels of plasma (streamers-leaders). Experimental analysis of the electrical break process and mainly the observation of the sequential phases of the electrical discharge lead to the conclusion that the propagation of streamers and leaders contains stochastic and fractal characteristics. Main scope of this thesis is to find analytical methods on the calculation of the fractal dimension of the electrical break dendrites.

Cette thèse présente les résultats issus de l’investigation de la réponse optique de la transition D2 du Rubidium 87 en fonction de la densité de l’ensemble atomique. Afin de sonder cette transition nous utilisons un faisceau laser proche de la résonance (780nm) sur un échantillon de Rubidium ultra-froid (100µK). Nous observons ainsi la transmission en fonction de la longueur d’onde pour des densités allant de 10^12 atomes/cm^3 à 10^14 atomes/cm^3. Lorsque la densité augmente, on s’attend à ce que les interactions dipôle-dipôle jouent un rôle de plus en plus important du fait de la proximité des éléments diffusants. Quantitativement, les dipôles induits par le faisceau sonde commencent à jouer un rôle important lorsque la densité n atteint n*(lambda/2Pi)^3 = 1, une densité que nous atteignons dans notre système.Deux études systématiques seront présentées. La première montre les résultats obtenus pour un système à 12 niveaux, la deuxième pour un système à 2 niveaux obtenu par polarisation de l’ensemble atomique. Les résultats issus de ces études sont ensuite comparés aux théories existantes. La première approche est microscopique et décrit les interactions des dipôles couplés, la deuxième approche, macroscopique, est donnée par l’équation de Clausius-Mosotti.Les propriétés de propagation d’impulsions à travers ce système sont étudiées et révèlent en particulier un avancement fractionnel de l’impulsion et un indice de groupe inégalés. / This thesis investigates the response of the D2 transition of Rubidium 87 for various densities.To probe this transition we illuminate an ultra cold (100µK) sample of Rubidium 87 with close toresonance of lambda = 780 nm laser light.We observe the transmitted light while scanning the frequency over the atomic resonance. Such a spectrum is taken for peak densities ranging from 10^12 atoms/cm^3 to 10^14 atoms/cm^3. As matter gets denser and denser dipoie-dipole interaction start playing a role due to the close proximity of neighbouring scatteres. These interactions are caused by the probe light induced dipoles and start being important when the density reaches n*(lambda/2Pi)^3 = 1, which for us is the case at the upper end of the explored density range.We start off measuring these transmission data for degenerate 12-level Rubidium 87 and afterwardsfor Rubidium 87, which we first spin polarize and then by lifting the degeneracy generate an artifical2-level system. These results are systematically compared to the two available theories.A microscopic one, which is described by coupled dipoles and a macroscopic one the so calledClausius-Mosotti equation. None of the ab initio theories can explain the results obtained during this thesis.The rigerous comparison of the various acquired datasets shows that the data in itself is consistentand relative changes going from a 12-level system to a 2-level system are understood.Additionally we also investigate the pulse propagation behaviour through such a systemrevealing stunning values for the fractional pulse advancement and the group index.

