Στην παρούσα διπλωματική εργασία ασχοληθήκαμε με το θέμα της μελέτης και διάγνωσης σφαλμάτων στάτη μιας ασύγχρονης μηχανής. Μοντελοποιήθηκε και αναλύθηκε η λειτουργία ενός ασύγχρονου τριφασικού κινητήρα κλωβού, σε υγιή κατάσταση αλλά και υπό συνθήκες σφάλματος. Πιο συγκεκριμένα, με τη χρήση του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων σε δυο διαστάσεις εξομοιώθηκαν πιθανά σφάλματα στο στάτη της ασύγχρονης μηχανής. Αναλυτικότερα, στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποιες βασικές αρχές λειτουργίας των ασύγχρονων μηχανών, μελετώνται τα κυριότερα σφάλματα που συναντώνται σε αυτές τις μηχανές και παρουσιάζονται οι γνωστότερες διαγνωστικές μέθοδοι σφαλμάτων που υπάρχουν στη βιβλιογραφία. Κυρίως αναλύεται η μέθοδος διάγνωσης σφαλμάτων που χρησιμοποιεί την ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας του ρεύματος στάτη (MCSA) η οποία και χρησιμοποιείται τελικά για τη διάγνωση των συγκεκριμένων σφαλμάτων. Ειδικότερα, μελετήθηκαν δυο ειδών σφάλματα στάτη, τα οποία είναι πιθανόν να συμβούν σε αυτήν τη μηχανή, το βραχυκύκλωμα κάποιων σπειρών εντός της ίδιας αυλάκωσης μιας φάσης και το βραχυκύκλωμα σπειρών σε δυο γειτονικές αυλακώσεις της ίδιας πάλι φάσης του στάτη τα οποία και μελετώνται αναλυτικά παρακάτω. Στο επόμενο κεφάλαιο εξομοιώθηκαν τα δύο μοντέλα με σφάλμα, όπως προαναφέρθηκε με χρήση του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων κάνοντας όλες τις απαραίτητες τροποποιήσεις στις παραμέτρους των αρχικών μοντέλων ώστε να απεικονιστούν στα μοντέλα τα σφάλματα που επιθυμούμε. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται όλες οι γραφικές παραστάσεις των ηλεκτρομαγνητικών μεγεθών για όλες τις περιπτώσεις όπως αυτές προέκυψαν από την ανάλυση με το πρόγραμμα της Opera -2d. Συγκεκριμένα, τα μοντέλα αναλύθηκαν με έναν επιλυτή που λαμβάνει υπ’ όψιν και την κίνηση του δρομέα (RM solver), όπου ενώ η μηχανή στρέφεται με σταθερό αριθμό στροφών στην ονομαστική κατάσταση βλέπουμε τη συμπεριφορά της με και χωρίς τα σφάλματα. Στο τελευταίο κεφάλαιο χρησιμοποιούνται οι διαγνωστικές μέθοδοι για την ανίχνευση των σφαλμάτων και παρατίθενται τα αποτελέσματά τους. Πιο συγκεκριμένα, αναλύθηκε το φάσμα συχνοτήτων των κυματομορφών του ρεύματος στάτη και της ηλεκτρομαγνητικής ροπής (FFΤ), ώστε να εντοπιστούν οι συχνότητες στις οποίες εισάγονται αρμονικές λόγω του σφάλματος. Επίσης μελετήθηκε η μορφή της χρονικής συνάρτησης του μαγνητικού πεδίου σε ορισμένα χαρακτηριστικά σημεία της μηχανής. Τέλος παρατίθενται τα συμπεράσματα , μαζί με την συνεισφορά της εργασίας καθώς και θέματα για διερεύνηση. / In this paper we dealt with the topic of the study and diagnosis of errors stator asynchronous machine. Modeled and analyzed the function of a three-phase asynchronous motor cage, but in a healthy state and under fault conditions.

Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως αντικείμενο μελέτης την ανάπτυξη ενός υβριδικού συστήματος που περιλαμβάνει έναν HVDC μετατροπέα (με θυρίστορ μεταγωγής γραμμής) και ένα στατικό αντισταθμιστή και χρησιμοποιείται για τη μεταφορά ενέργειας σε δίκτυα που δε διαθέτουν σύγχρονη παραγωγή. Η μελέτη θα περιλαμβάνει όλα εκείνα τα στοιχεία που είναι απαραίτητα για τη διασύνδεση σε ένα κεντρικό δίκτυο. Το προτεινόμενο σύστημα συνδυάζει καλή απόδοση, χαμηλό κόστος και μικρή απώλεια ισχύος από τον HVDC μετατροπέα με τη γρήγορη δυναμική απόδοση ενός συστήματος μεταφοράς στηριζόμενο σε VSC (μετατροπέας πηγής τάσης). Η μελέτη περιγράφει τις αρχές και τις στρατηγικές ελέγχου του προτεινόμενου συστήματος. Επίσης παρουσιάζονται προσομοιώσεις στο πρόγραμμα PSCAD που καταδεικνύουν τη δυναμική συμπεριφορά και αξιολογούν το προτεινόμενο σύστημα κάτω από διάφορες συνθήκες λειτουργίας, όπως ψυχρή εκκίνηση, αυξομειώσεις φορτίου ή παραγωγής και συνθήκες ac σφαλμάτων. / The current diploma thesis deals with the development of a hybrid system comprising an HVDC converter (line commutated thyristor) and a STATCOM which is proposed for the connection of networks with no synchronous generation to a main grid. The proposed system combines the robust performance and low capital cost and power loss of a line-commutated HVDC converter, with the fast dynamic performance of a VSC system. The thesis describes the principles and control strategies of the proposed system. PSCAD/EMTDC simulations are presented to demonstrate the robust performance and to validate the proposed system during various operating conditions such as black-start, variations of load or generation and ac fault conditions.

Les travaux réalisés dans la thèse ont permis de développer une méthodologie permettant de réduire les ondulations de couple générées par un défaut statorique dans une machine synchrone avec aimants montés en surface. Deux types défaut ont été traités : le déséquilibre du bobinage statorique, illustré dans l’étude par un manque de spire, et un court- circuit entre spires. Les composantes harmoniques de couple générées par ces types de défaut ont été identifiées et nous avons déterminé la composante inverse de courant à injecter dans l’alimentation pour réduire la composante harmonique de couple principale, qui est à deux fois la fréquence d’alimentation. Deux approches ont été utilisées pour déterminer cette composante inverse de courant : une approche basée sur l’induction d’entrefer issue du calcul analytique prenant en compte l’effet magnétique des courants dans chaque encoche et une approche basée sur les vecteurs espaces flux et courant. Cette deuxième approche permet de mettre en œuvre le principe de correction avec une simulation matlab-simulink, qui donne des résultats probants, que la machine fonctionne en boucle ouverte commandée en fréquence, ou en autopilotée, insérée dans une boucle de régulation de vitesse. Nous avons également mis en œuvre les dispositifs expérimentaux permettant de valider l’étude théorique. Le banc utilisé comprend une machine synchrone à aimants et sa charge. La Machine synchrone est alimentée par un onduleur et commandée par un système dSPACE permettant de contrôler la composante inverse de courant et d’assurer l’autopilotage. Un accéléromètre correctement placé permet de mesurer les vibrations tangentielles, générées par les fluctuations de couple. Pour les deux types de défaut, la réduction de l’harmonique de vibrations tangentielles à deux fois la fréquence d’alimentation a été mise en évidence suite à l’injection d’une composante inverse de courant. Une bonne concordance apparait entre la théorie et l’expérimentation pour ce qui est de l’amplitude de la composante inverse. / The work carried out in this thesis consists in developing a methodology to reduce the torque ripples generated by a stator fault in a surface permanent magnet synchronous machine. Two faults have been treated: the unbalance of the stator winding, illustrated in the study by a lack of turns, and a stator inter-turns short-circuit. The harmonic torque components generated by the both faults have been identified and the inverse current component to be injected in the supply currents has been determined to reduce the main torque component, which is at twice the supply frequency. Two approaches have been used to determine this inverse current component: an approach based on the air gap flux density resulting from an analytical calculation taking into account the magnetic effect of the currents in each slot, and an approach based on the flux and current space phasor. This second approach makes it possible to implement the correction principle in matlab-simulink simulations. These simulations give convincing results whether the machine operates in a frequency-controlled open loop or in a vector control mode inserted in a speed control loop. Experimental tests have been realized to validate the theoretical study. The used test bench includes a Permanent Magnet Synchronous Machine (PMSM) coupled to a DC machine. The PMSM is powered by an inverter controlled by a dSPACE system able to tune the inverse current component and ensure the vector control. A properly positioned accelerometer is used to measure the tangential vibrations generated by torque fluctuations. For both faults, the reduction of the harmonic of tangential vibrations at twice the supply frequency was demonstrated by injection of an inverse current component. A good agreement between theory and experimentation in terms of the amplitude of the inverse component was obtained.

