Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-12-19T18:43:48Z No. of bitstreams: 1 liviaduraesreis.pdf: 648732 bytes, checksum: 1fa606cb9853f74a3138c53cc3f60297 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-02-07T13:00:22Z (GMT) No. of bitstreams: 1 liviaduraesreis.pdf: 648732 bytes, checksum: 1fa606cb9853f74a3138c53cc3f60297 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-07T13:00:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 liviaduraesreis.pdf: 648732 bytes, checksum: 1fa606cb9853f74a3138c53cc3f60297 (MD5) Previous issue date: 2016-08-02 / Neste trabalho estudamos representações com peso máximo de álgebras de Lie semissimples de dimensão finita. A ideia é construir um espaço de representação com peso máximo, universal no sentido em que qualquer outro espaço com peso máximo é um quociente deste. Esses espaços são definidos como uma representação torcida induzida por uma representação unidimensional de uma subálgebra de Borel e são chamados módulos de Verma. Os módulos de Verma M(λ), onde λ é um elemento do dual de uma subálgebra de Cartan, foram construídos a partir dos trabalhos de Verma [15] e alguns resultados foram obtidos por Bernstein-Gelfand-Gelfand [1]. A partir dessa construção, fizemos um estudo das propriedades gerais de módulos de Verma e uma caracterização das representações de dimensão finita com peso máximo. O resultado principal, nesse sentido, garante que as classes de equivalências das representações irredutíveis de dimensão finita são parametrizadas por l-uplas de inteiros não negativos, onde l é o posto da álgebra. Finalmente, fizemos um estudo da classe de submódulos que são isomorfos a algum módulo de Verma. Existe uma caracterização completa desta classe de submódulos. O resultado principal, nesta caracterização, garante que um submódulo de M(λ) é isomorfo a M(µ) se, e somente se, existe uma sequência finita de raízes positivas ligando λ com µ. Como consequência desse resultado temos que M(λ) é simples se, e somente se, os valores assumidos por λ em cada dual de raiz normalizada não é inteiro positivo. / In this work we study the highest weight representations of finite dimensional semisimple Lie algebras. The idea is to build a universal highest weight representation space in the sense that any other highest weight space is a quotient of this. These spaces are defined as a twisted representation induced by a one-dimensional representation of a Borel subalgebra and are called Verma modules. The Verma modules M(λ), where λ is an element of the dual of a Cartan subalgebra, were built from Verma works [15] and some results were obtained by Bernstein-Gelfand-Gelfand [1]. From this construction, we made a study of the general properties of Verma modules and a characterization of finite dimensional representations with highest weight. The main result in this sense, ensures that the equivalence classes of finite dimensional irreducible representations are parameterized by l-tuples of non-negative integers, where l is the rank of the algebra. Finally, we made a study of the class of submodules that are isomorphic to some Verma module. A full characterization of this class of submodules already exists. The main result of this characterization, ensures that a submodule of M(λ) is isomorphic to M(µ) if and only if there is a finite sequence of positive roots linking λ with µ. As a consequence we have that M(λ) is simple if and only if the values assumed by λ in each normalized dual root is not a positive integer.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In representation theory, having a representation of a group G is equivalent to having a kG-module. Since |G-modules which are sums of irreducible kG-modules form a very important class in the theory of modules, to know conditions for a kG-module be irreducible or completely reducible from the particularities of the field k and the group G become a very important issue, whose solution was originally presented by the German mathematician Heinrich Maschke which proved that if the order of G is not a multiple of the characteristic of the field k, then kG is completely reducible (or semisimple). From there, issues unrelated to representation theory, but that concern the semisimplicity of cross products in general are treated as Maschke-type theorem. Our goal in this dissertation is to present some versions of this theorem, starting with classic versions involving cross products for actions of groups on algebras and then versions for Hopf algebras and smash products. / Na teoria de representações de grupos, ter uma representação de um grupo G é equivalente a ter um kG-módulo. Desde que kG-módulos que são somas de kG-módulos irredutíveis formam uma classe bastante importante na teoria de módulos, conhecer condições para que um kG-módulo seja irredutível ou completamente redutível a partir das particularidades do corpo k e do grupo G passou a ser um problema bastante importante. Problema este cuja solução foi originalmente apresentada pelo matemático alemão Heinrich Maschke que provou que se a ordem do grupo G não for múltiplo da característica do corpo k, então kG é completamente redutível (ou semissimples). A partir daí, questões independentes a teoria de representações, mas que dizem respeito a semissimplicidade de produtos cruzados em geral são tratados como Teorema tipo-Maschke. Nosso objetivo neste trabalho é apresentar algumas versões deste teorema. Iniciamos com versões mais clássicas envolvendo produtos cruzados globais e parciais para em seguida estudarmos versões em álgebras de Hopf e produtos smash.

Submitted by Alison Vanceto (alison-vanceto@hotmail.com) on 2016-09-21T11:54:01Z No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-09-21T12:02:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-09-21T12:02:16Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-21T12:12:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) Previous issue date: 2015-08-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / The objective of this dissertation is descrive formally the irreducible representations of finitedimensional semisimple Lie algebras g over a field F algebraically closed with characteristic zero, as also get some multiplicity formulas that allow compute the dimension of the weight space in the representation and also the quantity of weight. In this regard, the newness of this work is the study of a new characters formula, recently published by Schützer [Sch12], and this based in one combinatory given only in terms of not simple positive roots of the Lie algebra. The main results of this dissertation are reviewed and clarified. / O objetivo deste trabalho é descrever formalmente as representações irredutíveis das álgebras de Lie semissimples g de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero, como também obter algumas fórmulas de multiplicidades que permitem calcular a dimensão dos espaços de peso da representação e também a quantidade de pesos. Nesse sentido, a novidade deste trabalho é o estudo de uma nova fórmula de Caracteres, recentemente encontrada por Schützer [Sch12], e que se baseia em uma combinatória dada apenas em termos das raízes positivas não simples da álgebra de Lie. Os principais resultados desse artigo são revistos e clarificados.