Σκοπός της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη στοχαστικών μοντέλων για τη μελέτη της τάσης διάσπασης διακένων με σύνθετη μόνωση. Αρχικά, περιγράψαμε τη συμπεριφορά των υγρών σε ισχυρά ηλεκτρικά πεδία. Μιλήσαμε για την εξάρτηση της πίεσης από ένα ηλεκτρικό πεδίο και την ηλεκτρική αγωγιμότητα σε ένα ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο. Ακόμα, αναφέραμε κάποιες πληροφορίες για την κατανομή της πίεσης σε ένα διηλεκτρικό υγρό. Μετά περιγράψαμε τη συμπεριφορά της αέριας φάσης των υγρών σε ισχυρά ηλεκτρικά πεδία. Μιλήσαμε για το ρόλο των φυσαλίδων στην κατάσταση του διηλεκτρικού υγρού και για τα φαινόμενα που συμβαίνουν σ' αυτές. Αργότερα, δώσαμε κάποιες πληροφορίες για τη διάδοση της εκφόρτισης σε μικρά διάκενα και αναφέραμε την εξάρτησή της από την πίεση. Επιπλέον, αναλύσαμε τη διάδοση της εκφόρτισης σε διάκενα με ανομοιογενές πεδίο. Περιγράψαμε την κατασκευή μιας εκφόρτισης και την επίδραση του στερεού διηλεκτρικού στην τάση διάσπασης. Ακόμη, δώσαμε πληροφορίες για την περιοχή ιονισμού και το κανάλι leader. Στη συνέχεια, αναλύσαμε την εξάρτηση της διηλεκτρικής αντοχής από ορισμένους παράγοντες. Οι παράγοντες στους οποίους αναφερθήκαμε είναι: η διάρκεια, η μορφή και η συχνότητα των παλμών τάσης, η πολικότητα της τάσης, η πίεση, η θερμοκρασία, η χημική φύση και σύνθεση των υγρών και η γεωμετρία του διακένου. Επίσης, αναλύσαμε τους φυσικούς μηχανισμούς έναρξης εκφόρτισης. Περιγράψαμε το μηχανισμό έναρξης εκφόρτισης με τη βοήθεια φυσαλίδων και κάποιους άλλους μηχανισμούς όπως τους μηχανισμούς έναρξης εκφόρτισης με ιονισμούς. Αργότερα, αναφέραμε τους μηχανισμούς διάδοσης εκφόρτισης. Έγινε περιγραφή της διαδικασίας διάδοσης του γρήγορου καναλιού και του αργού καναλιού. Ακόμα, μιλήσαμε για τη μετατροπή του αρχικού καναλιού σε leader. Στη συνέχεια, κάναμε μια εκτενή εισαγωγή στα στοχαστικά μοντέλα και αναφερθήκαμε στη χρησιμότητα τους, στις διάφορες κατηγορίες τους και στην εφαρμογή τους στον τομέα των ηλεκτρικών διασπάσεων. Για το λόγο αυτό, περιγράψαμε τις βασικές αρχές για το μοντέλο FFC και το μοντέλο του Biller. Μετά από όλα αυτά, αναλύσαμε τη διαδικασία που ακολουθήσαμε κατά τις εξομοιώσεις. Κάναμε λεπτομερή περιγραφή του προγράμματος που χρησιμοποιήσαμε για τις εξομοιώσεις. Οι εξομοιώσεις έγιναν για 2 διάκενα 2,5mm ομοιογενούς και ανομοιογενούς πεδίου και 2 διάκενα 1,5mm ομοιογενούς και ανομοιογενούς πεδίου. Κατά τις εξομοιώσεις το πάχος του φράγματος θεωρήθηκε σταθερό, ενώ μεταβάλαμε τη θέση του και το συντελεστή γήρανσης του λαδιού. Για τα διάκενα ομοιογενούς πεδίου, τοποθετήσαμε το φράγμα σε 3 διαφορετικές θέσεις και για τα διάκενα ανομοιογενούς διακένου τοποθετήσαμε το φράγμα σε 5 διαφορετικές θέσεις. Οι εξομοιώσεις πραγματοποιήθηκαν σε υπολογιστή του Εργαστηρίου Υψηλών Τάσεων του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών. Επιπλέον, παραθέσαμε σε πίνακες τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις εξομοιώσεις. Στη συνέχεια κατασκευάσαμε διαγράμματα, για να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα. Για τα διάκενα ομοιογενούς πεδίου, σχεδιάσαμε την τάση V συναρτήσει του gi για τις διάφορες θέσεις του φράγματος. Για τα διάκενα ανομοιογενούς πεδίου, σχεδιάσαμε την τάση V συναρτήσει της σχετικής απόστασης (d1/d) του φράγματος από το πάνω ηλεκτρόδιο για διάφορες τιμές του gi. Έγινε σύγκριση μεταξύ των καμπυλών που προέκυψαν για τα διάκενα ανομοιογενούς πεδίου, με καμπύλη που προέκυψε από πειραματικά δεδομένα και βρίσκεται στο “Barrier Effect on the Dielectric Strength of Oil Gaps under DC Voltage” των A. Zouaghi και Α. Beroual. Στη συνέχεια, σχεδιάσαμε την τάση V συναρτήσει της σχετικής απόστασης (d1/d) του φράγματος από το πάνω ηλεκτρόδιο για διάφορες τιμές του gi, για τα διάκενα ομοιογενούς και ανομοιογενούς πεδίου μαζί. Τέλος, μετά τις συγκρίσεις διαπιστώσαμε ότι τα αποτελέσματά μας συμφωνούν μόνο σε κάποιες περιπτώσεις με τα πειραματικά δεδομένα. Αυτό συμβαίνει λόγω της απλότητας των μοντέλων και ίσως μηχανισμών που δεν