Dans le domaine du Génie Électrique, la méthode des éléments finis (MEF) associée à une approche pas à pas dans le temps est la plus simple, la plus précise et la plus robuste des méthodes pour modéliser les champs magnétiques dans des dispositifs électromagnétiques en basse fréquence. Néanmoins, cette méthode peut conduire à des temps de calcul extrêmement importants lorsque la constante de temps du système étudié est relativement petite en comparaison de la durée du régime transitoire. C'est dans ce contexte que s'inscrit ces travaux de thèse intitulés « Modélisation numérique par la méthode des éléments finis des systèmes électrotechniques: recherche du régime permanent ». Dans ce manuscrit, une méthode numérique nommée Waveform Relaxation-Newton Method (WR-NM) a été développée. Celle-ci est basée sur la Waveform Relaxation Method (WRM) à laquelle des conditions de périodicité sont appliquées afin d'imposer le régime permanent directement pour des problèmes électromagnétiques couplés à des équations de circuit. La convergence de cette méthode étant similaire à celle d'une méthode point-fixe, elle a été combinée à la méthode de Newton-Raphson dont la convergence est quadratique. Afin de valider et de tester la robustesse de la WR-NM, plusieurs applications sont présentées dans le manuscrit. Des gains importants en temps de calcul sont signifiés en comparaison à l'approche classique et ce pour une précision de la solution identique. Un dernier exemple concernant la modélisation d'une machine à griffes couplés à un pont redresseur montre que la WR-NM peut également être employé dans un cadre industriel. / In electrical engineering, the Finite Element Method (FEM) associated to the time stepping numerical scheme is the most used approach today. This method is simple, accurate and efficient to modeling magnetic fields in low frequency electromagnetic devices. Nevertheless according to the studied cases, the time constant of the device can lead to prohibitive computation time to obtain the steady state. It is in this context that this PhD thesis is written "Numerical modeling by finite element method for electrotechnical systems: steady state investigation". The Waveform Relaxation-Newton Method (WR-NM) was developed, this method is based on the waveform relaxation method (WRM) in which periodicity conditions are applied to impose the steady state for electromagnetic problems coupled to circuit equations. The convergence of this method is similar to a fixed-point method, thus the method is combined to the method of Newton-Raphson whose convergence is quadratic. In order to validate and test the robustness of WR-NM, several applications are presented in the manuscript. Significant gains in computation time are shown in comparison with the conventional approach and for the same precision of the solution. A final example on the modeling of a claw-pole machine coupled to a bridge rectifier shows that the WR-NM can also be employed in an industrial setting.

