Dans ce manuscrit, nous étudions le retard distribué et ses applications. Nous présentons la définition du retard distribué et l'étude de ses propriétés. Nous expliquons aussi le problème de la mise en œuvre du retard distribué et donnons une méthode générale pour son approximation. Ensuite nous présentons trois applications à l'aide de retard distribué, qui sont différentes avec les applications apparaissent dans la littérature. Le premier est l'inversion stable et le modèle appariement. Nous introduisons une nouvelle classe d'inversion stable et modèle d'appariement pour les systèmes linéaires de dimension finie invariables dans le temps. L'inversion stable (resp. modèle d'appariement) est une sorte d'inversion (resp. modèle d'appariement) de rapprochement. En fait, nous obtenons l'inversion exacte (resp. exacte modèle d'appariement) après un temps t = h, où le temps t = h peut être choisi arbitrairement. La deuxième application est le contrôle de la stabilité et du pôle placement finie pour une classe de système de dimension infinie. La dernière application du retard distribué est la synthèse de l'observateur pour l'estimation ou la commande de sortie. Nous craignons seulement avec les systèmes linéaires de dimension finie. Nous introduisons une boucle fermée observateurs sans mémoire par injection d'entrée. Convergence asymptotique ainsi que la convergence en temps fini de l'estimation sont analysés par injection de sortie et des informations d'entrée via retard distribué. Enfin, nous introduisons une nouvelle classe de l’approximation des systèmes à paramètres distribués. Nous travaillons sur la topologie du graphe, et montrons que sous certaines hypothèses faibles, une telle approximation peut être réalisé en utilisant retard distribué. / A distributed delay is a linear input-output operators and appears in many control problems. We investigate distributed delay and its applications. After introducing the definition and the main properties of the distributed delay, the numerical implementation problem of distributed delays is analyzed and a general method for its approximation is given. Then three applications are focused on where distributed delay appears. The first application is the stable inversion and model matching. A new class of stable inversion and model matching problem for finite dimensional linear time-invariant systems is defined. The stable inversion (resp. model matching) is an approximation of the inverse of a given model (resp. model matching), where exact inversion (resp. exact matching) is reached after a time $t=h$, which is a parameter of our procedure. The second application is concerned with stabilization and finite spectrum assignment for a class of infinite dimensional systems. The last application concerns observer synthesis for estimation or output control. For linear finite dimensional systems. A closed-loop memoryless observer by input injection is introduced. Asymptotic convergence as well as finite time convergence of the estimation are analyzed by output injection and input information via distributed delay. At last, we introduce a new class for approximation of distributed parameter systems. We work on the graph topology, and show that under some weak assumptions, such an approximation can be realized using distributed delay.

Cette thèse, centrée en Automatique, porte sur l’approximation de systèmes linéaires de dimension infinie en une dimension d’espace d’un point de vue entrée-sortie par une classe de systèmes à retards, et sur l’analyse de stabilité de cette classe d’approximation. Afin de conserver des propriétés du système de dimension infinie par interconnexion (stabilité, performance entrée-sortie), l’approximation est définie sur la topologie du graphe. Classiquement, les méthodes proposées par l’approximation conduisent à des modèles de dimension finie. Cependant, sur cette topologie du graphe, une telle approximation régie par des équations à paramètres localisés peut ne pas exister. On propose donc d’étendre cette classe d’approximation en y incluant l’opérateur retard. Nous obtenons alors un modèle d’équations différentielles couplées à des équations aux différences. L’existence et la mise en œuvre numérique de cette classe d’approximation et ses propriétés de réalisation d’état sont étudiées. Le deuxième enjeu de nos recherches s’est focalisé sur l’analyse de stabilité de cette classe d’approximation, par le biais de l’approche de Lyapunov-Krasovskii. Cette approche consiste à exploiter des conditions de stabilité sous forme d’un problème l’optimisation convexe. Cette analyse de stabilité est étendue au cas des systèmes avec paramètres incertains et des retards variants dans le temps pour la sous classe des équations aux différences. Nous développons également une estimation de la décroissance de la solution en vue de l’analyse de performance. L’analyse du conservatisme de la méthodologie proposée a été étudié. / This thesis addresses the approximation of infinite-dimensional linear systems for one-dimension in space, with the input-output approach, by a class of delay systems, and the stability analysis of this class of approximation. In order to preserve the properties of the original properties by interconnection, such as stability and/or input-output performance, the approximation is defined within the graph topology framework. In general, the methods proposed in the literature lead, by approximation, to finite-dimensional models. However, in this topology, such an approximation by lumped plants may not exist. It seems natural to generalize this approximation class by including a delay operator. We then obtain an approximation in the graph topology governed by a model of coupled differential-difference equations. The existence of this class of approximation and the properties of state-realization are studied. A constructive numerical method is proposed for this approximation. After the description of this class of approximation, we investigate stability of this class of operators, by the Lyapunov-Krasovskii approach. This approach consists to involve stability conditions of the form of a convex optimization problem. This stability analysis is extended to the case of systems with uncertain parameters and time-varying delays. We also propose estimates of the decay rate of the solution for the performance analysis. The analysis of the conservatism of the proposed methodology has been studied.