έχουν συνυπολογιστεί. Οπότε, συμπεράναμε ότι το μοντέλο που χρησιμοποιήσαμε, απαιτεί βελτίωση. / The purpose of this diploma thesis is the study of stochastic models about the breakdown voltage of complex insulation gaps. Initially, we described the behavior of liquids in strong electric fields. We mentioned the dependence of the pressure on an electric field and electric conductivity in strong electric fields. We reported some information about the pressure distribution in a dielectric liquid. Afterwards, we described the behavior of gaseous phase in liquids in strong electric fields. We reported the influence of the bubbles in the state in the dielectric liquids and the phenomena at them. Later, we gave some information about the discharge propagation in short gaps and we refered its dependence on the pressure. Moreover, we analyzed the discharge propagation in gaps with a non uniform field. We described the structure of a discharge and the influence of the solid dielectric on the breakdown voltage. Also, we gave information about the ionization region and the leader channel. Afterwards, we analyzed the dependence of the dielectric strength on certain factors. The factors in which we were reported are: the duration, the shape and the frequency of voltage pulses, the voltage polarity, the pressure, the temperature, the chemical nature of liquids and the gap geometry. Also, we analyzed the physical discharge initiation mechanisms. We described the bubble discharge initiation mechanism and some other mechanisms like the ionization discharge initiation mechanism.Later, we mentioned the mechanisms of discharge propagation. We described the propagation process of the fast and the slow channel. Also, we were reported in the conversion of the initial channel into leader channel. Afterwards, we did an extensive import in the stochastic models and were reported in their usefulness, in their various categories and in their application in the sector of electric breakdown. For this reason, we described the basic elements of the FFC and the Biller model. After all these we analyzed the process that we followed at the simulations. We did a detailed description of the program used for the simulations. We did simulations for 2 gaps 2,5mm uniform and non uniform field and 2 gaps 1,5mm uniform and non uniform gaps. During the simulations, the barrier thickness was considered stable, while we were changing the position and the factor of ageing of the oil. For the uniform field gaps, we placed the barrier in 3 different positions and for the non uniform gaps, we placed the barrier in 5 different positions. The simulations were realised at computer at High Voltage Laboratory of the department of Electrical and Computer Engineering of the University of Patras, Greece. Moreover, we mentioned in tables the results that resulted from the simulations. Then, we drew diagrams to make some conclusions. For the uniform field gaps, we drew the voltage V as a function of the factor of ageing of the oil gi for the various positions of the barrier. For the non uniform field gaps, we drew the voltage V as a function of the relative distance (d1/d) of the barrier from the upper electrode for the various numbers of gi. We did comparison between the curves that resulted for the non uniform gaps and the curve tht resulted for experimental data and is found in “ Barrier Effect on the Dielectric Strength of Oil Gaps under DC Voltage” of A. Zouaghi and Α. Beroual. Afterwards, we drew the voltage V as a function of the relative distance (d1/d) of the barrier from the upper electrode for the various numbers of gi, for both uniform and non uniform gaps. Finally, after the comparisons we realised that the results agree only in some cases with the experimental data. This may happened because of the simplicity of the models and perhaps mechanisms that have not been included. So, we concluded that the model that we used, need improvement.