Les pertes supplémentaires en charge dans les machines électriques représentent une contribution non-négligeable aux pertes totales. Elles constituent un point clé pour une évaluation exacte de l’efficacité énergétique des moteurs. L’objectif de ce travail a donc été d’investiguer les pertes supplémentaires, de déterminer et de quantifier leurs origines tout en effectuant une modélisation précise des machines électriques étudiées. Le modèle de calcul des pertes supplémentaires, développé dans la thèse, est basé sur l’essai normalisé de bilan de puissances. L’utilisation de ce dernier nécessite des modèles de calcul des pertes fer et des pertes par courants induits harmoniques. Le choix s’est porté sur des modèles de calcul des pertes en post-traitement d’un code par éléments finis. Ces modèles ont été testés dans un premier temps sur une machine synchrone à aimants permanents (MSAP) où l’influence des harmoniques de découpage a été étudiée. Ensuite, les pertes supplémentaires ont été calculées pour un moteur de 500 kW et deux moteurs de 6 kW à barres droites et inclinées. Plusieurs études ont été effectuées sur les origines des pertes supplémentaires, comme les flux de fuite d’extrémités, les flux de fuite zig-zag ainsi que les flux de fuite d’inclinaison, et leurs contributions ont été quantifiées. La comparaison des résultats simulés avec les mesures issues des essais effectués sur la MSAP et sur les deux maquettes montre une bonne concordance. Ces résultats démontrent la capacité des modèles proposés à estimer les pertes fer, les pertes par courants induits et les pertes supplémentaires avec une bonne précision pour différents types de machines électriques et différents points de fonctionnements. / The stray load losses (SLL) in electrical machines represent a non-negligible contribution to the total losses and are a key point for an accurate evaluation of the energy efficiency of the considered device. The aim of this work is to investigate the SLL, to determine and quantify their origins using precise models of the studied motors. The SLL model calculation, developed in this thesis, is based on the normalized Input-Output test. This later requires models for the core and harmonic eddy current losses. The choice has been made for calculating the losses in the post- processing step of a finite element code. These models were tested, first, on a permanent magnet synchronous machine (PMSM), where the influence of the carrier harmonics is studied. Then, the SLL were calculated for a 500 kW induction motor and for two 6 kW motors with skewed and non-skewed rotor bars. Several studies have been performed to study the origins of the SLL such as the end-region leakage fluxes, the zig-zag leakage fluxes and the skew leakage fluxes, and quantify their contributions. The comparison, between the simulation results and those measured on the PMSM and both 6 kW motors, shows a good agreement. This demonstrates the ability of an accurate estimation of the core, eddy currents and SLL losses using the proposed post-processing calculation method, for different types of electrical machines under different operating conditions.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία περιγράφεται η εφαρμογή μη γραμμικών μεθόδων ελέγχου στους Boost και Buck Boost DC-DC μετατροπείς που χρησιμοποιούν την τεχνική PWM. Συγκεκριμένα αναφερόμαστε στην μέθοδο ελέγχου βασισμένη σε παθητική σχεδίαση (PBC) καθώς και στην βασισμένη σε παθητική σχεδίαση μέθοδο ορισμού εσωτερικής ζεύξης και απόζευξης (IDA-PBC) και παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα των εξομοιώσεων μέσω του προγράμματος Matlab-Simulink. Τέλος παρουσιάζεται ένας νέος μη γραμμικός-δυναμικός ελεγκτής, ικανός να διαμορφώσει την τάση εξόδου ανεξάρτητα από τον τύπο του φορτίου για τον DC-DC boost μετατροπέα. / The current diploma thesis discusses the application of nonlinear control methods for Boost and Buck Boost DC-DC converters using Pulse-Width-Modulation technique. Specifically we refer to the Passivity Based Control (PBC) as well as the Interconnection and Damping Assignment-Passivity Based Control (IDA-PBC) and Matlab-Simulink’s simulation results are presented. Finally, a new nonlinear dynamic control scheme suitable for DC-DC boost converter is introduced, capable of regulating the converter output at the desired level independently from the kind of the load.

