Para uma extensão de Galois de anéis comutativos, Chase-Harrison-Rosenberg construíram uma sequência exata de sete termos que envolve o grupo de Picard, o grupo de Brauer relativo e grupos de cohomologias. Essa sequência é vista como uma generalização de dois fatos importantes da teoria galoisiana de corpos, a saber, o Teorema $90$ de Hilbert e o isomorfismo de grupo de Brauer relativo com o segundo grupo de cohomologia. A sequência foi generalizada por Miyashita para o contexto de anéis não comutativos com unidade. Mais tarde, El Kaoutit e Gomez-Torrencillas generalizaram o resultado de Miyashita para uma extensão de anéis não comutativos e não unitais, apenas com um conjunto de unidades locais. A sequência de Chase-Harrison-Rosenberg também foi considerada para ações parciais por Dokuchaev, Paques e Pinedo, que construíram uma versão para uma extensão de Galois parcial de anéis comutativos. Nesta tese, elaboramos uma versão da sequência no contexto de ações parciais para uma extensão de anéis não comutativos com unidade. A sequência apresentada aqui generaliza a sequência dada por Miyashita. / For a Galois extension of commutative rings, Chase-Harrison-Rosenberg constructed a seven terms exact sequence which involves the Picard group, the relative Brauer group and cohomology groups. The sequence can be viewed as a generalization of two important facts of Galois theory of fields: the Hilbert 90 Theorem and the isomorphism of the relative Brauer group with the second cohomology group. The sequence was generalized by Miyashita for the context of non-commutative unital rings. Later, El Kaoutit and Gomez-Torrencillas extended the result of Miyashita for an extension of non-unital non-commutative rings with local units. The Chase-Harrison-Rosenberg sequence was also considered for partial actions by Dokuchaev, Paques e Pinedo, who constructed a version for a partial Galois extension of commutative rings. In this thesis, we elaborate a vesrion of the sequence in the context of partial actions for an extension of non-commutative unital rings. Our sequence generalizes the sequence given by Miyashita.

Para uma extensão de Galois de anéis comutativos, Chase-Harrison-Rosenberg construíram uma sequência exata de sete termos que envolve o grupo de Picard, o grupo de Brauer relativo e grupos de cohomologias. Essa sequência é vista como uma generalização de dois fatos importantes da teoria galoisiana de corpos, a saber, o Teorema $90$ de Hilbert e o isomorfismo de grupo de Brauer relativo com o segundo grupo de cohomologia. A sequência foi generalizada por Miyashita para o contexto de anéis não comutativos com unidade. Mais tarde, El Kaoutit e Gomez-Torrencillas generalizaram o resultado de Miyashita para uma extensão de anéis não comutativos e não unitais, apenas com um conjunto de unidades locais. A sequência de Chase-Harrison-Rosenberg também foi considerada para ações parciais por Dokuchaev, Paques e Pinedo, que construíram uma versão para uma extensão de Galois parcial de anéis comutativos. Nesta tese, elaboramos uma versão da sequência no contexto de ações parciais para uma extensão de anéis não comutativos com unidade. A sequência apresentada aqui generaliza a sequência dada por Miyashita. / For a Galois extension of commutative rings, Chase-Harrison-Rosenberg constructed a seven terms exact sequence which involves the Picard group, the relative Brauer group and cohomology groups. The sequence can be viewed as a generalization of two important facts of Galois theory of fields: the Hilbert 90 Theorem and the isomorphism of the relative Brauer group with the second cohomology group. The sequence was generalized by Miyashita for the context of non-commutative unital rings. Later, El Kaoutit and Gomez-Torrencillas extended the result of Miyashita for an extension of non-unital non-commutative rings with local units. The Chase-Harrison-Rosenberg sequence was also considered for partial actions by Dokuchaev, Paques e Pinedo, who constructed a version for a partial Galois extension of commutative rings. In this thesis, we elaborate a vesrion of the sequence in the context of partial actions for an extension of non-commutative unital rings. Our sequence generalizes the sequence given by Miyashita.

Based on the articles Associativity of crossed produts by partial actions, enveloping actions and partial representations" of M. Dokuchaev and R. Exel ([7] and Enveloping Actions for Partial Hopf Actions" of M.M.S. Alves and E. Batista ([3]), we will report conditions for the existence of enveloping actions of partial group actions and partial Hopf algebra actions. The main results are: 1. Every partial action {αg:Dg−1→Dg:g∈G} of a group G on an unital associative algebra admits only one enveloping action if and only if, the ideals Dg are unital algebras; 2. Every left partial action of a Hopf algebra H on an unital associative algebra admits an enveloping action. Moreover, every left partial Hopf action is equivalent to a left partial action induced by the enveloping action; 3. Two miminal enveloping actions of a parcial Hopf action are isomorphic as left H-module algebras. / Baseados nos artigos Associativity of crossed produts by partial actions, enveloping actions and partial representations" de M. Dokuchaev e R. Exel ([7]) e Enveloping Actions for Partial Hopf Actions" de M.M.S. Alves e E. Batista ([3]), estabeleceremos condições para a existência de envolventes para ações parciais de grupo e ações parciais de Álgebras de Hopf sobre Álgebras. Os resultados principais são: 1. Toda ação parcial {αg:Dg−1→Dg:g∈G} de um grupo G sobre uma álgebra associativa e unitária admite uma única ação envolvente se, e somente se, os ideais Dg são álgebras unitárias; 2. Toda ação parcial (á esquerda) de uma álgebra de Hopf H sobre uma álgebra associativa e unitária tem uma envolvente, decorrendo daí que toda ação parcial (à esquerda) de Hopf é equivalente a ação parcial (à esquerda) induzida pela ação da envolvente; 3. Duas ações envolventes minimais de uma ação parcial de Hopf são isomorfas como H-módulos álgebras (á esquerda).

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In representation theory, having a representation of a group G is equivalent to having a kG-module. Since |G-modules which are sums of irreducible kG-modules form a very important class in the theory of modules, to know conditions for a kG-module be irreducible or completely reducible from the particularities of the field k and the group G become a very important issue, whose solution was originally presented by the German mathematician Heinrich Maschke which proved that if the order of G is not a multiple of the characteristic of the field k, then kG is completely reducible (or semisimple). From there, issues unrelated to representation theory, but that concern the semisimplicity of cross products in general are treated as Maschke-type theorem. Our goal in this dissertation is to present some versions of this theorem, starting with classic versions involving cross products for actions of groups on algebras and then versions for Hopf algebras and smash products. / Na teoria de representações de grupos, ter uma representação de um grupo G é equivalente a ter um kG-módulo. Desde que kG-módulos que são somas de kG-módulos irredutíveis formam uma classe bastante importante na teoria de módulos, conhecer condições para que um kG-módulo seja irredutível ou completamente redutível a partir das particularidades do corpo k e do grupo G passou a ser um problema bastante importante. Problema este cuja solução foi originalmente apresentada pelo matemático alemão Heinrich Maschke que provou que se a ordem do grupo G não for múltiplo da característica do corpo k, então kG é completamente redutível (ou semissimples). A partir daí, questões independentes a teoria de representações, mas que dizem respeito a semissimplicidade de produtos cruzados em geral são tratados como Teorema tipo-Maschke. Nosso objetivo neste trabalho é apresentar algumas versões deste teorema. Iniciamos com versões mais clássicas envolvendo produtos cruzados globais e parciais para em seguida estudarmos versões em álgebras de Hopf e produtos smash.