La formulation d'une encre diélectrique et son dépôt par impression jet d'encre en vue de la fabrication de modules LTCC ont été étudiés, dans le cadre du projet européen SPrinTronics. Les verrous technologiques de la formulation de l'encre ont pu être levés afin d'ajuster ses caractéristiques au procédé. Pour cela, les mécanismes d'hydrolyse de la poudre, d'adsorption/désorption du dispersant et de fragmentation de la poudre ont été étudiés. Il a été mis en évidence la complexité d'obtenir à la fois une grande stabilité et une granulométrie fine. Les tests préliminaires d'impression ont révélé que les différentes stratégies influencent fortement la planéité des plans. Notamment, il est possible de minimiser la rugosité de surface de plans diélectriques imprimés par jet d'encre en maîtrisant la nature de la maille, l'interpénétration des gouttes et la stratégie de remplissage de la maille. Ces différents travaux sont prometteurs quand à l'industrialisation futur de la méthode. Cependant, les efforts doivent être poursuivis afin de mettre au point des véhicules de test. / Formulation of dielectric ink and its deposit by inkjet printing in order to manufacture LTCC have been studied, in the context of SPrinTronics european project. Technological barriers have been solved and the ink characteristics have been adjusted to the inkjet specifications by studying hydrolysis mechanisms of the powder, adsorption/desorption of the dispersant and powder milling. It has been very complex to obtain simultaneously a good stability (low viscosity and sedimentation rate) and fine particle size. Preliminary printing tests have been revealed that printing strategies are efficients to reduce rugosity of printed dielectric plans, especially the lattice, drop-to-drop distance and the filling strategy. These studies are promising for LTCC printing. However, efforts should be coutinued to print test vehicles.

Ce travail est une analyse de la structure des panaches Électrohydrodynamiques plans également appelés jets Électrohydrodynamiques en géométrie plane. Il a pour objectif de proposer une description la plus précise possible de l'écoulement, d'apporter une meilleure compréhension des phénomènes physiques notamment à l'aide de modèles simples et de quantifier la force électrique. Le chapitre I est une étude bibliographique qui propose un résumé des principales connaissances sur la structure de deux écoulements très similaires aux jets EHD : les jets classiques et les panaches thermiques. Le chapitre II est consacré à la présentation du montage expérimental, ainsi qu'à la méthodologie expérimentale utilisée dans cette étude. La qualité des mesures obtenues grâce à la méthode de vélocimétrie par images de particule y est discutée ; les problèmes de non corrélation, de convergence statistique des résultats y sont par exemple abordés. L'analyse des champs de vitesse permet de mettre en évidence la structure des panaches et de proposer une classification des jets EHD. Le chapitre III est consacré à l'étude de la force électrique dans les panaches EHD. L'actionneur utilisé pour produire le jet plan est de type lame-plan. Trois méthodes indirectes ont été utilisées pour estimer la force à partir du champ de vitesse. La première méthode appelée méthode intégrale classique calcule la force par intégration volumique de l'équation de Navier-Stokes. La deuxième méthode appelée méthode RANS intégrale estime la force à partir de chacun des termes de l'équation RANS en utilisant une décomposition de la vitesse en valeur moyenne et fluctuation. Enfin, la force est également calculée selon une troisième méthode basée sur une modélisation simplifiée de l'écoulement inspirée des travaux de Malraison et Atten. Dans le dernier chapitre, l'étude est étendue à un écoulement électroconvectif de type jet de paroi électrique. Il est généré par un actionneur à barrière diélectrique. L'étude est faite avec deux types des liquides diélectriques différents. Comme pour le jet plan, l'analyse des champs de vitesse permet de définir les structures de l'écoulement mais également de calculer l'intensité de la force produite. / This work is related to the analysis of the structure of electrohydrodynamic plane plumes also called electrohydrodynamic jets in plane geometry. The aim of this work is to provide a more precise description and a better understanding of its physical phenomenon and to quantify the electric force using the simple models. Chapter I is a literature review which provides a summary of two flows with the structure very similar to EHD jets: classic jets and thermal plumes. Chapter II is devoted to the presentation of the experimental setup and method used in this study. The quality of the measurements obtained by the method of Particle Image Velocimetry is discussed; problems of non correlation and statistical convergence of the results are also discussed. The analysis of velocity fields allows us to identify the structure and propose a classification of the EHD plumes. Chapter III is devoted to the study of the electric force in the EHD plumes. The actuator used to produce the plane jet is a blade plane device. Three indirect methods were used to estimate the force from the velocity field. The first classical method called integral method calculates the force by volumetric integration of Navier-Stokes equations. The second method called RANS integral method estimates the force from each term of RANS equation using the average and fluctuating velocity components. Finally, the force is also calculated using a third approach with a simplified flow model based on the work of Malraison and Atten. In the last chapter, the study is extended to one type of électroconvectif flow: the electrical wall jet. It is generated by a dielectric barrier actuator. The study is carried out with two different dielectric liquids. As is the case with plane jet, the analysis of velocity fields is used to define the flow structures and calculate the force produced.