Le travail de recherche présenté dans cette thèse concerne le diagnostic des défauts rotoriques et mécaniques de la machine asynchrone. En premier lieu, est proposée une synthèse des méthodes de diagnostic appuyées par des expérimentations avec des défauts créés au rotor et au stator de la machine asynchrone alimentée à partir du réseau. Et dans le même sillage, une étude expérimentale sur la comparaison en amplitude et en phase des signatures de défauts de barres dans les spectres du courant statorique et de la tension entre neutres a été abordée. Dans un deuxième temps, la machine asynchrone est alimentée par un convertisseur faisant corps avec celle-ci. On a introduit une nouvelle technique de diagnostic, basée sur l'analyse spectrale des courants du réseau (en amont de l'ensemble convertisseur-machine). Finalement, et afin de simuler le comportement de la machine, il était nécessaire de développer un modèle précis prenant en compte les harmoniques d'espace, et la tension entre neutres, pour corroborer les fréquences induites par les défauts rotoriques dans la tension entre neutres, une étude théorique a été présentée qui a donné des résultats intéressants / The research presented in this thesis concerns the diagnosis of rotor and mechanical defaults of the induction machine. First, there is provided a summary of the diagnostic methods supported by experiments with defects created in the rotor and stator of the asynchronous machine fed from the network. And in the same vein, an experimental study on the comparison in amplitude and phase signatures of defects in bar in the spectra between the stator current and neutral voltage was discussed. In a second step, the induction motor is fed by a converter mounted directly onto the motor. We introduced a new diagnostic technique based on spectral analysis of the currents of the network (upstream of the converter-machine). Finally, in order to simulate the behavior of the machine, it was necessary to develop an accurate model taking into account the space harmonics, and neutral voltage. To corroborate the frequency induced by rotor defects in the neutral voltage, a theoretical study was presented which gave interesting results

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται το σχεδιασμό και την κατασκευή ενός μετατροπέα ανόρθωσης και υποβιβασμού τάσης, με διόρθωση του συντελεστή ισχύος. Η χρήση αυτού του μετατροπέα προορίζεται για τη φόρτιση των μπαταριών ενός ηλεκτροκίνητου οχήματος. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Ηλεκτρομηχανικής Μετατροπής Ενέργειας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Κύριος σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η κατασκευή μιας τριφασικής ανορθωτικής διάταξης υποβιβασμού τάσης η οποία θα πληρεί τις προδιαγραφές περί αρμονικών που θεσπίζονται από τους διεθνείς κανονισμούς. Η δυνατότητα λειτουργίας υπό μοναδιαίο συντελεστή ισχύος πηγάζει από τη μεθοδολογία ελέγχου του μετατροπέα ο οποίος παράλληλα θα πρέπει να επιτελεί το έργο ενός φορτιστή μπαταριών προσφέροντας τη δυνατότητα ελέγχου του ρεύματος και της τάσης εξόδου και προσαρμόζοντας τη λειτουργία του στο εκάστοτε προφίλ φόρτισης των μπαταριών τις οποίες διαχειρίζεται. Αρχικά αναλύεται η σημασία της διόρθωσης του συντελεστή ισχύος στα σύγχρονα ηλεκτρικά συστήματα και παρουσιάζονται τόσο μεθοδολογίες ελέγχου όσο και ανορθωτικές διατάξεις για λειτουργία υπό μοναδιαίο συντελεστή ισχύος. Στη συνέχεια γίνεται μια σύντομη αναφορά στις μπαταρίες ως μέσο αποθήκευσης ενέργειας, παρουσιάζονται μέθοδοι και διατάξεις φόρτισης συσσωρευτών ενώ παράλληλα αναλύονται θέματα που αφορούν την ταχύτητα φόρτισης και την διάρκεια ζωής των μπαταριών με τελικό στάδιο την παρουσίαση των μπαταριών του ηλεκτροκίνητου οχήματος του εργαστηρίου και την επιλογή του κατάλληλου προφίλ φόρτισής με βάση τα τεχνικά χαρακτηριστικά και τις προδιαγραφές τους από τον κατασκευαστή. Το επόμενο βήμα είναι η παρουσίαση του τριφασικού μετατροπέα, που θα υλοποιεί το προφίλ φόρτισης που έχει επιλεγεί, αλλά και της μεθοδολογίας ελέγχου για επίτευξη ημιτονοειδούς ρεύματος εισόδου. Τόσο ο ηλεκτρονικός μετατροπέας ισχύος ως φορτιστής μπαταριών όσο και το κύκλωμα ελέγχου κλειστού βρόχου προσομοιώνονται στο λογισμικό Simulink του Matlab. Επίσης περιγράφονται η ανάλυση, ο σχεδιασμός και η κατασκευή όλων των ηλεκτρικών και ηλεκτρονικών κυκλωμάτων που απαιτούνται για την ορθή λειτουργία του μετατροπέα και παρουσιάζεται η λογική λειτουργίας του μικροϋπολογιστικού συστήματος που συντονίζει τον έλεγχο. Τέλος πραγματοποιούνται οι πειραματικές