Les réseaux de lois de bilan sont définis par l'interconnexion, via des conditions aux bords, de modules élémentaires individuellement caractérisés par la conservation de certaines quantités. Des applications industrielles se trouvent dans les réseaux de lignes de transmission électriques (réseaux HVDC), hydrauliques et pneumatiques (réseaux de distribution du gaz, de l'eau et du fuel). La thèse se concentre sur l'analyse modulaire et la commande au bord d'une ligne élémentaire représentée par un système de lois de bilan en dimension infinie, où la dynamique de la ligne est prise en considération au moyen d'équations aux dérivées partielles hyperboliques linéaires du premier ordre et couplées deux à deux. Cette dynamique permet de modéliser d'une manière rigoureuse les phénomènes de transport et les vitesses finies de propagation, aspects normalement négligés dans le régime transitoire. Les développements de ces travaux sont des outils d'analyse qui testent la stabilité du système, et de commande au bord pour la stabilisation autour d'un point d'équilibre. Dans la partie analyse, nous considérons un système de lois de bilan avec des couplages statiques aux bords et anti-diagonaux à l’intérieur du domaine. Nous proposons des conditions suffisantes de stabilité, tant explicites en termes des coefficients du système, que numériques par la construction d'un algorithme. La méthode se base sur la reformulation du problème en une analyse, dans le domaine fréquentiel, d'un système à retard obtenu en appliquant une transformation backstepping au système de départ. Dans le travail de stabilisation, un couplage avec des dynamiques décrites par des équations différentielles ordinaires (EDO) aux deux bords des EDP est considéré. Nous développons une transformation backstepping (bornée et inversible) et une loi de commande qui, à la fois stabilise les EDP à l'intérieur du domaine et la dynamique des EDO, et élimine les couplages qui peuvent potentiellement mener à l’instabilité. L'efficacité de la loi de commande est illustrée par une simulation numérique. / Networks of balance laws are defined by the interconnection, via boundary conditions, of elementary modules individually characterized by the conservation of physical quantities. Industrial applications of such networks can be found in electric (HVDC networks), hydraulic and pneumatic (gas, water and oil distribution) transmission lines. The thesis is focused on modular analysis and boundary control of an elementary line represented by a system of balance laws in infinite dimension, where the dynamics of the line is taken into consideration by means of first order two by two coupled linear hyperbolic partial differential equations. This representation allows to rigorously model the transport phenomena and finite propagation speed, aspects usually neglected in transient regime. The developments of this work are analysis tools that test the stability, as well as boundary control for the stabilization around an equilibrium point. In the analysis section, we consider a system of balance laws with static boundary conditions and anti-diagonal in-domain couplings. We propose sufficient stability conditions, explicit in terms of the system coefficients, and numerical by constructing an algorithm. The method is based on reformulating the analysis problem as an analysis of a delay system in the frequency domain, obtained by applying a backstepping transform to the original system. In the stabilization work, couplings with dynamic boundary conditions, described by ordinary differential equations (ODE), at both boundaries of the PDEs are considered. We develop a backstepping (bounded and invertible) transform and a control law that at the same time, stabilizes the PDEs inside the domain and the ODE dynamics, and eliminates the couplings that are a potential source of instability. The effectiveness of the control law is illustrated by a numerical simulation.