δοκιμές προκειμένου να διαπιστωθεί η ορθή λειτουργία του συνολικού συστήματος που κατασκευάστηκε αλλά και για να διαπιστωθούν τυχούσες αποκλίσεις μεταξύ θεωρίας και πράξης. / This diploma thesis deals with the design and construction of a buck type, unity power factor rectifier intended for electric vehicle battery charging. The work was conducted in the Electromechanical Energy Conversion Laboratory, placed at the Department of Electrical and Computer Engineering of the University of Patras. The main purpose of this thesis is to construct a three-phase buck-type rectifier which meets with the requirements for low input current harmonics established by international regulations. The ability to operate under unity power factor derives from the control method of the converter. The converter will be also performing the task of a battery charger. Therefore, the overall system should be able to provide control of the output voltage and current and adjust its operation to the charging profile and the type of the battery used. Initially, the significance of power factor correction in modern electrical systems is mentioned and control methods as well as the most commonly used rectifiers for unity power factor operation are presented. Then, a brief reference to the batteries as energy storage means is made and charging methods and devices are presented. Certain issues related to charging speed and battery life are approached. The final stage is the presentation of the batteries installed in the electric vehicle of the Laboratory and the selection of the appropriate charging profile based on the technical specifications of the manufacturer. The next step is the presentation of the three-phase rectifier which realizes the selected charging profile and the control method in order to achieve sinusoidal input currents .Both the electronic power converter as a battery charger and the closed-loop control circuit are simulated using Simulink of Matlab .The analysis, design and the construction of all electrical and electronic circuits required for the proper operation of the converter is described and the programming logic of the microcontroller that coordinates the control is presented. Finally, experimental tests are performed in order to check the proper functioning of the overall constructed system and detect any deviations between theory and practice.

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται την ανάλυση και τον σχεδιασμό έλεγχο ενεργού και αέργου ισχύος επαγωγικής γεννήτριας διπλής τροφοδοσίας (Doubly-Fed Induction Generator, DFIG), που χρησιμοποιείται σήμερα κατά κόρον σε συστήματα ανεμογεννητριών. Ο έλεγχος επιτυγχάνεται μέσω του διανυσματικού ελέγχου με προσανατολισμό στην τάση του δικτύου (Voltage-Oriented Control, VOC χρησιμοποιώντας αναλογικο-ολοκληρωτικούς (Proportional-Integral, PI) ελεγκτές, επιβάλλοντας με αυτόν τον τρόπο την επιθυμητή μεταβατική συμπεριφορά. / The following diploma thesis addresses the analysis and design of an active and reactive power control system for a Doubly-Fed Induction Generator (DFIG), vastly used in wind power systems. Control is being achieved under voltage orientation (Voltage-Oriented Control, VOC) and through the use of proportional-integral (PI) controllers, who impose the desirable transient behavior.

Στις ηλεκτρικές μηχανές η θερμική ανάλυση είναι εξίσου σημαντική με την ηλεκτρομαγνητική ανάλυση, διότι η θέρμανση μίας μηχανής είναι αυτή που τελικά οριοθετεί την ονομαστική ισχύ της. Ακριβής θερμική μοντελοποίηση της μηχανής απαιτείται για την επίτευξη υψηλής απόδοσης, την ορθή σχεδίαση, την επιλογή των υλικών και του τρόπου ψύξης και τη βελτιστοποίηση κόστους. Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των απωλειών, ο υπολογισμός της παραγόμενης θερμότητας και η εύρεση της κατανομής θερμοκρασίας στο εσωτερικό ενός ασύγχρονου κινητήρα στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας του με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. / Thermal analysis of electrical machines is as important as electromagnetic analysis, since the machine heating actually determines the nominal power of the machine. Accurate thermal modelling is necessary in order to achieve high performance, proper design, cost optimization and selection of the most suitable materials and cooling method. The goal of this project is the study of power losses and the calculation of the produced heat and temperature distribution inside an induction motor, which operates at steady state, using the finite element method.